Основы метрологии, сертификации и стандартизации

Систематической погрешностью называется отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой физической величины: =M[X]-Q.

Случайной погрешностью называется разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов наблюдений:

=X-M[X].

Отсюда истинное значение измеряемой физической величины равно:

Q=X--.

1.5 Моменты функции распределения

Функция распределения (ФР) является универсальным способом описания случайной погрешности. Однако чтобы получить ФР необходимы трудоемкие исследования и расчеты. Поэтому в метрологической практике часто используются характеристики распределения вероятности, называемые моментами.

Начальный момент к-го порядка результатов наблюдений определяется следующим выражением [6]:

_к[Х]=

Первый начальный момент - математическое ожидание: ₁[Х]=M[Х]=m_x.

Центральный момент К-го порядка результатов наблюдений определяется по формуле:

_k[Х]=

В теории измерений важное значение имеет 2-ой центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений, или дисперсией случайной погрешности:

D[X]=D[]=M[(X-m_x)²]=M[²]=

=(X-m_x)²p_х(x)dx=²p()d.

Дисперсия случайной погрешности является характеристикой рассеяния результатов наблюдений относительно математического ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой физической величины, поэтому значительно чаще в метрологической практике пользуются средним квадратическим отклонением (СКО) результатов наблюдений, являющимся квадратным корнем из дисперсии:

=

Плотность вероятности результатов наблюдений при различных значениях СКО погрешности имеет следующий вид:

₁₂

Рис. 1.6

Чем больше , тем более пологой и «расплывчатой» становится функция распределения (рис. 1.6). Характеристикой асимметрии функции распределения является третий центральный момент - ₃ [X]. Если ФР симметричная, то все нечетные центральные моменты равны «0» - ₁=₃=0. Для удобства в метрологической практике вводят безразмерную характеристику асимметрии: _k - коэффициент асимметрии.

_k=₃[]/_x³.

Если _k=0 - ФР симметричная, если _k0, то ее максимум находится в положительной области, если _k0 - в отрицательной (см. рис. 1.7).

Рис. 1.7

Для определения плосковершинности или островершинности плотности распределения вероятности случайной погрешности служит 4-й центральный момент ₄[x]. Свойство плосковершинности описывают с помощью эксцесса - безразмерной характеристики, которая определяется следующим образом:

Е_х=(₄[]/⁴())-3.

Число 3 вычитается из дроби потому, что наиболее распространенной в практике измерений функцией распределения плотности вероятности является распределение по нормальному закону или функция Гаусса.

Для нормального закона 4-й центральный момент

₄[]=3⁴().

Т.е. для нормального закона распределения Е_х=0. Для более плосковершинного закона распределения Е_х0, для более островершинного - Е_х0 (рис. 1.8).

Моменты распределения используются для идентификации закона распределения результатов наблюдения или их случайной погрешности. В теории и на практике наиболее часто встречаются и используются нормальное и равномерное распределение.



Рис 1.8

1.6 Точечная и интервальная оценки истинного значения измеряемой величины

Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка. Выборочной совокупностью или просто выборкой называется совокупность случайно отобранных объектов. Таким образом, оценку точности измерений проводят по ограниченному, хотя иногда и довольно большому, числу наблюдений. В результате получают одно число. Это называется точечной оценкой. Задача получения точечных оценок результатов измерений и СКО случайных погрешностей является частным случаем статистической задачи нахождения оценки параметров функции распределения случайной величины на основании выборок - т.е. ряда значений, принимаемых этой случайной величиной в ограниченном числе n независимых опытов. Независимо от закона распределения случайной величины, оцениваемыми параметрами является математическое ожидание и СКО функции распределения. Сами же формулы для оценок имеют различный вид в зависимости от закона распределения плотности вероятности. Для нормального закона в формулы для дифференциальной функции распределения математического ожидания (m_x) и СКО (_х) входят в явном виде, а для равномерного распределения определяются из соотношений [7]:

b=m_x+_x m_x=,

a=m_x-_{x x}=.

Если есть параметр А, то его оценка называется точечной, если она выражается одним числом.

Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, будучи их функцией, сама является случайной величиной с распределением, зависящим от трех факторов:

- закона распределения случайной исходной величины;

- самого оцениваемого параметра;

- числа опытов n.

К оценкам предъявляется три требования:

1. Состоятельность. Оценка считается состоятельной, если с увеличением числа опытов n она приближается (т.е. сходится по вероятности) к значениям оцениваемого параметра, т.е. lim_nP=А=1.

2. Несмещенность. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру: М=А.

3. Эффективность. Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии другой оценки данного параметра.

Что значит «разные оценки» одного и того же параметра?

Предположим, что имеется упорядоченный или вариационный ряд результатов наблюдений случайной величины Х:

.

Вариационный ряд - это такой ряд, в котором

Можно провести оценки различными методами: по медиане, по размаху, по среднему арифметическому и др.

Что в данном случае понимается под термином «медиана»?

Медиана Ме[Х] - это центральное среди результатов наблюдений значение случайной величины в упорядоченном ряду результатов наблюдений [8]. В случае, когда имеется четное число наблюдений:

Ме[Х]=0.5(X_(n/2)+1+X_n/2).

В случае, если n нечетное число:

Ме[Х]=X_(n+1)/2.

