Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя

Дубецький Станіслав Антонович

УДК 539.3

Пружна рівновага твердих тіл при жорстко-контактному навантаженні

Спеціальність 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Тернопіль - 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Державному університеті “Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор технічних наук, доцент Когут Микола Степанович, Львівський державний аграрний університет, завідувач кафедри “Технологія металів”, м.Дубляни Жовківського р-ну Львівської обл.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Рудницький В'ячеслав Броніславович, Технологічний університет Поділля, завідувач кафедри вищої математики та комп'ютерних застосувань, м. Хмельницький;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Михайлишин Михайло Стахович, Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя, доцент кафедри інформатики та математичного моделювання, м. Тернопіль

Провідна установа - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, відділ математичних проблем механіки неоднорідних тіл, м. Львів.

Захист відбудеться “____”_____________ 2000 р. о _______ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 58.052.01 в Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя за адресою: 46001, м.Тернопіль, вул. Руська, 56.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя (м. Тернопіль, вул. Руська, 56).

Автореферат розісланий “____” _____________ 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради кандидат фізико-математичних наук Шелестовський Б.Г.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Явище контактної взаємодії елементів конструкцій завжди було невід'ємною ознакою експлуатації техніки в багатьох галузях промисловості та будівництва. Як правило, області контакту характеризуються високим рівнем концентрації напружень, що часто призводить до погіршення експлуатаційних характеристик конструкцій, зокрема, зниження їх працездатності та часткового або повного руйнування. Для застосування сучасних методик розрахунку на міцність необхідне детальне вивчення напружено-деформованого стану елементів конструкцій з врахуванням їх умов навантаження, форми та розмірів. Вирішення цих проблем в багатьох випадках пов'язане з використанням розв'язків контактних задач механіки деформівного твердого тіла.

Практична важливість і необхідність розв'язування таких задач привернули увагу багатьох вітчизняних та зарубіжних вчених. Перші задачі були розв'язані в кінці минулого і на початку нинішнього століття в роботах Герца Г., Буссинеска Ж., Чаплигіна С.А., Динника О.М. та інших. Але бурхливий розвиток теорії контактних задач почався лише в другій половині ХХ століття. Вагомий внесок у розвиток методів розв'язування цих задач зробили Александров В.М., Андрейків О.Є., Беляєв М.М., Бородачов М.М., Галін Л.О., Гриліцький Д.В., Губенко В.С., Гузь О.М., Довнорович В.І., Кільчевський М.О., Леонов М.Я., Лур'є А.І., Моссаковський В.І., Панасюк В.В., Попов Г.Я., Рвачов В.Л., Уфлянд Я.С., Штаєрман І.Я. та інші. Більшість робіт цих авторів стосується випадків простих форм одинарних штампів.

Разом з тим багато важливих проблем просторових контактних задач залишались невирішеними. Зокрема, недостатньо розвинуті методи розв'язу-вання багатопараметричних задач про взаємодію штампів; існує невелика кількість розв'язків задач для штампів, основи яких обмежені кусково-гладким контуром.

В зв'язку з цим розгляд вказаних задач є досить актуальним і потребує ширшого висвітлення та доповнення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Наукові результати дисертаційної роботи одержані здобувачем при виконанні держбюджетної теми “Питання алгебри, функціонального аналізу, математичної фізики; гіллясті ланцюгові дроби та їх застосування”, яка виконувалась у Державному університеті “Львівська політехніка” згідно з тематичними планами науково-дослідних робіт Міністерства освіти і науки України на 1995-2000 рр. (реєстраційний номер 01870095011).

Мета і задачі досліджень. Метою роботи є розробка та застосування методик розрахунку пружної рівноваги твердих тіл, що перебувають під дією жорстких одинарних штампів та їх систем різної конфігурації в плані, а також встановлення на базі цих методик умов руйнування крихких тіл під дією штампів.

Для досягнення цієї мети потрібно було розв'язати такі завдання:

– розробити метод наближеного визначення розподілу контактних напружень при дії систем штампів з круговою та еліптичною основами на пружний півпростір і шар;

– побудувати розв'язки однопараметричних задач з допомогою відомого інтерполяційного методу Нейбера;

– провести числовий аналіз впливу значень характерних параметрів на величину напружень під штампами;

– розробити методику розв'язування задач про тиск штампів, контури основи яких не є канонічними лініями;

– розробити методики проведення експериментальних досліджень для перевірки теоретичних положень щодо умов руйнування крихких тіл внаслідок їх взаємодії зі штампами.

Об'єкт дослідження - тиск жорстких штампів з неканонічними основами на пружні тіла.

Предмет дослідження-розподіл і взаємовплив полів контактних напружень.

