Дослідження нелінійних явищ у системі гідравлічного випромінювача методами геометричного моделювання

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти України

Київський національний університет будівництва і архітектури

УДК 515.2

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Дослідження нелінійних явищ у системі гідравлічного випромінювача методами геометричного моделювання

Спеціальність 05.01.01 Прикладна геометрія, інженерна графіка

Гнітецька Тетяна Віталіївна

Київ 2001

Загальна характеристика роботи

У прикладній геометрії добре розвинуті напрямки геометричного моделювання щодо попереднього визначення параметрів інженерного об'єкта, його форми та конструкції. Більш складною є задача прогнозування та керування процесами, а також поведінкою реальних динамічних систем, оскільки, як правило, постає багатопараметрична задача, що потребує розвязків у багатовимірному просторі. Розвиток методів та алгоритмів геометричного представлення процесів, у тому числі з врахуванням результатів нових досліджень у фізиці, математиці, геометрії, можливостей компютерного моделювання є перспективним і необхідним, оскільки дозволить геометричними методами розвязувати складні практичні задачі. Сьогодні складно абстрагуватися і вирішувати задачу тільки одним, наперед обраним методом, тоді як взаємодія кількох підходів, що знаходяться на межі наук, дає найбільш вагомі внески у розвязок поставлених задач.

Актуальність теми. Обєктом дослідження в дисертаційній роботі було обрано гідравлічний випромінювач, який є найперспективнішим інструментом телеметричного звязку з морськими автоматичними та напівавтоматичними обєктами, використовується для сейсморозвідки у зоні континентального шельфу, для інтенсифікації технологічних процесів, впливу на поведінку риби та розвязку інших важливих прикладних задач. Тому дослідження гідравлічного випромінювача є актуальною задачею.

Дослідження у галузі експлуатації та моделювання гідравлічного випромінювача (ГВ) ускладнюються тим, що ГВ є складною багатопараметровою нелінійною коливальною дисипативною системою, а його математична модель, при врахуванні нелінійностей, описується системою нелінійних диференціальних рівнянь високого порядку з розривними правими частинами. Такі математичні моделі теоретично досліджуються відомими методами, такими як критерій стійкості Гурвіца, аналіз амплітудо- та фазочастотних характеристик, діаграм Найквіста та Вишнеградського, але практично вимагають трудомістких затрат на виконання лінеаризації кожної з нелінійностей, а також перебудови при кожній зміні керуючих параметрів, а тому не мають переваг перед прямим чисельним інтегруванням. Крім того, вказані методи не ідентифікують зон зі складною поведінкою у просторі параметрів системи, тобто областей, де можливе виникнення детермінованого хаосу.

Оскільки ГВ містить цілий ряд нелінійностей, здатних привести до виникнення детермінованого хаосу, пропонується гіпотеза, що отримані при експериментальних дослідженнях ускладнення роботи ГВ, а саме збагачення вихідного сигналу рядом гармонічних, субгармонічних і шумових складових, обумовлені виникненням детермінованого хаосу.

Детермінований хаос проявляється складною геометричною фрактальною будовою у фазовому просторі, тому цей простір було обрано для побудови геометричної моделі і дослідження поведінки системи гідравлічного випромінювача.

Геометричне моделювання функціонального простору дозволяє визначати взаємозалежність різних параметрів і процесів, що моделюються, можливості їх самоорганізації при заданих початкових умовах. Дослідження поведінки динамічної системи типу гідравлічного випромінювача у фазовому просторі і побудова геометричної моделі процесу поведінки цієї системи може бути значно інформативнішим у порівнянні зі стандартними методами. Аналіз фазових портретів системи дозволяє робити висновки про топологічну структуру граничної множини, яка характеризує стан системи після закінчення перехідних процесів. Крім того, застосування геометричного моделювання у поєднанні з алгоритмами чисельного інтегрування та алгоритмами дослідження нелінійної хаотичної динаміки дозволяє провести аналіз впливу окремих нелінійностей на динаміку нелінійної системи і дослідити можливість виникнення у системі детермінованого хаосу. Для комплексного вивчення цього явища були використані дослідження топології фазового портрету системи, обчислення спектру характеристичних показників Ляпунова, визначення фрактальної розмірності та ін.

У дисертаційній роботі поставлена задача розробки системи математичної та геометричних моделей ГВ для імітаційного дослідження з метою модернізації випромінювача та пояснення явища ускладнення режимів його роботи з застосуванням комплексу методів геометричного, математичного та компютерного моделювання, а також методів детермінованого хаосу.

Викладені вище міркування дають підставу вважати тему дисертаційної роботи актуальною народногосподарською задачею.

