Расчет статических неопределённых систем (рам и балок)

18

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Расчет статические неопределённых систем (рам и балок)

Введение

Статически неопределимыми называются такие системы , для которых определение внешних реакций и всех внутренних силовых факторов не может быть произведено при помощи метода сечений и уравнений равновесия.

Для простоты пояснений рассмотрим только те случаи, когда конструкция, и силы, действующие на неё, лежат в одной плоскости.

Существует три типа плоских статически неопределимых систем: стержневые системы c шарнирно связанными элементами; рамы и балки.

Системы первого типа в настоящем пособии не рассматриваются.

Рамой называется кинематически неизменяемая стержневая система, элементы которой жёстко связаны в узлах.

Иногда в конструкцию рамы шарниры, но их введение не нарушает общей кинематической неизменяемости системы.

В рамах статическая неопределимость возникает:

за счёт большого числа внешних связей (реакций опор) (рис. 1а) - внешняя статическая неопределимость;

вследствие особенностей конструкции (наличие замкнутых контуров) (рис. 1б) - внутренняя статическая неопределимость;

при наличии замкнутых контуров и «лишних» ( >3 ) внешних связей (рис. 1в).

Балкой называется брус, работающий преимущественно на изгиб, причем длина его несоизмеримо больше двух других размеров, характеризующих поперечное сечение. У балок статическая неопределимость является следствием постановки дополнительных опор, обеспечивающих большую жёсткость системы. Такие балки принято называть неразрезными (рис.2)

Для рам и балок применим общий порядок раскрытия статической неопределимости.

устанавливают степень статической неопределимости системы (число «лишних», с точки зрения статики, неизвестных).

получают основную и эквивалентную системы.

составляют канонические уравнения метода сил и решают.

проверяют правильность полученного решения .

расчёт по этой схеме носит название «метода сил», поскольку в качестве «лишних» неизвестных выбирают усилия, действующие по направлению отброшенных связей.



1. Степень статической неопределимости системы

1.1 Статическая неопределимость рам

Количество «лишних» связей в рамах определяется по формуле:

К - число замкнутых контуров, каждый из которых имеет три неизвестных внутренних усилия (М - изгибающий момент, Q - поперечную силу, N - продольную силу) (рис. 3) R - число реакций внешних связей, 3 - число линейно независимых уравнений равновесия для плоской системы сил, n - число шарниров, Si - число стержней, сходящихся в одном шарнире.

Рассмотрим статически неопределимую раму, представленную на рис.4. Для неё число замкнутых контуров равно 4 (I;II;III;IV), число внешних связей R=5 (три в за щемлении А и по одной в тягах В и С). Эта рама имеет один шарнир (n=1), соединяющий четыре стержня (S-1)=4-1=3, Л=3 4+(5-3) - 1 (4-1) =11

Таким образом, рама 11 раз статически неопределима.



1.2 Статическая неопределимость балок

Балка замкнутых контуров не имеет и для неё количество лишних неизвестных определяется по упрощённой формуле

S=2

Рассмотрим статически неопределимую балку (рис.5,а)

Число внешних связей для рассматриваемой балки (R) равно 5 (три в опоре А и по одной на опорах В и С). В пролёте ВС имеется шарнир D, снимающий одну связь.

Тогда Л=5-3-1=1

Балка один раз статически неопределима.

Расчётная схема для такой балки представлена на рис. 5,б.

Дадим некоторые пояснения.

Так как изгибающий момент в шарнире равен 0,то через точку D могут передаваться только вертикальные усилия.

Следовательно, балка АС может быть представлена в виде системе, состоящей из двух балок: балки АВ и балки DC, которая в точке D опирается на балку АВ.

опора D балки DС является не подвижной шаровой опорой статически определимой балки DС. Реакции VD, HD и VD могут быть найдены с помощью уравнений статики, причём HD = 0. Балка АВ, являясь один раз статически неопределимой, оказывается, в свою очередь, нагруженной внешними силами и реакцией VD, приложенной в точке D.



