Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Вывод уравнений для определения коэффициентов в эмпирическом уравнении y = а + bх по методу наименьших квадратов

Парная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

Рис. 1

На рисунке изображены три ситуации:

- на графике (а) взаимосвязь х и у близка к линейной; прямая линия (1) здесь близка к точкам наблюдений, и последние отклоняются от нее лишь в результате сравнительно небольших случайных воздействий;

- на графике (b) реальная взаимосвязь величин х и у описывается нелинейной функцией (2), и какую бы мы ни провели прямую линию (например, 1), отклонения точек наблюдений от нее будут существенными и неслучайными;

- на графике (с) явная взаимосвязь между переменными х и у отсутствует; какую бы мы ни выбрали формулу связи, результаты ее параметризации будут здесь неудачными. В частности, прямые линии 1 и 2, проведенные через "центр" "облака" точек наблюдений и имеющие противоположный наклон, одинаково плохи для того, чтобы делать выводы об ожидаемых значениях переменной у по значениям переменной х.

Начальным пунктом эконометрического анализа зависимостей обычно является оценка линейной зависимости переменных. Если имеется некоторое "облако" точек наблюдений, через него всегда можно попытаться провести такую прямую линию, которая является наилучшей в определенном смысле среди всех прямых линий, то есть "ближайшей" к точкам наблюдений по их совокупности. Для этого мы вначале должны определить понятие близости прямой к некоторому множеству точек на плоскости; меры такой близости могут быть различными. Однако любая разумная мера должна быть, очевидно, связана с расстояниями от точек наблюдений до рассматриваемой прямой линии (задаваемой уравнением у= а + bх).

Обычно в качестве критерия близости используется минимум суммы квадратов разностей наблюдений зависимой переменной у и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии значений (а + bхi):

Q = Sei2 =S (yi-(a+bxi))2® min (1)

считается, что у и х - известные данные наблюдений, а и b - неизвестные параметры линии регрессии. Поскольку функция Q непрерывна, выпукла и ограничена снизу нулем, она имеет минимум. Для соответствующих точке этого минимума значений а и b могут быть найдены простые и удобные формулы (они будут приведены ниже). Метод оценивания параметров линейной регрессии, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции, называется Методом наименьших квадратов (МНК), или Least Squares Method (LS).

"Наилучшая" по МНК прямая линия всегда существует, но даже наилучшая не всегда является достаточно хорошей. Если в действительности зависимость y=f(х) является, например, квадратичной (как на рисунке 1(b)), то ее не сможет адекватно описать никакая линейная функция, хотя среди всех таких функций обязательно найдется "наилучшая". Если величины х и у вообще не связаны (рис. 1 (с)), мы также всегда сможем найти "наилучшую" линейную функцию у = а+bх для данной совокупности наблюдений, но в этом случае конкретные значения а и Ь определяются только случайными отклонениями переменных и сами будут очень сильно меняться для различных выборок из одной и той же генеральной совокупности. Возможно, на рис. 1(с) прямая 1 является наилучшей среди всех прямых линий (в смысле минимального значения функции Q), но любая другая прямая, проходящая через центральную точку "облака" (например, линия 2), ненамного в этом смысле хуже, чем прямая 1, и может стать наилучшей в результате небольшого изменения выборки.

Рассмотрим теперь задачу оценки коэффициентов парной линейной регрессии более формально. Предположим, что связь между х и .у линейна: у = a+bх. Здесь имеется в виду связь между всеми возможными значениями величин х и у, то есть для генеральной совокупности. Наличие случайных отклонений, вызванных воздействием на переменную у множества других, неучтенных в нашем уравнении факторов и ошибок измерения, приведет к тому, что связь наблюдаемых величин xi и yi приобретет вид уi=a+bхi+єi,. Здесь єi. - случайные ошибки (отклонения, возмущения). Задача состоит в следующем: по имеющимся данным наблюдений {xi}, {уi} оценить значения параметров айв, обеспечивающие минимум величины Q. Если бы были известны точные значения отклонений єi, то можно было бы (в случае правильности предполагаемой линейной формулы) рассчитать значения параметров a и b. Однако значения случайных отклонений в выборке неизвестны, и по наблюдениям xi и уi можно получить оценки параметров с и р, которые сами являются случайными величинами, поскольку соответствуют случайной выборке. Пусть а - оценка параметра a, b - оценка параметра b. Тогда оцененное уравнение регрессии будет иметь вид:

yi=а+bxi+еi,

где еi - наблюдаемые значения ошибок єi.

