Анализ системы автоматического регулирования угловой скорости вала двигателя постоянного тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Тульский государственный университет

Кафедра Системы автоматического управления

Контрольно-курсовая работа

Анализ системы автоматического регулирования угловой скорости вала двигателя постоянного тока

Задание №5

Вариант №3

Выполнил:

студент группы 120121

Береговой А.В.

Проверил:

доцент к.т.н. Воробьев В.В.

Тула, 2004.

Задание

Принципиальная схема

скорость вал передаточный дистанционный

Начальные условия

Электромеханическая постоянная двигателя "Д" Тм, с	0.3
Коэффициент передачи двигателя "Д" по скорости 1/Ce1, рад/( В с)	5.4
Коэффициент передачи двигателя "Д" по моменту СМ1, Нм/А	0.189
Коэффициент передачи тахогенератора КТ, В/(рад/с)	0.12
Сопротивление обмотки якоря двигателя "Д", Ом	3.6
Коэффициент передачи двигателя "Ди" по скорости I/Ce2, рад/ (В с)	4.5
Коэффициент передачи двигателя "Ди" по моменту СМ2, Нм/А	0.227
Коэффициент передачи электронного усилителя ЭУ	1.8
Передаточное число редуктора "Р2"	135
Статический момент сопротивления нагрузки, приведенный к выходному валу редуктора "Р2", Нм	0.4
Момент инерции полезной нагрузки, приведенный к выходному валу редуктора "Р1", нмс2	13
Передаточное число редуктора "Р1"	60
Напряжение U0, В	60
Напряжение U, В	15
Сопротивление обмотки якоря двигателя "ДИ", Ом	310
Момент инерции якоря двигателя "ДИ", Нмс2	810-4
Коэффициент передачи реостата, Ом/рад	35
Момент сопротивления полезной нагрузки "Мн", Нм	3.5

Функциональная схема данной системы выглядит следующим образом:

Для данной схемы поэлементно составим систему ДУ с использованием законов электромеханики, описывающую процесс управления выходной величиной.

1. Суммирующее звено.

.

2. Элемент усиления

.

3. Исполнительный двигатель "Ди".

,

, где ,

.

Посредством преобразования получим следующее дифференциальное уравнение исполнительного двигателя "Ди".

,

где - электромеханическая постоянная двигателя "Ди",

- коэффициент передачи двигателя "Ди" по скорости,

- коэффициент передачи двигателя "Ди" по моменту.

4. Редуктор "Р2".

,

5. Исполнительный двигатель "Д".

,

где - линейно изменяющееся сопротивление якорной цепи двигателя "Д", складывающееся из сопротивления якоря и сопротивления реостата, изменяющегося с изменением угла б.

, где ,

6. Уравнение тахогенератора "Тг".

,

7. Уравнение редуктора "Р1".

.

Таким образом, мы получаем следующую систему ДУ.

В данной системе мы имеем одно ДУ 2-го порядка, два ДУ 1-го порядка и 4 алгебраических уравнения. Необходимым требованием к составлению передаточной функции является 3-ий порядок ДУ, на основании которого она будет записана. Поэтому преобразуем данную систему.

Прежде всего, подставим формулу (7) в (1). Получим

.

Затем аппроксимируем исполнительный двигатель ввиду его задач в виде обычного интегрирующего звена.

,

а подставляя в данную формулу зависимость , получим следующую формулу для звеньев ЭУ+Ди+Р2

,

где коэффициент представляет собой произведение коэффициентов , , . В итоге преобразований получаем такую систему ДУ.

Здесь мы имеем три ДУ 1-го порядка и два алгебраических уравнения.

Дальнейший анализ данной системы выявляет нелинейность, появляющуюся при перемножении сопротивления и тока якоря двигателя "Д". Избавимся от этой нелинейности с помощью линеаризации данной системы. Запишем уравнения для установившегося режима работы данной системы. При этом изменения величин во времени и сигнал ошибки равны нулю.

С учетом начальных условий получим, что установившиеся значения параметров следующие: рад/с, рад/с, А Ом

Введем следующие отклонения от установившихся значений некоторых переменных:

, , , ,

Запишем имеющиеся у нас ДУ в отклонениях.

Приведем ДУ (*) к нормальной форме Коши:

.

Найдем от функции правых частей частные производные по следующим переменным: , , , подставляя в получившиеся производные установившиеся значения переменных.

.

После всех преобразований получим следующую линеаризованную систему ДУ в отклонениях:



Покажем структурную схему полученной системы:

В данной схеме коэффициенты представляют собой следующие выражения (справа указаны единицы измерения):

Для данной системы выпишем передаточные функции.

Передаточная функция разомкнутой системы:

Передаточная функция замкнутой системы:

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке:

Передаточная функция замкнутой системы по возмущению:

.

Ниже приведены значения коэффициентов:

0,06	648	0,5	15	5,29	0,185	0,12	0,015

Анализ устойчивости будем проводить с помощью алгебраических (критерий Рауса, критерий Вышнеградского) и частотных (ЛАФЧХ, годограф Найквиста) критериев.