2. Основная система; эквивалентная система

Основной системой называется статически определимая система, полученная из заданной путём отбрасывания «лишних» связей.

Эквивалентной называется система, полученная, путём загружения основной системы заданными внешними силами и специально подобранными реакциями отброшенных связей, обеспечивающая такие же перемещения, как и заданной системе. Это достигается за счёт приравнивания к нулю перемещений точек приложения «лишних» связей по направлениям этих связей. ; (P1 ; P2 ; ... X1 ; X2 ; ...) = 0 , т.е. перемещение точки наложения первой связи по направлению этой связи от действия внешних сил P1 ; P2 ;) и реакций «лишних» связей X1 ; X2 ; ...) отсутствует.

Число таких уравнений равно числу таких отброшенных «лишних» связей.

2.1 Основная и эквивалентная система для рам

При выборе основной системы для рам необходимо помнить, что статическая определимость является необходимым, но недостаточным признаком правильно выбранной основной системы.



Рама, представленная на рис. 6,а, является 6 раз статически неопределимой.

Для неё можно предложить множество вариантов систем, некоторые из них представлены на рис. 6,б, в, г.



Основная система выбрана правильно, если она обеспечивает кинематическую неизменяемость вновь полученной рамы и не включает в себя дополнительных связей, отсутствующих в заданной системе. Необходимо отметить, что недопустимо также и использование мгновенно кинематически изменяемых систем, подобно представленной на рис.7.

Связи, наложенные на систему допускают поворот рамы относительно точки А на малый угол. При этом реакция в опоре В достигает бесконечности. Для рассматриваемой рамы и предложенных основных систем (рис.6) эквивалентные системы будут выглядеть следующим образом (рис.8).



Наиболее рациональным будет вариант «в» (рис.3), при котором часть неизвестных окажутся равными нулю. Более подробно об этом будет сказано при разборе примеров.

2.2 Основная и эквивалентная системы для балок

При выборе основной системы для балок возможны два подхода. В одних случаях за «лишние» неизвестные целесообразно принимать вертикальные составляющие опорных реакций (рис.9,а). Тогда основной системой будет статически определимая балка значительной длины (рис.9,б), а эквивалентной - эта же балка, нагруженная внешними силами и специально подобранными усилиями X , обеспечивающими отсутствие вертикальных смещений на опорах В и С (рис.9,в).

В других случаях в качестве «лишних» неизвестных целесообразно взять надопорные изгибающие моменты (рис.10).



В этом случае основной системой будет ряд последовательно стоящих статически определимых балок, а эквивалентной - эти же балки нагруженные внешними нагрузками и надопорными моментами, выполняющими функции неизвестных усилий. Величина моментов должна быть подобрана так, чтобы не было разрыва сплошности балки и углы поворота концевых сечений одной балки относительно другой отсутствовали.

статический рама балка сопротивление



3. Составление канонических уравнений метода сил и их решение

3.1 Основные положения сопротивления материалов, используемые при расчёте рам и балок

Принцип неизменяемости начальных размеров.

Рассматриваемые конструкции рам и балок являются достаточно жёсткими, а материал, из которого они изготовлены, достаточно упругим. Нагрузки, действующие на конструкцию, не вызывают в её элементах пластических деформаций. Все деформации происходят в пределах упругости, перемещения (как линейные, так и угловые) настолько малы, что форма и размеры конструкции практически не изменяются. Это позволяет использовать для расчётов постоянную схему, сохраняющую свою первоначальную форму и размеры. Такой подход открывает широкие возможности для применения принципа независимости действия сил.

Принцип независимости и сложения действия сил.



Так как конструкция работает в пределах упругости, то конечный результат силового воздействия не зависит от порядка приложения сил.

Применительно к случаю статически неопределимых рам и балок это означает следующее: если на раму (балка) действует группа внешних сил, то внутренние усилия, в интересующем сечении, или смещения, в интересующем направлении, могут быть вычеслины от каждой силы отдельно, а результаты просуммированы.