Звязок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі нарисної геометрії, інженерної та компютерної графіки Національного технічного університету України “КПІ” в рамках держбюджетних та госпрозрахункових тем: “Дослідження та розробка пристрою для гідровібраційного резонансного очищення фільтрів дренажних і артезіанських свердловин” (№0101U000757); “Розробка надпотужного гідровібраційного генератора для стимулювання продуктивного пласту нафто-газових свердловин на його власних домінантних частотах”; навчальному процесі у курсі “Деякі теоретичні положення нелінійної динаміки, теорії хаосу. Фрактальна геометрія” ФМФ НТУУ “КПІ”.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є розробка системи нелінійної математичної та геометричних моделей поведінки широкосмугового гідравлічного випромінювача у фазовому просторі, її компютерна реалізація і аналіз отриманих результатів із залученням частотних методів та методів аналізу детермінованого хаосу.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати наступні задачі:

Розробити нелінійну математичну модель широкосмугового гідравлічного випромінювача та геометричну модель поведінки системи у фазовому просторі, виконати їх компютерну реалізацію.

Провести оцінку відповідності запропонованої математичної моделі існуючим експериментальним даним.

Розробити пакет функцій для комплексного дослідження запропо-нованих моделей гідравлічного випромінювача з використанням методів геометричного моделювання, спектрального аналізу та методів дослідження детермінованого хаосу у середовищі Matlab.

Провести дослідження геометричної моделі при зміні керуючих параметрів системи.

Провести дослідження геометричної моделі при різних видах вхідних сигналів.

Методи дослідження. При вирішенні поставлених в роботі задач використовувались методи геометричного моделювання, чисельного інтегрування, спектральні та частотні методи, дослідження детермінованого хаосу: побудова фазового портрету системи, обчислення спектру характеристичних показників Ляпунова, перетин Пуанкаре, густина розподілення ймовірності, метод реконструкції фазового простору, фрактальна і кореляційна розмірності, розмірність Ляпунова, ентропія Колмогорова.

Теоретичною базою для досліджень були роботи провідних вчених:

з геометричного моделювання об'єктів і процесів праці Монжа Г., Ваніна В.В., Гумена М.П., Ковальова С.М., КотоваІ.І., Куценка Л.Н., Корчинського В.М., Кузнецової І.О., Мартіна Е.В., Михайленка В.Є., Надолинного В.О., Найдиша В.М., Найдиша А.В., Обухової В.С., Осипова В.А., Павлова А.В., Підгорного О.Л., Підкоритова А.М., Тевліна А.М., Федорова Е.С., ФіліповаП.В. і ін.;

з математичного і програмного забезпечення систем автоматизованого програмування праці Бадаєва Ю.І., Власюк Г.Г., Грибова С.М., КовальоваЮ.М., Михайленка В.Є., Сазонова К.О., Скидана І.А., РижоваМ.М. і ін;

з теорії катастроф та якісного аналізу диференціальних рівнянь праці Уітні, Пуанкаре А., Тома Р., Арнольда В.І., Ляпунова А.М. і ін.;

з фрактальної геометрії роботи Мандельброта Б., Каплана Дж., Йорке Дж., Корчинського В.М., Федера Е., і ін;

з теорії методів і алгоритмів нелінійної динаміки в роботах Аніщенко В.С., Ліхтенберга А., НеймаркаЮ.І., Муна Ф., Шустера Г., Сіная Я.Г. і ін.;

з питань конструкції та дослідження динаміки поведінки гідравлічних випромінювачів роботи Гаминіна М.С., Попова Д.Н., Єрмакова С.А.,

Кримова Б.Г., Рабіновича Л.В., Стеблецова В.Г., Грибакіної Н.М. та ін.

Наукова новизна отриманих результатів

Удосконалено нелінійну математичну модель з врахуванням комплексу нелінійних факторів та вперше розроблено геометричну модель ГВ, виконано їх компютерну реалізацію для дослідження динаміки системи при великих навантаженнях.

На основі розроблених моделей вперше проведено аналіз ГВ із застосуванням методів та алгоритмів дослідження нелінійної хаотичної динаміки. Визначено умови виникнення детермінованого хаосу у системі.

Вперше проведено дослідження геометричної моделі ГВ при передачі складних сигналів, в якості яких використовувались базові моделі детермінованого хаосу зі складною фрактальною будовою.

Вперше проведено імітаційне моделювання ГВ для дослідження біфуркацій дво- і тривимірних торів з квазіперіодичним рухом на них. Встановлено, що вплив незначного шуму може призвести до різких змін поведінки системи ГВ - “катастроф”.

Розроблена методика та програмне забезпечення комплексного дослідження динамічних систем.

Практичне значення одержаних результатів

Виконано компютерну реалізацію нелінійної математичної та геометричних моделей гідравлічного випромінювача в середовищі пакету Matlab, Matlab Simulink.

Розроблено пакет функцій для проведення комплексного дослідження нелінійних динамічних систем.

На основі розроблених моделей проведено імітаційне моделювання поведінки гідравлічного випромінювача при впливі комплексу нелінійностей.