Для оценки параметров a и b воспользуемся МНК, который минимизирует сумму квадратов отклонений фактических значений уi от расчетных. Минимум ищется по переменным а и b.

Для того, чтобы полученные МНК оценки а и b обладали желательными свойствами, сделаем следующие предпосылки об отклонениях єi:

1) величина єi является случайной переменной;

2) математическое ожидание єi равно нулю: М (єi) = 0;

3) дисперсия є постоянна: D(єi) = D(єi) = s2 для всех i, j;

4) значения єi независимы между собой.

Известно, что, если условия 1)-4) выполняются, то оценки, сделанные с помощью МНК, обладают следующими свойствами:

1) Оценки являются несмещенными, т.е. математическое ожидание оценки каждого параметра равно его истинному значению: М(а) =a; М(b)=b. Это вытекает из того, что М(єi) = 0, и говорит об отсутствии систематической ошибки в определении положения линии регрессии.

2) Оценки состоятельны, так как дисперсия оценок параметров при возрастании числа наблюдений стремится к нулю:

; .

Иначе говоря, если п достаточно велико, то практически наверняка а близко к a, а b близко к b: надежность оценки при увеличении выборки растет.

3) Оценки эффективны, они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данного параметра, линейными относительно величин уi . В англоязычной литературе такие оценки называются BLUE (Best Linear Unbiased Estimators - наилучшие линейные несмещенные оценки).

Перечисленные свойства не зависят от конкретного вида распределения величин єi, тем не менее, обычно предполагается, что они распределены нормально N(0;y2). Эта предпосылка необходима для проверки статистической значимости сделанных оценок и определения для них доверительных интервалов. При ее выполнении оценки МНК имеют наименьшую дисперсию не только среди линейных, но среди всех несмещенных оценок.

Если предположения 3) и 4) нарушены, то есть дисперсия возмущений непостоянна и/или значения є. связаны друг с другом, то свойства несмещенности и состоятельности сохраняются, но свойство эффективности - нет.

Рассмотрим теперь процедуру оценивания параметров парной линейной регрессии а и b. Для того, чтобы функция Q = Sei2 =S (yi-(a+bxi))2 достигала минимума, необходимо равенство нулю ее частных производных:

(3) (4)

Если уравнение (3) разделить на п, то получим у=а+bх (здесь

- средние значения х и у). Таким образом, линия регрессии проходит через точку со средними значениями х и у. Подставив величину а из (3) в (4), получаем

Откуда

(5) (6)

Иначе можно записать, что

(где r коэффициент корреляции х и у). Таким образом, коэффициент регрессии пропорционален показателю ковариации и коэффициенту корреляции х и у, а коэффициенты этой пропорциональности служат для соизмерения перечисленных разноразмерных величин. Оценки a и b, очевидно, являются линейными относительно yi (если xi считать коэффициентами) - выше об этом упоминалось.

Итак, если коэффициент r уже рассчитан, то легко рассчитать коэффициент парной регрессии, не решая системы уравнений. Ясно также, что если рассчитаны линейные регрессии х(у) и у(х), то произведение коэффициентов dx и by, равно r2:

(7)[1]

2. Оптимизация методом линейного программирования: особенности постановки задачи; графическая интерпретация метода

При постановке задачи оптимизации необходимо:

1. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, т.е. одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, т.к. практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого. Приведем примеры.

Типичный пример неправильной постановки задачи оптимизации:

"Получить максимальную производительность при минимальной себестоимости".

Ошибка заключается в том, что ставится задача поиска оптимальности 2-х величин, противоречащих друг другу по своей сути.

