Величина х имеет погрешность Дх. Именно эта погрешность Дх - неточность в определении аргумента x является источником погрешности физической величины Y, являющейся функцией f(x).

Приращение Дх аргумента х определяет собой приращение функции

.

Погрешность аргумента Дх косвенно определяемой физической величины Y определяет собой погрешность:

,

где Дх - погрешность физической величины, найденной в прямых измерениях.

Если физическая величина является функцией нескольких непосредственно измеряемых величин {x₁,x₂,…,x_n}, то, проводя аналогичные рассуждения для каждого аргумента x_i, получим:

.

Очевидно, что погрешность, рассчитанная по этой формуле, является максимальной и соответствует ситуации, когда все аргументы изучаемой функции имеют одновременно максимальное отклонение от своих средних значений. На практике такие ситуации маловероятны и реализуются крайне редко, поэтому следует рассчитывать погрешность результата косвенных измерений:

.

В реальных измерениях относительная точность различных величин х_i может сильно отличаться. При этом, если для одной из величин x_m выполняется неравенство

,

где i=1,…,m-1,m+1,…,n, то можно считать, что погрешность косвенно определенной величины ДY определяется погрешностью Дx_m:

.

Итак, при вычислении погрешности косвенно определяемой физической величины Y=f(x₁,…,x_n) надо, прежде всего, выявить наименее точно определенную в прямых измерениях величину и, если

,

считать

,

пренебрегая погрешностями остальных x_i i?m.

Рассмотрим подробно случай степенной зависимости [3, стр.9].

,

где p, q - любые числа.

В данном случае проще сначала вычислить относительную погрешность .

1) Прологарифмируем , получим .

2) Продифференцируем это равенство: .

3) Перейдем от бесконечно малых приращений - дифференциалов к конечным приращениям Дх₁, Дх₂: .

4) Учтем, что Дх₁ и Дх₂ - величины алгебраические и могут быть как положительными, так и отрицательными. Нашей же целью является выявление максимально возможной погрешности, поэтому нас будет интересовать наихудшая ситуация, которая реализуется при Дх₁> 0, а Дх₂<0. Вследствие этого при вычислении погрешности дY все минусы заменяются плюсами, и мы имеем:

.

Это выражение дает завышенную погрешность. Более точная формула, полученная из теории ошибок, имеет вид:

.

5) Следует заметить, что чем больше по модулю показатель степени, тем большую погрешность вносит данная переменная в погрешность результата. В данном случае следует также сравнить и среди них максимальное значение . Если для всех остальных i?m, то , и абсолютная погрешность .

Решение

1)вычисление значения косвенного измерения частоты

I=U/R_C; R_C=1/(w*C); I=U_w*C;

I=10*10^-3 А; U_w =50; С=0.1*10^-6 Ф

w=I/(UC)=10*10^-3/(50*0.1*10^-6)=10^-2/(50*10^-7)=2000 рад/с

=w/(2*р)=2000/6.28=318.4 Гц

2) Оценим интервал возможных значений частоты

(I,U,C) =

=( I/(UC))=/( UC)=1/(UC)=1/(*50*10^-7)=31847

=(I/(UC)=[(1/U)]*(I/C)=(1/)*(10^-2/(*10^-7))=(1/2500)*10⁵/=6.37

=[(1/C)]*(I/(U))=(1/)*(10^-2/*50)=10¹⁴*0.0002/=3184713376

= 1,5*30/10=0.5*10^-3,А; =4, В;C=C*5%=10^-7/20=5*10^-9, Ф;

[(31847*0.5*10^-3)² + (6.37*4)² + (31847133765*10^-9)²]^1/2 = 34.0 Гц

дf = *100% = 11%

f = (318 ± 34) Гц; дf =11%

3) Способы уменьшить погрешность измерения более, чем на 3%:

a)Увеличение класса точности амперметра, г.

b)Уменьшение разброса ёмкости конденсатора , дC.

c)Применение стабилизированного источника питания с малым отклонением Д_U.

5. Измерение напряжений

U_mj=70 В, частота сигнала F_j=70 кГц, j=1ч4 - номер сигнала.

Графики и значения некоторых параметров сигналов U1(t) чU4(t) приведены в таблице:

Измерение напряжений проводится вольтметрами В1, В2, В3 и В4. Вольтметры имеют преобразователи (детекторы) следующих типов:

В1 - среднеквадратического (действующего) значения, вход открытый;

В2 - средневыпрямленного значения (линейный детектор), вход открытый;

(Исследуемые периодические напряжения U1(t), U2(t), U3(t), U4(t) имеют одинаковую амплитуду.)