Розроблено рекомендації по налагодженню гідравлічних випромінювачів з метою усунення небажаних режимів їх роботи.

Розроблена система математичної та геометричних моделей широкосмугового гідравлічного випромінювача, методика та програмне забезпечення комплексних методів дослідження динамічних систем впроваджені в науково-дослідному центрі “Акустика” Національного технічного університету України “КПІ”, прийнято до запровадження в ДК “Укргазвидобування” НАК України.

Створене програмне забезпечення використовується у курсі “Деякі теоретичні положення нелінійної динаміки, теорії хаосу. Фрактальна геометрія”, ФМФ НТУУ “КПІ”.

Методи фрактальної геометрії застосовуються при викладанні курсу “Ергономіка та дизайн радіоелектронної апаратури”, а також у курсі лабораторних робіт по компютерному моделюванню обєктів радіоелектронної апаратури, РТФ НТУУ “КПІ”.

Реалізація підтверджується відповідними актами.

Особистий внесок здобувача. Особисто автором удосконалено нелінійну математичну та розроблено геометричні моделі широкосмугового гідравлічного випромінювача, виконано їх компютерну реалізацію, розроблено методологію та програмне забезпечення комплексного дослідження нелінійних динамічних систем.

Виконано чисельну реалізацію алгоритмів комплексного дослідження нелінійних систем з використанням методів геометричного моделювання, нелінійної хаотичної динаміки та спектральних методів, що складають пакет прикладних програм у середовищі Matlab.

Розроблено курс “Деякі теоретичні положення нелінійної динаміки, теорії хаосу. Фрактальна геометрія”, в якому проводиться компютерне дослідження бібліотек базових моделей детермінованого хаосу у середовищі Matlab, а також розробка рекурсивних функцій для побудови регулярних фракталів, побудова нерегулярних фракталів на базі алгоритму “агрегації” та дослідження фрактальних меж басейнів притягування окремих комплексних відображень на Object Pascal в Delphi5 .

Апробація результатів дисертації. Апробація роботи проведена на Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (Харків,1998); Міжнародній науково-методичній конференції “Інженерна освіта на межі тисячоліть: минуле, сучасне, майбутнє” (Київ, 1998);V Міжнародній науково-методичній конференції “Проблеми та шляхи розвитку вищої технічної освіти” (Київ, 2000); Міжнародній науково-практичній конференції “Современные проблемы геометрического моделирования” (Донецк, 2000); науковому семінарі кафедри нарисної геометрії, інженерної та компютерної графіки НТУУ “КПІ” під керівництвом заслуженого працівника вищої школи України, академіка академії наук вищої школи, д.т.н., проф. Павлова А.В. (м. Київ, 2001 р.); науковому семінарі кафедри нарисної геометрії та компютерної графіки КНУБА під керівництвом заслуженого діяча науки України, академіка академії вищої школи, д.т.н., проф. Михайленка В.Є. (м. Київ, 2001 р.).

Публікації: За результатами наукових досліджень опубліковано 8 робіт (з них 3 - одноосібно та 3 статті у фахових виданнях).

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, списку літератури із 183 найменувань та додатків. Робота містить 169 сторінок основного тексту та 83 рисунки, побудовані за допомогою компютера.

Зміст роботи

У вступі подано обгрунтування актуальності досліджень, сформульовані мета, задачі, наукова новизна і практичне значення дослідницької роботи.

У першому розділі проводиться аналіз існуючих методів дослідження нелінійних коливальних систем, характерним представником яких є широкосмуговий гідравлічний випромінювач, та методів аналізу фазових портретів системи для виявлення явища детермінованого хаосу. Проводиться класифікація характерних для системи ГВ нелінійностей.

Такі відомі методи як критерій стійкості Гурвіца, аналіз амплітудо- та фазочастотних характеристик, або ж прямі методи, наприклад, діаграми Вишнеградського у випадку великої кількості нелінійностей, залежності параметрів від часу або зовнішніх умов, саме такою є система гідравлічного випромінювача, не мають переваг перед прямим чисельним інтегруванням через складність системи. Крім того, вони не дають можливості ідентифікувати області складної поведінки нелінійних динамічних систем - явища детермінованого хаосу. Оскільки вихідний сигнал детермінованого хаосу має такі ж спектральні характеристики як і випадкові стаціонарні процеси - широкий спектр Фурє та спадаючу автокореляцію, а на відміну від шумових процесів характеризується великою, але обмеженою ентропією і складною геометричною будовою, критерієм розрізнення стаціонарних випадкових процесів і детермінованого хаосу може стати візуалізація режимів детермінованого хаосу у фазовому просторі.

Явище детермінованого хаосу спостерігається у багатьох системах, серед них - системи управління зі зворотнім звязком, задачі з геометричними деформаціями, у механічних системах з щілинами, мертвим ходом, нелінійним тертям - всі вони в тій чи іншій мірі присутні в динамічній системі гідроакустичного випромінювача.