Например: при n=3, Ме[Х]=X₂, при n=4, Ме[Х]=0.5(X₂+X₃).

Оценка по размаху:

=.

Оценка по среднему арифметическому:

=

На практике не всегда удается получить оценки параметров функций распределения случайной величины, удовлетворяющие всем трем требованиям: состоятельности, несмещенности и эффективности.

Способы получения оценки зависят от закона распределения случайной величины. Для случайных величин, распределенных по различным законам, оценки параметров функций распределения проводят по различным формулам.

Для нормального закона распределения случайных величин или случайных погрешностей оценки максимального правдоподобия следующие:

, .

- точечная оценкамаксимального правдоподобия.

Однако оценка дисперсии, полученная таким образом, не является несмещенной. Для получения несмещенной оценки дисперсии случайной погрешности пользуются следующей формулой:

D=, где .

Тогда оценка СКО случайной погрешности, полученная методом максимального правдоподобия, определяется следующим образом:

,

где - несмещенная оценка генеральной средней, Х_i- оценка математического ожидания результатов наблюдений или результат наблюдений.

Для равномерного закона распределения погрешностей:

; .

Т.е. если - оценка максимального правдоподобия параметра А, то при достаточно большом числе наблюдений (n25) эта оценка может считаться соответствующей нормальному закону распределения результатов наблюдений, причем, при n P{= A} = 1, т.е. эта оценка состоятельная.

Интервальные оценки параметров функций распределения погрешностей или результатов наблюдений получают путем определения интервалов, в границах которых с определенной вероятностью находятся истинные значения оцениваемых параметров. Такой интервал называется доверительным, а соответствующая вероятность - доверительной вероятностью.

Доверительный интервал - интервал значений случайной погрешности, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результатов измерений. Границы доверительного интервала называют доверительными границами - верхней и нижней.

Если результаты наблюдений или погрешность результата наблюдений распределены по нормальному закону с известным СКО (_х=), то доверительная вероятность нахождения истинного значения измеряемой величины Q в доверительном интервале [X-t_px, X+ t_{p x}] определяется выражением:

Р{(X-t_px)Q(X+t_px)}=Ф(t_p)-Ф(-t_p),

где Ф(t_p) - нормированная интегральная функция нормального распределения, но поскольку Ф(z)=1-Ф(-z), т.е. Ф(-z)=1-Ф(z), то

Р={X-t_pxQX+t_px}=2Ф(t_p)-1.

Половина доверительного интервала t_px называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующего доверительной вероятности Р. Доверительный интервал, полученный по результатам многократных наблюдений, в раз меньше интервала, вычисленного по результатам однократного наблюдения измеряемой величины. На этом принципе основан метод снижения случайных погрешностей измерений, т.е. повышения точности результатов измерений. В принципе, увеличением n (числа наблюдений) можно получить сколь угодно малое значение случайной погрешности измерений. Однако на практике, как правило, это весьма сложно (иногда просто невозможно) сделать из-за значительного увеличения времени на проведение измерений. Особо сложно это сделать в быстро изменяющихся процессах. Поэтому необходимо выбирать минимально необходимое число наблюдений для обеспечения такой случайной погрешности, которая была бы не больше допустимой, т.е._доп.

Это число n для нормального закона можно определить из их соотношения [9]:

.

Таким образом, при интервальной оценке результат не может быть выражен одним числом. В процессе измерений получают лишь среднее значение измеряемой величины и границы доверительного интервала, внутри которого находится эта измеряемая величина с принятой доверительной вероятностью. Можно сказать, что получают какую-то полосу, внутри которой находятся возможные значения измеряемой величины. Эту полосу называют «дорожкой погрешности» возможных значений Q физической величины с принятой доверительной вероятностью.

1.7 Наиболее часто применяемые на практике законы распределения случайных погрешностей

В метрологической практике для описания случайных погрешностей используют ограниченный набор стандартных аппроксимирующих функций распределения (нормальную, равномерную, по треугольнику, по трапеции).

Нормальную функцию распределения имеют следующие случайные величины:

1. Флуктуационные погрешности разного рода.

2. Случайные погрешности средств измерений.

3. Погрешности, складывающиеся из достаточно большого числа (можно считать, что более 5) независимых составляющих при отсутствии доминирующей составляющей.

Равномерную функцию распределения имеют:

1. Погрешности результатов наблюдений, округленных в ближайшую сторону отсчетов с неточностью целого (или долевого) деления шкалы.

2. Погрешность приближенных вычислений с округлением до ближайшей значащей цифры.

3. Погрешности регулировки в допустимых пределах а.

4. Люфтовые погрешности.

5. Погрешности от изменения температуры в допустимых пределах.

6. Вариация показаний измерительных приборов.

Треугольную функцию распределения (по Симпсону) имеют погрешности измерений длины, угла, интервала времени по двум отсчетам (начало-конец).

Аналитические зависимости, области определения, соотношения между параметрами и графики наиболее часто используемых законов распределения представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3

Закон распределения	Аналитическая зависимость	Область определения	Соотношения между параметрами	График функции
Нормальный		х а	а = 3
Равномерный		х а	a=1,73
	Треугольный		х а	a=2,45

Размещено на http://www.allbest.ru/

Трапециевидный			а=2,32

Наиболее распространенной функцией распределения случайной погрешности является нормальная функция (функция Гаусса). При обработке результатов наблюдений, если априорно неизвестен закон распределения случайных погрешностей проводят, проверку нормальности распределения результатов наблюдений. Для этого используют методы проверки статистических гипотез. Поскольку проверка статистических гипотез основывается на опытных данных, то при принятии решения всегда возможны ошибки. Когда отвергается в действительности верная гипотеза, то совершается ошибка первого рода. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости : =1-, где - вероятность правильного принятия верной гипотезы.

