Теория принятия решений

Пусть х(0) - начальный запас, х(i) - количество продукта на базе в конце i-го периода, i = 1, 2, …, m. ПустьS(i) = {s(i), c(j,i), h(i,j), G(i,t), F(i,j,t), 0<t<1, j = 1, 2, …, n(i)} - исходные данные модели в i-й период. Как легко видеть, математическое ожидание издержек за i-й период зависит только от х(i-1), х(i) и S(i). Для краткости обозначим его через f(х(i-1), х(i), S(i)). Тогда математическое ожидание издержек за m периодов равно

Z(m) = f(х(0), х(1), S(1)) + f(х(1), х(2), S(2)) +…

+ f(х(i-1), х(i), S(i)) + + f(х(m-1), х(m), S(m)).

Необходимо минимизировать Z(m) = Z(х(0), х(1), …, х(i), …, х(m)) по совокупности переменных. Таким образом, необходимо найти оптимальные значения уровней запаса на складе в начале и в конце периодов. Это эквивалентно определению оптимальных размеров поставок по периодам и начального запаса. Ограничения рассматриваемой оптимизационной задачи выписаны в [7, 16].

Вначале была сделана попытка рассматривать задачу минимизации Z(m) как задачу динамического программирования и решать ее типовыми методами. Однако вычислительных мощностей оказалось недостаточно для выполнения расчетов. Тогда нам удалось показать, что функция (m+1)-го переменного Z(m) в действительности является суммой (m + 1) функции одного переменного. Действительно,

f(х(i-1), х(i), S(i)) = f1 (х(i-1), х(i), S(i)) + f2 (х(i-1), х(i), S(i)),

где f1 (х(i-1), х(i), S(i)) - математическое ожидание затрат, произведенных до прихода очередной поставки, f2(х(i-1), х(i), S(i)) - математическое ожидание затрат после поступления поставки.

Ясно, что f1 (х(i-1), х(i), S(i)) определяется запасом на начало периода и спросом до прихода поставки, но не зависит от запаса на конец периода, т.е. от х(i). Таким образом, можно записать, что

f1 (х(i-1), х(i), S(i)) ? f1 (х(i-1), S(i)).

Пусть Hi - объем поставки на склад в i-й период. Сразу же после прихода поставки запас у на складе равен

y(ф(i)) = x(i-1) + Hi - о(ф(i)) = x(i) + - о(ф(i)),

где о(ф(i)) - накопленный с начала периода спрос. Поскольку о(ф(i)) не зависит от x(i-1), то и f2 (х(i-1), х(i), S(i)) не зависит от x(i-1). Итак,

f2 (х(i-1), х(i), S(i)) ? f2 (х(i), S(i)).

Следовательно, минимизируемая функция имеет вид

При этом ограничения наложены на каждую переменную x(i) по отдельности [7, 16]. Ясно, что задача минимизации Z(m) распадается на m+1 задачу минимизации функций одной переменной:

f1(х(0), S(1)) > min,

f2(х(i), S(i)) + f1(х(i), S(i+1)) > min, (14)

f2(х(m), S(m)) > min

(ограничения не указаны). Следовательно, x(k) зависит только от исходных данных смежных периодов S(k) иS(k+1) и остается неизменным при любом изменении S(i), i ? k, i ? k+1. Из указанного разложения задачи многомерной оптимизации на ряд задач одномерной оптимизации вытекает также, что при планировании наm(1) и m(2) периодов совпадают оптимальные значения начального запаса и поставок за первые min{m(1),m(2)} -1 периодов. В частном случае стационарного режима S(i)= S, i= 1, 2, …, m, оптимальный план имеет вид {a, b, b, …, b, …, b, c}, где a - решение первой из указанных в (14) задач, b - решение второй задачи и c - третьей.

Переход к задачам (14) не только позволяет решить исходную задачу минимизации (напомним, что для минимизации задачи в исходной форме не хватало вычислительных мощностей), но также получить весьма важный для экономической интерпретации вывод о независимости оптимальных значений поставок и начального запаса от горизонта планирования m.

Важное замечание 4. Рассмотренная модель дает хороший пример пользы математического анализа оптимизационной задачи принятия решений. Такой анализ позволяет решать задачу не стандартными методами, требующими больших вычислительных ресурсов, а с помощью специально разработанных алгоритмов, учитывающих специфику задачи и позволяющих на много порядков сократить вычисления. Плата за экономию вычислительных ресурсов - необходимость квалифицированного труда специалистов по экономико-математическим методам и прикладной математике.

