Система поддержки принятия решений на основе экстраполяции экспертных оценок методом максимального правдоподобия

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 519.81

СИСТЕМА ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

Ю.В. Бугаев

М.С. Миронова

Б.Е. Никитин

При групповой экспертизе довольно часто возникает ситуация, когда эксперты не могут прийти к единому мнению. В этом случае необходимо применить какую-либо процедуру голосования для выработки коллективного решения. Для этой цели предлагается использовать механизм выбора на основе метода максимального правдоподобия (ММП).

Названная процедура является одним из вариантов метода экстраполяции экспертных оценок [5], обладающего следующим преимуществом по сравнению с другими методами, существующими в настоящее время: его можно использовать при необходимости ранжирования большой (необозримой для лица, принимающего решение) совокупности вариантов. Данное преимущество достигается за счет того, что экспертам предлагается оценить не весь набор альтернатив, а лишь ограниченную обучающую выборку; в дальнейшем по результатам экспертного сравнения определяются значения коэффициентов функции полезности (ФП), которая используется для упорядочения всех вариантов из исходного множества.

Экстраполяция на основе ММП исследовалась для случаев полного [3; 4] и частичного [2] упорядочения альтернатив на порядковой шкале. Авторами статьи предлагается более общий подход к рассмотрению ММП при осуществлении экспертного ранжирования как на порядковой, так и на более сильных шкалах.

Экстраполяция на основе метода максимального правдоподобия. Предположим, что ФП для метода экстраполяции экспертных оценок (МЭЭО) имеет следующий вид:

где - известные функции векторного аргумента , монотонно возрастающие по каждой координате; - неизвестные параметры (веса). Согласно определению ФП, альтернатива x не хуже альтернативы тогда и только тогда, когда . Во многих случаях можно положить , и тогда ФП будет представлять собой линейную свертку критериев.

На основе экспертного сравнения альтернатив из обучающей выборки строится система равенств и неравенств, описывающая область возможных значений вектора коэффициентов функции (1).

ММП учитывает разногласия во мнениях экспертов и позволяет найти точечные оценки коэффициентов ФП, при которых достигается максимум функции правдоподобия.

Пусть экспертам необходимо проранжировать обучающую выборку из альтернатив

.

Каждое экспертное ранжирование порождает некоторую систему неравенств, определяющую соотношения между полезностями альтернатив из выборки.

Введем непрерывные случайные величины , представляющие собой значение полезности соответствующей альтернативы , оцененной экспертом. Эти величины будем считать независимыми и нормально распределенными. При условии одинаковой компетентности экспертов все имеют одинаковую дисперсию , но вследствие разной истинной полезности, различные математические ожидания: . Тогда каждый -й вариант индивидуального ранжирования соответствует системе линейных неравенств

,

где - структурная матрица -го экспертного упорядочения, число столбцов которой совпадает с числом альтернатив, а число строк зависит от вида ранжирования. Рассмотрим примеры построения структурных матриц при различных видах упорядочения.

Ранжирование на порядковой шкале. Различают полное и частичное упорядочение. При полном упорядочении от эксперта требуется в соответствии с его индивидуальным предпочтением проранжировать все имеющиеся альтернативы либо по убыванию, либо по возрастанию полезностей. Например, пусть имеется набор альтернатив и есть эксперт, который проранжировал их следующим образом: (символ означает, что одна альтернатива лучше другой). В соответствии с данным упорядочением имеем систему неравенств для ценностей альтернатив: . Тогда структурная матрица данного эксперта примет вид

.

Что касается частичного упорядочения альтернатив, то оно, в свою очередь, может быть разделено на две группы. К первой относят ситуации, когда эксперту не удается сравнить между собой все альтернативы ввиду того, что некоторые их пары по той или иной причине просто не поддаются анализу. В этом случае упорядочиваются отдельные группы альтернатив. Например, рассмотренные альтернативы могут быть проранжированы как . Таким образом, видно, что между некоторыми парами альтернатив отношение предпочтения не установлено. Структурная матрица в данном случае будет иметь вид

групповой экспертиза экстраполяция правдоподобие

.

Ко второй группе относится ранжирование независимых пар альтернатив. Например, пусть дан набор альтернатив и , который проранжирован следующим образом: . Структурная матрица данного упорядочения примет вид

.

