Алгоритм решения задачи определения фильтрационно-ёмкостных параметров газоносного пласта методом модулирующих функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алгоритм решения задачи определения фильтрационно-ёмкостных параметров газоносного пласта методом модулирующих функций

М.М. Шумафов, Р. Цей

Введение

Как хорошо известно, одним из эффективных способов изучения математическими методами процессов, протекающих в окружающем нас мире, является моделирование этих процессов в виде дифференциальных уравнений. При этом, как правило, получаемые дифференциальные уравнения содержат коэффициенты, связанные с физическими характеристиками (параметрами) среды, в которой протекают эти процессы.

Подавляющее большинство существующих методов определения этих параметров (и, вообще, параметров систем, описываемых дифференциальными уравнениями) основано на использовании решений уравнений. В частности, это относится и к обратным задачам теории фильтрации.

Однако всем этим методам присущи серьезные недостатки (см., например, [1,2]). К недостаткам следует отнести следующее: низкая точность определяемых параметров, трудности обработки опытных данных, большое количество расчетных схем и формул, сложная структура формул, неохватность расчетными формулами сложных случаев фильтрации. Главный из недостатков - низкая точность определяемых параметров.

Одной из актуальных задач теории фильтрации является задача определения параметров нефтегазоносного пласта по натурным наблюдениям значений давления, насыщенности и др. с помощью контрольных скважин. Задаче определения фильтрационных и емкостных параметров газоносного пласта было посвящено немало работ. Обзор этих работ можно найти в [2].

В настоящей работе приводится общая схема решения задачи определения фильтрационно-ёмкостных параметров газоносного пласта методом модулирующих функций (далее, М-метод).

Идея применения М-метода для решения обратных задач восходит к работам Дж. Лоэба и Г. Кахена (J. Loeb, G. Cahen) [3, 4]. Возможность применения М-метода для решения задач нефтегазовой науки впервые была высказана В.Б. Георгиевским и им были разработаны унифицированные алгоритмы для решения обратных задач подземной гидрогазодинамики [1]. В работах [5,6] сделана программная реализация на основе унифицированных алгоритмов, разработанных в работах В.Б. Георгиевского [см., например, 1]. В работе [7] метод модулирующих функций обобщен на случай любой степени полиномов разложения неизвестных параметров газоносного пласта.

М-метод позволяет определить параметры модели без использования решения краевых задач. Идея М-метода состоит в том, что дифференциальное уравнение умножается на специальные «модулирующие» функции и интегрируется по частям. В результате, происходит «освобождение» от операции дифференцирования решения (исходного дифференциального уравнения) и «переход» этой операции к модулирующим функциям, которые можно выбирать достаточно гладкими. В итоге, исходное дифференциальное уравнение заменяется его интегральным аналогом.

Особо отметим, что в полученных выражениях отсутствуют производные от экспериментальных функций, что позволяет ликвидировать трудности, связанные с непосредственным дифференцированием экспериментальных функций. Эти трудности проистекают из-за того, что операция дифференцирования экспериментальных функций является некорректной.

Алгоритм определения фильтрационно-ёмкостных параметров

Приведем общую схему решения задачи определения фильтрационно-ёмкостных параметров пласта методом модулирующих функций на примере решения обратной задачи для дифференциального уравнения, описывающего процесс неустановившейся фильтрации газа в неоднородной по коллекторским свойствам пористой среде.

Дано дифференциальное уравнение (1), описывающее процесс неустановившейся фильтрации газа в неоднородной по коллекторским свойствам пористой среде (в безразмерном виде) [8]

, (1)

где , , k(x,y) - коэффициент проницаемости, m(x,y) - коэффициент пористости, h(x,y) - эффективная толщина пласта, б(x,y) - коэффициент газонасыщенности, p(x,y,t) - давление в точке пласта (x,y) в момент времени t, м(p) и z(p) - соответственно коэффициенты динамической вязкости и сверхпроницаемости газа при давлении p и пластовой температуре, Q(x,y,t) - объемный расход газа, отнесенный к единице площади пласта в точке пласта (x,y) в момент времени t к pат (атмосферное давление) и Tпл (пластовая температура). Требуется определить коэффициенты A(x,y,p) и B(x,y) - «обобщенные» фильтрационные параметры.

Шаг 1. Разложить искомые функции A(x,y,p) и B(x,y) по формуле Тейлора. Отбросив остаточные члены, получаем следующее приближенное равенство

фильтрация пласт модулирующий функция

Здесь NA и NB - степени аппроксимации параметров A(x,y,p) и B(x,y) многочленами Тейлора. Тогда имеем

Далее следует заменить выражения в квадратных скобках в (1) соответственно их приближенными значениями (3).

