Нелінійна фільтрація негауссових сигналів у класі степеневих поліноміальних операторів

Размещено на http://www.allbest.ru

ОДЕСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ЗВ'ЯЗКУ ІМ. О.С. ПОПОВА

УДК 621.391.21

Нелінійна фільтрація негауссових сигналів у класі степеневих поліноміальних операторів

Спеціальність 05.12.13 - радіотехнічні пристрої та засоби телекомунікацій

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Первунінський Станіслав Михайлович

Одеса 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Черкаському державному технологічному університеті Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант: заслужений діяч науки і техніки України, доктор технічних наук, професор Ігнатов Володимир Олексійович, Національний авіаційний університет, завідувач кафедри

Офіційні опоненти:

заслужений діяч науки і техніки України, доктор технічних наук, професор Лучук Андрій Михайлович, Київський інститут зв'язку Одеської національної академії зв'язку ім. О.С. Попова, професор кафедри;

доктор технічних наук, професор Бойко Іван Федорович, Національний авіаційний університет, професор кафедри;

доктор фізико-математичних наук, професор Яворський Ігор Миколайович, Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, завідувач відділу.

Провідна організація: Національний технічний університет України “КПІ”, кафедра радіоприймання та обробки радіотехнічної інформації, Міністерство освіти і науки України, м. Київ.

Захист відбудеться “ 29 ” листопада 2001 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 41.816.02 в Одеській національній академії зв'язку ім. О.С. Попова за адресою: 65029, м. Одеса, вул. Кузнечна, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Одеської національної академії зв'язку ім. О.С. Попова, за адресою: 65029, м. Одеса, вул. Кузнечна, 1.

Автореферат розісланий “29” жовтня 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 41.816.02, д.т.н., професор Князєва Н.О.

Размещено на http://www.allbest.ru

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

поліноміальний фільтр каузальний

Актуальність роботи. Проблема фільтрації сигналів на фоні завад є однією з найбільш актуальних для радіотехнічних пристроїв і засобів телекомунікацій. При синтезі фільтрів сигналів в завадах необхідно враховувати характер взаємодії сигналу і завади, їхні статистичні характеристики, апріорну інформацію про реалізації сигналів, що спостерігаються, критерій, за яким виконується оптимізація обробки сигналів. В даний час широке застосування знайшла теорія лінійної фільтрації за критерієм мінімуму середнього квадрата помилки (МСКП) між сигналом на виході фільтра і корисним сигналом.

Вибір такого критерію обумовлено низкою причин:

- можливістю одержання аналітичних рішень у прийнятному для практики вигляді;

- забезпеченням малої імовірності появи значних помилок;

- при фільтрації випадкових сигналів гауссового типу такий критерій забезпечує одержання середніх значень прогнозованих величин.

Основи теорії лінійної фільтрації стаціонарних випадкових процесів створили А.Н. Колмогоров і Н. Вінер. Наступні роботи в області фільтрації детермінованих і стохастичних сигналів, що виконані Р.П. Стратановичем, В.І. Тихоновим, Р.Е. Калманом та вченими Одеської національної академії зв'язку ім. О.С. Попова, вирішують задачу лінійної і нелінійної фільтрації при розгляді впливів, що заважають, у вигляді гауссових завад типу білого шуму або в класі марковських моделей сигналів і завад.

Сучасна теорія лінійної фільтрації сигналів на фоні адитивних шумів у радіотехнічних системах базується на апріорній інформації про випадкові процеси, що спостерігаються в системі, з використанням щільності розподілу ймовірностей. Встановлено, що при фільтрації по МСКП лінійні фільтри забезпечують абсолютний оптимум лише у випадку, коли сигнал і завада - випадкові процеси з гауссовим законом розподілу. Якщо сигнал і завада одночасно чи окремо мають закони розподілу, що відрізняються від гауссових, то оптимальною процедурою обробки є нелінійна фільтрація. Відзначимо, що негауссові стаціонарні випадкові процеси (НСВП) досить часто зустрічаються в практичній радіотехніці. Такі розподіли мають більшість сигналів, побудованих з використанням гармонійних коливань з випадковою початковою фазою.

В даний час найбільш розвинутою галуззю теорії випадкових процесів є теорія марковських процесів. Теорія нелінійної фільтрації марковських процесів, використовуючи специфічні властивості таких процесів, дозволяє синтезувати ефективні фільтри для виділення сигналів на фоні завад за критеріями МСКП і мінімуму середнього ризику. Менш розвинута теорія нелінійної фільтрації стаціонарних негауссових випадкових процесів.

Для опису нелінійного перетворення випадкових процесів при фільтрації корисним є розкладання функціонала, що описує нелінійний фільтр, функціональним поліномом Вольтерра. Однак використання поліномів Вольтерра для синтезу фільтра за критерієм МСКП стримується складністю математичного апарату і труднощами практичного одержання апріорної інформації про реалізації сигналів, що спостерігаються, у вигляді моментних функцій багатомірного розподілу. Для порівняння відзначимо, що в теорії нелінійної фільтрації марковських процесів по МСКП використовуються апостеріорні імовірності, вид яких визначити на практиці не менш складно.

В останні роки, головним чином, зусиллями вітчизняних і зарубіжних учених (Б.Г. Марченко, В.А. Омельченко, К.А. Капалин, О.І. Шелухин, Ю.П. Кунченко й ін.) теорія функціональних рядів Вольтерра одержала подальший розвиток. Вона почала успішно застосовуватися при розв'язанні задач ідентифікації нелінійних динамічних систем. До задач оптимальної нелінійної фільтрації з використанням рядів Вольтерра зверталися різні дослідники. Цікаві результати були отримані Кальцельсоном і Гулдом. Зокрема, ними знайдена нескінченна система рівнянь щодо ядер Вольтерра, у яку входять багатомірні моментні функції суміші сигналу з завадою різних порядків. Однак значною перешкодою для використання розглянутих у теорії аналітичних методів розв'язання задачі фільтрації при синтезі реальних систем виділення сигналу із шуму є труднощі розв'язання систем інтегральних рівнянь, що включають апріорну інформацію про сигнали і шуми у вигляді багатомірних моментних функцій. Оскільки одержання даних про вид багатомірних моментних функцій для практики також є серйозною проблемою, то в системах нелінійної фільтрації радіосигналів даний теоретичний напрямок поки не знайшов практичного застосування. Не знайдені і граничні співвідношення, що визначають ефективність використання нелінійної фільтрації сигналів у негауссових шумах порівняно з лінійними методами фільтрації.