Характеристический многочлен системы имеет вид



На основании последнего уравнения строим таблицу Рауса:

	0,015	1,388	0
	1	35	0
0,015	0,863	0	0
1,159	35	0	0
0,0247	0	0	0

Все элементы первого столбца таблицы Рауса больше нуля, следовательно система устойчива в соответствии с алгебраическим критерием Рауса.

Рассмотрим критерий устойчивости Вышнеградского. Для устойчивости системы необходимо, чтобы произведение средних коэффициентов характеристического уравнения было больше произведения крайних коэффициентов, т.е. в нашем случае произведение должно быть больше . Действительно, при подставлении чисел мы получим, что, т.е. выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости.

Дальнейший анализ системы автоматического регулирования угловой скорости вала двигателя постоянного тока был проведен с помощью программы Matlab.

Логарифмические амплитудные и частотные характеристики изображены ниже.



Как видно из графиков запасы устойчивости следующие:

· запас устойчивости по амплитуде составляет 8,44 дБ;

· запас устойчивости по фазе составляет 8,39 градусов.

Годограф Найквиста данной системы имеет следующий вид:

Проведем анализ передаточной функции замкнутой системы по ошибке.

Выразим эти ПФ через коэффициенты ошибок. Коэффициенты ошибок данной функции равны: , , , , …

Ошибка системы в данном случае примет вид:

Или если перейти к оригиналам:

Исследуем величину ошибки при различных задающих воздействиях.

Ошибка при входном сигнале единичной функции f=1(t)

Ошибка системы при линейном задающем воздействии f=t.

Ошибка системы при синусоидальном входном сигнале f=sin(t)

Оценим переходные процессы нашей системы:

По данному переходному процессу оценим значения перерегулирования и времени регулирования.

с,

При синусоидальном входном сигнале выходной сигнал будет иметь следующий вид:

Синтез системы управления.

Исходные данные для синтеза

1.	Скорость выходного вала редуктора, рад/с	3.4
2.	Максимальное значение второй производной от скорости выходного вала редуктора, рад/с3	6000
3.	Время регулирования при включении системы, с	2.5
4.	Перерегулирование, %	35
5.	Порядок астатизма	1
6.	Установившееся значение ошибки от момента "Мн", %	0.4

Синтез методом желаемой ЛАЧХ.

Для проведения синтеза методом желаемой ЛАЧХ необходимо прежде всего построить логарифмические амплитудно-частотные характеристики оптимальной системы. Общий вид передаточной функции оптимальной системы выглядит так:

,

где r - порядок астатизма, - коэффициент передачи разомкнутой оптимальной системы, - дробно рациональная функция и . В данном случае она имеет следующий вид:

или .

Затем необходимо определить коэффициент передачи оптимальной системы. Так как передаточная функция по возмущению в данном примере представляет собой зависимость вида

,

то составляющая ошибки, внесенная возмущающим воздействием, равна нулю. Это означает, что требования точности выполняются. Тогда коэффициент передачи разомкнутой оптимальной системы можно брать любым. С целью упрощения вида корректирующего устройства этот коэффициент будет определен графическим методом. Возьмем его в первом приближении равным 500, т.е. . Тогда передаточная функция оптимальной разомкнутой системы будет иметь вид:

.

Асимптотические ЛАЧХ данной системы строятся следующим образом:

1. Общая передаточная функция разбивается на несколько типовых звеньев.

.

2. Т.к. имеется звено с передаточной функцией , то сперва проводится прямая с наклоном -20 дБ/дек, проходящей через точку (, 0) по логарифмическому масштабу.

3. Затем начинает работать звено . Это значит, что на частоте, равной наклон ЛАЧХ изменится с -20 дБ/дек до -40 дБ/дек.

4. Тем же образом на частоте равной наклон ЛАЧХ изменится с -40 до -60 дБ/дек.

Изображение построенной ЛАЧХ оптимальной системы можно найти на чертеже, прилагаемом к данной работе.

Следующим этапом будет построение желаемой ЛАЧХ системы.

Общие принципы построения желаемой ЛАЧХ таковы:

1. Низкочастотная часть ЛАЧХ строится исходя из коэффициента передачи оптимальной разомкнутой системы и порядка астатизма r, заданного в НУ. В данном случае порядок астатизма равен 1 и наклон этой части равен -20 дБ/дек.

2. Наклон среднечастотной части ЛАЧХ равен -20 дБ/дек. При этом прямая проходит через частоту среза, находящуюся в пределах: . Частота определяется из зависимости , где - максимальное значение второй производной от скорости выходного вала редуктора, а - амплитуда входного сигнала. . Частота определяется с помощью номограмм. Имея зависимость , выразим и найдем ее. .

Таким образом, частота среза лежит в пределах . Возьмем ее равной .