Методи досліджень. Теоретичні дослідження проводились на основі методу граничної інтерполяції для наближеного визначення напруженого стану півпростору та шару при тиску на них жорстких штампів і методу парних інтегральних рівнянь, розв'язування яких, в свою чергу, реалізовувалось методами послідовних наближень і механічних квадратур. Експериментальні дослідження руйнівних процесів та перевірка теоретичних положень умов руйнування проводились методами тензометрії та іншими відомими методиками з визначення силових та деформаційних величин. Використання сучасного устаткування та контрольно-вимірювальної техніки дозволило отримати високу точність і достовірність результатів експерименту.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

розроблено методики дослідження багатопараметричних задач про тиск жорстких штампів на нескінченні та обмежені пружні тіла. Для розв'язування таких задач розвинуто: а) метод граничної інтерполяції для побудови наближеного розв'язку багатопараметричних задач через відповідні розв'язки їх граничних однопараметричних випадків, а також для розв'язку однопараметричних задач шляхом узагальнення відомого інтерполяційного методу Нейбера стосовно контактних задач; б) підхід щодо визначення контактних напружень і переміщень із системи інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду, розв'язування якої проведено методом ітерацій або шляхом зведення її до системи алгебраїчних рівнянь;

на основі вказаних методик вперше розв'язано задачі про тиск штампів на обмежені тіла у формі циліндра, паралелепіпеда і про тиск штампів з неканонічними основами та циклічно розміщених кругових штампів на пружний півпростір;

з аналізу розв'язків конкретних задач встановлено залежності зміни контактних напружень від геометричних та фізико-механічних параметрів, що доцільно використовувати для уточнення розрахунків контактної міцності елементів конструкцій і деталей машин;

встановлено силовий критерій руйнування крихких тіл, які взаємодіють з жорсткими штампами з плоскою основою. Показано, що руйнування тіл відбувається вздовж контура основи штампа на площадках, нахилених під кутом 70о до граничної поверхні тіл;

розроблено експериментальні методики дослідження пружної та граничної рівноваги крихких тіл при втисканні в них кругових, квадратних і прямокутних штампів і підтверджено отримані теоретичні результати щодо умов зародження та поширення тріщин.

Практичне значення отриманих результатів полягає в розробці інженерних методів розрахунку контактних напружень, що дає можливість визначати місця найбільшої їх концентрації в твердих тілах.

Результати досліджень можуть бути використані при прогнозуванні міцності елементів конструкцій в машинобудуванні (розрахунок зубчатих коліс, роликів і кілець підшипників, розподільних валів, в процесах обробки металів стиском і т.п.), в будівництві (розрахунок фундаментів, опор, гідротехнічних і підземних споруд) та в інших галузях промисловості. Окремі результати впроваджено в інженерну практику ВАТ “Завод Львівсільмаш” (акт впровадження № 1/379 від 20.06.2000 р.).

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. В публікаціях, написаних у співавторстві, здобувачу належить: в роботі [1] - постановка багатопараметричних задач для систем кругових і еліптичних штампів на пружному півпросторі і шарі скінченної товщини, зведення задач до суперпозиції відповідних однопараметричних випадків; в роботі [3] - постановка задачі і вибір способу її розв'язування, аналіз числових результатів; в роботі [5] - застосування методу граничної інтерполяції до розв'язування багатопараметричних контактних задач про тиск двох штампів на пружний прямокутник і про тиск системи чотирьох штампів на пружний півпростір; в роботі [7] - участь у постановці задачі та побудові інтегральних рівнянь на випадок системи штампів; в роботі [8] - розробка способу розв'язування системи чотирьох інтегральних рівнянь зведенням їх до одного рівняння та обчислення напружень, переміщень і векторів повороту штампа; в роботі [9] - постановка задачі і зведення її до інтегрального рівняння, аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертації та її окремі результати доповідались й обговорювались на ІІ Всесоюзній конференції “Змішані задачі механіки деформівного тіла” (м.Дніпропетровськ, 1981), на Х конференції молодих вчених ФМІ АН УРСР ім.Г.В.Карпенка (Львів, 1981), на науково-технічних конференціях викладачів ДУ “Львівська політехніка” (1982, 1985, 1990), на наукових семінарах кафедри вищої математики ДУ “Львівська політехніка” (1991, 1995). В цілому робота обговорювалась на науковому семінарі кафедри вищої математики ДУ “Львівська політехніка” (2000), на кваліфікаційному семінарі з механіки деформівного твердого тіла Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя (2000), на науковому семінарі відділу математичних проблем механіки неоднорідних тіл Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача (2000).

