Математическое моделирование и анализ объектов в САПР

Особенности математических моделей на различных иерархических уровнях описания объектов. Показатели эффективности и требования к моделям, методам и алгоритмам анализа в САПР. Понятие об областях адекватности моделей. Классификация математических моделей по степеням детальности отображения свойств объекта, по характеру отображения свойств, по методам получения. Виды математических моделей. Методика получения моделей, применение методов планирования экспериментов и регрессионного анализа.

Численные методы анализа объектов. Численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Явные и неявные методы. Устойчивость вычислений и области предпочтительного применения методов. Пути повышения эффективности методов анализа.

Моделирование логических и функциональных схем дискретных устройств. Синхронное и асинхронное моделирование. Методы решения логических уравнений. Представление сложных и информационных систем в виде систем массового обслуживания. Организация событийного моделирования. Применение методов имитационного моделирования для анализа функционирования САПР.

Математические модели на микро-, макро - и метауровнях

Описания технических объектов должны быть по сложности согласованы с возможностями восприятия человеком и с возможностями ЭВМ оперировать описаниями моделей в процессе их преобразования при проектировании. Однако выполнить это требование в рамках некоторого единого описания, не расчленяя его на отдельные составные части, удается лишь для простых изделий. Как правило, требуется структурирование описаний и соответствующее расчленение представлений о проектируемых объектах на иерархические уровни и аспекты. Это позволяет распределять работы по проектированию сложных объектов между подразделениями проектной организации, что способствует эффективности и производительности труда проектировщиков ссылка на источники литературы.

Использование принципов блочно-иерархического подхода к проектированию структур математических моделей проектируемых объектов позволяет формализовать процесс их написания. Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Однако иерархические уровни большинства предметных областей можно отнести к одному из трех обобщенных уровней, называемых далее микро-, макро - и метауровнями ссылка на источники литературы.

В зависимости от места в иерархии описания математические модели делятся на ММ, относящиеся к микро-, макро - и метауровням.

Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывном пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне - дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрические потенциалы и напряжения, давления и температуры и т.п. Возможности применения ММ в ДУЧП ограничены отдельными деталями, попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости в механических системах, напряжения и токи в электрических системах, давления и расходы жидкостей и газов в гидравлических и пневматических системах и т.п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10000, то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям на метауровне ссылка на источники литературы.

На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне по-прежнему представляются системами ОДУ. Однако так как в моделях не описываются внутренние фазовые переменные элементы, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов, укрупненное представление элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для существенно более сложных объектов, чем размерность ММ на макроуровне.

В ряде предметных областей удается использовать специфические особенности функционирования объектов для упрощения ММ. Примером являются электронные устройства цифровой автоматики, в которых возможно применять дискретное представление таких фазовых переменных, как напряжения и токи. В результате ММ становится системой логических уравнений, описывающих процессы преобразования сигналов. Такие логические модели существенно более экономичны, чем модели электрические, описывающие изменения напряжений и токов как непрерывных функций времени ссылка на источники литературы.

Применение тензорных представлений об объектах проектирования дает возможность использовать для получения ММ сложных технических систем методы диакоптики.

Исследование сложных систем по частям реализуется в диакоптических методах исследования. Отличие диакоптического подхода проектирования от блочно-иерархического заключается в том, что диакоптика основана на использовании структурных особенностей анализируемых схем и выражающих их матриц, а не на принятии каких-либо упрощающих допущений. В диакоптических методах производится расчленение математических моделей на части, исследуемые самостоятельно ссылка на источники литературы.

Расчленение математических моделей на части позволяет упорядочить и минимизировать количество обменов информацией между оперативной и внешней памятью при анализе сложных систем, а также выбирать для исследования каждой части наиболее выгодные режимы анализа. Эти обстоятельства делают диакоптические методы экономичными по затратам машинных времени и оперативной памяти ссылка на источники литературы.

Макромоделирование лежит в основе направления, связанного с рациональным выбором математических моделей элементов при построении математической модели системы. Макромоделирование реализует возможность использования при анализе одного и того же объекта нескольких моделей, различающихся сложностью, точностью и полнотой отображения свойств объекта, трудоемкостью требующихся вычислений и т.п.

При макромоделировании должны выполняться условия:

адекватности модели (выполнение данного условия требует от инженера учета целей решения каждой конкретной задачи и степени влияния параметров выделяемых элементов на результаты решения этой задачи);

большей экономичности создания макромоделей элементов и их дальнейшего использования по сравнению с решением задачи на основе полной математической модели (обычно это условие выполняется при использовании макромоделей для элементов типовых или, по крайней мере, часто встречающихся в данной системе).