В3 - амплитудного значения, вход открытый;

В4 - амплитудного значения, вход закрытый.

Определите показания каждого из четырёх вольтметров при измерении указанных напряжений: Uп i, j = ?, i,j = 1ч4, где Uп i,j - показание i-го вольтметра при измерении j-го напряжения. Изобразите схемы детекторов.

Указание: при решении задачи, зная амплитуду сигнала (U_mj) и коэффициенты амплитуды (K_аj) и формы (К_фj), первоначально находят средневыпрямленное (U_свj) и среднеквадратическое (U_дj) значения сигналов, и затем по известным U_m, U_св, U_д рассчитывают показания каждого из вольтметров.

Рекомендуется свести результаты этих расчётов в таблицу, приведённую ниже,

где U_mj - амплитудное значение j-го сигнала и т. д., U_mi,1 - показания i-го вольтметра при измерении напряжения U₁ и т. д.

Одним из основных элементов электронного вольтметра переменного напряжения является выпрямитель (детектор) -- преобразователь переменного напряжения в постоянное. Именно особенности детектора в значительной мере определяют функциональные возможности и характеристики вольтметра. В зависимости от назначения вольтметра используются различные детекторы.

Переменное напряжение характеризуется следующими основными параметрами:

Пиковое значение Um (для гармонического колебания - амплитудное) - это наибольшее мгновенное значение напряжения u(t) за время измерения t (или за период Т). Если напряжение за время измерения или период изменяет знак, а кривая напряжения несимметрична, то различают положительные и отрицательные пиковые значения.

Среднее значение за время измерения (или за период) - это постоянная составляющая напряжения u(t):

Средневыпрямленное значение (СВ) - среднее значение абсолютного значения напряжения:

Среднеквадратическое значение (СК) - это положительный корень квадратный из среднего значения квадрата напряжения:

Совокупность значений переменного напряжения является интегральной характеристикой его формы. В практике измерений для оценок используют коэффициенты формы К_ф, амплитуды К_а (см. табл.5.2):

К_ф =U_д/U_св, К_a=U_m/U_ск.[1, стр.84 - 86]

Таблица 5.2 Коэффициенты k_a, k_ф для напряжений различной формы

Коэффициенты К_а, К_ф позволяют получать значения переменного напряжения, если известно одно из них и форма напряжения.

Пиковые (амплитудные) детекторы. Пиковый детектор - это измерительный преобразователь, на выходе которого постоянная составляющая непосредственно соответствует пиковому значению напряжения на входе. [7]

Принципиальные электрические схемы пиковых детекторов изображены на рис. 5.1, а - последовательный детектор с открытым входом и б - параллельный детектор с закрытым входом.

В пиковом детекторе с открытым входом постоянная составляющая выходного сигнала содержит постоянную составляющую входного сигнала, если таковая имеется. В детекторе же с закрытым входом постоянная составляющая выходного сигнала не содержит постоянной составляющей входного сигнала - для нее вход закрыт.

Пиковый детектор должен обязательно содержать элемент, запоминающий пиковое значение напряжения. Таким элементом обычно является конденсатор, заряжаемый до пикового значения через диод.

Рис.5.1 Пиковый детектор а) с открытым входом, б) с закрытым входом

Остановимся на пиковом детекторе с открытым входом. Рассмотрим случай, когда на вход поступает синусоидальное напряжение.

Рис. 5.2 Пиковый детектор а - с открытым входом, б - с закрытым входом

В положительные полупериоды входного напряжения U_вх происходит заряд конденсатора С через малое прямое сопротивление диода R_д и внутреннее сопротивление источника R_i. В отрицательные полупериоды конденсатор разряжается через большое сопротивление R (рис. 5.2 а). Постоянная времени разряда много больше постоянной времени заряда. Поэтому напряжение на конденсаторе возрастает и через несколько периодов на обкладках устанавливается постоянное напряжение U_C (постоянная составляющая пульсирующего напряжения), почти равное амплитуде входного напряжения U_m. Поскольку U_c все же несколько меньше U_m вследствие разряда конденсатора во время отрицательного полупериода, то в течение времени, когда U_вх>U_c, через диод будут проходить импульсы тока, пополняющие заряд конденсатора.