У той же час адекватним зображенням сигналів і шумів є їхній опис низкою моментних чи однозначно пов'язаних з ними кумулянтних функцій. Саме цей спосіб завдання апріорної інформації про сигнали, що спостерігаються в системі, використовується в кореляційній теорії лінійної фільтрації стаціонарних випадкових процесів, яка одержала широке поширення в радіосистемах. Розвитком цього напрямку в сфері нелінійних методів обробки стаціонарних випадкових процесів є роботи А.А. Харкевича, А.Г. Зюко, А.Н. Малахова, О.І. Шелухина, Ю.П. Кунченко, Ю.Г. Леги й ін. У них розроблені основи аналізу результатів обробки сигналів у негауссових шумах із застосуванням інформації у вигляді кінцевої послідовності кумулянтних функцій.

Проте, проблема оптимальної нелінійної фільтрації радіосигналів у негауссовому шумовому оточенні ще не має повного вирішення. Слід зазначити, що сучасні чисельні методи розв`язання інтегральних рівнянь і систем інтегральних рівнянь потребують застосування високопродуктивних обчислювальних систем, а результати рішень сильно залежать від похибок завдання параметрів фільтра і стохастичних параметрів сигналів. Значною перешкодою для практичного застосування синтезованих фільтрів Вольтерра служить і складність технічної реалізації таких фільтрів апаратними чи апаратно - програмними методами. Природним напрямком у подоланні зазначених труднощів вирішення проблеми нелінійної фільтрації стаціонарних випадкових процесів є синтез фільтрів Вольтерра в класі сепарабельных ядер. Цей напрямок розробляється і досягнуті значні результати науковими колективами професорів Марченко Б.Г., Сосуліна Ю.Г., Алексидзе М.А. та ін. У той же час у даному підході до синтезу нелінійних фільтрів залишаються проблематичними питання складності технічної реалізації фільтра і його стійкості до похибок завдання багатомірних функцій розподілу сигналів, що спостерігаються в системі фільтрації.

Проміжним варіантом у проблемі нелінійної фільтрації є синтез фільтрів у класі дельта-сепарабельних ядер Вольтерра. Такий підхід до рішення проблеми дозволяє спростити технічну реалізацію фільтрів, що синтезовані за апріорною інформацією у вигляді двомірних функцій розподілу. На цьому шляху розвитку досліджень відсутні розв'язки ряду задач теоретико-прикладного характеру. Так, наприклад, немає відповіді на питання: наскільки ефективне застосування ортогональних перетворень при синтезі фільтра порівняно з неортогональними; які моделі варто використовувати при описі стохастичних характеристик сигналів; як змінюється ефективність фільтрації зі зростанням порядку степеневого полінома; у яких межах змінюється коефіцієнт фільтрації сигналів при зміні характеристик негауссовості в моделі сигналів. У результаті розв'язку зазначених задач будуть розроблені теоретичні і реалізаційні основи побудови нелінійних фільтрів НСВП у класі степеневих поліноміальних операторів (СПО), що дозволить використовувати в радіотехнічних системах нелінійні процедури фільтрації, які підвищують ефективність існуючих систем обробки сигналів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Основні результати дисертаційної роботи отримані в процесі виконання науково-дослідницьких і дослідно-конструкторських робіт, що проводилися в Черкаському інженерно-технологічному інституті (ЧІТІ) зао замовленнями і планами Міністерства освіти і науки України, Міністерства оборони України, Комітету з гідрометеорології України, науково-дослідного інституту “Акорд” (м. Черкаси) і спрямовані на вирішення завдань побудови, розвитку й удосконалювання базової мережі обміну даними з підвищеною вірогідністю передачі інформації. Робота пов'язана з тематичними планами проведення за рахунок бюджету таких НДР: № 114-91 “Розробка нелінійних методів виявлення і фільтрації сигналів, прийнятих на фоні негауссових завад”, номер державної реєстрації VА01007471; № 114-94 “Розробка нелінійних дискретних методів виявлення і фільтрації сигналів при негауссових завадах для залежної вибірки”, номер державної реєстрації 0194V023407; № 169-95 “Дослідження принципів фор-мування, передачі і прийому шумоподібних сигналів з використанням шумових негауссових сигналів”, номер державної реєстрації 0195V009209; № 117-98 “Роз-робка принципів передачі інформації з використанням модемів із квазішумовими сигналами”, номер державної реєстрації 0198V007329. Роботи виконувалися в ЧІТІ, в усіх перерахованих роботах автор був відповідальним виконавцем. Роль автора в цих науково-дослідних роботах полягала в розробці теоретичних основ синтезу й аналізу пристроїв нелінійної фільтрації на базі використання моментно-кумулянтного опису сигналів і завад.

Мета та задачі досліджень. Мета дисертаційної роботи полягає у розробці теоретичних і реалізаційних основ побудови нелінійних фільтрів негауссових сигналів, що оптимальні у класі степеневих поліноміальних операторів. Для досягнення зазначеної мети в дисертації вперше сформульовані і розв'язані такі задачі:

розробка математичних основ операторного підходу в розв'язанні задачі нелінійної фільтрації сигналів із залученням методів функціонального аналізу;

аналіз спектрів кумулянтних функцій вищих порядків основних типів сигналів, що застосовуються у радіотехнічних пристроях та засобах телекомунікацій, з лінійними і нелінійними методами модуляції;

розробка теорії синтезу нелінійних фільтрів, оптимальних у класі степеневих поліноміальних функціональних операторів. Аналітичне розв'язання задачі синтезу математичних фільтрів;

аналіз ефективності нелінійних поліноміальних фізично реалізованих фільтрів, синтезованих у класі поліноміальних операторів з каузальними ядрами;

розробка елементів теорії синтезу фільтрів-демодуляторів аналогових шумових негауссових сигналів, дослідження їхньої ефективності;

розробка принципів імітаційного моделювання нелінійних фільтрів негауссових сигналів.

Об'єктом досліджень у роботі є нелінійні фільтри негауссових сигналів, що оптимальні в класі степеневих поліноміальних операторів.

Предметом досліджень є методи й алгоритми нелінійної фільтрації негауссових сигналів, прийнятих на фоні адитивних негауссових завад.