Так, например, при определении суммарного изгибающего момента в сечении балки (рис.11, а) можно построить отдельно эпюры от «m» и «P», а результаты сложить (рис.11, б). В случае необходимости можно поступить и наоборот: «расслоить» сложную эпюру (на участке ВС) на более простые (рис.11, в).

Всякая внешняя нагрузка может быть представлена в виде произведения I*P или I*m, где I имеет точку приложения и направление действия, а сомножитель Р определяет абсолютное значение силы (или момента). Аналогично может быть представлено любое известное или неизвестное усилие Х, т.е. Х=1*Х . Приём расслоения эпюр используется и при определении перемещений, возникающих вследствие действия внешних сил. Перемещения принято обозначать ?ik?и??ik, где первый индекс (i) обозначает точку и направление перемещения, а второй (k) указывает на силу, послужившую причиной перемещения. Так для схемы нагружения, представленной на рис.11, перемещение в точке А по направлению силы «Р» будем считать первым направлением, а саму силу Р - первой силой; момент «m», приложенный в точке В - второй силой.

Тогда перемещение (прогиб) в точке А будет:

Соответственно, угол поворота сечения в точке В будет равен:

Взаимность перемещений.

Перемещение точки приложения первой силы по направлению первой силы, вызванное второй силой, равно перемещению точки приложения второй силой, если силы между собой равны, т.е.

Так, в рассмотренном выше примере,

, а

Таким образом, если найден коэффициент, то нет обходимости вычислять коэффициент, и при решении задач можно сократить объём вычислений.

3.2 Канонические уравнения метода сил

Используя всё выше изложенное, можно приступить к составлению уравнений, описывающих особенности работы статически неопределимых рам и балок.

Статически неопределимые рамы.

Подробный разбор раскрытия статической неопределимости у рам.

На рис. 12,а изображена плоская статически неопределимая рама с защемлёнными концами.

Эта рама трижды статически неопределима. Наиболее рациональным вариантом эквивалентной системы будет вариант, приведенный на рис. 12,б. Заданная конструкция рамы предполагает, что перемещения в точке В (защемлены) по всем трём направлениям (1,2,3) отсутствуют, т.е.

В развёрнутом виде это может быть записано следующим образом:

Полученная система уравнений носит название системы канонических уравнений метода сил. Для её решения необходимо построить эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (грузовая эпюра) (рис. 12,в) и единичных усилий (Х1=1; Х2=1; Х3=1;) (рис. 12,г) и пользуясь методом Мора вычислить коэффициенты канонических уравнений (если возможно воспользоваться способом Верещагина)



В рассматриваемом примере:



При определении коэффициентов необходимо помнить следующее:

Коэффициенты, имеющие двойные одинаковые индексы, называются главными. Они вычисляются умножением эпюр от единичных нагрузок самих на себя. Эти коэффициенты всегда положительны.

Коэффициенты имеющие разные индексы, называются побочными. Они вычисляются умножением эпюр от разных единичных сил друг на друга и могут быть положительными, отрицательными, нулевыми. Коэффициенты: и т.д. - попарно равны между собой (на основании теоремы о взаимности перемещений).

Грузовые коэффициенты вычисляются умножением грузовой эпюры соответствующую единичную. При вычислении грузовых коэффициентов площади всегда берутся с криволинейной эпюры, а ордината под её центром тяжести - с линейной. Эти коэффициенты могут быть: положительными, отрицательными, нулевыми.

Найденные значения коэффициентов необходимо подставить в систему уравнений и решить последнюю.

Задача считается решённой, если найдены значения всех неизвестных и построена суммарная эпюра изгибающих моментов. построение суммарной эпюры может быть выполнено двумя способами.

При первом способе построения основную систему нагружают внешними нагрузками и найденными значениями неизвестных усилий (рис. 12,д). Если в результате решения системы уравнений, оказалось, что какое-то из неизвестных имеет знак минус (в нашем случае Х2= -3р/64), то при нагружении этим усилием основной системы необходимо изменить его направление на противоположенное. Дальнейшее построение эпюры изгибающих моментов выполняется по общим правилам, т.е. для каждого участка рамы записываются уравнения изгибающих моментов и производятся соответствующие подсчёты.