Основним методом дослідження складного явища детермінованого хаосу на сьогодні є компютерне моделювання, оскільки в більшості випадків віднайти аналітичне рішення таких систем дуже складно, або ж його не існує.

Гідравлічний випромінювач класифікується як нелінійна неавтономна дисипативна коливальна система, при побудові геометричної моделі якої у фазовому просторі отримується гранична притягуюча множина - атрактор. Розглянуті характерні приклади математичних моделей динамічних систем з різними типами атракторів: стійка точка рівноваги; граничний цикл (рівняння Дуффінга); рух на двовимірному торі; хаотичний атрактор (атрактори Лоренца та Ресслера). При побудові фазового простору за координати обираються змінні, які знаходяться зліва (похідні) у системі диференціальних рівнянь, що описують математичну модель системи. Атрактор характеризує поведінку системи після завершення перехідних процесів і може бути простим (стійка точка рівноваги, граничний цикл, n вимірний тор), таким, що характеризується стійкістю як за Ляпуновим, так і за Пуасоном, або дивним (хаотичний атрактор), характеризується нестійкістю за Ляпуновим і стійкістю за Пуасоном. Для дисипативних систем у режимах детермінованого хаосу атрактор характеризується фрактальною будовою, тобто є множиною з нецілою розмірністю Хаусдорфа-Базиковича.

Для дослідження комплексного впливу нелінійностей, аналізу динаміки гідравлічного випромінювача пропонується використовувати методи дослідження, що базуються на спільному використанні методів чисельного інтегрування, геометричного моделювання і методів хаотичної динаміки.

З огляду на виявлену експериментально складність поведінки гідравлічного випромінювача при деяких значеннях керуючих параметрів пропонується гіпотеза, про можливість виникнення детермінованого хаосу у динамічній системі ГВ.

В розділі 2 проведено розробку нелінійної математичної моделі широкосмугового гідравлічного випромінювача, як системи гідроприводу зі складним інерційним та позиційним навантаженням, виконано її компютерну реалізацію.

Показано, що гідравлічний випромінювач має цілий ряд нелінійних елементів здатних привести до виникнення детермінованого хаосу. Таким чином, математична модель ГВ з урахуванням суттєвих нелінійностей представлена системою рівнянь 6-го порядку з розривними правими частинами. Оскільки система неавтономна розмірність фазового простору n=7.

Нелінійності

Стисливість рідин E=V0 *(p/V)	Жорсткість повітряної пружини Cп=[(dвп2-dш2)P0[lk-(l-y0)k]]/4y0(l-y0)k
Насичення по розходу Gmx/xm при xmx-xm (x)= Gm при -xmxxm	Насичення по тиску P при PpP-Pp (x)= Pp при P>Pp -Pp при P<Pp
Тертя в гідродвигуні Fтр(sy)=Fтрsign(sy)	Прохлопування мембрани Fпрk[1-1/(d2+y2)]y
Затирання 0 при уyзат Fзат(у)= sy при уyзат	s-оператор Лапласа

Проведено компютерну реалізацію запропонованої моделі в середовищі Matlab Simulink. Показано, що на частотах, близьких до резонансних, синтез форми вихідного сигналу математичної моделі, як і реального пристрою демонструє складну будову при одночастотному зовнішньому впливі. Форма реального вихідного сигналу відповідає сигналам синтезованим за математичною моделлю, що свідчить про адекватність запропонованої нелінійної математичної моделі реальному пристрою.

Проведено аналіз математичної моделі стандартними методами, в результаті чого визначено такі характеристики досліджуваної системи як: перехідні характеристики, амплітудо- та фазочастотні характеристики, побудована діаграма Найквіста. Показано, що ці методи досліджень не ідентифікують появи зон хаотичних коливань в системі ГВ.

У розділі 3 розглядаються основні методи дослідження детермінованого хаосу. Виконана програмна реалізація розглянутих методів для середовища Matlab, що складають пакет прикладних функцій для комплексного дослідження системи.

Для аналізу використовувалися якісні і кількісні характеристики атрактора.

До якісних характеристик атрактора можна віднести перетин Пуанкаре і фазовий портрет системи.

Аналіз фазових портретів системи використовувався для оцінки топологічної структури граничної притягуючої множини і, як результат, типу руху динамічної системи при впливі заданих керуючих параметрів. При необхідності виконувалося відтворення топологічно еквівалентного фазового портрету за однією скалярною часовою реалізацією, де за координати вектора станів, яких не вистачає, використовувався той самий ряд з деяким часовим зсувом.

Перетин Пуанкаре використовувався для розрізнення типів рухів: хаотичного, періодичного, квазіперіодичного, а також для пониження розмірності фазового простору і будувався як вибірка у часі із фазової траєкторії даних {x(t₁),x(t₂),...x(t_n),...x(t_N)}.