Методи досліджень базуються на використанні: теорії функціонального аналізу, теорії оцінки скалярних і векторних параметрів випадкових процесів з метою розробки теоретичних основ розв'язання задач синтезу оптимальних нелінійних фільтрів негауссових сигналів; теорії матриць, теорії ймовірностей, методів імітаційного моделювання для дослідження ефективності нелінійних фільтрів у класі степеневих поліноміальних операторів і визначення їхніх реальних характеристик при фільтрації сигналів у негауссових завадах.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що уперше виконане теоретичне узагальнення і створені аналітичні методи статистичного дослідження характеристик нелінійних фільтрів у класі СПО, що побудовані на основі опису сигналів і завад двомірними моментними і кумулянтними функціями вищих порядків, які забезпечують підвищення ефективності існуючих систем обробки сигналів.

У рамках розвитку методів функціонального аналізу, використовуваних при аналізі і синтезі нелінійних фільтрів сигналів, що приймаються на фоні негауссових завад, автором отримані такі наукові результати:

Доведено граничні співвідношення для гільбертових просторів з неортогональним базисом у вигляді узагальненої нерівності Бесселя й узагальненої рівності Парсеваля-Стеклова, що спрощують аналіз систем обробки неортогональних сигналів.

Доведено нові рекурентні співвідношення для обчислення визначників матриць високих порядків, застосування яких в аналітичних дослідженнях дозволило одержати канонічні співвідношення, що спрощують аналіз досліджуваних систем.

Запропоновано метод розкладання випадкових процесів у класі стаціонарних функціональних поліномів. Показано ефективність його використання в процедурі синтезу нелінійних фільтрів.

Розроблено нові принципи фільтрації і виміру параметрів негауссових сигналів, що забезпечують ефективне використання апріорної інформації у вигляді двомірних моментних і кумулянтних функцій вищих порядків прийнятих сигналів.

Синтезовано і досліджено характеристики нелінійних фільтрів, оптимальних у класі СПО, для реалізацій сигналу з шумом, що представлені незалежною вибіркою.

Синтезовано і досліджено характеристики нелінійних фільтрів у класі СПО для аналогових сигналів з амплітудною, фазовою і частотною модуляцією.

Розроблено і досліджено обчислювальні алгоритми синтезу нелінійних фільтрів, оптимальних у класі СПО, із застосуванням лінійних регуляризаторов розв'язання некоректних за А.Н. Тихоновим задач.

Знайдено аналітичні співвідношення для обчислення кумулянтних функцій вищих порядків двомірного розподілу і досліджено спектри бінарних сигналів з частотною маніпуляцією з розривом і без розриву фази, а також аналогових сигналів з амплітудною, фазовою і частотною модуляцією.

Розроблено метод максимізації середнього значення функціонального полінома, що породжує більш простий алгоритм оцінки векторного параметра.

Виконано синтез оптимального алгоритму демодуляції аналогових шумових негауссових сигналів. Знайдено потенційні границі зменшення дисперсії помилки демодуляції для гауссових і негауссових компонент складових прийнятих реалізацій сигналу із шумом.

Запропоновано нові принципи передачі інформації шляхом модуляції інформаційним повідомленням параметрів кумулянтов шумового випадкового процесу, що дозволяють створювати багатоканальні системи зв'язку із шумовими сигналами.

Одержали подальший розвиток методи синтезу реалізацій негауссових випадкових величин і негауссових випадкових процесів з необхідними значеннями кумулянтов чи кумулянтних функцій. Створено сервісне програмне забезпечення для виконання імітаційного моделювання систем фільтрації негауссових сигналів.

У сукупності отримані результати створюють теоретико-методологічну основу синтезу, аналізу і дослідження характеристик нелінійних фільтрів, оптимальних у класі степеневих поліноміальних операторів.

Практичне значення отриманих результатів. Проведені дослідження дають можливість розробляти радіотехнічні пристрої та засоби телекомунікацій, що працюють в умовах негауссових завад, з поліпшеними порівняно з лінійними системами технічними характеристиками. Отримані в ході досліджень моделі фізичних механізмів виділення негауссових сигналів на фоні завад перспективні для застосування у функціональній електроніці.

Практичними результатами, що отримані в дисертаційній роботі, є такі:

запропоновано і запатентовано в Україні метод безінерційної нелінійної фільтрації негауссових сигналів, представлених незалежною вибіркою корисного сигналу із шумом, що підвищує ефективність фільтрів від двох до восьми дб;

запропоновано і запатентовано метод оцінки значень кумулянтних коефіцієнтів третього і четвертого порядків сигналів, що спостерігаються, інваріантний до величини дисперсії вхідного випадкового процесу;

запропоновано і запатентовано в Україні пристрій передачі інформації шумовими сигналами, що забезпечує п'ятикратне збільшення пропускної здатності лінії зв'язку;

показано, що сигнали з амплітудною, частотною і фазовою модуляціями описуються моделями стаціонарних негауссових випадкових процесів. Оптимальна фільтрація таких сигналів виконується в класі нелінійних операторів;

розроблено метод максимізації середнього значення функціонального полінома, що відрізняється простим алгоритмом оцінки векторного параметра;

розроблено універсальні імітаційні програми, що включають методи синтезу випадкових величин негауссового типу і негауссових випадкових процесів з необхідними значеннями кумулянтов і кумулянтних функцій вищих порядків, а також сервісні програми по оцінці характеристик нелінійних фільтрів у класі СПО.

На основі отриманих у дисертації результатів розроблено ряд алгоритмів функціонування пристроїв нелінійної фільтрації, оцінки параметрів негауссових сигналів і технічних рішень по їхній реалізації, включених у звіти по фундаментальних держбюджетних НДР ЧІТІ (теми № 114-91, 114-94, 169-95, 117-98) і впроваджених у ряді ОКР у Черкаському НДІ “Акорд”, а саме:

- при розробці і виробництві системи обміну даними між наземним вимірювальним пунктом і бортовою апаратурою високоорбітального супутника застосовані алгоритми нелінійної фільтрації телеметричних сигналів, прийнятих у негауссовому шумовому оточенні;

- при розробці концепції побудови базової мережі обміну даними з метою підвищення швидкості передачі застосовані дискретні модеми із шумовими сигналами, що використовують маніпуляцію параметрів кумулянтних функцій до четвертого порядку включно;

- розроблені принципи імітаційного моделювання систем фільтрації сигналів і система програмного забезпечення імітаційних моделей застосовані при відпрацьовуванні варіантів апаратурної реалізації систем з оптимальним розподілом технічних ресурсів радіоканалу зв'язку.