Рама, представленная на рис. 12,д имеет три участка, для которых могут быть записаны следующие уравнения:

участок (ВС):

2. участок (СD):

3. участок (DА):

Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 12,е.

При другом способе построения, эпюра М? , построенных от действительных значений Х1;Х2 и т.д., найденных при решении системы уравнений, и грузовой эпюры. В нашем случае: эпюры от Х1;Х2;Х3; (рис. 12,ж) и эпюры от внешних нагрузок (рис. 12,в).

Суммирование производится по точкам. Точка В



Точка С

Точка D

Точка A

Найденные значения соответствуют вычисленным ранее при построении суммарной эпюры первым способом (рис. 12, е).

Проверка правильности полученного решения.

Известно, что перемещение по напровлению действия связи должно отсутствовать. Это условие и используется при проверке.

Для исследуемой рамы выбирают новую основную систему (рис. 13,а) и нагружают её единичной нагрузкой, действующей по направлению одной из отброшенных связей (рис. 13,б). От действия этой нагрузки строят единичную эпюру (рис. 13,в). Эту эпюру по правилу Верещагина перемножают с эпюрой М (рис. 12,е); результат перемножения должен дать 0. В ряде случаев непосредственное вычисление площадей элементов суммарной эпюры и определение их центров тяжести бывает затруднительно.

Поэтому перемножение суммарной эпюры на единичную можно заменить перемножением составляющих суммарной эпюры (рис. 12,в,ж) на единичную (рис. 13,в) с последующим суммированием результатов.

Угол поворота сечения в точке А (рис. 12) оказался равным нулю, что соответствует действительности, т.к. углы поворота защемлениях отсутствуют.

Пример расчёта статически неопределимых рам.

Пример I. Для рамы, изображённой на фиг. 14,а требуется раскрыть статическую неопределимость и построить суммарную эпюру изгибающих моментов. Моменты инерции стоек рамы и её горизонтального элемента (ригеля) различны и показаны на чертеже. Число неизвестных опорных реакций, рассматриваемой рамы, равно пяти, так что две из них являются «лишними». Основная и эквивалентная системы, а так же эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от лишних неизвестных Х1 и Х2 = 1 показаны на фиг. 14,б, в, г, д, е. Канонические уравнения метода сил имеют вид:

Коэффициенты этих уравнений вычислим по формуле Верещагина:

Подставим найденные значения коэффициентов в систему канонических уравнений и решим последнюю.

Если принять:

После этого одним из выше указанных методов строим суммарную эпюру изгибающих моментов (фиг. 15).

Пример II. Для рамы изображённой на фиг.16,а, требуется раскрыть статическую неопределимость и построить суммарную эпюру изгибающих моментов.



Число неизвестных опорных реакций рассматриваемой рамы равно четырём, так что одна из них является лишней.

Основная и эквивалентная системы, эпюры от заданных нагрузок и эпюра от Х1 =1 показаны на фиг.16,б,в,г,д,е.

Каноническое уравнение метода сил имеет вид:

Коэффициенты будем определять по правилу Верещагина.



Подставим найденые коэффициенты в каноническое уравнение получим:

Строим сумарную эпюру изгибающих моментов (фиг. 17,а,б)

Пример 3. Дана статически неопределимая рама симметричной конструкции с симметричным нагружением (рис.18,а).

Необходимо построить суммарную эпюру изгибающих моментов проверить правельность решения.

Эта рама три раза статически неопределима.

В качестве лишних неизвестных выступают внутренние силовые факторы на оси симмтрии (рис.18,б и рис.18,в):

изгибающий момент X1,

пордольная сила X2,

поперечная сила X3.

Относительно оси симметрии X1 и Х2 являются симметричными нагрузками; Х 3 - кососимметричной нагрузкой.

Составим систему канонических уравнений

и построим соответствующие эпюры изгибающих моментов отединичных сил (рис.18, г) и внешних нагрузок (рис.18, д).