Публікації. За результатами дисертації опубліковано 9 наукових статей, з них 8 - у фахових журналах.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел, що містить 149 найменувань, та додатка. Загальний обсяг роботи становить 137 сторінок, в тому числі 30 рисунків, 3 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність роботи, визначена мета роботи та напрямки її досягнення, вказана наукова новизна, практичне значення отриманих результатів та апробація роботи.

У першому розділі зроблено огляд досліджень за темою дисертації та аналіз сучасного стану проблеми, що розглядається; подано основні математичні методи розв'язування просторових контактних задач; наведено базові співвідношення статики пружного тіла, необхідні для дослідження пружної рівноваги тіл; показано спосіб зведення змішаних просторових задач теорії пружності до розв'язування системи двомірних інтегральних рівнянь і запропоновано методику їх розв'язування.

Другий розділ присвячений розробці та застосуванню методу граничної інтерполяції до розв'язування одно- та багатопараметричних контактних задач.

Суть методу полягає в наступному. Розглядається пружне тіло, орієнтоване відносно системи криволінійних координат Oq1q2q3. На поверхню тіла тисне система m жорстких штампів. Нехай конфігурація тіла і геометричне розміщення штампів характеризуються лінійними параметрами b1,b2,...,bn, а геометрична конфігурація областей контакту - параметрами a1,a2,...,am. Параметри bj вважаються такими, що при прямуванні всіх відношень al/bj до нуля (l=1,2,...,m; j=1,2,...,n) пружне тіло вироджується в півпростір, на поверхню якого тисне штамп вибраної конфігурації al. На основі відомої П-теореми про розмірності напруження під штампом з конфігурацією al можна представити у вигляді

де - напруження в півпросторі під штампом конфігурації al при аналогічному його навантаженні; - безрозмірні параметри, які менші від одиниці; - безрозмірні, неперервні і неперервно-диференційовані функції.

При умові n+m>2 задачу називають багатопараметричною; якщо n=m=1, то задача є однопараметричною.

У випадку однопараметричної задачі значення функції Ф(q1,q2,) на проміжку 01 визначаються через її відповідні граничні значення при 0 і 1.

Для двопараметричної задачі функція Ф(q1,q2,1,2) визначається складовими Ф(q1,q2,1,0) і Ф(q1,q2,0,2) на координатних осях.

На основі допущень відносно параметрів bj справедлива рівність

Ф(q1,q2,0,...,0)=1

Розклавши функції Фl в ряди в околі точки (0,…,0) по кожному з параметрів , а також нехтуючи змішаними добутками цих параметрів, з урахуванням виразів (2) дані функції обчислюються за такими формулами:

Ці формули дають задовільну точність і в тих випадках, коли граничні значення шуканих функцій в основному визначаються першими членами їх степеневого розкладу.

Таким чином, на основі виразів (1) і (3) напруження l(q1,q2) можуть бути наближено обчислені через граничні значення з відповідних однопараметричних задач.

У випадку однопараметричної задачі розмір тіла характеризується лінійним параметром b, а область контакту штампа - параметром a. Тоді контактні напруження l(q1,q2) визначаються одним параметром =a/b<1.

Шукані контактні напруження (q1,q2) обчислювались способом, аналогічним до інтерполяційного методу Нейбера. При цьому можливі два граничні випадки: а) 0 (b), тобто тіло вироджується в півпростір. Напруження, які виникають під штампом, позначені через 0(q1,q2); б) 1, тобто розміри штампа і тіла стають близькими. Контактні напруження в цьому випадку позначено через 1(q1,q2).

Аналогічно, як і при знаходженні коефіцієнтів концентрації напружень, контактні напруження (q1,q2) для довільного визначаються з рівності

де - номінальні контактні напруження, які обчислюються за класичними формулами опору матеріалів.

Апробацію цього методу зроблено на відомих однопараметричних задачах про тиск штампа з плоскою основою на півбезмежну смугу скінченної ширини і про тиск кругового штампа в торець півбезмежного циліндра.

У випадку двох параметрів апробація здійснена на задачі про тиск двох штампів на протилежні торці пружного прямокутника. На основі формул (1), (3) напруження під штампом можна обчислити з такої рівності:

де 1=a/c, 2=a/b, Ф(x,1,0), Ф(x,0,2) - безрозмірні функції, які визначаються відповідно із задач про тиск штампа на пружну півсмугу скінченної ширини, а також на смугу скінченної товщини.

Значення напружень, знайдені запропонованим методом, відрізняються від результатів, одержаних більш точними методами, в межах 4-9%, що підтверджує ефективність і надійність даного підходу.

З допомогою цього підходу розв'язані нові багатопараметричні задачі, зокрема, про тиск на пружний півпростір двоякоперіодичної системи кругових штампів, системи чотирьох еліптичних штампів, двоякоперіодичної системи еліптичних штампів; про тиск на пружний шар періодичної системи кругових штампів; а також контактні задачі для обмежених тіл, а саме: про тиск кругового штампа на пружний циліндр і на пружний паралелепіпед.