Особистий внесок здобувача. Узагальнена рівність Парсеваля-Стеклова і метод максимізації середнього значення функціонального полінома отримані в співавторстві з Легою Ю.Г. Патенти по безінерційній фільтрації негауссових сигналів, оцінці кумулянтов третього і четвертого порядків отримані в співавторстві з Легою Ю.Г. і Кунченко Ю.П., пристрій передачі інформації шумовими сигналами запатентовано разом з Легою Ю.Г. Участь автора в цих роботах складається в доведенні основних тверджень і визначенні оптимальних параметрів пропонованих технічних пристроїв. Узагальнена нерівність Бесселя, теорія синтезу нелінійних фільтрів у класі СПО й аналітичні співвідношення по визначенню дисперсії помилок фільтрації, що спостерігаються на виході фільтра, розроблені автором самостійно.

Дослідження характеристик нелінійних фільтрів у класі стаціонарних СПО при фільтрації сигналів з фазовою модуляцією (підрозділ 4.6) виконано здобувачем при участі аспіранта Дідковського Р.М. Автором отримані аналітичні вирази й обґрунтовані обчислювальні алгоритми для визначення оптимальних параметрів фільтрів.

Сервісне програмне забезпечення по дослідженню нелінійних методів обробки негауссових сигналів (додаток Д) розроблено в процесі виконання держбюджетних НДР, у яких здобувач був відповідальним виконавцем.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на таких конференціях і наукових семінарах:

Міжнародний науково-технічний семінар "Статистичний синтез і аналіз інформаційних систем", Москва - Черкаси, 1992 р.;

Міжнародна конференція "Ймовірнісні моделі й обробка випадкових сигналів і полів", Харків - Тернопіль, 1992 р.;

Республіканська школа-семінар "Ймовірнісні моделі й обробка випадкових сигналів і полів", Львів - Харків - Тернопіль, 1993 р.;

ІV Українська конференція по автоматичному керуванню "Автоматика-97", Черкаси, 1997 р.;

V Українська конференція по автоматичному керуванню "Автоматика-98", Київ, 1998 р.;

VІ Українська конференція по автоматичному керуванню "Автоматика-99", Харків, 1999 р.;

V Міжнародна конференція “Радіолокація, навігація, зв'язок”, Воронеж, 1999р.;

IV Міжнародна конференція по телекомунікаціях “НТК-телеком-99”, Одеса, 1999 р.;

Міжнародна науково-технічна конференція “Сучасні проблеми засобів телекомунікації, комп'ютерної інженерії і підготовки фахівців”, Львів-Славсько, Україна, 2000 р.

Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано одну монографію, 25 наукових статей, зроблено 10 доповідей на міжнародних і галузевих науково-технічних конференціях, отримано 3 патенти на винаходи. Основні результати роботи знайшли відображення в 6 науково-технічних звітах по науково-дослідних роботах.

Обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, 6 основних розділів, висновків і чотирьох додатків. Загальний обсяг дисертації складається з 356 сторінок тексту, 42 рисунків, списку використаних джерел, що включає 122 найменування на 12 сторінках, і 38 сторінок додатків.

2. ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі міститься обґрунтування актуальності проблеми досліджень, їх наукова і практична цінність, сформульована мета роботи і задачі, які слід вирішити для досягнення поставленої мети, представлені положення, що виносяться на захист.

У першому розділі розглядається узагальнене формулювання задачі фільтрації, що полягає у визначенні оптимальних параметрів оператора, який забезпечує мінімальну відстань між вектором, що спостерігається, (реалізації сигналу із шумом) як елемента гільбертового простору , і його проекцією на деякий підпростір - лінійне різноманіття елементів, що входять в оператор фільтрації. Як нелінійний оператор фільтрації процесу, що спостерігається, представленого адитивною сумішшю стаціонарних у вузькому сенсі корисного сигналу і завади , розглядаються СПО -го порядку

Форма представлення корисної інформації залежності від призначення радіотехнічного пристрою може бути різною. У загальному випадку необхідний сигнал описується функцією, де - деякий відомий оператор. Тоді оптимальні параметри оператора фільтрації (1) визначаються з умови забезпечення мінімуму середньоквадратичної помилки між оцінкою, отриманою на виході фільтра, і функцією

Різні форми (аналогова, дискретна) представлення корисного сигналу і реалізації випадкового процесу тривалістю T, вид оператора W дозволяють виділити такі класи задач фільтрації:

оцінка скалярного чи векторного параметра сигналу;

проста фільтрація сигналу (W - одиничний оператор);

демодуляція сигналу (фільтрація другого типу).

Зазначені класи задач фільтрації, розв'язувані у формулюванні, що описується рівняннями (1), (2), з різними видами операторів у виразу (1), розглядаються в даній роботі. Як гільбертів простір L2 випадкових процесів, що спостерігаються, використовується модель повного лінійного простору випадкових величин з обмеженим значенням моменту другого порядку (випадкових величин другого порядку) з операцією скалярного добутку

Синтез оптимального оператора фільтрації виду (1) виконується з використанням негауссових моделей випадкових величин і випадкових процесів. Як відомо, зручною формою для повного опису негауссових випадкових величин (ВВ) є використання кінцевої послідовності їхніх моментів чи кумулянтов. Методи моментно - кумулянтного аналізу розроблені А.Н. Малаховим. У той же час деякі граничні властивості негауссових ВВ, необхідні для розв'язку нелінійних задач фільтрації сигналів, потребують подальшого вивчення. Доведено, що для ВВ із кінцевим значенням початкових моментів справедливі такі узагальнені нерівності

Розуміючи під класом негауссових ВВ, що належать граничному розподілу, такі ВВ, для яких нерівність Коші - Буняковского має вигляд строгої рівності

Тільки для ВВ із граничним розподілом граміан S - го порядку дорівнює нулю:

Показано, що користуючись ВВ дискретного типу, яка набуває на дійсній прямій значення з ймовірностями, що задовольняють умові, можна побудувати систему ВВ, що з імовірністю майже напевно утворить множину лінійно незалежних ВВ. Відповідно лінійне різноманіття, утворене з елементів множини , є підпростором , розмірністю . Як наслідок з цього твердження одержуємо, що користуючись степеневими перетвореннями ВВ із безперервним розподілом (за умови існування початкових моментів ), можна одержати повну систему лінійно незалежних елементів у просторі L2.