Если на вход схемы подать напряжение, в котором содержится как переменная, так и постоянная составляющие, то, очевидно, конденсатор С зарядится до напряжения, определяемого суммой постоянной и амплитуды переменной составляющих, т. е. до пикового значения напряжения. Таким образом, на выходе пикового детектора с открытым входом имеет место постоянное напряжение Uc, учитывающее как переменную, так и постоянную составляющие на входе. Для исключения пульсаций выходного напряжения на выходе включается фильтр нижних частот.

Рис. 5.3 Схема квадратичного преобразователя с диодной цепочкой

Пиковый детектор с закрытым входом (рис. 4.2 б). В течение нескольких положительных полупериодов u_вх конденсатор С заряжается через сопротивление диода R_Д, и внутреннее сопротивление источника R_i почти до амплитудного значения напряжения. Разряд происходит в отрицательные полупериоды через очень большое сопротивление R и внутреннее сопротивление источника R_i. Постоянная времени разряда намного больше постоянной времени заряда. Поэтому напряжение u_с за время отрицательного полупериода изменится очень мало. Заряженный конденсатор можно рассматривать как источник постоянного напряжения Uc?U_m. На резисторе выделяется пульсирующее напряжение. Среднее значение этого напряжения примерно равно Um. Измерить его с помощью магнитоэлектрического прибора затруднительно, поскольку на низких частотах заметно колеблется стрелка. В связи с этим напряжение u_R сначала подается на фильтр нижних частот, который пропускает постоянную составляющую Uс?U_m, а затем измеряется вольтметром постоянного тока.

Входные активные сопротивления у детекторов с открытым и закрытым входом не одинаковы:

Rвx откр=R/2, а Rвx закр=R/3.

Детектор среднеквадратического значения (СКЗ) - это измерительный преобразователь переменного напряжения в постоянное, пропорциональное квадрату СКЗ переменного напряжения. Измерение СКЗ напряжения связано с выполнением квадрирования, усреднения и извлечением квадратного корня. Первые операции осуществляются детектором, а операция извлечения корня должна осуществляться градуировкой аналогового измерительного прибора, подключаемого к выходу детектора СКЗ. Таким образом, детектор СКЗ должен иметь квадратичную функцию преобразования, а сам нелинейный элемент квадратичную вольтамперную характеристику.

В качестве нелинейного элемента детектора, имеющего квадратичную вольтамперную характеристику (ВБЧ), можно, например, использовать начальный участок ВБЧ полупроводникового диода. Однако этот участок имеет очень малую протяженность. Полупроводниковые диоды имеют большой разброс параметров на этом участке характеристики. Поэтому большее распространение получили детекторы на основе диодной цепочки. Такая цепочка позволяет получить квадратичную ВБЧ в результате кусочно-линейной аппроксимации параболической кривой. Схема квадратичного преобразователя с диодной цепочкой показана на рис. 5.3.

Входное напряжение U_ВХ подводится к широкополосному трансформатору Т1. С помощью диодов VD1 и VD2 во вторичной обмотке осуществляется двухполупериодное выпрямление.

Выпрямленное напряжение действует на цепь, состоящую из диодной цепочки VD3...VD8, R3...R14 и резистора нагрузки R15. Падение напряжения на нагрузке через фильтр нижних частот Ж1 подается на выход преобразователя.

Выходное напряжение пропорционально среднему значению тока диодной ячейки. Диодная цепочка имеет близкую к параболической вольтамперную характеристику. Поэтому среднее значение выходного напряжения оказывается пропорциональным квадрату среднеквадратического значения входного напряжения.

Рассмотрим, как обеспечивается квадратичная вольтамперная характеристика. Делители напряжения R3...R14 подключены к общему стабилизированному источнику напряжения Е. Делители подобраны так, что смещения U_i, подаваемые на диоды, удовлетворяют соотношению U₁<U₂<…<U₆. Пока входное напряжение цепочки U не достигает U₁ (см. график), все диоды закрыты и начальная часть ВБЧ является прямой линией с наклоном, зависящим от сопротивлений резисторов R1, R2 и R15. Когда напряжение U превысит U₁, откроется диод VD3 и параллельно R2 подключится делитель R3, R9. Крутизна ВБЧ на участке от U₁ до U₂ возрастает, ток в цепи станет i_?=i₀+i₁ (рис. 5.4). Когда выполнится условие U>U₂, в цепи преобразователя будет протекать ток i_?=i₀+i₁+i₂. Крутизна ВБЧ будет увеличиваться с ростом U. Выбирая соответствующим образом сопротивления делителей, можно получить ВБЧ в виде ломаной линии, приближающейся к квадратичной параболе. Таким образом, квадратичная характеристика синтезируется из начальных участков характеристик ряда диодных ячеек, что показано на рис.