Зокрема, нижче проілюстрована задача про втискання силою P у верхню грань пружного паралелепіпеда розмірами 2bx2cxh, який лежить на жорсткій основі, штампа з плоскою круговою основою радіуса a.

Наближений розв'язок цієї трипараметричної контактної задачі згідно з розробленою вище методикою представляється співвідношенням

де 1=a/b, 2=a/c , 3=a/h, Ф(x,y,1,0,0), Ф(x,y,0,2,0), Ф(x,y,0,0,3) - безрозмірні функції, які визначаються з розв'язків задач про тиск штампа в торець півбезмежної пластини скінченної ширини, а також на поверхню шару скінченної товщини. Проведено числовий аналіз залежності напружень від геометричних параметрів. При i0,2 (i=1,2,3) напруження в паралелепіпеді стають близькими до напружень у півпросторі.

Таким чином, метод граничної інтерполяції, на відміну від багатьох інших методів, дозволяє розв'язати велику кількість нових контактних задач, уникаючи при цьому значних математичних труднощів.

У третьому розділі викладено методику розв'язування змішаних задач для півпростору, на який діють штампи, основи яких обмежені кусково-гладкими лініями, що складаються з дуг кіл і прямолінійних відрізків.

Розглядається пружний півпростір z0, на границі якого z=0 задані такі змішані граничні умови:

Тут S - багатозв'язна область, яка в сумі з областями Sj складає всю площину z=0; Sj - однозв'язна область, обмежена опуклим кусково-гладким контуром Lj, який складається з Nj прямолінійних відрізків (m=1,2,..., Nj) і Mj дуг, які є частинами кіл кругів jk (k=1,2,..., Mj).

Відомо, що пружна задача для півпростору з граничними умовами (7) зводиться до знаходження гармонічної функції Ф(x,y,z), яка задовольняє на границі півпростору z=0 такі умови:

Шукана функція Ф(x,y,z) представляється у вигляді суми невідомих функцій:

Припускається, що функції Фj(x,y,z) та їх похідні на нескінченності дорівнюють нулю, як і функція Ф(x,y,z), а на границі півпростору z=0 задовольняють умови

де - область, що доповнює Sj до повної площини z=0.

На основі співвідношень (8) - (10) для функцій Фj(x,y,z) можна записати такі взаємозв'язані змішані граничні умови:

Для розв'язування граничної задачі (11) функції Фj(x,y,z) вибирались у вигляді інтегрального розкладу Фур'є:

.

Тут невідомі функції Aj(,) є розв'язком системи дуальних інтегральних рівнянь, отриманої на основі співвідношень (11). Після низки перетворень ця система зводиться до системи двомірних інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду відносно функцій переміщень jk(x,y), j(m)(x,y), з допомогою яких визначаються напруження z(x,y,0):

де

E- модуль пружності, - коефіцієнт Пуассона.

Таким чином, поставлена задача зведена до розв'язування системи інтегральних рівнянь другого роду, які для конкретних випадків ефективно розв'язуються як методом ітерацій, так і числовими методами.

Застосування описаного методу показано на таких задачах:

1. Тиск півкругового штампа на пружний півпростір. Нехай в пружний півпростір під дією сили P втискається штамп з плоскою основою у вигляді півкруга радіуса a. Діаметральна частина півкруга розміщена на осі Ox симетрично до осі Oy. Були знайдені переміщення точок площини z=0 поза штампом. Система інтегральних рівнянь Фредгольма для цього випадку розв'язана методом механічних квадратур. Точність результатів перевірялась через роз-в'язування систем 180 і 288 алгебраїчних рівнянь - розбіжність результатів не перевищувала 2%. З аналізу числових результатів встановлено, що найбільші переміщення знаходяться біля середини прямолінійної ділянки півкруга.

2. Контактна задача для системи двох кругових штампів. Нехай на границю z=0 пружного півпростіру тиснуть два кругові штампи, основи яких займають області x2+y2a2 (1) і (x-h)2+y2a2 (2) в прямокутній системі координат Oxyz. Потрібно визначити напруження під штампами.

Згідно з викладеною методикою складалась система інтегральних рівнянь, яка внаслідок симетричності напруженого стану відносно площини x=h/2 зведена до одного інтегрального рівняння, яке розв'язано методом послідовних наближень. З врахуванням трьох наближень одержано вираз для функції переміщень і встановлено розподіл самих переміщень поза штампами в залежності від віддалі між ними. Аналіз результатів показав, що взаємовплив штампів практично відсутній при a/h<0,2.