Виконано узагальнення основних співвідношень гільбертова простору - нерівності Бесселя і рівності Парсеваля-Стеклова, відомих для ортогональної системи базисних елементів, на базис, утворений неортогональною системою лінійно незалежних елементів.

Аналіз розкладання елементів простору L2 по неортогональному базису дозволив довести ряд теорем, що спрощують процес обчислення координат векторів при зміні базису.

Так, мінімальна відстань вектора від простору, натягнутого на базисний каркас, утворений з неортогональних векторів.

Нерівність (9) при повній системі неортогональних базисних елементів перетворюється в строгу рівність, що є узагальненням рівності Парсеваля - Стеклова на неортогональний базис.

В другому розділі розглядається проблема опису основних типів сигналів, застосовуваних у радіотехнічних пристроях, аналітичними співвідношеннями, що дозволяють визначити їх моментні і кумулянтні функції вищих порядків (порядку більше двох) двомоментного розподілу, аналізуються спектральні щільності даних сигналів. Подібний аналіз у статистичній радіотехніці відсутній, оскільки при синтезі лінійних фільтрів методами кореляційної теорії необхідно мати вирази для обчислення моментних (кумулянтних) функцій двомоментного розподілу і їхніх спектрів тільки для початкових двох порядків, а при нелінійній фільтрації з використанням марковських моделей сигналів і завад така інформація не потрібна. Синтез нелінійних фільтрів у класі СПО базується на апріорній інформації, представленій послідовністю кумулянтних функцій кінцевого порядку вище другого та їхніх спектрів.

У радіотехнічних пристроях, призначених для обробки дискретних бінарних сигналів з маніпуляцією окремих параметрів несучого гармонійного коливання, загальний опис сигналу дається виразом

Вибором моделі високочастотних коливань, можна врахувати наявність у сигналі випадкових інформаційних параметрів, що виникають у процесі генерації і поширення сигналів. Як модель повідомлення при аналізі моментних функцій сигналів прийнята модель стаціонарних у вузькому сенсі випадкових процесів з початковими моментами і моментними функціями, заданими послідовностями

Аналіз показав, що модель сигналу вигляду (10) приводить до одержання кінцевих виразів, що відрізняються несиметричністю по обліку величини моментних функцій сигналів . Більш зручною для обчислень виявляється модель вигляду

З виразу (11), як приватні випадки і, виходять вирази для визначення моментних функцій бінарних сигналів з амплітудною (з пасивною паузою) і фазовою маніпуляціями відповідно .

За загальним виразом (11) отримані формули для обчислення моментних функцій бінарних сигналів з частотною маніпуляцією. Розглянуто випадки маніпуляції з розривом і без розриву фази високочастотного несучого коливання. Кінцеві аналітичні співвідношення знайдені з застосуванням розкладання степенів тригонометричних функцій у функціональний ряд, а послідовність значень функції описана моделлю марковського процесу з відомою матрицею однокрокових ймовірностей переходу.

Аналіз кумулянтних функцій аналогових сигналів з модуляцією амплітуди, фази і частоти несучого високочастотного коливання виконаний з використанням моделі функції, що модулює, у вигляді стаціонарного випадкового процесу типу пофарбованого гауссового шуму. Наведено вирази для визначення кумулянтних функцій вищих порядків сигналів з модуляцією амплітуди (АМ і балансова АМ), фази (ФМ) і частоти (ЧМ). Аналіз кумулянтних функцій вищих порядків сигналів із зазначеними видами модуляції показує, що і для моделюючої функції, представленої моделлю гауссового випадкового процесу, модульовані сигнали представляють негауссові випадкові процеси. Так, наприклад, для сигналів із ФМ кумулянтні коефіцієнти j-го порядку, де - кумулянт k-го порядку, k=1,2,..., мають такі значення: .

Отримано спектри кумулянтних функцій основних типів аналогових радіосигналів і вивчено їхні особливості. Відзначено, що сигнал гауссового типу, який модулює,, дає стаціонарний результуючий радіосигнал зі спектром кумулянтної функції позитивного знака, якщо порядок розглянутої функції по модулю чотири є непарним і має негативний знак при іншому значенні порядку. Характер зміни спектральної щільності сигналів із ФМ видно з рис. 1. На рис. 1 зображені спектральні щільності кумулянтних функцій (рис. 1, а) і (рис. 1, б) в області позитивних частот для двох видів кореляційної функції сигналу, що модулює: і при значенні параметра .

Негауссові моделі опису основних типів сигналів, що зустрічаються в радіотехнічних пристроях, дозволяє зробити висновок, що оптимальну обробку таких сигналів слід виконувати із застосуванням нелінійних операторів фільтрації.

У третьому розділі вирішується проблема оптимальної фільтрації негауссових сигналів у класі степеневих поліноміальних операторів. Рішення шукається при формулюванні задачі простої фільтрації стаціонарних випадкових процесів у класі операторів фільтрації виду (1) з різними формами представлення вхідних сигналів фільтра. Як кількісна характеристика ефективності фільтра S-го порядку обраний коефіцієнт фільтрації

Значення функціонала при раціонально обраних параметрах фільтра (1), як нескладно установити з виразу (12), при (вхідний сигнал містить заваду ) може змінюватися в інтервалі від 0 до 1.

Форми нелінійного оператора фільтрації виду (1) можуть бути різними. Найбільш простою формою є оператор

Фільтр, що реалізує оператор фільтрації (13), названий безінерційним степеневим поліноміальним фільтром (БСПФ) порядку S. Знайдено вираз для обчислення оптимальних параметрів оператора (13). Мінімальне значення дисперсії помилки фільтрації на виході фільтра визначається величиною

Іншим видом степеневого оператора фільтрації є стаціонарний функціональний оператор S-го порядку

Доведено, що оптимальне значення вектора оператора (15) знаходиться з розв'язання матричного рівняння

Тут - коваріаційна функція стаціонарних випадкових процесів і ( ); - спільна коваріаційна функція стаціонарних випадкових процесів і .