При подсчётах получается, что .

Тогда:



Таким образом, за счёт рационального выбора основной системы, система канонических уравнений значительно упростилась. Это позваляет сформулировать следующие правило: если система симметрична и для её расчёта выбрана симметричная основная система, то при действии симметричной нагрузки кососимметричные неизвестные обращаются в нуль.



Перестраиваем эпюры от Х1 и Х2 (рис.18, е) и строим суммарную эпюру (рис.18,ж).

Проверяем правильность полученного решения.

Если задача решена верно, то угол поворота на опоре В должен отсутствовать.

Выбераем новую основную систему для чего отбрасываем на опоре В три «лишних» связи: горизонтальную и вертикальную составляющие реакции и реактивный момент (рис.18, з). Заменяем действие одной из отброшенных связей (в нашем примере - момента) единичной нагрузкой (рис.18, и) и стороим эпюру изгибающих моментов от действия этой нагрузки (рис.18, к).

Определяем угол поворота на опоре В

следовательно задача решена верно.

Пример 4.

Дана статически неопределимая рама симетричной конструкции с кососимметричным нагружением (рис.19, а). Построить суммарную эпюру изгибающих моментов.

Эта рама, как и в предыдущем случае, три раза статически неопределима, т. е. Для решения задачи необходимо записать систему из трёх уравнений с тремя неизвестными. (См. Предыдущий пример).

Коэффициенты при неизвестных в этих уравнениях определяются по общему правилу. Эпюры изгибающих моментов от сил Х1 = 1; Х2=1; Х3=1 такие же, как в примере 3 (рис.18, г), а грузовая эпюра представлена на рис. 19, д.

При определение коэффициентов получается, что

Тогда система канонических уравнений примет вид:



Первые два уравнения имеют только нулевое решение:

Х1=0 и Х2=0; таким образом, остаётся одно уравнение с одним неизвестным:

Итак, если система симметрична и для её расчёт выбрана симмтричная основная симметричные неизвестные обращаются в нуль.

Строим суммарную эпюру изгибающих моментов (рис. 19, е).

Пример 5.

Дана статически неопределимая рама симметричной конструкции с произвольными нагружением (рис. 20, а).

Построить эпюру изгибающих моментов, возникабщих в элементах рамы.

Эта рама трижды статически неопределима. Данная задача имеет два варианта решения. По первому варианту исходная задача может быть разбита на две более простых (рис. 20, б), решения которых будут анфлогичны приведённым в предыдущих примерах (3 и 4). Схема решения по второму варианту приведена на рис. 20,в,г.

В этом случае система трёх уравнений с тремя неизвестными имеет ряд нулевых коэффициентов и значительно упрощается:



Решая систему уравнений получаем:

Проверка подтверждает правильность полученного решения.

Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 20, д.



Статически неопределимые балки.

1. Метод сил.

На рис. 21,а изображена балка один раз статическм неопределимая. Для этой балки за «лишнее» неизвестное удобнее всего принять реакцию, которая возникает на опоре В при действии внешней нагрузки Р.

Тогда основная система (см. Раздел 2.2) принимает вид консольной балки (рис. 21, б), а эквивалентная - этой же балки нагруженной внешним усилием Р и неизвестной опорой Х1 (рис. 21, в). Система, представленная на рис. 21, в будет эквивалентна заданой, если сила Х1 будет подобрана так, что вертикальное перемещение на опоре В будет отсутствовать. Это условие может быть записано в виде канонического уравнения метода сил:

Как и в предыдущих примерах, коэффициенты канонического уравнения определяем по способу Верещагина, построив предварительно эпюру изгибающих моментов от внешней нагрузки (рис. 21, г) и Х1=1 (рис. 21, д)

По одному из рассмотренных ранее (стр. 13) способов, строим суммарную эпюру изгибающих моментов (суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 21, е).

Проверка правельности решения.



Известно, что угол поворота сечения в заделке равен 0. Определим этот угол поворота в сечении А балки АВ изображённой на рис. 21. Для этого выберем новую основную систему и нагрузим её единичным усилием, действубщим по направлению отброшенной связи (рис. 22, а).