3. Тиск системи кругових штамиів при циклічній симетрії. За допомогою запропонованої методики встановлено також розв'язки для випадку циклічної симетрії, коли центри n кругових штампів радіуса a знаходяться на колі радіуса R і рівновіддалені між собою. Так як напруження під кожним штампом однакові у всіх точках, рівновіддалених від центру кола, то система інтегральних рівнянь зводиться до одного інтегрального рівняння. Числовий аналіз проведено для випадку тиску на пружний півпростір системи чотирьох штампів. Знайдено розподіл напружень під штампом, вектор його повороту і осадку штампа. З аналізу результатів випливає, що взаємовплив штампів незначний при =a/R<0,2.

Четвертий розділ присвячений дослідженню контактної взаємодії крихких тіл з жорсткими штампами залежно від форми та розміру їх основ. Відомо, що в околі контура, що обмежує основу штампа, який тисне на тіло, є висока концентрація напружень, в результаті чого в крихких тілах біля штампа можуть виникати та поширюватись тріщини. В розділі визначаються умови, при яких ці процеси відбуваються в крихких тілах, що контактують зі штампами.

Розглянуто випадок тиску штампа з плоскою основою на крихке тіло, причому розміри штампа вважаються набагато меншими за розмір тіла. В зв'язку з цим крихке тіло прийнято як півпростір z0. Вважається, що під штампом дотичні напруження відсутні і поверхня півпростору поза штампом є вільною від напружень.

Для визначення напружень вибиралась деяка точка M на контурі L, який обмежує основу штампа. Проводилась через цю точку в площині z=0 дотична Mq, а через неї - площина, яка нахилена під кутом до площини z=0. Через точку M в цій площині проводився перпендикуляр до прямої Mq і відкладалась на ньому точка Q, яка лежить на віддалі r від точки M. Досліджувався розподіл напружень в півпросторі в околі штампа. Напружений стан в околі контура основи штампа має кореневу особливість. Відомо, що таку ж особливість мають напруження в околі вершини тріщини. Тому, використовуючи результати з теорії тріщин, напруження в точці Q при малих значеннях r можна записати у вигляді

Тут r- напруження на площадках з нормаллю MQ; p - напруження на площадках, паралельних до площини Mrq; pr- дотичні напруження, K1 і K2 - величини, які залежать від орієнтації штампа, величини прикладеної сили P і розміщення точки M на контурі L. Слід зауважити, що в задачах для плоских тріщин величини K1 і K2 трактуються як коефіцієнти інтенсивності напружень.

Так як під штампом, в площині z=0, дотичні напруження відсутні, то у формулах (14) K2.

Величина K1 визначалась з умови p=zz при =0, тобто

де zz - контактні напруження, які визначаються з розв'язку відповідної задачі.

Напруження r і p в тілі є стискаючими в околі границі штампа і тому руйнування можливе лише за рахунок дотичних напружень pr. Кут =* нахилу площадки, на якій може здійснюватись таке руйнування, є шуканою величиною. З умови екстремуму функції ()=sin(/2)+sin(3/2) знайдено кут *=2arccos70,5o, при якому pr будуть максимальними. Звідси

З іншого боку, процес крихкого руйнування може початися при досягненні дотичними напруженнями критичного рівня. Використовуючи критерії лінійної механіки руйнування, отримано таку залежність:

де KIIC - критичне значення коефіцієнта інтенсивності напружень при поперечному зсуві. З рівностей (16) і (17) випливає, що руйнування почнеться при умові K1=K1*, де

В задачі про тиск кругового штампа контактні напруження в ци-ліндричній системі координат (,,z) з початком в центрі круга мають вигляд

де x=acos, y=asin, a- радіус основи штампа.

Тоді на основі (15) з врахуванням, що при z=0 в околі границі штампа =a-r, отримано

Зокрема, для плоского осесиметричного штампа

f(x,y)=P/(2a)

де P- прикладена сила.

В цьому випадку K1=P/(2a). Підставивши граничне значення K1 в рівність (18), одержано значення руйнівної сили:

Для перевірки залежності критичного зусилля P* від розмірів штампа з врахуванням теоретичних розв'язків (15-20) в роботі запропоновано детальну методику реалізації експериментальних досліджень на розробленій установці з необхідним технологічним спорядженням для запису діаграми руйнування дослідного зразка від втискання штампа. Експериментальні дослідження проведені на зразках у вигляді куба з ребром 100 мм, виготовлених з органічного скла. У центрі верхньої грані куба втискались штампи з основою у вигляді круга, а також квадрата і прямокутника, сторони основ яких розміщувались паралельно до ребер контактуючої поверхні зразка. При цьому самописець будував діаграму зміни стискаючих зусиль P і переміщення штампа w.