Мінімальна дисперсія помилки фільтрації визначається з виразу (14) з підстановкою визначників і матриць, утворених елементами коваріаційних функцій і, відповідно. Збіг виразів для визначення дисперсії помилки фільтрації пояснюється тим, що при інтервалі спостереження оператор фільтрації (15) перетворюється в оператор БСПФ (13).

Більш загальною формою оператора нелінійної фільтрації є випадок, коли в операторі виду (1) використовується перетворення

При запису оператора фільтрації у формі (16) передбачається, що випадковий процес має похідні до порядку k=1,2,..,m. Фільтр, що реалізує фільтрацію в класі операторів виду (16), названий узагальненим степеневим функціональним фільтром порядку S+m. Задача оптимального перетворення вхідного процесу узагальненим степеневим функціональним оператором формулюється як визначення проекції вектора - елемента гільбертова простору ВВ другого порядку - на підпростір - лінійне різноманіття ВВ . Розв'язок такої задачі задовольняє умові

Застосовуючи дану умову до складових оператора (1) виду операторів (16), одержуємо систему інтегральних рівнянь для визначення оптимальних параметрів . Зазначена система розв'язана із застосуванням перетворення Фур'є. Оптимальний розв'язок, отриманий в частотній області, збігається з розв'язком задачі фільтрації для фільтра, оптимального в класі степеневих функціональних поліномів

(17)

і знаходиться шляхом виділення цілої і дробової частин у спектрах ядер, представлених відношенням двох поліномів.

При аналізі дисперсії помилки фільтрації, що спостерігається на виході фільтра S-го порядку, оптимального в класі степеневих функціональних операторів виду (17), обґрунтоване нове співвідношення для обчислення дисперсії помилки фільтрації

Вираз (18), з врахуванням завжди виконуваної умови, дозволяє записати узагальнену нерівність Бесселя в частотній області стосовно трактування задачі фільтрації як визначення оптимального вектора-проекції в гільбертовому просторі випадкових величин другого порядку. В окремому випадку при порядку фільтра S=1 з виразу (18) випливає відома формула для обчислення помилки фільтрації лінійного фільтра Колмогорова - Вінера.

Синтез оптимальних фільтрів із застосуванням операторів виду (17) приводить до функцій, що визначені в інтервалі значень . Такий фільтр відноситься до розряду математичних фільтрів. Математичний фільтр забезпечує мінімальну помилку фільтрації, але має нескінченний час затримки сигналу, одержуваного на виході фільтра, оскільки результат фільтрації надходить після прийому всієї реалізації вхідного сигналу нескінченної довжини. Жодна фізична система з такими параметрами не може бути реалізована. Однак аналіз математичних фільтрів необхідний для вивчення гранично досяжних, у заданому класі операторів, мінімальних помилок фільтрації.

У каузальних фільтрах застосовуються оператори типу (17) з фінітними (обмеженими за часом) ядрами . У фізично реалізованих системах функції, мають задовольняти умові, що дозволяє у виразі (17) змінити нижню границю інтегрування на нуль. Верхня границя інтегрування, залежно від конкретних умов фільтрації, може бути також кінцевою.

Аналіз показав, що оптимальні ядра каузальних степеневих функціональних операторів задовольняють векторно - матричному рівнянню

Оптимальний фільтр із параметрами, що знайдені з рішення рівняння (19), характеризується дисперсією помилки фільтрації

Рішення рівняння (19) отримано із застосуванням ідеї формуючого фільтра, що використовується в методі Боде-Шеннона при синтезі лінійного (при S=1) каузального функціонального фільтра. Спектри оптимальних ядер каузального степеневого поліноміального фільтра визначаються виразом

Рішення рівняння (19) зв'язано з визначенням коренів системи інтегральних рівнянь Фредгольма 1-го роду, заданими на відрізку . Відомо, що така задача є некоректно поставленою за А.Н. Тихоновим - незначні похибки в значеннях елементів матриць і можуть призвести до значних похибок в отриманому рішенні . До коректно поставленої відноситься задача фільтрації, зв'язана з розв'язанням матричного інтегрального рівняння Фредгольма 2-го роду

, (20)

де - параметр регуляризації розв'язку.

При кожному значенні розв'язання єдине й утворить регуляризоване сімейство розв'язків. У загальному випадку розв'язок рівняння (20), у тому числі і для випадку, коли верхня межа інтегрування кінцева (фільтр із кінцевою пам'яттю) можна одержати із застосуванням наближених методів. Стосовно рішення рівняння (20) розглянуто кілька наближених методів: метод, запропонований Канцельсоном для розв'язання систем інтегральних рівнянь з операторами Вольтерра; метод з використанням квадратурних формул; метод розкладання ядер по системі ортонормованих функцій.

Каузальний оператор фільтрації типу (17) при розкладанні ядер оператора по системі ортонормованих функцій у розгорнутій формі має вигляд

Середньоквадратична помилка фільтрації даного фільтра визначається за рівнянням

Метою четвертого розділу є аналіз ефективності нелінійних поліноміальних фізично реалізованих фільтрів, синтезованих у класі поліноміальних операторів з ядрами, заданими на кінцевому часовому інтервалі. Процедура синтезу таких фільтрів розглянута в третьому розділі і застосовується в даному розділі з урахуванням конкретних типів операторів фільтрації і видів сигналів, що фільтруються. Теоретичний матеріал розділу при дослідженні ефективності визначеного виду фільтрів складається з двох частин. Спочатку розв'язується задача апроксимації вхідного сигналу в класі степеневих поліномів, утворених з іншого випадкового процесу, а потім розглядається задача простої фільтрації й аналізується ефективність фільтра. Подібний підхід дозволяє розглянути загальні властивості фільтра визначеного виду, що випливають з розв'язання задачі апроксимації. Після чого визначається його ефективність з орієнтацією на конкретний тип сигналів, які фільтруються. Виконані дослідження характеристик поліноміальних фільтрів показують, що зі збільшенням порядку фільтра дисперсія помилки фільтрації сигналів, прийнятих у негауссових шумах, зменшується.

Аналіз, виконаний для оптимальних БСПФ порядку S=1,2,..., показує, що зі збільшенням параметрів негауссовости випадкових процесів, що утворюють випадковий процес, якість фільтрації поліпшується (зменшення дисперсії у фільтрах третього порядку порівняно з лінійними фільтрами першого порядку досягає 5-8 дб). Поліпшення фільтрації відбувається і при зменшенні перевищення сигналу над шумом (див. рис. 2).