Для неавтономної системи типу гідравлічний випромінювач вибірка виконувалася через період примушуючої сили.

Отримана у перетині Пуанкаре точка була показником періодичного руху, обмежена кількість точок, або замкнена крива - квазіперіодичного руху і фрактальний набір точок - дивного атрактора. Якщо при збільшенні фрагмента відображення Пуанкаре проявлялась все більш і більш тонка структура, отримана множини вважалась Канторовою і була показником хаотичного атрактора у фазовому просторі.

До кількісних властивостей атрактора слід віднести спектр Фурє, автокореляційну функцію, фрактальну розмірність, ймовірність розподілення компонент, спектр характеристичних показників Ляпунова.

Для побудови спектру Фурє використовувався алгоритм швидкого перетворення Фурє:

де K, J - цілі числа, N - кількість точок вибірки.

Автокореляційна функція будувалась як

де - величина зміщення сигналу в часі.

Фрактальна розмірність оцінювалась як

d_f=lim(lnN()/ln(1/)),

0

де lnN() - мінімальна кількість D-кубів з ребром , якими можна покрити множину S. Показники Ляпунова обчислювались як

=1/(t_N-t₀)ln[d(t_k)/d₀(t_k-1)] (k=1....N).

Кореляційна розмірність використовувалася для віднайдення розмірності n вкладення атрактора. Оскільки фазовий простір математичної моделі має розмірність n=7, а множина фазових траєкторій прямує до граничної множини, розмірність якої менше розмірності n фазового простору, це дозволило полегшити візуалізацію і дослідження для даної задачі. Обчислення розмірності проводилось як

геометричне моделювання гідравлічний випромінювач

D_c=lim lim [lgC(e,N)/lge],

e N

де C(e,N)=N^-2_ij (e-|x_i-x_j|) - кореляційний інтеграл, e - розмір комірки розбиття фазового простору, N - число точок, що використовуються для оцінки розмірності, -функція Хевісайда, x_i=x(it).

Для багатовимірних динамічних систем показник Ляпунова обчислюють по спрямуванню власного вектора e_i(t) матриці лінеаризації. Тобто, якщо фазова траєкторія належить n вимірному фазовому простору, то матриця лінеаризації, відповідно, також буде мати розмірність n*n, а, значить, n власних векторів.

Розташовані у порядку зменшення n показники Ляпунова складають спектр характеристичних показників Ляпунова фазової траєкторії, що досліджувалась.

Спектр показників Ляпунова є критерієм визначення хаотичності рухів: якщо сигнатура спектра містить всі відємні показники - стійкий рух (стійкий вузол, стійкий фокус); якщо старшим є один нульовий показник - граничний цикл; n старших нульових показників - рух на n-вимірному торі; як тільки зявляється додатній показник - рух хаотичний.

За спектром Ляпунова, використовуючи гіпотезу Каплана-Йорке нами проводилось обчислення розмірності Ляпунова, що має значення близькі до значень фрактальної та кореляційної розмірностей.

Оскільки гідравлічний випромінювач описується системою нелінійних диференціальних рівнянь високого порядку з розривними правими частинами, проводились обчислення спектра характеристичних показників Ляпунова з використанням алгоритму Sano Sawada.

Існує 3 основних шляхи переходу від періодичних до хаотичних рухів.

Внаслідок біфуркації подвоєння періоду.

За сценарієм Помо-Маневіля, коли іде зміна хаотичних і періодичних послідовностей.

Перехід через квазіперіодичні коливання, що є характерним для нашої системи.

Досліджений шлях переходу від двовимірного тора з резонансною структурою на ньому до хаосу. Руйнування тора буде відбуватися по одному з трьох шляхів, відповідно до теореми Шильникова-Афраймовича.

Перед тим як зруйнуватися, тор втрачає гладкість, в околі тора утворюється хаотична множина, що може стати притягуючою, в результаті чого утворюється хаотичний атрактор.

Кожному з вищенаведених методів відповідає конкретна функція в розробленому пакеті прикладних програм комплексного дослідження нелінійних систем.

У четвертому розділі, використовуючи вищенаведені методи та програми, було проведено аналіз впливу окремих типів нелінійностей на динаміку системи.

За допомогою компютерного геометричного моделювання було визначено розташування областей генерації різних режимів - вони зображені на біфуркаційних діаграмах. У якості керуючих параметрів було обрано частоту f та нормовану амплітуду A вхідного сигналу.

На рис.2 наведено розраховану біфуркаційну діаграму динамічних режимів гідравлічного випромінювача з урахуванням таких нелінійностей як: насичення по тиску, насичення по розходу; тертя в гідродвигуні; жорсткість повітряної пружини; нелінійність золотникового гідророзподільника.

Як показали розрахунки, в досліджуваній області параметрів ці нелінійності не спричиняють виникнення детермінованого хаосу. При малих амплітудах вхідного сигналу з урахуванням переколивальності системи гідравлічного випромінювача через велику масу навантаження і зворотній звязок по швидкості і переміщенню у фазовому просторі атрактору відповідає двовимірний тор.

