Анализ нескорректированной системы автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Анализ структуры нескорректированной системы автоматического управления (САУ)

1.1. Структурная схема нескорректированной САУ

1.2. Передаточные функции разомкнутой системы

1.3. Передаточные функции замкнутой системы

2. Анализ устойчивости нескорректированной САУ

2.1. Критерий Гурвица

2.2. Критерий Найквиста

2.3. Критерий Михайлова

2.4. Анализ логарифмических частотных характеристик

3. Анализ качества нескорректированной САУ

4. Синтез корректирующего устройства

4.1. Синтез корректирующего устройства методом Соколова

4.2. Анализ качества скорректированной САУ

4.3. D-разбиение в области параметра одного параметра

5. Анализ скорректированной САУ при введении нелинейного элемента

5.1. Введение в прямой тракт скорректированной системы нелинейного элемента

5.2. Анализ абсолютной устойчивости нелинейной системы

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Теория систем автоматического управления (ТАУ) содержит в себе курс необходимы для анализа проектирования, изучения, моделирования и коррекции различного рода систем: таких как механические, гидравлические, электронные и так далее вплоть до биологических. Данная дисциплина позволяет оценить параметры системы различного рода: устойчива ли система, насколько точно система работает в заданном режиме. Так же курс ТАУ рассматривает анализ переходных процессов, который позволяет судить о быстродействии системы и других переходных характеристиках системы автоматического управления.

В рамках ТАУ рассматривается устойчивость линейных и нелинейных систем. Устойчивость линейной системы оценивается по различным критериям. Эти критерии можно разделить на алгебраические и частотные. К алгебраическим критериям относят критерий Гурвица, Рауса, к частотным - Найквиста, Михайлова и др. Абсолютную устойчивость нелинейных систем можно оценить с помощью критерия Попова.

Особенностью переходных процессов в нелинейных системах является возникновение незатухающих колебаний или автоколебаний. Они могут оказывать как отрицательное, так и положительное влияние на системы в целом. Условия возникновения автоколебаний рассматриваются в рамках частотного метода Гольдфарба.

Данная курсовая работа содержит анализ, коррекцию системы автоматического управления, а так же оценки ее качества и устойчивости.

передаточные функции гурвиц разомкнутая

1. Анализ структуры нескорректированной системы автоматического управления (САУ)

1.1 Структурная схема нескорректированной САУ

Схема нескорректированной системы представлена на рис.1.1.

f(t)

g(t) x(t)

Рис.1.1 Схема нескорректированной системы

Передаточные функции звеньев данной системы имеют вид:

;

.

1.2 Передаточные функции разомкнутой системы

Структурная схема разомкнутой системы при нулевом внешнем воздействии представлена на рис.1.2.

f(t)=0

g(t) x(t)

Рис.1.2

Эквивалентная передаточная функция системы, структурная схема которой изображена на рис.1.2, может быть выражена как

;

.

Для изучения характеристик системы использовано моделирование в среде Matlab. На рис.1.3 представлена схема моделирования.

Рис.1.3

На выходе из системы получена переходная характеристика для разомкнутой системы при нулевом внешнем воздействии (рис .1.4).

Рис.1.4

Структурная схема разомкнутой системы при нулевом задающем воздействии представлена на рис.1.5.

f(t)

g(t)=0 x(t)

Рис.1.5

Эквивалентная передаточная функция системы, структурная схема которой изображена на рис.1.5, может быть выражена как

;

.

На рис.1.6 представлена схема моделирования в Matlab.

Рис.1.6

Переходная характеристика, полученная на выходе из системы при нулевом задающем воздействии, представлена на рис.1.7.

Рис.1.7

1.3 Передаточные функции замкнутой системы

Структурная схема замкнутой системы при нулевом внешнем воздействии представлена на рис.1.8.

f(t)=0

g(t) е(t) x(t)

Рис.1.8

Эквивалентная передаточная функция системы, структурная схема которой изображена на рис.1.8, может быть выражена как

;

.

Схема моделирования в Matlab представлена на рис.1.9

Рис.1.9

Переходная характеристика, полученная для замкнутой системы при нулевом внешнем воздействии, изображена на рис.1.10.

Рис.1.10

Эквивалентная передаточная функция системы по ошибке, структурная схема которой изображена на рис.1.8, может быть выражена как

;

.

Характеристика, иллюстрирующая изменение значения ошибки от времени изображена на рис.1.11

Рис.1.11

Структурная схема замкнутой системы при нулевом задающем воздействии представлена на рис.1.12.

f(t) x(t)

е(t)

g(t)=0

Рис.1.12

Эквивалентная передаточная функция системы, структурная схема которой изображена на рис.1.12, может быть выражена как

;

.

Схема моделирования в Matlab представлена на рис.1.13

Рис.1.13

Переходная характеристика замкнутой системы при нулевом задающем воздействии изображения на рис.1.14.

Рис.1.14

Структурная схема замкнутой системы при нулевом задающем воздействии представлена на рис.1.15. Выходной сигнал - ошибка.

g(t)=0

f(t) е(t)

Рис.1.15

Эквивалентная передаточная функция системы по ошибке, структурная схема которой изображена на рис.1.15, может быть выражена как

;

Переходная характеристика ошибки замкнутой системы изображена на рис.1.16.