Коэффициент преобразования детектора по току К_д=I/U², где I-среднее значение тока на выходе преобразователя; U-СКЗ входного напряжения.

Погрешность преобразования таких преобразователей определяется нестабильностью ВБЧ диодов, непостоянством сопротивлений резисторов и она составляет 3...5%. Частотный диапазон определяется свойствами трансформатора - индуктивностью (снизу) и паразитными параметрами диодной цепочки (сверху) и составляет интервал от нескольких герц до 1 МГц.

Детектор средневыпрямленного значения

Это измерительный преобразователь переменного напряжения в постоянный ток, пропорциональный средневыпрямленному значению входного сигнала (среднему значению модуля). Вольтамперная характеристика такого детектора должна иметь линейный участок в пределах диапазона входных напряжений. Примером подобного преобразователя может служить двухполупериодный выпрямитель с фильтром нижних частот. Наиболее распространенными являются мостовые схемы (рис. 5.5). В схеме рис. 5.5, а ток через диагональ моста протекает в одном и том же направлении в течение обоих полупериодов переменного напряжения. В положительный полупериод ток протекает по цепи: верхний входной зажим-диод VD1-диагональ моста - диод VD4- нижний входной зажим; в отрицательный: нижний зажим-диод VD3-диагональ моста - диод VD2-верхний зажим.

Рис. 5.5 Мостовые схемы

Направление тока соответствует проводящему направлению указанных диодов. Характеристики реальных диодов не имеют строго линейного участка, как это требуется условиями преобразования. Ток, протекающий через диод при положительном значении входного напряжения i?u/(R_д(U)+R), где R_д(U)-сопротивление открытого диода, зависящее от приложенного напряжения, R - сопротивление нагрузки.

Начальный участок характеристики близок к квадратичному. Поэтому будет иметь место погрешность, которая будет тем меньше, чем ближе к линейной будет характеристика диода.

Для улучшения линейности ВБЧ в диагональ моста последовательно с резистором R включают резистор R_доб, сопротивление которого намного больше сопротивления открытого диода R_д(U). В этом случае

Зависимость прямого тока от напряжения будет близка к линейной. Уменьшение чувствительности, которое будет проявляться при включении R_доб, можно компенсировать введением дополнительного усиления.

Схема рис. 5.5,б отличается от предыдущей тем, что вместо диодов VD3 и VD4 включены резисторы R1 и R2. В положительный полупериод напряжения ток протекает через диод VD1 и резистор R1. Через резистор R2 в этот полупериод ток не протекает, на его зажимах напряжение равно нулю. Поэтому, если в диагональ моста включить магнитоэлектрический вольтметр, он измеряет падение напряжения на R1. Очевидно, в отрицательный полупериод вольтметр измеряет падение напряжения на резисторе R2, поскольку через него и диод VD2 будет протекать ток.

Погрешность преобразования обусловлена, главным образом, нелинейностью ВБЧ диода и влиянием прямого сопротивления диода на ток, протекающий через выпрямительный мост.

Измерение переменных напряжений

Принцип работы электронного вольтметра переменного напряжения состоит в преобразовании переменного напряжения в постоянное, прямо пропорциональное соответствующему значению переменного напряжения, и измерении постоянного напряжения электромеханическим измерительным прибором либо цифровым вольтметром.

Измеряемое электронным вольтметром значение переменного напряжения определяется типом применяемого измерительного преобразователя переменного напряжения в постоянное. Рассмотрим устройство электронных вольтметров переменных напряжений, требования к отдельным элементам, особенности построения и их метрологические характеристики.

Вольтметры амплитудных значений

Отклонение указателя амплитудного вольтметра прямо пропорционально амплитудному (пиковому) значению переменного напряжения, независимо от формы кривой напряжения. Таким свойством не обладает ни одна из систем электромеханических измерительных приборов. В электронных вольтметрах амплитудного значения используются пиковые детекторы с открытым и закрытым входом.