Эпюра изгибающих моментов от этого усилия представлена на рис. 22, б. Перемножим по правилу верещагина эпюры, представленные на рис. 21, е и 22, б. Использовав расслоение:

площади элементов расслоений эпюры. уС1; уС2; уС3 - ординаты взятые под центрами тяжести этих площадей.



Угол поворота в заделке равен 0 - задача решена верно.

Примера расчёта статически неопределимых балок.

Пример 1.

Дана один раз статически неопределимая балка (рис. 23, а). Необходимо раскрыть статическую неопределимость эпюру изгибающих моментов.

Считаем среднюю опору «лишней» и заменяем её действие силой Х1.

Система, эквивалентная заданной, представленной на рис. 23,б. Составим каноническое уравнение метода сил, смысл которого сводится к следующему: вертикальное перемещение в точке В эквивалентной системы от совместного действия сил Р и Х должно быть равно нулю, т. к. В исходной схеме вертикальное перемещение на опоре В отсутствует.



Строим эпюры изгибающих моментов от сил Р (рис. 23, в) и силы = 1 (рис.23,г); определяем коэффициенты канонического уравнения.

Строим суммарную эпюру изгибающих моментов.

В силу симметрии

RA=RC=

I. участок:

0 < Z1 <

участок:

(т.к. балка симметрична, то два других участка не рассматриваются).

Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 23, д.

Пример 2.

Дана один раз статически не определимая балка (рис. 24, а). Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов, если жёсткость балки EJx= Const.

Считаем правую опору «лишней» и заменяем её действие силой Х1. Система, эквивалентная заданной, представлена на рис. 24, б.

Составим каноническое уравнение метода сил.

Строим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки и силы =1 (рис. 24,в); определяем коэффициенты канонического уравнения.



Строим суммарную эпюру поперечных сил и изгибающих моментов (используем схему Рис. 24, г.).

Строим эпюру поперечных сил (рис. 24, д)

участок:

0 < Z1 < 2l

участок:

0 < Z2 < l

Строим эпюру изгибающих моментов участок:

участок:



Определяем Mmax: Mzi=Mmax, если Qzi=0, т. к. Q =

4. Частный случай метода сил - уравнение трёх моментов.

Как уже говорилось ранее (стр. 6), при выборе основной системы для балки за «лишние» неизвестные можно принять не только реакции «лишних» опор, но и надопорные изгибающие моменты (рис. 10).

Рассмотрим многопролётную статически неопределимую балку рис. 25, имеющую К опор.

Для упращения анализа считаем жёсткость по всей длине балки постоянной EJx= Const.

Чтобы построить суммарную эпюру изгибающих моментов, необходимо раскрыть статическую неопределимость. В качестве «лишних» неизвестных принимаем надопорные моменты. Тогда основной системой будет ряд самрстаятельных статически определимых балок, нагруженных внешними нагрузками и неизвестными надопорными моментами.

Рассмотрим перемещение на опоре n. Им будет угол поворота надопорного сечения. Угол поворота сечения над опорой n балки длиной ln относительно сечения над опорой n балки длиной ln+1 должен отсутствовать, т. е. равен нулю.

В противном случае нарушается условие неразрывности, т. к. Конец одного пролёта является началом следующего пролёта.

Каноническое уравнение для опоры может быть записано в следующем виде:

Определим коэффициенты этого уравнения, для чего строим эпюры изгибающих моментов от внешних нагрузок и моментов М1, М2,……,Мк, равна 1.

Из анализа эти эпюру (рис. 25) следует, что все единичные коэффициенты от: n,1 до n,n-2 и от n,n+2 до n,k - равны нулю; грузовой коэффициент будет состоять только из двух слагаемых: 'n,p на участке ln и ''n,p на участке ln+1 - остальные обращаются в 0. (n,p='n,p+''n,p).