В ходе анализа структуры нескорректированной САУ были получены передаточные функции и переходные характеристики в разомкнутом и замкнутом состоянии.

Рис.1.16

2. Анализ устойчивости нескорректированной САУ

2.1 Критерий Гурвица

Алгебраический критерий Гурвица звучит следующим образом: необходимым и достаточным условием устойчивости замкнутой САУ будет выполнение условия, согласно которому все определители матриц составленных из коэффициентов характеристического уравнения должны иметь тот же знак что и b₀.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид

.

Характеристическим полиномом замкнутой системы является знаменатель ее передаточной функции

.

Из полученного характеристического полинома определяют коэффициенты

b₀=0.0000003, b₁=0.000403, b₂=0.104, b₃=1, b₄=360.

b₀>0

Условие устойчивости по критерию Гурвица не выполняется. Система не устойчива.

2.2 Критерий Найквиста

Замкнутая система устойчива, если при изменении частоты от 0 до +? годограф передаточной функции разомкнутой САУ охватывал точку (-1 ,j0) л/2 раз, вращаясь в положительном направлении.

В рамках критерия Найквиста рассматривают передаточную функцию разомкнутой системы, которая имеет вид

.

Откуда характеристическое уравнение будет выражено как

.

Корни характеристического уравнения разомкнутой системы можно найти с помощью Matlab (рис.2.1)

Рис.2.1

Все корни характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости.

Построение АФХ можно выполнить с помощью Matlab (рис.2.2):

Рис.2.2

Годограф передаточной функции разомкнутой САУ, изображенный на рис.2.2 охватывает точку (-1 ,j0). Что говорит о не устойчивости системы.

2.3 Критерий Михайлова

Для устойчивости линейной САУ необходимым и достаточным условием является то, что годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до +?, начав движение из точки, лежащей на положительной вещественной полуоси, вращаясь только против часовой стрелки, нигде на обращаясь в нуль, прошел последовательно n-квадрантов и повернулся на угол nр/2, где n - степень характеристического полинома.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид

.

Откуда характеристическое уравнение можно записать как

.

С помощью Matlab можно определить корни характеристического уравнения замкнутой системы (рис.2.3)

Рис. 2.3

На рис.2.4 изображен годограф Михайлова для замкнутой системы.

Рис.2.4

Система неустойчива, так как годограф Михайлова, при изменении частоты от 0 до +?, повернулся по часовой стрелке.

2.4 Анализ логарифмических частотных характеристик

На рис.2.5 изображены логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) и логарифмическая фазная характеристика (ЛЧХ), полученные с помощью Matlab.

Рис.2.5

По рис.2.5 можно определить щ_р и щ_ср.

Система неустойчива, так как .

3. Анализ качества нескорректированной САУ

Переходные характеристики замкнутой системы (рис.1.10) расходятся, что делает невозможным определение времени регулирования и перерегулирование, имеется характерные колебания.

Показатель колебательности м - это отношение максимального значения мнимой части корней характеристического уравнения к соответствующей вещественной.

С помощью Matlab найдем корни характеристического уравнения замкнутой системы (рис.3.1)/

Рис.3.1

Корень с максимальным значением мнимой части:

Карта корней характеристического уравнения изображена на рис.3.2

Рис.3.2

Частотные оценки. Запасы устойчивости.

ЛАХ и ЛЧХ нескорректированной САУ (рис.3.3)/

Рис.3.3

Система имеет отрицательные запасы устойчивости.

4. Синтез корректирующего устройства

4.1 Синтез корректирующего устройства методом Соколова

На первом этапе определяется разность порядков полиномов знаменателя (n₁) и числителя (m₁) передаточной функции замкнутой нескорректированной системы

(n₁-m₁).

n₁-m₁=4-0=4

н=1

На втором этапе формируется желаемая передаточная функция замкнутой системы, удовлетворяющая заданным требованиям к качеству синтезируемой системы на основе нормированных передаточных функций.

Требования к синтезируемой системе:

^зад=20 %;

=0,25, с

При формировании желаемой передаточной функции степени m и n соответственно полиномов B(S) и A(S) выбирают, исходя из следующих соотношений:

m=н-1=1-1=0,

n=(n₁-m₁)+н-l=4+1-1=4,

Нормированная передаточная функция Ф_н(р) будет иметь те же порядки n и m. Коэффициенты этой функции определяют из соответствующей Таблицы А.1 Приложение. Минимальное время регулирования в приложении.

По переходной характеристике нормированной функции (рис.4.1) определяют время переходного процесса ф_н.

Рис.4.1

ф_н=4.58 c.

Переход от Ф_н(р) к Ф_ж(s) производится на основании теоремы масштабов преобразования Лапласа с использованием следующего соотношения

p=sz,

Желаемую передаточную функцию можно получить, из равенства

Ф_ж(s)=Ф_н(sz)

Структурная схема скорректированной системы изображена на рис.4.2. Н определить передаточную функцию корректирующего устройства (КУ).

f(t)

g(t) x(t)

Hис.4.2

Для упрощения вычислений вначале нужно записать эквивалентную передаточную функцию объекта управления и КУ.