Когда принимается в действительности неверная гипотеза, то совершается ошибка второго рода. В общем случае вычислить ее вероятность нельзя. Однако при уменьшении вероятности ошибки первого рода, вероятность ошибки второго рода увеличивается. Поэтому не имеет смысла выбирать слишком низкий уровень значимости . Обычно на практике принимают в пределах 1-5%. Критерии проверки статистических гипотез приводятся в справочной литературе по теории вероятностей и в нормативных документах по метрологии, в частности, в [6]. Плотность вероятности или дифференциальная функция распределения результатов наблюдений, подчиняющихся нормальному закону, описывается следующей формулой:

p_x(x)= exp - для результатов наблюдений,

p()=exp(-) - для случайной погрешности.

Следует помнить, что

Вероятность попадания результата наблюдения в заданный интервал [x₁, x₂] равна:

P=dx=

=exp-dx.

Производя замену переменных t=, t₁=, t₂= и их подстановку, получим:

P{x₁Xx₂}=exp(-)dt=

=[exp(-)dt-exp(-)dt].

Широкое распространение нормального закона в практике объясняется тем, что распределение случайной погрешности формируется под воздействием достаточно большого числа случайных независимых факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное воздействие по сравнению с суммарным действием всех остальных факторов. Это явление описывается центральной предельной теоремой (часто называемой теоремой Лапласа).

Моменты функции распределения случайной погрешности , аспределенной по нормальному закону:

М[]=m_x=0; D[]=;

_к==0; Е_х=-3=0.

Дифференциальная функция равномерного распределения случайной величины и случайной погрешности (рис. 1.9) имеет вид:

Рис. 1.9

Область определения плотности вероятности или дифференциальной функции равномерного распределения следующая:

0, если -Хm_x-а

Р_х = 1/ 2а, если m_x-аХm_x+а,

0, если m_x+aX+

Интегральная функция равномерного закона распределения (рис. 1.10) выглядит следующим образом:



Рис 1.10

Значения интегральной функции следующие:

0, -Хm_x-а

F_x(x)= m_x -аХm_x+а

1, m_x+аХ+.

Числовые характеристики моментов равномерного распределения случайной погрешности следующие:

М=0 - математическое ожидание,

D= - дисперсия, = - среднее квадратическое отклонение,

_k==0 -коэффициент асимметрии,

Е_х=-3=-1,2 - эксцесс.

1.8 Обработка результатов измерений. Исключение систематических погрешностей

Конечной задачей обработки результатов любых измерений является получение оценки истинного значения измеряемой физической величины Q и погрешности измерения при известной доверительной вероятности. В соответствии с [18] в РФ разрешается использовать только те результаты измерений, погрешности которых не выходят за заданные пределы с известной доверительной вероятностью.

Причем оценка должна быть состоятельной, несмещенной и эффективной. Как уже было сказано выше, оценка является состоятельной, если при n, стремящимся к бесконечности, оценка стремится к истинному значению ФВ; несмещенной - математическое ожидание равно оцениваемому параметру; эффективной - ее дисперсия меньше любой, получаемой другим способом.

На первом этапе обработки результатов измерений оценивают наличие промахов (или грубых погрешностей). Эта оценка может быть проведена с помощью критериев Шовене, Шарлье, Греббса и др.

Рассмотрим один из них - критерий Греббса (Смирнова) [8]. Суть этого способа заключается в том, что вычисляется значение критерия

К_г = ,

где - х_с - сомнительный результат измерения;

- среднее арифметическое результатов измерений.

Затем полученное значение К_г сравнивается с табличным значением К_т. Если выполняется условие К_г> К_т, сомнительный результат принимается за грубую погрешность и из дальнейшего рассмотрения исключается.

Затем проводится анализ наличия систематических погрешностей в ряде измерений , их обнаружение и исключение из результатов наблюдений. Получается исправленный ряд результатов наблюдений: .

Таким образом, исправленный ряд наблюдений - ряд, из которого исключены систематические погрешности.

Систематические погрешности могут быть классифицированы в зависимости от:

- причин их появления;

- характера их проявления в процессе измерений.

По характеру проявления систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные.

Постоянные систематические погрешности возникают при неправильной установке начала отсчета, неправильной градуировке и настройке СИ.

Поскольку неисправленные результаты наблюдений содержат систематическую погрешность, то их математическое ожидание не совпадает с истинным значением измеряемой физической величины Q, т.е. оценка является смещенной.

Действительно:

;

- систематическая погрешность результата измерения.

Случайные отклонения V_i исправленных и неисправленных результатов наблюдений отличаются:

,

если систематическая погрешность постоянна, т.е. _i=, то и неисправленные отклонения могут быть использованы для оценки дисперсии ряда наблюдений (или СКО).

В противном случае необходимо предварительно исправлять результаты наблюдений, вводя в них поправки:, т.е. получают исправленный результат .