В настоящее время логистика - одна из экономических дисциплин, весьма развитая как в теоретическом, так и в практическом отношении. В ней рассматривается масса конкретных моделей управления запасами. Из перспективных направлений назовем использование случайных множеств в моделях логистики. Моделирование с целью нахождение оптимальных решений выше было продемонстрировано на примерах системы моделей, исходящих из классической модели Вильсона, двухуровневой модели, модели оптимизации объемов поставок на базу (склад).

Литература

1. Щапов А.Н. Направления повышения эффективности оперативного финансового управления компанией холдингового типа. Автореферат дисс. канд. экон. наук. - М.: Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2002. - 24 с.

2. Иванова Н.Ю., Орлов А.И. Экономико-математическое. моделирование малого бизнеса (обзор подходов) // Экономика и математические методы. 2001. Т.37. №2. С.128-136.

3. Иванова Н.Ю. Малый инновационный бизнес в странах развитой рыночной экономики // Российский экономический журнал, 1995, № 12. С. 42-51.

4. Малое инновационное предпринимательство / Под ред. Ивановой Н.Ю.- М.: ЦЭО Минобразования РФ, 1996. - 232 с.

5. Орлов А.И. Эконометрика.- М.: Экзамен, 2002. - 576 с.

6. Орлов А.И. Сертификация и статистические методы. // Заводская лаборатория, 1997, № 3. С. 55-62.

7. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М., Наука, 1979. - 296 с.

8. Математическое моделирование процессов налогообложения (подходы к проблеме) / Под ред. А.И. Орлова и др. - М.: Изд-во ЦЭО Минобразования РФ, 1997. 232 с.

9. Горский В.Г., Моткин Г.А., Орлов А.И. и др. Методологические основы ранжирования и классификации промышленных объектов, подлежащих экологическому страхованию. // Труды Второй Всероссийской конференции "Теория и практика экологического страхования". - М.: Ин-т проблем рынка РАН, 1996, с.7-12.

10. Орлов А.И., Горский В.Г., Жихарев В.Н., Цупин В.А. и др. Экспертные оценки: современное состояние и перспективы использования в задачах экологического страхования.// Труды Второй Всероссийской конференции "Теория и практика экологического страхования". - М.: Ин-т проблем рынка РАН, 1996, с.20-23.

11. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966. - 432 с.

12. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. - М.: Наука, 1971. - 436 с.

13. Менеджмент / Под ред. Ж.В. Прокофьевой. - М.: Знание, 2000. - 288 с.

14. Орлов А.И., Конюхова Т.А. Математические модели в экономике. Модель Вильсона управления запасами. - М.: Изд-во Московского государственного института электроники и математики (технического ун-та), 1994. - 31 с.

15. Душкесас Р.Ф. Проблемы устойчивости в классической модели управления запасами. Дипломная работа. М.: МИНХ им. Г.В. Плеханова, факультет экономической кибернетики, 1977. - 70 с.

16. Орлов А.И., Пейсахович Э.Э. Некоторые модели планирования оптимальных размеров поставок и начального запаса // Экономика и математические методы. 1975. Т.XI. №.4. С.681-694.

Контрольные вопросы и задачи

1. Чем модель экономико-математическая модель малого предприятия типа «поток проектов» отличается от модели типа «занятие ниши»?

2. На складе хранится некоторая продукция, пользующаяся равномерным спросом. За 1 день со склада извлекается 0,5 т продукции, плата за хранение 1 т продукции в день - 2 тыс. руб., плата за доставку одной партии - 50 тыс. руб. Планирование производится на 21 день. На сколько процентов затраты в плане Вильсона (объем партии определяется по формуле квадратного корня) превышают затраты в оптимальном плане?

3. Оцените увеличение затрат в плане Вильсона (объем партии определяется по формуле квадратного корня) по сравнению с оптимальным планом за целое число периодов, если размер партии отличается от оптимального не более чем на 5%.

4. Каким образом концепция асимптотически оптимального плана позволяет решить проблему горизонта планирования?

5. В чем состоит основной вклад математики при разработке модели планирования оптимальных размеров поставок и начального запаса?

Темы докладов и рефератов

1. Экономико-математическое моделирование работы промышленного предприятия.

2. Применение теории массового обслуживания при моделирования работы организаций сферы массовых услуг (телефонных сетей, магазинов и др.).

3. Эконометрическая и экономико-математическая поддержка работы малого предприятия.

4. Специфика решения задачи оптимизации при анализе классической модели работы склада.

5. В каком смысле оптимальна двухуровневая модель управления запасами?

6. Современная логистика в системе организационно-экономических методов управления организацией.

Размещено на Allbest.ru