Новим результатом у теорії апроксимації випадкових процесів є розкладання стаціонарних процесів у класі функціональних операторів з постійними коефіцієнтами виду

Виконано синтез стаціонарного степеневого функціонального фільтра з оператором фільтрації виду (15) і проаналізовані його характеристики залежно від зміни статистичних параметрів завад каналу зв'язку при використанні сигналів з фазовою модуляцією. Важливим фактором, що впливає на якість роботи фільтрів розглянутого типу, є вибір інтервалу інтегрування . На рис. 3 зображені залежності коефіцієнта фільтрації фільтрів порядку S від величини .

Результати теоретичного аналізу перевірені імітаційним моделюванням. На рис. 3 зображені теоретичні й експериментальні криві, отримані при фільтрації сигналів із ФМ для реалізацій негауссової завади з параметрами,,, . Тут має місце така відповідність між теоретичними й експериментальними коефіцієнтами фільтрації: безперервна і символи “ ”; з коротким штрихом і символи “”; з довгим штрихом і символи “ ”. Як випливає з даних рис. 3, спостерігається достатня відповідність між даними теорії і результатами імітаційного моделювання.

У системах радіозв'язку знаходять застосування сигнали складної форми, зокрема, шумові сигнали з модуляцією окремих параметрів кумулянтних функцій. У п'ятому розділі розглянута проблема синтезу оптимального фільтра-демодулятора (задача демодуляції) негауссових сигналів у класі степеневих поліноміальних операторів. Демодуляція таких сигналів може виконуватися з використанням пристроїв оцінки. Одним з методів оцінки параметрів негауссових шумів є метод максимізації значення стаціонарного функціонального полінома. Аналіз дисперсії оцінки скалярного параметра, обумовленого даним методом, дозволив одержати канонічну форму дисперсії оцінки.

Розроблено метод максимізації середнього значення функціонального полінома, що дозволяє знаходити оцінки векторного параметра випадкового процесу з використанням більш простого алгоритму оцінки в порівнянні з методом максимізації функціонального поліному. Оптимальні ядра,, де P - мірність вектора оцінюваних параметрів, знаходяться з розв'язання системи рівнянь

При оптимальних ядрах, знайдених із системи (22), асимптотичне значення дисперсії оцінок визначається з виразу

Досліджено характеристики демодуляторів аналогових шумових сигналів для випадку, коли інформаційний шумовий сигнал має модуляцію інформаційним повідомленням кумулянтної функції другого порядку. Демодуляція даного сигналу зв'язана з визначенням оцінки скалярного параметра на інтервалі T шумового процесу, що спостерігається. Оцінюючи завадостійкість демодулятора середньоквадратичною помилкою оцінки, показано, що для приймача, синтезованого в класі поліномів другого порядку (), існують мінімальне і максимальне значення похибки. Мінімальне значення досягається у випадку шумового сигналу з параметрами граничного негауссового розподілу, а максимальне - для гауссового сигналу. Відносний виграш за рахунок негауссовості не перевищує величини

Приведене значення відносного виграшу зберігається і при, хоча для негауссових сигналів, відмінних від граничних розподілів, зі збільшенням порядку полінома дисперсія оцінки монотонно зменшується.

Запатентовано метод передачі інформації одним негауссовим сигналом одночасно п'яти інформаційних сигналів і розроблені практичні схеми модуляції таких сигналів. Аналіз характеристик синтезованого фільтра-демодулятора шумових негауссових сигналів з модуляцією одночасно трьох параметрів - дисперсії, коефіцієнта асиметрії і коефіцієнта ексцесу показав, що ефективність отриманих оцінок по кожному з оцінюваних параметрів є досить високою в діапазоні значень перевищення сигналу над шумом від 0,1 до 100.

У шостому розділі розроблені принципи імітаційного моделювання нелінійних фільтрів. Імітаційні моделі представлені комплексом програм для ПЕОМ і використовувалися для перевірки отриманих у дисертації деяких з теоретичних результатів. Перелік задач, що розв'язуються методами імітаційного моделювання нелінійних систем фільтрації, досить різноманітний і потребує застосування нетривіальних підходів.

Однією з важливих проблем є вибір методу генерації випадкових величин негауссового типу. Основним підходом у розв'язанні цієї проблеми пропонується використання нелінійних перетворень гауссової дельта - корельованої випадкової величини. Аналіз різних видів нелінійних залежностей показує, що найбільше повно задача формування негауссових випадкових величин з гауссових розв'язується при нелінійності типу гіперболічного синуса. Такий спосіб одержання негауссової ВВ дозволяє за рахунок безінерційності перетворення зберегти дельта-корельованість між значеннями ВВ, що одержані на виході перетворювача. Досить універсальним є також метод синтезу негауссової величини з полігауссовим розподілом

З ВВ з розподілом (23), зокрема, досить просто формується випадкова величина з граничним розподілом типу бінарної альтернативи, коли .

Запропоновані способи формування негауссових випадкових величин і негауссових процесів пройшли перевірку на імітаційних моделях синтезованих генераторів. Розроблено систему імітаційного моделювання степеневих поліноміальних фільтрів. Модель побудована з основних елементів: імітатор сигналу, що фільтрується - канал передачі сигналу - нелінійний фільтр і блок аналізу, що фіксує міру відмінності переданої інформації xi, i=1,2,..., що надходить від джерела сигналу, й оцінки, що спостерігається на виході фільтра. Інтерфейс програмного комплексу “Фільтр” зображений на рис. 4

Імітаційне моделювання без інерційних та інерційних нелінійних поліноміальних фільтрів порядків S=1,2,3 показало, що облік апріорних параметрів негауссовости сигналів, що надходять у фільтр, дозволяє зменшити дисперсію помилки фільтрації до 2-8 дб (для коефіцієнтів асиметрії і ексцесу , що задовольняють нерівності ).

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримані такі основні наукові і практичні результати.

1. Виконано теоретичне узагальнення і на основі використання апарата моментно-кумулянтного опису сигналів створені аналітичні методи синтезу і дослідження нелінійних фільтрів негауссових сигналів, оптимальних у класі степеневих поліноміальних операторів. Розроблені аналітичні методи застосовані для розв'язання ряду прикладних задач, зв'язаних із проектуванням оптимальних систем обробки сигналів, що приймаються у негауссових шумах.