Передаточная функция скорректированной системы запишется как

;

;

;

.

Откуда можно выразить передаточную функцию корректирующего устройства

;

При подстановке исходных данных выражение примет вид

.

4.2 Анализ качества скорректированной САУ

Переходная характеристика скорректированной системы изображена на рис.4.3

Рис.4.3

Время регулирования и перерегулирование численно равны

t_рег=0.25 c =4.23 %.

Полученные значения удовлетворяют требованиям к синтезируемой системе.

Оценка запасов устойчивости по модулю и по фазе путем построения ЛАХ и ЛФХ (рис.4.4)

Рис.4.4

По рис.4.5 определяют запасы устойчивости по модулю и по фазе, а так же щ_р и щ_ср

Система устойчива так как .

Определение коэффициентов ошибок.

С помощью MatLab можно определить значение коэффициентов ошибок:

;

;

.

Полученные коэффициенты ошибок отличаются от заданных, потому что в качестве главного критерия при формировании передаточной функции желаемой системы выступало минимальное время регулирования.

4.3 D-разбиение в области одного параметра

Метод D-разбиения заключается в определении допустимой области изменения одного или нескольких параметров, при условии, что система не потеряет свою устойчивость.

Во-первых, необходимо записать передаточную функцию замкнутой системы и характеристичное уравнение

;

;

.

Передаточная функция скорректированной системы в общем виде

.

Характеристическое уравнение имеет вид

.

Во-вторых, необходимо выразить через остальные параметры

;

.

При s>jщ выражение примет вид

После постановки выпажени примет вид

.

Кривая D-разбиения в области параметра изображена на рис.4.5

Так как параметр должен принимать только действительные значения, то в полученной области необходимо выбрать только те значения, при которых Im()=0.

Область значений:

Необходимо проверить, будет ли являться данный диапазон областью устойчивости, приняв равным любому значению из данного диапазона.

Рис.4.5

Пусть . Передаточная функция замкнутой системы примет вид:

Требуется проверить устойчивость данной системы по любому из критериев устойчивости. На рис.4.6 изображен годограф скорректированной системы в разомкнутом виде.

Рис.4.6

Годограф не охватывает точку (-1; j0). Система устойчива по Найквисту.

5. Анализ скорректированной САУ при введении нелинейного элемента

5.1 Введение в прямой тракт скорректированной системы нелинейного элемента

В качестве нелинейного элемента выступает частный случай нелинейности типа насыщение и зона нечувствительности (рис.5.1).

Рис.5.1

Параметры нелинейности:

Коэффициенты гармонической линеаризации:

Используя метод Гольдфарба, составляют выражения для обратного инверсного коэффициента.

-

Затем определяют передаточную функцию линейной части

Для оценки возникновения автоколебаний выполняют построение АФХ линейной части и обратного инверсного коэффициента в одной плоскости (рис.5.2).

Рис.5.2

Как видно АФХ линейной части и обратного инверсного коэффициента не пересекаются, что говорит о невозможности возникновения автоколебаний.

5.2 Анализ абсолютной устойчивости нелинейной системы

Критерий Попова: нелинейная система абсолютно устойчива, если модифицированный годограф весь находится правее прямой проходящей через точку (-1/k ; j0).

Согласно критерию Попова необходимо привести передаточную функцию линейной части к виду:

При s>jщ выражение примет вид:

Затем модифицируют полученное выражение, умножив мнимую часть на щ

Далее выполняют построение АФХ для модифицированной передаточной функции (рис.5.3)

Рис.5.3

Как видно из данного рисунка, существует возможность проведения хотя бы одной прямой через точку (-2; j0) левее модифицированного годографа, что указывает на абсолютную устойчивость нелинейной системы.

Заключение

В ходе выполнения данной курсовой работы был проведен анализ нескорректированной системы автоматического управления. Были рассмотрены передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем.

Произведен анализ устойчивости системы по трем критериям. Нескорректированная САУ оказалась неустойчивой.

Анализ качества показал полную нестабильность системы. Переходные процессы нескорректированной САУ имели расходящийся колебательных характер.

Был произведен синтез корректирующего устройства методом Соколова. Основным требованием к синтезируемой системе стало минимальное время регулирования. На этой основе получена передаточная функция корректирующего устройства.

Анализ качества скорректированной системы показал, что переходные характеристики соответствуют требованиям к синтезируемой системе. Полученная система имеет положительные запасы устойчивости как по модулю, так и по фазе.

В результате оценки влияния на устойчивость системы одного из ее параметров, была определена область устойчивости системы для данного параметра.

Методом Гольдфарба было определено, что при введении в прямой тракт скорректированной системы автоколебаний не возникает, а частотный критерий Попова показал, что система при этом абсолютно устойчива.

Список литературы

Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - СПб.: Профессия, 2003. - 744 с.

http://www.tehnoinfa.ru/teorijasistempravlenija/108.html.

Размещено на Allbest.ru

...