Ранжирование на лингвистической шкале. Пусть для пары альтернатив (,) эксперт способен оценить величину разности . На основании такой оценки пара должна быть отнесена к одному из классов каждый из которых характеризуется определенной степенью различия в полезности и . Например, принадлежность будем соотносить с ситуацией неразличимости по полезности и , когда эксперт не в состоянии отдать предпочтение какой-либо из альтернатив. Следующий класс соответствует уровню малого превосходства над и далее по порядку возрастания силы превосходства.

Для построения структурных матриц на лингвистической шкале также необходимо составить систему неравенств. Для каждой оцениваемой пары, не принадлежащей классу , необходимо записать неравенство вида . Затем следует составить неравенство вида

для каждой пары и . Если пуст, то , где - первый непустой класс перед . Все прочие сочетания пар из различных классов ввиду транзитивности являются следствиями указанных неравенств. Для пар, относящихся к классу (или к первому после ) и сравниваемых с парами из (если он не пуст), записываются по два неравенства вида

Таким образом, использование лингвистической шкалы в МЭЭО эквивалентно применению порядковой шкалы для разностей , относящихся к различным классам. Однако при использовании последней шкалы сужается область значений коэффициентов функции (1) и повышается точность их оценки.

Система (2) соответствует наступлению определенного случайного события, вероятность которого определяется по формуле

где - плотность -мерного нормального распределения вида

.

Тогда результат экспертного ранжирования можно интерпретировать как реализацию дискретной многомерной случайной величины , где -количество экспертов, выбравших -й вариант упорядочения, ; ; ; - число экспертов. В этом случае функция правдоподобия в соответствии с формулой полиномиального распределения будет иметь вид

где - вектор оцениваемых параметров.

Чтобы реализовать ММП, надо дополнить целевую функцию (4) уравнениями, связывающими вектор параметров с коэффициентами ФП, и решить полученную задачу математического программирования.

Описание работы системы поддержки принятия решений. Система поддержки принятия решений (СППР) является диалоговой информационной системой, которая используется для поддержки действий лиц, принимающих решения (ЛПР), в ситуациях выбора, когда невозможно или нежелательно иметь автоматическую систему представления и реализации всего процесса оценки и выбора альтернатив.

Разработанную авторами СППР, согласно классификации [1], можно отнести к типу универсальных систем, т. е. обеспечивающих возможность быстрой настройки на определенную задачу конкретной предметной области. Инициатором диалога в таких системах выступает пользователь, а компьютер - лишь пассивный исполнитель. Система предназначена для коллективного выбора на основе индивидуальных упорядочений.

Программная поддержка принятия решений в многокритериальной задаче оптимизации с учетом индивидуальных предпочтений обеспечивается подсистемами, реализующими выполнение следующих взаимосвязанных этапов:

1. Ввод исходных данных. На данном этапе пользователь формирует множество вариантов и их критериев для той или иной предметной области.

Исходные данные для решения задачи многокритериального выбора представляются в виде таблицы «номер альтернативы - частные критерии». Пользователь формирует исходное множество альтернатив путем ввода численных значений оценок по частным критериям.

На этом этапе пользователь также может удалять или добавлять как конкретные варианты, так и отдельные частные критерии, изменять оценки частных критериев.

Кроме диалогового ввода исходных данных возможен также ввод информации из заранее подготовленного текстового файла.

2. Опрос экспертов. Пользователь в режиме диалога с информационной системой ранжирует альтернативы в соответствии со своими индивидуальными предпочтениями, строятся структурные матрицы упорядочений всех экспертов. Разработанная авторами СППР позволяет эксперту применять произвольную стратегию ранжирования альтернатив.

Эксперту на выбор предлагается две шкалы: порядковая и более сильная (лингвистическая). При ранжировании на порядковой шкале от него требуется упорядочить все альтернативы по убыванию (возрастанию) полезностей. А при работе с лингвистической шкалой эксперт должен лишь указать, к какому классу, по его мнению, относится та или иная пара альтернатив.

Составлением структурных матриц занимается сама программа - на основе полученной информации об индивидуальных упорядочениях всех экспертов.

3. Анализ информации, полученной от экспертов. В общем случае часть неравенств (строк) структурных матриц экспертных упорядочений являются следствием остальных, ввиду чего они могут быть исключены из системы без изменения областей ее решений.

4. Получение результатов решения задачи. На данном этапе на основе информации, полученной на предыдущем этапе, формируется и максимизируется функция правдоподобия. В результате вычисляются оценки коэффициентов функции полезности.

Успех решения этой задачи в первую очередь зависит от удачного выбора процедуры вычисления интегралов (3), в которых область интегрирования в общем случае представляет собой многогранный конус.