Т.о., для нахождения исправленного среднего значения необходимо обнаружить систематическую погрешность и исключить ее путем введения поправок.

Некоторые способы обнаружения систематических погрешностей.

Постоянные систематические погрешности не влияют на значение случайных отклонений результатов наблюдений от средних значений. Поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не позволяет их обнаружить. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях.

Прогрессирующие систематически погрешности могут быть обнаружены при помощи графика последовательности неисправленных результатов наблюдений или их отклонений от среднего значения (рис. 1.11).

отклонения неисправленных результатов наблюдений.

Систематические погрешности, изменяющиеся в процессе измерения, могут быть обнаружены аналитически, например, проверкой статистической подконтрольности.

Для этого экспериментальные данные должны быть представлены несколькими группами результатов наблюдений.

Недопустимо большое рассеивание между групповыми средними или групповыми дисперсиями указывает на наличие систематических смещений между группами. Эта проверка проводится с помощью статистических критериев Аббе и Бартлетта.

Рассмотрим сущность критерия Аббе.

Первым шагом результаты измерения выстраиваются в исправленный вариационный ряд (неубывающий ряд).

Затем определяется значение параметра q_эксп.

; .

Следующим шагом проверятся условие q_эксп.<q_табл. Если это условие выполняется, то систематическая погрешность присутствует. Значения q_табл. представлены в таблице 1.4.

Таблица 1.4. Значения параметра q_табл.

n	q	n	q
4	0.3902	13	0.5778
5	0.4102	14	0.5908
6	0.4451	15	0.6027
7	0.4680	16	0.6137
8	0.4912	17	0.6237
9	0.5121	18	0.6330
10	0.5311	19	0.6417
11	0.5482	20	0.6498
12	0.5636	25	0.6836

Естественно, что лучше сразу получать результаты измерений без систематической погрешности или с небольшой погрешностью. Полностью исключить систематическую погрешность в процессе измерений, как правило, не удается. Однако существуют специальные приемы, обеспечивающие исключение части систематической составляющей погрешности измерений. Рассмотрим основные из этих приемов.

Если систематические погрешности считают постоянными по характеру проявления, то применяют один из следующих четырех методов:

Исключение самого источника систематической составляющей погрешности измерений, например, путем предварительной установки измерительного прибора по уровню, убирает погрешность от его неуравновешенной подвижной части.

Компенсация погрешности по знаку. Например, погрешность за счет вариаций показаний прибора исключают, определяя значение измеряемой величины при подходе к определенной точке шкалы и слева, и справа. Затем вычисляют среднее значение.

Проводят симметричные измерения. Например, для исключения погрешностей от гистерезиса, проходят по шкале вверх и вниз, так называемый «прямой» и «обратный» ход, а затем результаты усредняются (рис.1.12).

4. Измерение одной и той же ФВ несколькими независимыми методами с последующим вычислением среднего взвешенного значения результата измерения.

Из теории вероятностей известно, что такое среднее взвешенное значение. Если отдельные значения а_i величины А получены с различной степенью точности, характеризуемой средним квадратическим отклонением _i (т.е. с различным СКО), то наиболее вероятным значением величины А является среднее взвешенное его значение [2], [6]:



где - вес,

- средневзвешенное значение А.

Систематическая погрешность, изменяющаяся в процессе измерения и обнаруженная статистическими методами, может быть в какой-то степени скомпенсирована только в случае знания закона ее изменения. Например, зависимость от температуры. Для выяснения характера зависимости среднего арифметического значения для каждой группы систематической погрешности используется регрессивный анализ, а для обнаружения связи между систематической погрешностью и измеряемой физической величиной используют корреляционный анализ. Изучение методов регрессивного и корреляционного анализа выходит за рамки рассматриваемых вопросов, т.к. они достаточно сложны и для изучения требуют большего количества времени.

Правила и погрешности округления результатов наблюдений и вычислений.

Точность результатов наблюдений и последующих вычислений при обработке данных должна быть согласована с необходимой точностью результатов измерений. Погрешность результатов измерений следует выражать не более чем двумя значащими цифрами. Две значащие цифры следует давать в двух случаях:

При проведении высокоточных наблюдений.

Если погрешность выражена числом с цифрой старшего разряда 3.

Пример: .

При обработке результатов наблюдений следует пользоваться правилами приближенных вычислений, а округление выполнять по следующим правилам:

Округлять результат измерения следует так, чтобы он оканчивался цифрой того же порядка, что и погрешность. Если значение результата измерения оканчивается нулями, то нуль отбрасывается до того разряда, который соответствует разряду погрешности.

Пример: погрешность равна 0,0005 м.

После вычислений получен результат измерения:

Если первая из заменяемых нулем или отбрасываемых цифр (слева направо) меньше 5, то остающиеся цифры не изменяются.

Пример:

Если первая из заменяемых нулем или отбрасываемых цифр равна 5, а за ней не следует никаких цифр или нулей, то округление производят до ближайшего четного числа, т.е. четную последнюю оставленную цифру или ноль оставляют без изменений, нечетную увеличивают на единицу.

Пример:

Если первая из заменяемых нулем или отбрасываемых цифр больше или равна 5, но за ней следует отличная от нуля цифра, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу.