Таким образом, вид канонического уравнения значительно упрощается:

По общему правилу определяем коэффициенты полученного уравнения:

- реакции на опорах (n-1) и (n+1) от момента Мn=1

n - горизонтальная проекция отрезка, соединяющего правую опору пролёта ln с центром тяжести грузовой эпюры в этом пролёте,

bn+1 - горизонтальная поекция отрезка, соединяющего правую опору пролёта ln+1 с центром тяжести грузовой эпюры в этом пролёте.

Выполнив все подстановки получаем:

В уравнение входят три момента на трёх соседних опорах, поэтому оно носит название «уравнение трёх моментов».

5. Примеры решения задач с помощь уравнения трёх моментов.

Для балки, изображённой на рис. 26, а построить эпюру изгибающих моментов. При решении задачи придерживаемся следующего порядка:

Устанавливаем степень статической неопределимости; заданная система один раз статически неопределима.

Получаем основную, а затем эквивалентную системы (рис. 26,б). Для этого врезаем над опорами шарниры и прикладываем в них моменты.

Строим эпюры изгибающих моментов от внешних нагрузок, действующих в пролётах (рис. 26, в).

Записываем уравнение 3-х моментов применительно к рассматриваемой задаче.

Анализируем уравнение и решение его.



Опоры А и С являются концевыми шарнирными опорами. Изгибающий момент (внутренний силовой фактор) над такими опорами равен нулю, если нет внешних нагрузочных моментов.

Следовательно:

МА=МС=0



Согласно общим положениям правила Верещагина

т. е.

т. к. на втором пролёте нетт внешних нагрузок. Окачательно уравнение примет вид:

Построение суммарной эпюры изгибающих моментов.

Суммарная эпюра изгибающих моментов может быть построена двумя способами: графическим суммированием, непосредственным построением. Использование графического суммирования более удобно, если грузовые эпюры линейны (как в нашем случае).

Порядок построения в этом случае следующий.

Сначала строим эпюры изгибающих моментов от найденного значения МВ на эпюру изгибающих моментов от внешних нагрузок (рис. 26, д). Перестраеваем -получаем окончательную суммарную эпюру (рис. 26, е).

При втором способе иостроения рассматриваются две самостаятельные балки АВ и ВС. Балка АВ нагружена внешней нагрузкой и момент МВ=. От их действия вычисляются опрные реакции и по общему правилу строится эпюра изгибающих моментов (см. Рис. 26, ж). Аналогично решается балка ВС.

Пример 2.

Раскрыть статическую неопределимость. Построить суммарную эпюруизгибающих моментов (рис. 27, а).

Для решения задачи вводим фиктивный пролёт СА и далее поступаем по общему правилу: врезаем над опорами шарниры, прикладываем в них моменты и нагружаем балки внешними нагрузками (рис. 27,б).

Записываем уравнение трёх моментов:

Опора С является фиктивной опорой, поэтому момент на ней равен нулю: Mc=0

Пролёт СА является фиктивным пролётом в реальной балке он отсутствует, поэтому lCA=lф=0.

Опора В разделяет пролёт lAB и консоль.

Момент возникающий над опорой, создаётся нагрузкой действующей на консоли.

Таким оброзом

Т. к. пролёт СА является фиктивным, то и выражение для него отсутствует, т. е.

=0

для определения величены строим эпюру изгибающих моментов от действия силы Р в пролёте АВ (рис. 27, в)



Окончательно получаем:



Суммарную эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (МР), нагрузки на консоли (МВ) и моментов в заделке (МА), получаем суммарную эпюру изгибающих моментов (рис. 27, г).

6. Использование свойств симметрии и косой симметрии при расчёте статически неопределимых балок.

Балка АВ, представлена на рис. 28, является симметричной как по конструкции, так и по нагружению. Она дважды статически неопределима, т. к. горизонтальные составляющие опрных реакций на опорах А и В равны нулю.

Решение задачи значительно упрощается, если использовать свойство симметрии.

Разрежим балку по оси симметрии и в месте разреза приложим внутренние силовые факторы Mx=X1 и Qy=X2 (N=X3, как уже говорилось ранее, равно 0)(рис.28,а).