В залежності від співвідношення власної частоти та частоти зовнішнього впливу рух на торі буде ергодичним (тобто через великий проміжок часу фазова траєкторія всюди щільно заповнить поверхню на двовимірному торі), або ж буде спостерігатися резонанс на торі, якщо співвідношення частот раціональне.

При великих амплітудах система захоплюється зовнішнім впливом - рух буде періодичним, якому у фазовому просторі відповідає граничний цикл.

При малих значеннях амплітуд вхідного сигналу відбувається захоплення у вузьких інтервалах частот - язиків Арнольда, де кожний дзьоб спирається на точку, в якій відношення частоти зовнішнього впливу до частоти власних коливань є раціональним.

Перетину біфуркаційної лінії (перехід з області Т₂ в область f_зовн) відповідає стрибок резонансу. Зроблено припущення, що при побудові фазопараметричної діаграми, де за параметр динамічної системи обрано амплітуду вихідного сигналу, буде отримано особливість типу збірки, коли мала зміна керуючих параметрів призводить до катастрофи - стрибка амплітуд.

Враховуючи те, що ГВ використовується також для випромінювання складних сигналів, було проведено дослідження геометричної моделі системи при квазіперіодичному та складному вхідних сигналах. В якості квазіперіодичного використовувались бігармонійний та трьохчастотний сигнали з ірраціональним співвідношенням частот, а в якості складного сигналу використовувалися базові моделі детермінованого хаосу - атрактор Лоренца та система Чуа.

При квазіперіодичному впливі при великих значеннях вхідних амплітуд спостерігається, як і очікувалося, двовимірний тор. При доданні аддитивної шумової компоненти (білий шум з амплітудою в 1000 раз меншою за амплітуди інформативних сигналів) спостерігалося в одних випадках - перехід до періодичного руху, в інших - збудження нової частоти, тобто біфуркації двовимірний тор - граничний цикл (рис.3 а,в), двовимірний тор - тривимірний тор.

Для квазіперіодичного збудження трьома частотами при адитивній шумовій компоненті спостерігалася біфуркація Т3 - Т2, тобто шум спричиняє фазові переходи, що свідчить про наявність квазіатрактора у фазовому просторі. Це явище потребує свого подальшого дослідження і пояснення.

У відповідності з теоремою Рюеля-Такенса-Нюхауса очікувалося, що невелике збудження на тривимірному торі приведе до виникнення детермінованого хаосу, але у досліджуваній області параметрів нами це явище не спостерігалося.

Проведені дослідження для складних сигналів збудження показали, що вихідний сигнал, як і сигнал базових моделей детермінованого хаосу, має широкий спектр Фурє, спадаючу автокореляцію і фрактальну будову. Однак отриманий методом реконструкції фазовий портрет не є топологічно еквівалентним, а вихідний сигнал містить спотворення по відношенню до вхідного сигналу на 20-30 %. Враховуючи отримані результати, була проведена оцінка можливості використання алгоритмів кодування інформації за допомогою детермінованого хаосу і доведена її недоцільність.

Показано, що при врахуванні нелінійностей прохлопування мембран і затирання спостерігається значне ускладнення динамічних режимів навіть при одночастотному зовнішньому впливі.

З діаграми видно що зміною керуючих параметрів можна реалізувати серію біфуркацій, наприклад:

перехід від граничного циклу до двовимірного тора (перехід з зони 1/2f_зовн у Т₂). При близьких значеннях власної частоти і частоти зовнішнього впливу часова реалізація демонструє режим биття.

руйнування двовимірного тора з послідовним переходом до хаотичного атрактора, що відповідає траєкторії переходу з зони Т₂ у зону Х.

У роботі наведено послідовність відображень Пуанкаре, які демонструють деформацію тора, його руйнування і перетин Пуанкаре хаотичного атрактора, що містить біля 6000 точок. Старший показник Ляпунова у цьому режимі приймає додатне значення що є показником детермінованого хаосу.

Оцінку фрактальної розмірності атрактора можна проводити за перетином Пуанкаре (розмірність атрактора буде на 1 більшою). Але, оскільки точок недостатньо, то оцінка фрактальної розмірності виконувалась за розмірністю Ляпунова і має для отриманого атрактора значення 2.12. Оскільки система неавтономна, то розмірність хаотичного атрактора даної системи буде 3.12. Перетин Пуанкаре добре демонструє основну будову атрактора - операцію розтягування-згортання.

Аналіз проведених розрахунків показав, що для уникнення викривлення інформативного сигналу, слід зменшувати жорсткість мембрани, або ж працювати в зонах захоплення, що відповідають великим значенням вхідних амплітуд, або ж у смугах Арнольда.