Пример:

=12;

Таблица 1.5 Формулы для вычисления погрешностей при некоторых операциях над числами

Математическая операция	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
Z=a+b+с	z =a b c
Z=a-b
Z=	или
Z =
Z = an
Z =
Z=	при
Z=		при

1.8.1 Обработка результатов прямых равноточных измерений

Как уже указывалось, прямыми называются измерения, в результате которых искомые значения ФВ находят непосредственно из опытных данных.

Прямые измерения часто осуществляются путем многократных наблюдений, что, как уже говорилось выше, делается для повышения точности результатов измерений, т.е. снижения случайной составляющей погрешности.

Результаты наблюдений называются равнорассеянными (равноточными), если они являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами.

Обработка результатов прямых наблюдений производится в соответствии с [10]:

Путем введения поправок исключают известные систематические погрешности из результатов наблюдений X_i. Получают исправленный ряд наблюдений: .

Располагают результаты наблюдений в неубывающий ряд.

Вычисляют среднее арифметическое значение исправленных результатов:

.

Вычисляют несмещенную оценку СКО результатов наблюдений и оценку СКО среднего арифметического:

Проверяют гипотезу о нормальности распределении результатов наблюдений с помощью критериев , составного критерия и др.

Если результаты наблюдений могут быть аппроксимированы нормальным законом распределения, то определяют и исключают грубые погрешности или промахи.

Вопрос о том, содержит ли данный результат наблюдения грубую погрешность, решается методами проверки статистических гипотез. Сомнительными могут быть максимальные или минимальные результаты из всей совокупности.

Определяют значение:

г.

Затем по специальным сравнительным таблицам при заданном уровне значимости q=1- находят значение _таб. Если _таб, то принимается гипотеза, что результат наблюдений не содержит грубую погрешность. В противоположном случае результат наблюдений исключается из рассмотрения и проводится повторная обработка, т.е. находятся новые значения

Вычисляют доверительные границы случайной погрешности при заданной доверительной вероятности (Р=0,95, q=0,05):

где t_P - коэффициент Стьюдента; его значение определяется из таблиц по величинам Р (доверительная вероятность) и n (число наблюдений).

Определяют границы неисключенной систематической погрешности (НСП). Если распределение систематических составляющих погрешностей неизвестно, то принимают равномерный закон распределения. В этом случае:

где m - число составляющих НСП

при Р=0.95; k=1,1

Р=0.99; k=1,4.

Определяют доверительные границы суммарной погрешности.

Если отношение, систематической погрешностью пренебрегают и доверительные границы суммарной погрешности равны доверительным границам случайной составляющей погрешности:

Если отношение, то пренебрегают случайной составляющей погрешности и доверительные границы суммарной погрешности равны доверительным границам неисключенной систематической погрешности .

Если отношение лежит в интервале , доверительные границы погрешности результата измерения находят путем построения композиции распределения случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины. В этом случае суммарная погрешность определяется следующим образом: , для этого находят эмпирический коэффициент ,

где

;

Результат измерения записывается в следующем виде:

Р;

где - оценка истинного значения измерения физической величины.

Если сведения о функции распределения составляющих погрешности отсутствуют, то результаты наблюдения располагают в вариационный ряд (упорядоченная выборка) и определяют значение контрэксцесса :

, где .

Если лежит в интервале 0 < < 0.45 , то для симметричных островершинных распределений результаты измерений определяются по формуле:

, если n - четное,

, если n - нечетное.

Если лежит в интервале 0.67<1, т.е. распределения близки к нормальному, то .

1.8.2 Обработка результатов совокупных и совместных измерений

Как уже отмечалось выше:

Совокупные измерения - производимые одновременно измерения одноименных физических величин, при которых искомые значения находят решением систем уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.

Совместные измерения - производимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними.

Этот вид измерений характеризуется тем, что значения искомых величин рассчитывают по системе уравнений, связывающих искомые ФВ с некоторыми величинами, измеряемыми прямым методом. Причем, измеряют несколько комбинаций этих величин.

Каждая комбинация позволяет получить одно уравнение. Вся система уравнений, содержащая полную информацию о значениях искомых ФВ, имеют вид:

,

где - номер уравнения или комбинации величин ,

- значения искомых величин,

m - число ФВ,

n - число наблюдений j-той величины,

- реализация измерений прямым или косвенным методом величин в i-том опыте.

Если является значением одной и той же величины, например массы, то измерения совокупные.

1.8.3 Обработка результатов неравноточных наблюдений

Часто измерения проводятся в несколько этапов, разными наблюдателями, в различное время, в разных условиях с применением различных СИ. При этом необходимо найти наиболее достоверное значение ФВ и оценить его отклонение от истинного значения.

Группы результатов наблюдений называют неравноточными (неравнорассеянными), если оценки их дисперсий значительно отличаются друг от друга, а средние арифметические значения групп являются оценкой одного и того же значения измеряемой ФВ.

Если результаты наблюдений в группах распределены нормально, то используется принцип максимального правдоподобия. При этом оценка определяется следующим образом:

,

где - среднее значение j-й группы наблюдений;

- оценка СКО среднего арифметического в j-й группе;

m - число групп наблюдений.

Полученная оценка называется средневзвешенной.

Вес отдельного среднего арифметического определяется следующим образом:

.

Веса характеризуют степень нашего доверия к соответствующим рядам (группам наблюдений). Чем больше число наблюдений в данном ряду и чем меньше дисперсия результата измерений , тем больше доверия к полученному в j-том ряду среднему значению.