Важливим моментом є підтвердження теоретичних досліджень результатами проведених експериментів щодо геометрії характерного фрагмента (уламка) тіла, який формується під штампом в процесі руйнування зразка. В усіх випадках від дії кругових штампів витисненим фрагментом тіла був практично прямий круговий конус, твірна якого нахилена під кутом 70o до основи конуса. При втисканні квадратних штампів отримано майже правильну чотирикутну піраміду, грані якої нахилені до площини основи під кутом 70o. І, нарешті, після втискання прямокутного штампа, який по свій довжині покривав верхню грань зразка, утворилась трикутна призма, бічні грані якої нахилені до площини основи також під кутом 70o. Отже, незалежно від форми штампа, маємо практично стале значення кута нахилу поверхні руйнування до основи тіла, яке повністю узгоджується з результатами теоретичних досліджень.

тиск контактний пружний жорсткий

ВИСНОВКИ

В дисертації наведено теоретико-експериментальне узагальнення щодо вирішення наукової проблеми, яка полягає у визначенні напружено-деформованого стану нескінченних і обмежених пружних тіл при їх контактній взаємодії з жорсткими штампами, основи яких обмежені гладкими контурами та контурами з кутовими точками; а також у встановленні критеріального співвідношення руйнування крихких тіл в умовах стиску. Це завдання здійснено за допомогою розроблених методів для розв'язування багатопараметричних контактних задач і експериментальних методик стосовно перевірки результатів теоретичних досліджень.

Запропоновано методику розв'язування одно- і багатопараметричних контактних задач, що ґрунтується на методі граничної інтерполяції, який дозволяє звести складні багатопараметричні контактні задачі до відповідних однопараметричних задач. За даною методикою, апробованою на відомих задачах, розв'язано ряд нових контактних задач. Встановлено, що від тиску плоского штампа завширшки 2a на півнескінченну смугу завширшки 2b напруження, які виникають в ній, стають близькими до напружень у півплощині при a/b<0,25 У випадку втискання кругового штампа в торець пружного паралелепіпеда поле контактних напружень в ньому стає ідентичним до поля контактних напружень у півпросторі, якщо розміри паралелепіпеда у всіх напрямках одночасно перевищують розмір діаметра основи штампа в 5-6 разів.

Розроблено методику зведення контактних задач про тиск на пружний півпростір штампів, контури основи яких складаються з дуг кіл і прямолінійних відрізків, до системи інтегральних рівнянь Фредгольма ІІ роду. Як показали числові результати, при дії півкругового штампа на пружний півпростір переміщення біля середини прямолінійної границі контура штампа перевищують переміщення біля колової частини контура в 1,5-2 рази, що необхідно враховувати при проектуванні та експлуатації виробів з подібною конфігурацією. У випадку дії системи двох кругових штампів на пружний півпростір їх взаємовплив значно зростає при зближенні центрів основ, починаючи приблизно з віддалі п'яти радіусів. Так, при наближенні на віддаль чотирьох радіусів нормальні переміщення під кожним штампом перевищують відповідні переміщення від дії одного кругового штампа майже в 1,5 раза. При цьому відсутнє відлипання основ штампів від поверхні півпростору, а точки граничної поверхні переміщаються тільки в напрямку дії штампів.

Запропоновано методику знаходження контактних напружень під системою кругових штампів при циклічній симетрії. Показано, що в цьому випадку задача зводиться лише до одного інтегрального рівняння. Досліджено розподіл контактних напружень, переміщень штампів і їх поворотів відносно координатних осей залежно від прикладеної сили для системи чотирьох штампів радіуса a, розміщених у вершинах квадрата зі стороною h. Аналіз числових результатів показав, що максимальні значення контактних напружень досягаються в околі точки , а взаємовплив штампів практично відсутній при h>5a.

Встановлено критеріальне співвідношення локального руйнування крихкого тіла в околі граничного контура штампа з плоскою основою. Зокрема показано, що у випадку кругового штампа, який діє на тіло, руйнування починається при досягненні стискаючою силою величини

де a - радіус основи штампа, KIIc - критичне значення коефіцієнта інтенсивності напружень при поперечному зсуві.

Показано, що при тиску штампів на крихке тіло максимальні дотичні напруження діють на площадках, нахилених під кутом 70o до контактуючої поверхні тіла.

Розроблено установку та необхідне технологічне спорядження з контрольно-вимірювальною технікою для проведення експериментальних досліджень конструкційних матеріалів на стиск із записом діаграми руйнування в координатах “сила переміщення”, що дозволило докладніше вивчати процеси руйнування твердих тіл, а також спостерігати за кінетикою зародження та поширення тріщин вздовж контура основи штампа при його втисканні в дослідний зразок.