Висновки

Дисертація присвячена дослідженню процесів і явищ, які відбуваються в нелінійних коливальних системах типу ГВ, за допомогою методів математичного, компютерного та геометричного моделювання, а також методів дослідження детермінованого хаосу.

В результаті проведених в дисертаційній роботі досліджень отримані наступні результати:

Аналіз літературних джерел з питань геометричного і математичного моделювання процесів і явищ, що відбуваються в нелінійних динамічних системах, показав, що існує проблема дослідження цих систем при врахуванні комплексу їх нелінійних факторів.

На основі проведених в роботі досліджень показано, що побудова геометричного портрету нелінійної динамічної системи у фазовому просторі може бути значно інформативнішою в порівнянні з традиційними методами дослідження складної поведінки системи.

Розроблено систему нелінійної математичної та геометричних моделей гідравлічного випромінювача при великих інерційних та позиційних навантаженнях, виконано її комп'ютерну реалізацію в середовищі пакету Matlab та Matlab Simulink. Проведені тестові дослідження геометричної моделі підтверджують її адекватність реальній системі.

Розроблено пакет функцій для проведення комплексного дослідження нелінійних динамічних систем.

Проведено дослідження геометричної моделі гідравлічного випромінювача при квазіперіодичному впливі та дослідження біфуркацій дво- і тривимірних торів з квазіперіодичним рухом на них. Виявлено, що вплив незначного шуму може призвести до різких змін поведінки системи.

Проведено дослідження поведінки гідравлічного випромінювача при передачі складних сигналів, в якості яких було обрано базові моделі детермінованого хаосу зі складною фрактальною будовою. Показана недоцільність використання гідравлічного випромінювача для кодованої передачі інформації цим способом.

Використання одержаних результатів дозволяє запобігти виникненню небажаних режимів роботи випромінювача при його експлуатації та дозволяє скоротити витрати на натурні випробування за рахунок попереднього імітаційного моделювання всіх процесів гідравлічного випромінювача.

Основні положення дисертації опубліковані в наступних роботах

Гнітецька Т.В. Аналіз нелінійних явищ гідроакустичного випромінювача методами геометричного моделювання //Прикл. геометрія і інж. графіка.-К.КНУБА, 1999.-Вип.66.-С.209-212.

Гнітецька Т.В. Побудова геометричного зображення стану хаотичної динамічної системи, одержаного чисельним інтегруваннм, із застосуванням САПР AUTOCAD//Прикл. геометрія та інж. графіка.-К.КНУБА, 2000.- Вип.67.-С.191-195.

Гнітецька Г.О., Гнітецька Т.В. Зміст і структура курсу “Ергономіка і дизайн побутової радіоелектронної апаратури”.// Прикладна геометрія та інженерна графіка: -К.КНУБА,1997.- Вип. 61, -С.182-184.

Гнітецька Т.В., Ванін В.В. Геометричне моделювання поведінки обєктів нелінійої динаміки.//Матеріали Міжнародної науково-практичної конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”: Ч.2, -Харків: ХІПБ МВС України, 1998.-С.7-8.

Ванін В.В., Гнітецька Т.В. Курс “Деякі теоретичні положення нелінійної динаміки та теорії хаосу, фрактальна геометрія” в базовій підготовці студентів фізико-математичного факультету.//V Міжнародна науково-методична конференція “Проблеми та шляхи розвитку вищої технічної освіти” 18-19 травня 2000 р.-К.: НТУУ “КПІ”, 2000-С.116-117.

Ванін В.В., Гнітецька Т.В. Реалізація ідей геометричного моделювання у курсі “Деякі теоретичні положення нелінійної динаміки та теорії хаосу, фрактальна геометрія”.//Тезисы международной научно-практической конференции “Современные проблемы геометрического моделировния” 21-24 июня 2000 г. Донецк: ДонГТУ, 2000.-С.20-21.

Зіньковський Ю.Ф., Ванін В.В, Гнітецька Г.О., Гнітецька Т.В. Компютерне моделювання в дизайні побутової радіоелектронної апаратури.//Матеріали Міжнародної науково-методичної конференції “Інженерна освіта на межі тисячоліть: минуле, сучасне, майбутнє”: - К.; НТУУ `КПІ', 1998-С.112-113.

Моделювання зразків радіоелектронної апаратури на основі програми Ray Dream Studio. Методичні вказівки до лабораторних робіт з курсу “Ергономіка і дизайн побутової радіоелектронної апаратури” / Упоряд. Гнітецька Т.В. - К.: НТУУ `КПІ', 1998 - 41 с.

Анотації

Гнітецька Т.В. Дослідження нелінійних явищ у системі гідравлічного випромінювача методами геометричного моделювання.-Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01. - Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Київський національний університет будівництва та архітектури, Україна, Київ, 2001 р.