Иногда пользуются безразмерными весовыми коэффициентами:

; т.е.

Тогда средневзвешенное значение равно:

;

дисперсия результата измерения D:

.

Все эти выражения справедливы для нормального закона распределения результатов наблюдений.

1.9 Метод наименьших квадратов

Для повышения точности результатов измерений проводят многократные измерения, а обработку проводят методом наименьших квадратов (МНК).

Суть метода заключается в том, что оценки выбирают таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов остаточных погрешностей условным уравнением:

.

достигает минимума при значениях , обращающих в ноль все частные производные от по искомым величинам:

, j = 1,2,...,n

Рассмотрим этот метод на частном, но часто встречающемся случае совместных измерений двух ФВ X и Y, причем известно, что зависимость между ними линейная: Y=+X.

Производят совместные измерения значений X_i и соответствующих им значений Y_i, получая зависимость Y=f(X) (рис. 1.13).

Применять МНК в этом случае можно, если соблюдать следующие три условия:

Значение Х_i округляется с пренебрежительно малой погрешностью, т.е. для всех результатов измерений Х_i можно пренебречь .

Результат измерений величин Yi содержит только случайные погрешности с дисперсией D, определяемой следующим образом:

- т.е. измерения равноточные.

Случайная погрешность имеет нормальное распределение.

При этих условиях оценка методом наименьших квадратов является состоятельной, несмещенной и эффективной (D=D_min).

Удобнее представить зависимость Y=f(X) в виде:

,где b=, a₀=+bX.

В этом случае неизвестные параметры a₀ и b, которые необходимо определить при проведении совместных измерений, определяются следующим образом [7]:

a₀ = ;

b=

,

где n - число точек, в которых производятся совместные измерения.

Дисперсия погрешностей определения параметров a₀ и b равна:

.

Можно заметить, что результаты прямых измерений, полученные ранее как среднее арифметическое результатов наблюдений, являются оценкой методов наименьших квадратов для случая =0. Изложенное имеет большое практическое значение при проведении технических измерений и, прежде всего, при построении градуировочных характеристик СИ.

1.10 Правовые основы и нормативная база обеспечения единства измерений в РФ

Российская система измерений (РСИ) является социально значимой системой и представляет собой организационные и функциональные объединения участников, проводящих измерения, и потребителей измерительной информации.

В РСИ входят органы и службы, обеспечивающие единство измерений, разработчики, производители (поставщики) и пользователи средствами измерений (СИ), действующие в соответствии с российским законодательством.

Основной целью РСИ является содействие экономическому и социальному развитию общества путем защиты от неверных результатов измерений на основе конституционных норм, Законов РФ, постановлений Правительства РФ и государственных стандартов.

Важнейшей задачей РСИ для достижения этой цели является проведение единой технической политики по обеспечению единства измерений в масштабах всей страны, влияющих на уровень жизни и благосостояние граждан, на экономику и производство, правопорядок, безопасность, экологию, науку и технику, обороноспособность, а также на международное сотрудничество.

Исходными предпосылками формирования и развития РСИ в современных условиях являются следующие положения [10]:

- переход Российской Федерации на рыночные экономические отношения;

- признание целесообразности сохранения хозяйственных, торговых и научно-технических отношений и интеграции со странами СНГ, необходимость проведения с ними согласованной политики в области метрологии;

- признание необходимости интеграции экономики страны с европейской и мировой экономикой.

Для наглядности правовая и нормативная база обеспечения единства измерений в Российской Федерации может быть изображена в виде схемы, представленной на рис. 1..14.

Как видно из приведенной схемы, важнейшим документом, определяющим правовые основы обеспечения единства измерений в РФ, является Конституция РФ.

РСИ является объективным инструментом для обеспечения оценки качества продукции и услуг через стандарты, метрологическое обеспечение производства, испытания и имеет следующие основы:

- научную - метрология, со своими постулатами;

- нормативную - законы, подзаконные акты, стандарты по метрологии и производству измерительной техники;

- техническую - средства измерений соответствующего качества (испытанные и исследованные);

- организационную - Государственная метрологическая служба и метрологические службы юридических и физических лиц.

1.11 Средства измерения

Понятие и термин «средство измерения» получили широкое распространение в метрологической практике с начала 70-х годов, когда этот термин был введен. К этому времени стала ясной необходимость, особенно для технических измерений, разработки единой метрологической методологии, охватывающей все области измерений. В связи с этим было признано необходимым ввести некоторый термин, который охватывал бы любое техническое устройство, предназначенное для выработки, преобразования, отображения информации о размерах (значениях) измеряемых величин. Таким образом, в принятом термине под средством измерения понималось техническое устройство, предназначенное для выработки, преобразования, отображения информации о размерах измеряемых физических величин. Прежде каждое из подобных технических устройств именовалось отдельно и, при необходимости формирования каких-либо правил, методов, требований и т.п., относящихся ко всем таким техническим устройствам, давалось просто их перечисление. При выработке соответствующего термина не вызывало сомнений, что он должен охватить измерительные, показывающие и регистрирующие приборы, измерительные преобразователи (первичные и промежуточные), измерительные и информационно-измерительные системы, меры. Термин «средство измерения» был введен и получил широкое распространение как в литературе, так и в метрологических нормативных и методических документах.