Проведено експериментальні дослідження контактної взаємодії крихких тіл з жорсткими штампами різної конфігурації основи. Підтверджено, що руйнування цих тіл відбувається за рахунок максимальних дотичних напружень, які виникають при зсуві. При цьому виявлено, що, незалежно від форми основ штампів, поверхні руйнування нахилені під кутом 70o до контактної поверхні дослідного зразка. Встановлено також форму фрагмента тіла, що витискається з-під штампа при руйнуванні зразка, а саме: круговий конус, чотирикутна піраміда і трикутна призма - від тиску відповідно кругового, квадратного і прямокутного штампів.

Результати розробленої аналітико-експериментальної методики знайшли своє застосування в інженерній практиці, зокрема у ВАТ “Завод Львівсільмаш” при проектуванні великогабаритних штампів і виготовленні пресформ (матриця і пуансон) на операціях штампування кожухів оприскувачів та інших деталей сільськогосподарського машинобудування.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Дубецький С.А., Когут М.С. Тиск системи кругових та еліптичних штампів на пружний півпростір і шар// Машинознавство.-2000. -№2. - С.25-27.

2. Дубецький С.А. Контактна задача для пружного паралелепіпеда// Вісник ДУ «Львівська політехніка» «Прикл. математика».-1998.-№341.-С.105 -107.

3. Дубецький С.А., Соджак І.І. Визначення методом граничних елементів тривимірного напружено-деформованого стану тіл циліндричної форми// Вісник ДУ «Львівська політехніка» «Прикл. математика».-1996.-№299.-С.50-54.

4. Дубецкий С.А. Смешанная задача теории упругости для двух круговых штампов// Вестн. Львовс. политехн. ин-та «Диф. уравнения и их приложения». -1989. - №232. - С.54 - 56.

5. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Дубецкий С.А. Об одном интер-поляционном подходе для приближенного решения многопараметрических контактных задач// Пробл. прочности. - 1982. - №2. - С.28 - 32.

6. Дубецкий С.А. Решение однопараметрических контактных задач теории упругости методом граничной интерполяции// Физ.-хим. механика материалов. - 1982. - №3. - С.122-124.

7. Панасюк В.В., Андрейків О.Є., Дубецький С.А. Змішана задача теорії пружності для півпростору з кількома кусково-гладкими лініями поділу крайових умов// Доп. АН УРСР. Сер.А. - 1980. - 310. - С.40 - 43.

8. Андрейкив А.Е., Дубецкий С.А. Давление системы четырех штампов на упругое полупространство// Прикл. механика. - 1973.- 9, №6. - С.102 - 104.

9. Дубецький С.А., Желізняк Й.Р. Тиск квадратного в плані штампа на пружний півпростір// Вісник ДУ «Львівська політехніка» «Прикл. математика». -1999. -№364. - С.40 - 42.

АНОТАЦІЇ

Дубецький С.А. Пружна рівновага твердих тіл при жорстко-контактному навантаженні.-Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04-механіка деформівного твердого тіла.-Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя, Тернопіль, 2000.

Дисертація присвячена розробці розрахунково-експериментальної методики для визначення контактних напружень і переміщень в твердих тілах при дії на них жорстких одинарних штампів та їх систем різної конфігурації в плані. Теоретичні дослідження проведені за допомогою двох методів. Перший з них - метод граничної інтерполяції, за яким знайдено розв'язки багатопараметричних контактних задач через їх граничні випадки, тобто розв'язки однопараметричних задач. Ефективність цього методу показана на співставленні отриманих результатів з розв'язками відомих задач. Знайдено розв'язки для нових контактних задач, які мають важливе значення в інженерній практиці. З допомогою другого - методу інтегральних рівнянь - одержано формули для знаходження напружень і переміщень під штампами, контур основи яких складається з прямолінійних відрізків і дуг кіл. Досліджено випадки тиску на пружний півпростір півкругового штампа, системи двох кругових штампів і системи чотирьох кругових штампів. Знайдено умови, при яких відбувається руйнування крихких тіл при їх контактній взаємодії з жорсткими штампами. Експериментальну частину роботи складають розробка установки з контрольно-вимірювальними пристроями, проведення досліджень процесу поширення тріщин в конструкційних матеріалах при їх стиску із записом діаграм руйнування та визначенням руйнівних зусиль. Результати експериментів добре узгоджуються з даними аналітичних розрахунків, що створює хорошу перспективу їх подальшого використання для оцінки контактної міцності елементів конструкцій та деталей машин, які працюють в умовах стиску.

Ключові слова: контактні напруження, пружний півпростір, жорсткий штамп, розподіл напружень, переміщення, деформація, експериментальна методика, контактна міцність.