Амплитудные вольтметры обладают большим диапазоном рабочих частот (от десятков герц до 1...2 ГГц) благодаря тому, что преобразование осуществляется непосредственно на входе прибора. Амплитудный детектор конструктивно размещается в выносном пробнике, благодаря чему удается уменьшить влияние паразитных параметров вольтметра, вывести резонансную частоту входной цепи за пределы диапазона частоты вольтметра.

Необходимая чувствительность (нижний предел измеряемых напряжений - единицы милливольт) достигается применением после детектора УПТ с большим коэффициентом усиления.

На рис. 5.6 показана упрощенная структурная схема амплитудного вольтметра с закрытым входом, построенного по схеме уравновешивающего преобразования.

Рис. 5.6 Схема амплитудного вольтметра с закрытым входом

Измеряемое напряжение U_x подается через входное устройство на вход пикового детектора с закрытым входом (VD1, С1, R1). На идентичный детектор (VD2, С2, R2) подается компенсирующее напряжение с частотой около 100 кГц, сформированное в цепи обратной связи. Постоянные напряжения, равные амплитудным значениям измеряемого сигнала и компенсирующего напряжения сравниваются на резисторах R1,R2. Следует отметить, что при малых напряжениях детекторы будут работать в квадратичном режиме, что приведет к погрешности вольтметра амплитудного значения.

Разностное напряжение подается на УПТ A1 с высоким коэффициентом усиления. Если напряжение на выходе УПТ имеет положительную полярность, что свидетельствует о превышении напряжения сигнала над компенсирующим или об отсутствии последнего, запускается ранее запертый генератор-модулятор, и компенсирующее напряжение поступает через делитель обратной связи на детектор VD2, R2, С2. Генератор-модулятор представляет собой генератор, собранный по емкостной трехточечной схеме, усилитель и эмиттерный повторитель.

Превышение компенсирующего напряжения над измеряемым приводит к запиранию генератора-модулятора. Выходное напряжение с амплитудой, пропорциональной амплитуде измеряемого напряжения и частотой 100 кГц, подается на детектор средневыпрямленного напряжения U1 и измеряется магнитоэлектрическим вольтметром PV1.

Важным требованием является идентичность передаточных характеристик детекторов сигнала и компенсирующего напряжения. Только при одинаковых характеристиках равенство выходных напряжений детекторов будет свидетельствовать о равенстве входных напряжений.

В установившемся режиме на резисторах R1 и R2 образуется некоторая разность напряжений и равна

где К и в - коэффициенты передачи цепи прямого преобразования и обратной связи.

В данной схеме в цепь прямого преобразования входят УПТ, генератор-модулятор, в цепь обратного - делитель в цепи обратной связи и детектор компенсирующего сигнала. Таким образом, для обеспечения высокой точности уравновешивания коэффициент усиления УПТ и генератора-модулятора должен быть достаточно высок.

Составляющими погрешности являются: погрешность образцовых средств при градуировке, случайная погрешность измерения постоянного напряжения магнитоэлектрическим прибором, погрешность, обусловленная нестабильностью коэффициента передачи цепи обратной связи и коэффициента передачи детектора средневыпрямленного значения, неидентичность характеристик детекторов, неуравновешенность схемы.

По подобной схеме работают выпускаемые промышленностью серийные амплитудные милливольтметры В3-6, В3-43. Основная погрешность на частотах до 30 МГц составляет 4...6%, на частотах до 1 ГГц - 25%. Шкалы амплитудных вольтметров градуируются в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения. Недостатком является большая погрешность при измерении напряжений с большим уровнем гармонических составляющих.

Вольтметры среднеквадратических значений

Измерение среднеквадратического значения переменного напряжения требует применения измерительного преобразователя переменного напряжения в постоянное, имеющего квадратичную характеристику. Тогда если это постоянное напряжение подать на магнитоэлектрический вольтметр, то его показания будут пропорциональны квадрату среднеквадратического значения. Если при градуировке шкалы провести операцию извлечения корня, то показания вольтметра будут пропорциональны среднеквадратическому значению.

Вольтметры СКЗ обеспечивают наиболее высокую точность при измерении СКЗ переменных напряжений, имеющих большое число гармоник. В основном в таких вольтметрах используется детектор с диодной цепочкой и термоэлектрический преобразователь. Детектор с диодной цепочкой обладает значительной нестабильностью параметров, обусловленной нестабильностями элементов. Снизу частотный ди...