Новими науковими результатами є:

розроблено теоретичну модель нелінійної фільтрації стаціонарних у вузькому сенсі випадкових процесів з використанням апарата функціонального аналізу;

розроблено і теоретично обґрунтовано методика синтезу оптимальних нелінійних фільтрів у класі степеневих поліноміальних операторів для основних видів радіосигналів з лінійними і нелінійними методами модуляції;

виконано аналіз ефективності нелінійної фільтрації стаціонарних випадкових процесів у класі степеневих поліноміальних операторів;

розроблено і теоретично обґрунтовано метод максимізації середнього значення степеневого стаціонарного функціонального полінома для оцінки векторних параметрів випадкових процесів, що дозволяє спростити технічну реалізацію вимірників;

розроблено метод синтезу оптимального алгоритму демодуляції аналогових шумових сигналів. Визначено потенційні границі зміни дисперсії помилки демодуляції для гауссових і негауссових компонентів прийнятих сигналів, коли модуляції піддається дисперсія шумового сигналу;

доведено граничні співвідношення для гільбертових просторів з неортогональним базисом у вигляді узагальненої нерівності Бесселя й узагальненої рівності Парсеваля-Стеклова. Отримані співвідношення спрощують процес синтезу і реалізації систем обробки лінійно незалежних неортогональних сигналів;

запропоновано нове розкладання стаціонарних у вузькому сенсі негауссових процесів по системі функціональних поліномів з постійними коефіцієнтами;

розроблено алгоритмічне забезпечення процедури синтезу каузальних нелінійних поліноміальних фільтрів із застосуванням лінійних регуляризаторов розв'язків некоректних за А.Н. Тихоновим задач;

отримано аналітичні вираження для обчислення кумулянтних функцій вищих порядків двомірного розподілу і досліджено спектри зазначених функцій аналогових сигналів з амплітудною, частотною і фазовою модуляцією.

2. Основними практичними результатами роботи, що можна застосовувати в задачах проектування, дослідження й іспиту нелінійних систем фільтрації стаціонарних сигналів, є:

запропоновано метод безінерційної нелінійної фільтрації негауссових сигналів, представлених незалежною вибіркою корисного сигналу із шумом;

запропоновано метод оцінки значень кумулянтних коефіцієнтів третього і четвертого порядків сигналів, що спостерігаються, інваріантний до величини дисперсії вхідного випадкового процесу;

запропоновано пристрій передачі інформації шумовими сигналами, що забезпечує п'ятикратне збільшення пропускної здатності лінії зв'язку;

показано, що сигнали з амплітудним, частотним і фазовим методами модуляції описуються моделями стаціонарних негауссових випадкових процесів. Оптимальна фільтрація таких сигналів у шумах виконується з застосуванням нелінійних операторів;

розроблено метод максимізації середнього значення функціонального полінома, що відрізняється простим алгоритмом оцінки векторного параметра;

розроблено універсальні імітаційні програми, що включають методи синтезу випадкових величин негауссового типу і негауссових випадкових процесів з необхідними значеннями кумулянтов і кумулянтних функцій вищих порядків, а також сервісні програми по оцінці характеристик нелінійних фільтрів у класі СПО.

3. На основі отриманих у дисертаційній роботі результатів виконаний ряд науково-дослідних і дослідно-конструкторських тем:

- у Черкаському інженерно-технологічному інституті за замовленням Міністерства освіти і науки України (4 теми);

-у державному підприємстві НДІ “Акорд” при розробці і впровадженні у виробництво й експлуатацію способів і систем передачі даних у процесі проведення НДОКР в інтересах Міністерства оборони України, Національного космічного агентства України (3 теми).

У цілому отримані результати створюють теоретико-методологічну основу синтезу, аналізу і дослідження характеристик нелінійних систем фільтрації негауссових сигналів, що оптимальні у класі степеневих поліноміальних операторів. Робота утворює науково-теоретичний базис методології проектування нелінійних систем обробки сигналів, що приймаються у завадах негауссового типу. Проведені дослідження дозволили створити застосовну на практиці теорію синтезу нелінійних фільтрів за апріорною інформацією у вигляді двомірних кумулянтних функцій сигналів, що обробляються.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ ОПУБЛІКОВАНІ В ТАКИХ РОБОТАХ

1. Первунинский С.М. Нелинейная фильтрация негауссовых сигналов в классе степенных полиномиальных операторов. -К.: Наук. думка, 2001. -236 с.

2. Первунінський С.М. Безiнерцiйна фiльтрацiя негаусових випадкових процесiв // Експрес-новини: наука, технiка, виробництво. - 1997. -№17-18.- С.15-16.

3. Первунинский С.М. Моментные функции бинарных ЧМ сигналов с непрерывной фазой // Вісник ЧІТІ. -1999. -№4. -С.84-88.

4. Первунинский С.М. Двумерные кумулянтные функции бинарных сигналов с частотной манипуляцией // Вісник Сумського ДУ. -2000. -№16. -С.48-53.

5. Первунинский С.М. Разложение стационарных случайных процессов по системе степенных стохастических функциональных полиномов // Автоматизація виробничих процесів, Всеукраїнський науково-технічний журнал. -К.:НВК “КIА”. -2000. -№2. -С.79-82.

6. Первунинский С.М. Разложение стационарных процессов в классе каузальных степенных стохастических функциональных полиномов // Вестник Черкасского ГУ -2000. -№6. -С.46-53.

7. Первунинский С.М. Степеневі полiномiальнi фiльтри з сталими коефiцiєнтами. // Експрес-новини: наука, техніка, виробництво. -1997. -№17-18.- С. 16-17.

8. Первунинский С.М. Неортогональные разложения стационарных случайных процессов в классе степенных полиномиальных операторов // Актуальні проблеми автоматизації та інформаційних технологій: зб. наук. пр. -Д.: Вид-во Дніпропетр. ун-ту, 2001. -Т. 4. -С. 69-76.

9. Первунинский С.М. Полиномиальная степенная фильтрация негауссовых сигналов // Теория и техника радиосвязи / Научно-технический сборник. -Воронеж: ВНИИС. -2000. -Вып. 2. -С. 30-33.

10. Первунинский С.М. Двумерные моментно-кумулянтные функции сигналов с амплитудной модуляцией // Теория и техника радиосвязи / Научно-технический сборник. -Воронеж: ВНИИС -2000. -Вып. 1. -С. 33-37.

...