Событийность анализа заключается в том, что при имитации процессов, протекающих в исследуемом объекте, в каждый момент модельного времени вычисления проводятся только для небольшой части математической модели объекта. Эта часть включает в себя те элементы, состояние которых на очередном временном шаге может измениться. Использование принципа событийности существенно повышает экономичность анализа на функционально-логическом и системном уровнях проектирования.

Рациональное использования эвристических способностей человека в интерактивных процедурах позволяет инженеру вмешиваться в ход вычислений и выбирать наиболее перспективные продолжения на основе эвристических оценок. Это выгодно во всех тех проектных процедурах, в которых следование только формальным критериям выбора дальнейших действий связано с чрезмерными затратами машинного времени. При исследовании сложных элементов и устройств автоматизации часто используют методы многовариантного анализа и теорию чувствительности.

Основными видами многовариантного анализа в задачах проектирования являются анализы чувствительности и статистический.

Цель анализа чувствительности - определение коэффициентов чувствительности, называемых также коэффициентами влияния:

aji = дYi/дxi; bji = ajixi_ном/Yi_ном

где a_ji и bji - абсолютный и относительный коэффициенты чувствительности выходного параметра yj к изменениям внутреннего параметра Xi; yi_ном и xi_ном - номинальные значения параметров yj и Xi. Результаты анализа чувствительности m выходных параметров к изменениям n внутренних параметров представляют собой mn коэффициентов чувствительности, составляющих матрицу абсолютной или относительной чувствительности ссылка на источники литературы.

Анализ чувствительности применяется, если параметры Х и Q можно считать непрерывными величинами, а параметры yj являются дифференцируемыми функциями своих аргументов Xi и qk_ном.

система автоматизированное проектирование модель

Результаты анализа чувствительности используются при решении таких важных задач, как параметрическая оптимизация, расчет допусков, оценка точности выходных параметров. Именно по значениям коэффициентов чувствительности разработчик отделяет существенно влияющие параметры от мало влияющих, определяет направления изменений внутренних параметров для улучшения выходных параметров, оценивает допустимые отклонения параметров Х и Q для выполнения точностных требований к параметрам Y ссылка на источники литературы.

В ряде случаев для получения результатов математических экспериментов используют метод приращений. Это основной метод анализа чувствительности в инвариантном МО САПР.

Метод приращений - есть метод численного дифференцирования зависимости

Y = F (X, Q).

Алгоритм метода приращений включает в себя (n + 1) - кратное обращение к модели для вычисления Y, где n - количество варьируемых параметров, т.е. таких параметров (или qk), влияние которых на Y исследуется. В первом варианте задаются номинальные значения аргументов и, следовательно, результатом обращения к модели будет номинальное значение Yном = (Y1ном,Y2ном,., Ymном) вектора Y. В очередном (i + 1) - м варианте среди оставшихся n вариантов задается отклонение. xi от номинального значения только по одному из варьируемых параметров. В результате выполнения (i + +1) - го варианта получают для вектора Y значение Yi = (y1i, y2i,., ymi), по которому оценивается очередной i-й столбец матрицы абсолютной чувствительности Ai = (Yi - Yном) /. xi. Любой из найденных коэффициентов aji легко пересчитать в коэффициент bji в соответствии с данными работы ссылка на источники литературы.

Основное достоинство метода приращений - его универсальность: метод применим к любым непрерывным математическим моделям.

Однако у метода приращений имеются и существенные недостатки: невысокая точность, что характерно для операций численного дифференцирования; сравнительно большая трудоемкость вычислений. Трудоемкость вычислений оценивается количеством обращений к модели, так как объем вычислений в алгоритмических моделях обычно велик и заметно превышает трудоемкость выполнения процедур по обработке результатов обращений к моделям. В методе приращений требуется n + 1 вариант обращения к модели ссылка на источники литературы.

Прямой и вариационный методы.

Эти методы анализа чувствительности менее универсальны, чем метод приращений, но позволяют повысить точность или снизить затраты машинного времени. Они основаны на интегрировании специальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, относятся к специальному ма тематическому обеспечению и применяются в подсистеме схемотехнического проектирования.

Регрессионный метод.

В регрессионном методе анализа чувствительности коэффициенты чувствительности отождествляются с коэффициентами регрессии, рассчитываемыми в процессе статистического анализа по методу Монте-Карло. Этот метод требует выполнения очень большого объема вычислений; его применение выгодно, если в каком-либо маршруте проектирования нужно решать задачи как статистического анализа, так и анализа чувствительности. Тогда затраты времени, дополнительные к затратам на статистический анализ, будут пренебрежимо малы.