Дубецкий С.А. Упругое равновесие твердых тел при жестко- контактном нагружении. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела.- Тернопольский государственный технический университет имени Ивана Пулюя, Тернополь, 2000.

Диссертация посвящена разработке расчетно-экспериментальной методики для определения контактных напряжений и перемещений в твердых телах под действием жестких одинарных штампов и их систем различной конфигурации в плане. Теоретические исследования проведены двумя методами. Сущность первого метода (метод граничной интерполяции) состоит в построении приближенных решений многопараметрических задач, используя суперпозицию их предельных случаев, когда изменяется один из параметров, а остальные стремятся к нулю. Характеризующими параметрами принимаются отношения размеров основания штампов к расстоянию между ними или к размерам конечных тел. Разработан также подход для определения контактных напряжений в случае однопараметрических задач с использованием интерполяционного метода Нейбера при определении коэффициентов концентрации напряжений. Эффективность и надежность предложенного метода показана на примерах известных контактных задач. Хорошее совпадение полученных результатов свидетельствует о достоверности решений и для новых контактных задач, многие из которых могут быть использованы в инженерной практике.

Согласно второму методу (метод интегральных уравнений) найдены контактные напряжения под штампами, контур основания которых состоит из дуг окружностей и прямолинейных отрезков. В этом случае задача сведена к решению системы двумерных интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода, которая решалась либо сведением ее к системе алгебраических уравнений, либо методом последовательных приближений. Этот подход применен к исследованию контактного взаимодействия полукругового штампа и системы двух круговых штампов с упругим полупространством. Кроме этого, он применен также для случая симметрического размещения круговых штампов на одной окружности (циклическая симметрия). Вследствие симметрии система уравнений сводится к одному интегральному уравнению. В качестве примера рассмотрено взаимодействие системы четырех круговых штампов, вдавливаемых в упругое полупространство. При этом получены выражения для определения контактного давления, осадки штампа и проекции вектора его поворотов.

Определены условия, при которых осуществляется разрушение хрупких тел при их контактном взаимодействии с жесткими штампами. Показано, что распространение трещин происходит за счет касательных напряжений сдвига (скола), максимальное значение которых достигается на поверхностях, наклоненных к основанию образца под одинаковым углом .

В экспериментальной части разработаны установка и необходимая технологическая оснастка для проведения исследований конструкционных материалов на сжатие с записью диаграмм разрушения и изучения процесса зарождения и распространения трещин. Для опытов использовали образцы в виде куба с ребром размером 100 мм, изготовленные из органического стекла. При вдавливании в них штампов с основаниями в виде круга, квадрата и прямоугольника в процессе разрушения образцов возникали фрагменты устойчивой формы соответственно в виде прямого кругового конуса, правильной четырехугольной пирамиды и треугольной призмы с одинаковым углом наклона поверхности распространения трещин к контактной поверхности образца, что хорошо подтверждает аналитические расчеты.

Результаты исследований могут быть использованы для оценки и прогнозирования контактной прочности элементов конструкций и деталей машин, работающих в условиях сжатия.

Ключевые слова: контактные напряжения, упругое полупространство, жесткий штамп, распределение напряжений, перемещение, деформация, экспериментальная методика, контактная прочность.

Dubetsky S.A. Elastic equilibrium of solids under rigid contact loading. - Manuscript.

Dissertation for awarding of scientific candidate degree of technical sciences, by speciality 01.02.04 - Mechanics of Solids. - Ternopil State Technical University named after Ivan Pulyuy, Ternopil, 2000.

The dissertation is devoted to development of a calculated-experimental technique for determination of contact stresses and displacements in solids under rigid stamps and their systems of different configuration in the plan view. The theoretical researches are carried out by two methods. First is the method of boundary interpolation with the help of which solutions to multiparameter contact problems via their boundary cases, that is, solutions of single parameter problems have been identified. The effectiveness of this method is shown through comparison of the results achieved with solutions of known cases. Solutions to new contact problems, which are of highest priority in engineering practice, have been found. Second is the method of integral equations with the help of which formulae for identification of stresses and displacements under stamps, base contour of which consists of rectilinear piece and circle arcs have been obtained. Cases of pressure on elastic half-space of semicircle stamps, systems of two and four circle stamps have been investigated. Fracture conditions of brittle bodies while contacting interaction with rigid stamps is taking place have been found. Experimental part consists of development of equipment with control and measuring devices and realization of researches of materials on compression with record of the fracture diagrams and study of crack initiation and crack propagation has been developed. Experimental results agree with analytical data with create good perspective for their further usage for evaluation of contact firmness of structural elements and machine details, which work in compression conditions.

Key words: contact stresses, elastic half-space, rigid stamp, stress distribution, displacement, deformation, experimental methods, contact durability.

Размещено на Allbest.ur

...