Как известно, средства измерений подвергаются соответствующему метрологическому контролю и надзору, т.е. существует ряд обязательных правил и требований, которые должны соблюдать как разработчики средств измерений, так и потребители. После введения термина «средство измерения», о котором говорилось ранее, на практике оказалось, что принятое определение недостаточно четко. Это вызвало необходимость уточнения принятого термина. В настоящее время принято следующее определение: средство измерения - техническое средство (или комплекс подобных средств), предназначенное для измерений, имеющее нормированные метрологические характеристики, воспроизводящее и (или) хранящее единицу физической величины, размер которой принимается неизменным (в пределах установленной погрешности) в течение известного интервала времени (ГОСТ 16263).

Метрологические характеристики - это характеристики свойств СИ, оказывающие влияние на результаты измерений.

Термин «средство измерения» не является однородным понятием, определяющим совокупность идентичных технических средств. Он является понятием обобщенным, объединяющим самые разнообразные конструктивно законченные устройства, обладающие одним из двух следующих признаков:

Они вырабатывают сигнал (показание), несущий информацию о размере (значении) измеряемой физической величины.

Воспроизводят величину заданного (известного) размера.

Объединение технических устройств по этим двум признакам сделано только из соображений целесообразности общего метрологического анализа и регламентации метрологических требований и правил, единых для измерительных, показывающих и регистрирующих приборов, измерительных преобразователей, измерительных систем, измерительных комплексов, мер.

Применение средств измерений невозможно без знания степени соответствия информации о размере измеряемой (преобразуемой) величины, содержащейся в их выходном сигнале (показаниях), ее истинному размеру. Для этого метрологические характеристики средств измерений нормируются. Это позволяет знать инструментальную погрешность средств измерений.

Всякое средство измерения (кроме некоторых мер) в общем случае можно рассматривать как некоторую цепь (механическую, электрическую и др.), для которой характерна определенная зависимость между информативным параметром (показанием прибора) выходного сигнала и измеряемой величиной. Это справедливо и для таких специфических средств измерений, как измерительные (информационно - измерительные) системы (ИС, ИИС), состоящие в свою очередь из более простых средств измерений и различных технических устройств.

Все средства измерений могут классифицироваться по различным признакам [11].

По принципу действия средства измерений могут подразделяться на:

- механические;

- электрические;

- электромагнитные;

- электронные;

- оптические.

По способу определения значения измеряемой величины, средства измерения можно разделить на две группы: прямого действия и сравнения.

СИ прямого действия (непосредственной оценки) позволяют получать значения измеряемой величины на отсчетном устройстве (манометр, амперметр, термометр). Характерной особенностью таких приборов является то, что результаты, полученные с их помощью, не требуют сравнения с показателями образцовых средств измерений.

В СИ сравнения значение измеряемой величины определяют сравнением с известной величиной соответствующей ее меры. Например, при измерении массы тел на рычажных весах.

По способу образования показаний средства измерения подразделяют на показывающие и регистрирующие. Показывающие приборы в свою очередь подразделяют на аналоговые и цифровые.

Аналоговые приборы - это, как правило, стрелочные приборы с отсчетными устройствами, состоящими их двух элементов - шкалы и указателя, связанного с подвижной частью прибора. Показания таких приборов являются непосредственной функцией измерений измеряемой величины.

Цифровые измерительные приборы автоматически вырабатывают дискретные сигналы измерительной информации, которые предоставляют в цифровой форме. Отсчет у них производится с помощью механических или электронных цифровых отсчетных устройств. Благодаря своим преимуществам (высокая производительность измерения, исключение ошибок оператора, результат измерения удобен для ввода в электронные системы и т.д.), в последние годы они все чаще заменяют стрелочные приборы.

Регистрирующие измерительные приборы подразделяют на самопишущие (термографы, барографы, шлейфовые осциллографы), выдающие показания в форме диаграмм, и печатающие, которые выдают результат измерения в цифровой форме на бумажной ленте. Регистрирующие измерительные приборы находят широкое применение при измерении физических величин, параметров процессов или свойств объектов в динамических процессах, когда непрерывно изменяются те или иные условия измерения (температура, давление и т.д.).

Измерительный преобразователь - средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и (или) хранения, но не поддающейся непосредственному восприятию наблюдателем.

Преобразуемая физическая величина называется входной, а результат преобразования - выходной величиной.

Измерительные преобразователи являются составной частью измерительных приборов, различных измерительных систем, систем автоматического контроля или регулирования тех или иных процессов. Преобразователь, стоящий первым в измерительной цепи, обычно называют первичным (термопара в термоэлектрическом термометре). Преобразователь, предназначенный для изменения величины в заданное число раз, называется масштабным (измерительные усилители). Преобразователь, предназначенный для дистанционной передачи сигнала измерительной информации, называется передающим.

Если первичный преобразователь имеет конструктивную самостоятельность и нормированную функцию преобразования, то его иногда называют датчиком. Как правило, датчики преобразуют неэлектрические величины в электрические.

В настоящее время широко применяются аналоговые, аналого-цифровые (АЦП) и цифро-аналоговые (ЦАП) преобразователи.