Данная задача была решена авторами при помощи универсального метода, который может применяться при любых экспертных упорядочениях. Однако описание этого метода выходит за рамки настоящей статьи.

Численный пример. Рассмотрим работу автоматизированной системы поддержки принятия решений на примере выбора наилучшей структуры линии фотолитографии [5].

Дано исходное множество структурных вариантов линии, состоящее из четырех альтернатив, характеризующихся пятью критериями качества: коэффициентом готовности, удельными приведенными затратами, годовой программой выпуска, стоимостью комплекта оборудования, уровнем межоперационных заделов. Нормированные безразмерные значения этих критериев приведены в таблице. Все указанные критерии необходимо максимизировать.

Таблица Параметры структур

Коллективу экспертов из шести человек было предложено проранжировать имеющийся набор альтернатив.

Первый эксперт упорядочил альтернативы на порядковой шкале следующим образом: . Матрица , отображающая структуру упорядочения первого эксперта, будет иметь вид

.

Второй эксперт упорядочил альтернативы на порядковой шкале так: . Тогда матрица индивидуального упорядочения данного эксперта примет вид

.

Третий эксперт в соответствии со своими индивидуальными предпочтениями проранжировал данные альтернативы следующим образом: . В результате матрица имеет вид

.

Четвертый эксперт указал, что, по его мнению, пары альтернатив и относятся к классу , пара - к классу , а пара - к классу . Следовательно, матрица , отображающая структуру упорядочения второго эксперта, будет иметь вид

.

Пятый эксперт указал, что пара альтернатив относится к классу , пара - к классу , а пары и - к классу . Таким образом, матрица , отображающая упорядочение данного эксперта, примет вид

.

И, наконец, шестой эксперт указал, что, по его мнению, пара альтернатив относится к классу , пара - к классу , а пара - к классу . В результате имеем матрицу вида

.

Автоматизированная система, получив данные об индивидуальных предпочтениях каждого из экспертов, нашла коэффициенты функции полезности, удовлетворяющие условию , и имеющие следующие значения: .

Функции полезности альтернатив имеют следующие значения: .

Таким образом, результирующее упорядочение имеет вид

.

Исходя из значений полезностей альтернатив, можно сделать вывод, что и довольно близки между собой. Действительно, если сравнить численные значения полезностей этих альтернатив, то получим что разница между и , и составляет 3 %, а для и она равна 6 %. Что же касается альтернативы , то, исходя из значения ее функции полезности, можно сделать вывод, что она намного хуже остальных. В этом несложно убедиться, если найти разницу полезностей альтернативы и . В нашем случае она составляет примерно 30 %.

Таким образом, анализируя индивидуальные предпочтения экспертов и полученные результаты, можно заключить, что разработанный алгоритм и созданная на его основе СППР работают корректно.

Список литературы

1. Батищев, Д. И. Многокритериальный выбор с учетом индивидуальных предпочтений / Д.И. Батищев, Д.Е. Шапошников. - Н. Новгород: ИПФ РАН, 1994. - 92 с.

2. Бугаев, Ю. В. Экстраполяция экспертных оценок в оптимизации технологических систем / Ю.В. Бугаев // Изв. АН. Теория и системы управления. - 2003. - № 3. - С. 90 - 96.

3. Десятов, Д. Б. Метод экстраполяции экспертных оценок качества на основе принципа максимального правдоподобия / Д. Б. Десятов, В. В. Сысоев, М. С. Чирко // Надежность и контроль качества. - 1984. - № 12. - С. 12 - 15.

4. Сысоев, В. В. Построение моделей принятия проектных решений по ранее проведенным экспертизам / В. В. Сысоев, М. С. Чирко // Автоматизация проектирования технологии и оборудования электронной промышленности. - Воронеж: ВПИ, 1982. - С. 71 - 74.

5. Сысоев, В. В. Структурные и алгоритмические модели автоматизированного проектирования производства изделий электронной техники / В.В. Сысоев. - Воронеж: Воронеж. технол. ин-т, 1993. - 207 с.

Аннотация

Представлена система поддержки принятия решений, предназначенная для проведения групповой экспертизы при ранжировании альтернатив на порядковой и более сильных шкалах, которая реализует процедуру голосования на основе принципа максимального правдоподобия, являющуюся одним из вариантов метода экстраполяции экспертных оценок.

Ключевые слова: альтернатива, метод экстраполяции экспертных оценок, функция правдоподобия, коллективный выбор.

Размещено на Allbest.ru