Шаг 2. Умножить полученное уравнение (1) на гладкие, непрерывные функции - модулирующие функции ,, (причем и - дважды непрерывно дифференцируемые функции и - непрерывно дифференцируемая функция). Модулирующие функции ,, можно, например, в виде

, ,

, ,

, .

Далее следует проинтегрировать полученные уравнения в соответствующих пределах. Степень точности определения искомых параметров A(x,y,p) и B(x,y) определяется числом членов разложения A(x,y,p) и B(x,y) в степенные ряды. Для увеличения точности определения A(x,y,p) и B(x,y) следует брать многочлены более высокой степени (т.е. увеличить верхние границы аппроксимации NA и NB). Тем самым увеличится и верхнее значение индекса s, нумерующего модулирующие функции ,,. Шаг 3. Применить формулу интегрирования по частям к тем интегралам, в которых присутствуют производные экспериментальной функции p(x,y,t) необходимое число раз, что приведет от дифференцирования экспериментальной функции (которая является некорректной операцией) к дифференцированию гладких модулирующих функций. Имеем:

Шаг 4. Получить систему алгебраических уравнений относительно неизвестных aijk, bmn - коэффициентов разложения A(x,y,p) и B(x,y).

Шаг 5. Вычислить тройные интегралы - коэффициенты системы уравнений (4) сведением их к повторным и применением к последним квадратурных формул (например, Ньютона-Котеса, Гаусса, Монте-Карло, метод сплайнов и др.).

Шаг 6. Решить систему уравнений (4) хорошо известными методами (прямыми методами: Ньютона, исключения Гаусса, или итерационными методами: Якоби, Гаусса-Зейделя и др.).

Шаг 7. Записать найденные значения неизвестных коэффициентов aijk, bmn в разложениях (2) искомых «обобщенных» фильтрационных параметров A(x,y,p) и B(x,y).

Заключение

В статье приведен алгоритм решения задачи определения фильтрационно-ёмкостных параметров пласта методом модулирующих функций на примере решения обратной задачи для дифференциального уравнения, описывающего процесс неустановившейся фильтрации газа в неоднородной по коллекторским свойствам пористой среде.

Следуя данной схеме, можно построить алгоритмы для решения и других обратных коэффициентных задач. Следует напомнить, что при применении М-метода отсутствует принципиальный источник погрешности - использование решений прямых краевых задач. Теоретически, М-метод не имеет погрешности в том смысле, что все используемые в нем преобразования эквивалентны. Источником погрешностей могут служить численные методы решения интегралов, а также аппроксимация экспериментальной функции. Но эти погрешности можно свести к минимуму, повысив точность вычислений с использованием вычислительных мощностей современных ПЭВМ.

Описанный выше алгоритм, основанный на М-методе, эффективен и прост для решения различных прикладных задач.

Литература

1. Георгиевский В.Б. Унифицированные алгоритмы для определения фильтрационных параметров. Справочник. - Киев: Наукова думка, 1971. - 328 с.

2. Мирзаджанзаде А.Х., Хасанов М.М., Бахтизин Р.Н. Моделирование процессов нефтегазодобычи. Нелинейность, неравновесность, неопределенность. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 368 с.

3. Loeb J., Cahen G. Extraction, a partik des enregistrements de mesures, des parametres dynamiques d um system. // Automatisme. - 1963. - № 12. - PP. 17-28.

4. Loeb J., Cahen G. More about process identification. // Trans. on Automatic Control. - 1965. - PP. 359-361.

5. Лукнер Л., Шестаков В.М. Моделирование геофильтрации. - М.: Недра, 1976. - 407 с.

6. Трофимов В.В., Батищева Г.А. Реализация на ЭВМ унифицированных алгоритмов В.Б. Георгиевского. - Об. научн. тр. ЮжНИИгидротех. и мелиор., 1976, вып. 9. - С. 111-114.

7. Юдин А.И., Юдина О.К. Расчет фильтрационно-ёмкостных параметров по промысловым данным эксплуатации газового месторождения // Термодинамика кооперативных процессов в гетерогенных средах. Тюмень, 1985. - С. 80-85.

8. Закиров С.Н., Лапук Б.Б. Проектирование и разработка газовых месторождений. - М.: Недра, 1974. - С. 39.

Размещено на Allbest.ru