Определение реакций и центра тяжести плоской однородной фигуры

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1. Определение реакций связи механической системы

кинематический деформация напряжение эпюра

Определить реакции опор балки AЕ, находящейся под действием сил Р = 9 кН, равномерно распределенной нагрузки q = 14 кН/м и пары сил с моментом М = 16 кН•м.

Решение

Рассматриваем равновесие плоской системы сил, действующих на балку.

1. Показываем действующие на балку заданные силы , распределенную нагрузку q и пару сил с моментом М.

2. Обозначим шарнирно-неподвижную опору А, а шарнирно-подвижную В. Составляем расчетную схему балки.

Освобождаем балку от связей, заменяя их действие на балку опорными реакциями. Реакция шарнирно-подвижной опоры направлена перпендикулярно опорной плоскости, т.е. вертикально. Выберем направление осей так, как это показано на рисунке и примем направление составляющих и шарнирно-неподвижной опоры А совпадающими с направлениями осей координат.

Заменяем равномерно распределенную нагрузку равнодействующей F_g, которая равна:

F_g = q (b+c) = 14 • (0,6+1,3) = 26,6 кН.

Линия действия равнодействующей проходит через середину участка, занятого равномерно распределенной нагрузкой.

3. Составляем уравнения равновесия:

В последнем уравнении за центр моментов принимаем точку А, так как относительно нее моменты наибольшего количества неизвестных сил равны нулю.

Решаем уравнения равновесия:

1) ;

2)

3)

Из уравнения 1):

Из уравнения 3) находим :

кН

Из уравнения 2):

кН.

Так как имеет знак минус то ее истинное направление противоположно выбранному.

Ответ: ; кН; кН.

Задание 2. Определение центра тяжести твердого тела

Определить координаты центра тяжести плоской однородной фигуры.

Решение

Для определения центра тяжести плоской фигуры используем метод отрицательных площадей.

1. Разобьем фигуру на простые фигуры.

Дополним фигуру до квадрата прямоугольника ABDE, разобьем ее на пять частей и определим площадь каждой (в см ²):

1 - квадрат, F ₁ = b ₁• h ₁ = 80 • 80 = 6400 (см ²);

2 - треугольник, F ₂ = • b ₂• h ₂ = • 40 • 40 = 800 (см ²);

3 - треугольник, F ₃ = • b ₃• h ₃ = • 40 • 20 = 400 (см ²);

4 - треугольник, F ₄ = • b ₄• h ₄ = • 40 • 20 = 400 (см ²);

5 - полукруг, F ₅ = ? р ? r ₅² = • 3,14 • 20 ² = 628 (см ²).

2. Определяем координаты центров тяжести составных фигур:

Точка С ₁ - ЦТ первой фигуры имеет координаты: х ₁ = 60; у ₁ = 60.

Точка С ₂ - ЦТ второй фигуры имеет координаты:

х ₂ = 100 - 13,33 = 86,67; у ₂ = 20 + 13,33 = 33,33.

Точка С ₃ - ЦТ третьей фигуры имеет координаты:

х ₃ = 20 + 6,67 = 26,67; у ₃ = 100 - 13,33 = 86,67.

Точка С ₄ - ЦТ четвертой фигуры имеет координаты:

х ₄ = 100 - 6,67 = 94,33; у ₄ = 100 - 13,33 = 86,67.

Точка С ₅ - ЦТ пятой фигуры имеет координаты:

х ₅ = 60; у ₅ = 100 - 0,424 • 20 = 91,52.

3. Координаты точки С - центра тяжести всей фигуры:

(см).

(см).

Ответ: С(54,79; 54,8).

Задание 3. Определение кинематических параметров твердого тела

Кривошип ОА, вращаясь вокруг точки О с постоянной угловой скоростью щ, приводит в движение шатун АВ и ползун В. При заданном положении кривошипно-шатунного механизма определить скорость и ускорение шарнира А, угловую скорость звена АВ, скорость и ускорение ползуна В.

ОА = 12 см; АВ = 20 см; щ = 3,2 см/с; б = 40є; в = 22є.



Решение:

1. Анализируем движение механизма.

Кривошип ОА совершает вращательное движение относительно точки О с заданной угловой скоростью щ = const. Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. Ползун В - возвратно-поступательное вдоль прямой.

2. Определим скорости. Определим V_А

Точка А принадлежит кривошипу ОА, совершая вращательное движение с постоянной угловой скоростью щ:

V_A = щ x OA

V_A = 3,2 • 12 = 38,4 (см/с).

V_A ОА.

Определим щ_АВ и V_В.