Поперечная сила Qy(или Х2)согласно свойству симметрии, равна нулю.

Таким образом единственным неизвестным является изгибающий момен Мх=Х1. Далее решаем задачу по общему правилу (рис. 28, б).



Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 28, в.

Балка АВ, представленная на рис. 29, симметрична по конструкции, но кососеметрична по нагрузкам.

Она дважды статически неопределимая, т. к. горизонтальные составляющие опорных реакций равны нулю.

Для упрощения решения используем свойство косой симметрии. Разрежем балку по оси симметрии и в месте разреза приложим неизвестные усилия Х1; Х2; Х3;

Х3=0 (из условия)

Х2=0 (из свойства косой симметрии.)

Таким образом единственным неизвестным будет поперечная сила Х2 (рис.29,б).

Далее решаем задачу по общему правилу:

Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис,29,в.



Литература

1.Богодухов С.И. Курс материаловедения в вопросах и ответах: Учеб. пособие для ВУЗов, обуч. по направлению подгот. бакалавров «Технология, оборуд. и автомат. машиностр. пр-в» и спец. «Технология машиностроения», «Металлорежущие станки и инструменты» и др. / С.И. Богодухов, В.Ф. Гребенюк, А.В. Синюхин. - М.: Машиностроение, 2003. - 255с.: ил.

2.Дриц М.Е., Москалев М.А. Технология конструкционных материалов и материаловедение: Учеб. для студентов немашиностроительных спец. ВУЗов. - М.: Высшая школа, 1990. - 446с., ил.

3.Колесов С.Н. Материаловедение и технология конструкционных материалов: Учебник для студентов электротехнических и электромеханических спец. ВУЗов / С.Н. Колесов, И.С. Колесов. - М. Высшая школа, 2004. - 518с.: ил.

4.Лахтин Ю.М., Леонтьева В.Н. Материаловедение. Учебник для ВУЗов технич. спец. - 3-е изд. - М. Машиностроение, 1990. - 528с.

5.Материаловедение и технология конструкционных материалов. Учебник для ВУЗов / Ю.П. Солнцев, В.А. Веселов, В.П. Демьянцевич, А.В. Кузин, Д.И. Чашников. - 2-е изд., перер., доп. - М. МИСИС, 1996. - 576с.

6.Материаловедение и технология металлов: Учебник для ВУЗов по машиностроительным специальностям / Г.П. Фетисов, М.Г. Карпман, В.М. Матюнин и др. - М.: Высшая школа, 2000. - 637с.: ил.

7.Материаловедение. Технология конструкционных материалов: учебное пособие для студентов ВУЗов, обуч. по напр. «Электротехника, электромеханика и электротехнологии» / А.В. Шишкин и др.; под ред. В.С. Чередниченко. - 3-е изд., стер. - М.: ОМЕГА-Л, 2007. - 751с.: ил.(Высшее техническое образование).- (Учебное пособие)

8.Материаловедение: Учебник для ВУЗов, обучающих по направлению подготовки и специализации в области техники и технологии / Б.Н. Арзамасов, В.И. Макарова, Г.Г. Мухин и др. - 5-е изд., стереотип. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 646с.: ил.

9.Тарасов В.Л. Технология конструкционных материалов: Учеб. для ВУЗов по спец. «Технология деревообработки» / Моск. гос. ун-т леса. - М.: Изд-во Моск. гос. ун-т леса, 1996. - 326с.: ил.

10.Технология конструкционных материалов. Учебник для студентов машиностроительных специальностей ВУЗов в 4 ч. Под ред. Д.М. Соколова, С.А. Васина, Г.Г Дубенского. - Тула. Изд-во ТулГУ. - 2007.

11.Технология конструкционных материалов: Учебник для студентов машиностроительных ВУЗов / А.М. Дальский, Т.М. Барсукова, Л.Н. Бухаркин и др.; Под общ. ред. А.М. Дальского. - 5-е изд., испр. - М. Машиностроение, 2003. - 511с.: ил.

Размещено на Allbest.ru

...