Статистический анализ

Цель статистического анализа - получение оценок рассеяния выходных параметров Y и вероятностей выполнения заданных условий работоспособности для проектируемого объекта. В случае объектов типа систем массового обслуживания сами выходные параметры имеют вероятностный смысл, тогда цель статистического анализа - расчет таких параметров. Причинами рассеяния выходных параметров Y являются нестабильность внешних параметров Q и случайный характер внутренних параметров Х. Результатами статистического анализа могут быть гистограммы выходных параметров, оценки математических ожиданий Mj и среднеквадратичных отклонений. yj каждого из выходных параметров. yj от номинальных значений, оценки коэффициентов корреляции rji между параметрами yj и xi, а также выходные параметры систем массового обслуживания. В качестве исходных данных фигурируют статистические сведения о рассеянии внутренних параметров и данные ТЗ о допустимых диапазонах изменения или законах распределения внешних параметров.

Статистический анализ исключительно важен, поскольку его результаты позволяют прогнозировать процент выхода годных изделий при их серийном изготовлении, т.е. оценить серийнопригодность проектируемого объекта. Если в исходных данных отразить старение внутренних параметров - их изменение в процессе эксплуатации и хранения под действием различных физико-химических факторов, то результаты статистического анализа можно непосредственно использовать для оценки надежности.

Наибольшее распространение в САПР при статистическом анализе получили методы наихудшего случая и статистических испытаний ссылка на источники литературы.

Метод наихудшего случая.

Этот метод служит для определения диапазонов возможного рассеяния выходных параметров без оценки плотности распределения этих параметров.

Пусть на некоторый выходной параметр у задано условие работоспособности в виде у < тт. Тогда интерес представляет верхняя граница диапазона рассеяния, так как большие значения у наиболее опасны с точки зрения невыполнения условия работоспособности. Верхняя граница диапазона рассеяния достигается в наихудшем случае, когда все аргументы функциональной зависимости y = f (X) принимают самые неблагоприятные значения. Самым неблагоприятным значением аргумента Xi будет максимально возможное значение Ximax = xiном + xi при выполнении условий у < тт и dy/dxi> 0 или у > тт и dy/dxi< 0. Самым неблагоприятным значением аргумента Xi будет минимальное значение Ximin = xiном - xi, если (Y < тт dy/dxi< 0) V (Y > тт dy/dxi> 0). Здесь xi - допуск на внутренний параметр Xi. При этом предполагается, что знаки коэффициентов влияния остаются неизменными в пределах рассматриваемой области.

Алгоритм метода наихудшего случая включает в себя следующие операторы:

анализ чувствительности, в результате которого определяются коэффициенты чувствительности dy/dxi;

задание параметрам Xi самых неблагоприятных значений;

расчет выходных значений параметров при неблагоприятных внутренних.

Выполнение анализа объекта в наихудшем случае. Каждому выходному параметру соответствует свой наихудший случай. Если объект характеризуется m выходными и n внутренними параметрами, то операторы 2 и 3 алгоритма повторяются m раз и всего требуется выполнить m + n + 1 вариантов обращения к модели объекта. Преимущество метода наихудшего случая в том, что для его применения не требуется знания законов распределения внутренних параметров. Достаточно знать лишь допуски xi. Недостаток метода в том, что результаты анализа в наихудшем случае могут ввести в заблуждение пользователя относительно реального рассеяния выходных параметров.

Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний).

Этот метод позволяет получить более полные статистические сведения о выходных параметрах исследуемого объекта. Алгоритм метода статистических испытаний включает в себя следующие основные операторы:

задание значений внутренних и внешних параметров (аргументов зависимости Y от Х и Q в очередном статистическом испытании);

расчет Y;

накопление статистических сумм;

обработка накопленных сумм для получения результатов статистического анализа.

Метод конечных элементов (МКЭ) - численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электродинамики.

Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение.

С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики - общего метода исследования систем путём их расчленения

Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических исследований в 1950-х годах. Идея МКЭ была разработана в СССР ещё в 1936 году [источник не указан 1359 дней], но из-за неразвитости вычислительной техники метод не получил развития, поэтому впервые был применён на ЭВМ лишь в 1944 году Аргирисом. Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ получил в 1963 году после того, как было доказано то, что его можно рассматривать как один из вариантов распространённого в строительной механике метода Рэлея - Ритца, который путём минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных уравнений равновесия. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он стал применяться к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.

С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются, также расширяется и класс решаемых задач. Практически все современные расчёты на прочность проводят, используя МКЭ.

Вопрос № 3. Описать типы конечных элементов и порядок расчетов по методу конечных элементов Типы конечных элементов. Атрибуты конечных элементов