Применим второй метод исследования плоского движения - метод мгновенного центра скоростей (МЦС). Положение МЦС определим как точку пересечения перпендикуляров, проведенных к векторам скоростей точек А и В через эти точки.



Скорость точки «А» в мгновенном вращении относительно точки «Р»:

V_A = щ_AB x AP

Определим АР:

Рассмотрим треугольник

Найдем щ_АВ и V_В.



V_В определим в том же вращении относительно МЦС:

V_В = щ_AB x РВ = 1,59 • 23,1 = 36,73 (см/с)

3. Определяем ускорения

Ускорение точки «А»:

а_А = а_ц + а_вр

а_ц = ОА • щ ² = 12 • 3,2 ² = 122,88

а_вр = ОА • е ² = 12 • 0 = 0

а_А = а_ц = 122,88

Определяем ускорение точки «В»:

Применим второй метод исследования плоскопараллельного движения:

Так как мы не знаем вращательного ускорения точки «В», найдем ускорение этой точки графическим путем:



Ответ: V_A = 38,4 (см/с).

а_А = 122,88

V_В = 36,73 (см/с)

Задание 4. Центральное растяжение-сжатие

Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, определить абсолютную деформацию по заданным условиям.

Дано: Р₁ = 90 кН; Р₂ = 50 кН;

?₁ = 2000 мм; ?₂ = 2500 мм; ?₃ = 2500 мм; ?₄ = 1400 мм;

F₁ = 50 мм ², бронза;

F₂ = 25 мм ², бронза.

Решение

1. Строим эпюру продольных сил.

Применяем метод сечений, разбиваем стержень на участки:

I участок: N_I = 0

II участок: N_II - P₁ = 0

N_II = P₁ = 90 кН (растяжение)

III участок: N_III - P₁ = 0

N_III = P₁ = 90 кН (растяжение)

IV участок:

N_IV - P₁ + P₂ = 0

N_IV = P₁ - P₂ = 90 - 50 = 40 кН (растяжение)

Чертим эпюру продольных сил.

2. Строим эпюру напряжений.

На каждом участке вычисляем значения нормальных напряжений у₁, в поперечных сечениях стержня:

I участок:

II участок:

III участок:

IV участок:

.

Чертим эпюру напряжений.

3. Определяем абсолютную деформацию

Перемещение какого-либо поперечного сечения стержня равно изменению длины (абсолютной деформации) соответствующей части стержня. Торец стержня, находящийся в заделке, обладает нулевым перемещением. Рассчитаем перемещение всех характерных сечений.

По закону Гука, абсолютная деформация:

Тогда перемещение сечения А: .

Перемещение сечения В:

Перемещение сечения С:

Перемещение сечения D:



Перемещение сечения E:

Полное удлинение стержня определяем как сумму удлинений отдельных участков:

Знак плюс означает, что произошло растяжение.

Ответ:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 5. Изгиб балки

Для балки построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М_изг по заданным условиям.

Дано Р = 9 кН; q = 14 кН/м; М = 16 кН•м;

а = 0,3 м; b = 0,6 м; с = 1,3 м; ? = 8 м.

Решение:

1. Реакции опор определены в задании 1 и составляют:

; кН; кН.

2. Рассчитываем поперечные силы и изгибающие моменты с помощью метода сечений.

Границы участков проводим через сечения, в которых приложены внешние нагрузки.

I участок. 0 ? z₁ ? 0,3

Проводим произвольное сечение. Отбрасываем правую часть балки. Рассматриваем равновесие левой части, заменив действие отброшенной (правой части) внутренними усилиями Q^I и М^I_изг, считая их положительными.

Составляем уравнения равновесия:

- R_A - Q^I = 0; Q^I = - R_A = -7,49 (кН).

М^I_изг + R_А • z₁ =0; М^I_изг = - R_А • z₁;

М^I_изг = - 7,49 • z₁

Получили:

- Q^I на 1-м участке - величина постоянная, не зависящая от z, следовательно, эпюра поперечной силы на этом участке - прямая параллельная оси z;

- изгибающий момент на I - м участке является функцией от переменной z, причем зависимость линейная, следовательно, ее график - эпюра - прямая наклонная линия. Вычислим значения М^I_изг в двух граничных точках участка:

М^I_изг(0) = 0; М^I_изг(0,3) = - 7,49 • 0,3 = - 2,25 (кН•м).

II участок. 0 ? z₂ ? 7,1

Проводим произвольное сечение. Отбрасываем правую часть балки. Рассматриваем равновесие левой части, заменив действие отброшенной (правой части) внутренними усилиями Q^II и М^II_изг, считая их положительными.

Составляем уравнения равновесия:

- R_A - Q^II + P = 0; Q^II = - R_A + P = -7,49 + 9 = 1,51 (кН).