Дисертація присвячена дослідженню геометричної моделі нелінійної коливальної системи гідравлічного випромінювача за допомогою комплексу методів геометричного моделювання, чисельного інтегрування, методів спектрального аналізу та методів дослідження детермінованого хаосу. В роботі удосконалено математичну та розроблено геометричну моделі гідравлічного випромінювача, виконано їх компютерну реалізацію. Розроблено пакет прикладних програм для комплексного дослідження системи. Проведено комплексне дослідження геометричної моделі гідравлічного випромінювача при великих масах навантаження, при різних типах вхідних сигналів (періодичний, квазіперіодичний, хаотичний), а також при урахуванні різних типів нелінійностей. Розраховано і побудовано фазопараметричні біфуркаційні діаграми, за якими визначено зони з генерацією різних типів атракторів у фазовому просторі в області керуючих параметрів. Знайдено зони детермінованого хаосу і визначено типи нелінійностей, що його викликають. Досліджено шляхи переходу від періодичних до хаотичних режимів. Дано рекомендації по найсприятливішим робочим параметрам гідравлічного випромінювача, а також рекомендації по налагоджуванню досліджуваної системи.

Основні результати роботи знайшли застосування для імітаційного моделювання та комплексного дослідження нелінійних дисипативних коливальних динамічних систем типу гідравлічного випромінювача, а також в навчальному процесі.

Ключові слова: геометричне моделювання, гідравлічний випромінювач, детермінований хаос, імітаційне моделювання.

Гнитецкая Т.В. Исследование нелинейных явлений в системе гидравлического излучателя методами геометрического моделирования. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01. Прикладная геометрия, инженерная графика. Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Украина, Киев, 2001 г.

Диссертация посвящена исследованию геометрической модели нелинейной колебательной системы гидравлического излучателя. В работе выдвигается гипотеза, что явление усложнения поведения системы происходит из-за возникновения в ней детерминированного хаоса. Предлагается проводить исследование диссипативной неавтономной системы типа гидравлического излучателя при помощи комплекса методов геометрического моделирования, численного интегрирования, методов спектрального анализа и методов исследования детерминированного хаоса. В работе усовершенствовано математическую и разработано геометрическую модели гидравлического излучателя, выполнена их компьютерная реализация. Разработан пакет прикладных программ для комплексного исследования системы, в который входят программы реконструкциии и построения фазового портрета системы, вычисления корреляционной размерности, построения сечения Пуанкаре и другие, реализованные в Matlab. При помощи разработанного пакета проведено комплексное исследование геометрической модели гидравлического излучателя при большой массе нагрузки, при различных типах входных сигналов (периодический, квазипериодический, хаотический), а также при учете различных типов нелинейностей. Рассчитаны и построены фазопараметрические бифуркационные диаграммы, по которым определены зоны с генерацией различных типов аттракторов в фазовом пространстве в области управляющих параметров. Найдены зоны детерминированного хаоса и определены типы нелинейностей, что его вызывают. Исследованы пути перехода от периодических к хаотическим режимам. Даны рекомендации по наиболее благоприятным рабочим параметрам гидравлического излучателя, а также рекомендации по налаживанию исследуемой системы.

Основные результаты работы нашли применение для имитационного моделирования и комплексного исследования нелинейных диссипативных колебательных динамических систем типа гидравлического излучателя, а также в учебном процессе.

Ключевые слова: геометрическое моделирование, гидравлический излучатель, детерминированный хаос, имитационное моделирование.

Gnitetska T.V. Research of nonlinear phenomena in the system of hydraulic transducer by methods of geometrical modelling.-Manuscript.

The thesis for a scientifics degree of the candidate of technical sciences on a speciality 05.01.01. Applied geometry, engineering drawing. Kyiv National University of Building and Architecture, Ukraine, Kyiv , 2001 y.

The thesis is devoted to the research of geometrical model of nonlinear oscillatory system of hydraulic transducer by means of methods for complex geometrical modelling, numeral integration, method of spectral analysis and methods of investigating deterministic chaos. In this work the mathematical model is improved and geometrical model of hydraulic transducer is developed, their computer realization is implemented. The packet of applied programs for complex research of system is developed. The complex research of geometrical model of hydraulic transducer with big loading masses, with different types of input signals (periodic, quasiperiodic, chaotic) and with consideration of different types of nonlinears is pursued. The phaseparametrical bifurcation diagrams, for which defined the zones with generation of different types of attractors in phase space on the domain of manager parameters, are calculated. The zones of deterministic chaos are found and types of nonlinears, which causes it, is defined. The transition ways from periodic to chaotic modes are investigated. The recommendations of most favourable work parameters of hydraulic transducer and recommendations of adjusting of investigated system are given.

The basic job perfomance found application for imitation modelling and complex research of nonlinear dissipative oscillatory dynamic systems of hydraulic transducer type, and in the process study as well.

Key words: geometrical modelling, hydraulic transducer, deterministic chaos, imitation modelling.

Размещено на Allbest.ru

...