Измерительная установка - совокупность функционально объединенных средств измерений (мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей) и вспомогательных устройств, предназначенных для выработки сигналов измерительной информации в форме, удобной для непосредственного восприятия наблюдателем, и расположенных в одном месте. Создание измерительных установок, называемых также измерительными стендами, позволяет наиболее рационально расположить все требуемые средства измерения и соединить их с объектами измерений для обеспечения наиболее высокой производительности труда, качества измерений на данном рабочем месте (например, на рабочих местах операторов в конкретных условиях производства или в измерительных лабораториях).

Измерительная система - совокупность средств измерений и вспомогательных устройств, соединенных между собой каналами связи, предназначенная для выработки сигналов измерительной информации в форме, удобной для автоматической обработки, передачи и (или) использования в автоматических системах управления. (АИС - автоматизированная измерительная система; ИИС - информационно - измерительная система; ИВК - измерительно-вычислительный комплекс).

Главная цель всех измерительных систем - автоматизация процесса измерения и использование результатов измерений для автоматического управления различными процессами производства.

Вспомогательное средство измерения - средство измерения величин, влияющих на метрологические свойства другого средства измерения при его применении или поверке. Например, точность измерения расхода газа или линейных размеров тел зависит от температуры, измеряемой термометром, который и является вспомогательным средством измерения.

Погрешности СИ могут выражаться [12]:

1. В виде абсолютной погрешности . Для меры

= Х_н-Х_д,

где Х_н номинальное значение, Х_д - действительное значение измеряемой величины.

Для прибора = Х_п-Х_д, где Х_п - показание прибора.

2. В виде относительной погрешности

=

3. В виде приведенной погрешности

=

где Х_N - нормирующее значение измеряемой ФВ.

В качестве нормирующего значения может быть принят предел измерения данным СИ. Например, для весов с пределом измерения массы 10 кг Х_N=10 кг. Если в качестве нормирующей величины принимается размах всей шкалы, то именно к значению этого размаха в единицах измеряемой ФВ и относят абсолютную погрешность. Например, для амперметра с пределами измерения от минус 100 мА до 100 мА Х_N=200 мА.

Если в качестве нормирующей величины принимается длина шкалы прибора l, то Х_N=l.

На каждое СИ погрешность приводится только в какой-то одной форме.

Если погрешность СИ при неизменных внешних условиях постоянна во всем диапазоне измерений, то = а (1.1).

Если она меняется в указанном диапазоне, то = (a+bx) (1.2).

При =а погрешность называется аддитивной, при = (a+bx) - мультипликативной.

Для аддитивной погрешности

= р (1.3).

Для мультипликативной погрешности

= (1.4).

Приведенная погрешность

= q (1.5).

начения р, c, d, q, выбираются из ряда чисел:

1 10ⁿ; 1,5 10ⁿ; (1,6 10ⁿ); 2 10ⁿ; 2,5 10ⁿ; 3 10ⁿ; 4 10ⁿ; 5 10ⁿ; 6 10ⁿ,

где n - положительное или отрицательное целое число, включая «0».

В зависимости от степени точности СИ им присваивается класс точности. Общего определения «класса точности» в настоящее время не существует. Для СИ, у которых погрешность измерения определяется в соответствии с формулами (1.1) и (1.2), класс точности присваивается порядковым номером, начиная для самого точного с 1 и далее по мере возрастания погрешности.

Если погрешность определяется по формулам (1.3) или (1.5), класс точности СИ соответствует значениям относительной или приведенной погрешности, выраженной в %.

Например, если = 1%, то класс точности СИ 0,1, если приведенная погрешность = 1,5%, то класс точности СИ 1,5. Это справедливо для приведенной погрешности, нормируемой значением ФВ в принятых единицах. В тех случаях, когда погрешность нормируется длиной шкалы прибора l, класс точности также равен численному значению , но обозначается по другому. Например, при = 0,5% (X_N=l) класс точности - 0,5 а его обозначение приведено в таблице 1.6.

Если погрешность СИ определяется формулой (1.4) (мультикативная погрешность), то она обозначается c/d. Например, если

= ,

то класс точности СИ обозначается 0,02/0,01.

Проиллюстрируем это на следующем примере. Имеется вольтметр с пределами измерений 0-100 В. На него подается напряжение 50 В. Результат измерения - 48,5 В. Необходимо определить класс точности ( по , , ).

= 1,5 В, = 3%, = 1,5%.

По класс точности 6, по класс точности - 3, по класс точности - 1,5.

Обозначения классов точности приведены в таблице 1.6.

Таблица 1.6. Форма выражения погрешности и обозначение класса точности

Форма выражения погрешности	Предел допускаемой погрешности	Обозначение класса точности СИ
Приведенная погрешность. Нормирующее значение выражается в линейных единицах, (отношение к max значению шкалы или к размаху, т.е. от разности конечного и начального значения шкалы )	=1,5%	1,5
Приведенная погрешность. Нормирующее значение равно измеренному значению величины по показаниям прибора	=1,5%	1,5
Постоянная относительная погрешность (аддитивная). Нормирующее значение равно конечному значению рабочей части шкалы приборов с односторонней шкалой или разности конечного и начального значений для приборов с безнулевой шкалой	=0,5%	0,5
Относительная погрешность меняется с изменением измеряемой ФВ (мультипликативная)		0,02/0,01
Для цифровых приборов, у которых приводится абсолютная погрешность	По формуле ? = ± а;	М
Для цифровых приборов, у которых приводится относительная погрешность	По формуле ? = ± (а + вх) = ±= р	С

Размещено на Allbest.ru

...