М^II_изг + R_А • (0,3+z₂) - P • z₂ =0;

М^II_изг = -R_А • (0,3+z₂) + P • z₂ ;

М^II_изг = - 7,49 • (0,3+z₂) + 9• z₂ = 1,51z₂ - 2,25

Получили:

- Q^II на 2-м участке - величина постоянная, не зависящая от z, следовательно, эпюра поперечной силы на этом участке - прямая параллельная оси z;

- изгибающий момент на 2 - м участке является функцией от переменной z, причем зависимость линейная, следовательно, ее график - эпюра - прямая наклонная линия. Вычислим значения М^II_изг в двух граничных точках участка:

М^II_изг(0) = - 2,25 ; М^II_изг(7,1) = 1,51 • 7,1 - 2,25 = 8,47 (кН•м).

III участок. 0 ? z₃ ? 0,6

Проводим произвольное сечение. Отбрасываем правую часть балки. Рассматриваем равновесие левой части, заменив действие отброшенной (правой части) внутренними усилиями Q^III и М^III_изг, считая их положительными.

Составляем уравнения равновесия:

- R_A - Q^III + P - q•z₃ = 0;

Q^III = - R_A + P - 14 • z₃ = -7,49 + 9 - 14z₃ = 1,51 - 14z₃ (кН).

М^III_изг + R_А • (0,3+7,1+z₃) - P • (7,1+z₃) + q •z₃ • z₃/2 = 0;

М^III_изг = -R_А • (7,4+z₃) + P • (7,1+ z₃) - q • z²₃/2 ;

М^III_изг = - 7,49 • (7,4+z₃) + 9•(7,1+ z₃) - 14 • z²₃/2 =

= - 55,43 - 7,49z₃ +63,9 + 9z₃ - 2,25 - 7z²₃ = - 7z²₃ + 1,51z₃ + 8,47

Получили:

- эпюра Q на 3-м участке - наклонная прямая. Построим ее по двум точкам, граничным для этого участка (для z₃ = 0 и z₃ = 0,6).

Q^III(0) = 1,51 - 14 • 0 = 1,51 (кН);

Q^III(0,6) = 1,51 - 14 • 0,6 = - 6,89 (кН);

- изгибающий момент на 3 - м участке является квадратичной функцией от переменной z, следовательно, ее эпюра - парабола. Вычислим значения М^III_изг в двух граничных точках участка и в его середине (чтобы узнать, как изогнута парабола):

М^III_изг(0) = 8,47 (кН•м);

М^III_изг(0,6) = - 7 • 0,6² + 1,51 • 0,6 + 8,47 = 4,17 (кН•м);

М^III_изг(0,3) = - 7 • 0,3² + 1,51 • 0,3 + 8,47 = 6,68 (кН•м).

IV участок. 0 ? z₄ ? 1,3

Проводим произвольное сечение. Отбрасываем левую часть балки. Рассматриваем равновесие правой части, заменив действие отброшенной (левой части) внутренними усилиями Q^IVи М^IV_изг, считая их положительными.

Составляем уравнения равновесия:

 Q^IV - q•z₄ = 0; Q^IV = q•z₄

Q^IV = 14 • z₄ (кН).

- М^IV_изг + М_А - q •z₄ • z₄/2 = 0;

М^IV_изг = М - q • z²₄/2 ;

М^IV_изг = 16 - 14 • z²₄/2 = 16 - 7z²₄

Получили:

- эпюра Q на 4-м участке - наклонная прямая. Построим ее по двум точкам, граничным для этого участка (для z₄ = 0 и z₄ = 1,3).

Q^IV(0) = 0 (кН);

Q^IV(1,3) = 14 • 1,3 = 18,2 (кН);

- изгибающий момент на 4 - м участке является квадратичной функцией от переменной z, следовательно, ее эпюра - парабола. Вычислим значения М^IV_изг в двух граничных точках участка и в его середине (чтобы узнать, как изогнута парабола):

М^IV_изг(0) = 16 (кН•м);

М^IV_изг(1,3) =16 - 7 • 1,3² = 4,17 (кН•м);

М^IV_изг(0,65) = 16 - 7 • 0,65² = 13,04 (кН•м).

3. Строим эпюры.

Проанализируем характер эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:

1) у эпюры поперечной силы Q в сечениях, в которых приложены внешние силы - скачки на величину силы;

2) распределительной нагрузке на эпюре поперечной силы Q соответствует наклонная прямая линия;

3) распределительной нагрузке на эпюре изгибающих моментов соответствует участок параболы;

4) в сечении, в котором приложена пара с моментом М скачок на величину момента.

Размещено на Allbest.ru

...