3. Высокочастотная часть либо должна совпадать, либо быть параллельной высокочастотной части ЛАЧХ оптимальной системы. Делается это с целью упрощения реализации корректирующего устройства.

4. Находим запасы устойчивости нашей системы из номограмм замыкания. Они равны ,

5. Сопрягаем низкочастотную и среднечастотную части желаемой ЛАЧХ отрезком с наклоном кратным -20 дБ/дек. В данном случае наклон равен -40 дБ/дек.

6. Сопрягаем среднечастотную и высокочастотную части ЛАЧХ отрезком с наклоном кратным -20 дБ/дек. Здесь наклон составляет -40 дБ/дек. Проверяем условие устойчивости:

в интервале должно выполняться .

В данном примере запасы устойчивости на определенных частотах сопряжения оценивались по приближенной формуле:

,

где - коэффициент, учитывающий наклон среднечастотной части желаемой ЛАЧХ (при наклоне -20 дБ/дек ), m - число частот сопряжения, больших частоты среза, - значения частот сопряжения. При этом предполагается, что при каждом значении наклон ЛАЧХ уменьшается на -20 дБ/дек.

У нас: , ; , где 100 - частота, на которой .

Для упрощения вида корректирующего устройства мы совместим часть ЛАЧХ оптимальной системы с наклоном -40 дБ с отрезком сопряжения низкочастотной и среднечастотной частей желаемой ЛАЧХ. Это достигается вертикальным перемещением всейкривой. После преобразования мы получаем, что коэффициент передачи оптимальной разомкнутой системы равен . Запасы устойчивости на частотах сопряжения оцениваются по формулам приближенного вычисления вида:

,

где k - число сопрягаемых частот, где наклон уменьшается на -20 дБ/дек, - значения этих сопрягаемых частот, е - число сопрягаемых частот, где наклон увеличивается на +20 дБ/дек, - значения этих частот.

, .

,

.

Затем строим ЛАЧХ корректирующего звена, которая определяется как разность между желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ оптимальной системы.

Изображение этой кривой приведено на рисунке, приложенном к данной работе.

Исходя из вида ЛАЧХ корректирующего устройства можно предположить, что его передаточная функция выглядит следующим образом:

,

или.

Переходный процесс скорректированной системы приведен ниже:

Перерегулирования не превышает величины , а время регулирования равно 1 с.

Синтез методом модального управления.

Исходная структурная схема имеет вид:



Для применения метода модального управления преобразуем ее в систему с единичной обратной связью:

В данной схеме мы не учитываем влияние момента . В дальнейшем мы будем рассматривать следующую часть данной схемы:

При этом мы будем учитывать масштабирование входного сигнала, т.е.

.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:



или

.

В соответствии с методом модального управления необходимо представить передаточную функцию разомкнутой системы в следующем виде:

.

Сделаем это:

.

Таким образом, мы получили, что , , , .

Структурная схема типового объекта в отсутствие возмущающего воздействия имеет вид:

Здесь .

Математическое описание объекта, полученное в результате поэлементного описания, имеет вид:

(1)

В матричной форме систему (1) можно представить в виде

,(2)

Здесь , , , .

Передаточная функция объекта имеет вид

(3)

Дифференциальное уравнение разомкнутой системы можно записать в виде:

Или .

Выбор переменных состояния не является единственно возможным. Переменные состояния могут быть выбраны множеством способов.

Тогда дифференциальное уравнение запишется в виде:



В соответствии с выбранными переменными состояния запишем систему уравнений в первой нормальной форме Коши:

Необходимо перейти к новому уравнению

,(4)

От передаточной функции (3) перейдем к дифференциальному уравнению объекта

,

Или ,(5)

Выберем переменные состояния следующим образом:

.

При выбранных переменных система дифференциальных уравнений объекта примет вид

(6)

При этом матричное уравнение (4) имеет матрицы

, , .

Сформируем управление :

(7)

так, чтобы замкнутая система имела заранее заданные корни характеристического уравнения.

Эти корни определяются исходя из двух условий:

, или .

Имеем для замкнутой системы

,

,

и тогда, исключая второе уравнение, получим матричное уравнение замкнутой системы

.

Рассмотрим собственную матрицу замкнутой системы . Имеем

и тогда

.(8)

Желаемые корни равны , Тогда по теореме Виета характеристическое уравнение может быть представлено в виде

,(9)

Или

,

откуда значения коэффициентов, задающих требуемый закон управления определятся зависимостями

.(10)

Зависимости (10) определяют коэффициенты обратных связей по переменным состояния в базисе . Для окончательного решения задачи необходимо пересчитать эти коэффициенты для базиса .

Имеем , , , , откуда следует, что , .

После некоторых преобразований зависимость для имеет вид:

Подставляя выражения для переменных , , в уравнение (7), определяющее управление, получим

,

где , , .

По уравнению системы выше определим структурную схему скорректированной системы:

Переходный процесс скорректированной системы имеет вид:

Размещено на Allbest.ru

...