Правильная постановка задачи могла быть следующая:

а) получить максимальную производительность при заданной себестоимости;

б) получить минимальную себестоимость при заданной производительности;

В первом случае критерий оптимизации - производительность, а во втором - себестоимость.

2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта.

3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.

4. Учет ограничений.

Обычно оптимизируемая величина связана с экономичностью работы рассматриваемого объекта (аппарат, цех, завод). Оптимизируемый вариант работы объекта должен оцениваться какой-то количественной мерой - критерием оптимальности.

Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации.

Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.

В зависимости от своей постановки, любая из задач оптимизации может решаться различными методами, и наоборот - любой метод может применяться для решения многих задач. Методы оптимизации могут быть скалярными (оптимизация проводится по одному критерию), векторными (оптимизация проводится по многим критериям), поисковыми (включают методы регулярного и методы случайного поиска), аналитическими (методы дифференциального исчисления, методы вариационного исчисления и др.), вычислительными (основаны на математическом программировании, которое может быть линейным, нелинейным, дискретным, динамическим, стохастическим, эвристическим и т.д.), теоретико-вероятностными, теоретико-игровыми и др. Подвергаться оптимизации могут задачи как с ограничениями, так и без них.

Линейное программирование - один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина "математическое программирование". Термин "программирование" в названии дисциплины ничего общего с термином "программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ" не имеет, так как дисциплина "линейное программирование" возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и др. задач. Термин "линейное программирование" возник в результате неточного перевода английского "linear programming". Одно из значений слова "programming" - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом "linear programming" было бы не "линейное программирование", а "линейное планирование", что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми.

Итак, линейное программирование возникло после Второй Мировой Войны и стал быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а так же математической "стройности".

Можно сказать, что линейное программирование применимо для построения математических моделей тех процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и пр.

Задачами линейного программирования называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств. Кратко задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: найти вектор значений переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств.

Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

- рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

- оптимизации производственной программы предприятий;

- оптимального размещения и концентрации производства;

- составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;

- управления производственными запасами;

- и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Так, по оценкам американских экспертов, около 75% от общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на линейное программирование. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач линейного программирования и их многочисленных модификаций.

Первые постановки задач линейного программирования были сформулированы известным советским математиком Л.В. Канторовичем, которому за эти работы была присуждена Нобелевская премия по экономике.

Значительное развитие теория и алгоритмический аппарат линейного программирования получили с изобретением и распространением ЭВМ и формулировкой американским математиком Дж. Дансингом симплекс-метода.

В развитие и совершенствование этих систем вложен труд и талант многих математиков, аккумулирован опыт решения тысяч задач. Владение аппаратом линейного программирования необходимо каждому специалисту в области математического программирования. Линейное программирование тесно связано с другими методами математического программирования (например, нелинейного программирования, где целевая функция нелинейная).

Задачи с нелинейной целевой функцией и линейными ограничениями называют задачами нелинейного программирования с линейными ограничениями. Оптимизационные задачи такого рода можно классифицировать на основе структурных особенностей нелинейных целевых функций. Если целевая функция Е - квадратичная функция, то мы имеем дело с задачей квадратичного программирования; если Е - это отношение линейных функций, то соответствующая задача носит название задачи дробно-линейного программирования, и т.д. Деление оптимизационных задач на эти классы представляет значительный интерес, поскольку специфические особенности тех или иных задач играют важную роль при разработке методов их решения.

Задача 1

Составить математическую модель газового теплообменника типа «труба в трубе», включающую в себя связи выходных и входных параметров. По внутренней трубе теплообменника диаметром d, длиной l и толщиной стенки д протекает горячий теплоноситель (Г). По кольцевому пространству, образованному внутренней трубой и наружной трубой диаметром D, протекает холодный теплоноситель (Х). Потери теплоты в окружающую среду через стенку наружной трубы считать равными нулю. Термическим сопротивлением стенки внутренней трубы из-за малости можно пренебречь. Входными параметрами в задаче являются названные конструктивные характеристики, а так же средние скорости движения горячего w_г и холодного w_х теплоносителей, коэффициенты теплопроводности л_г и л_х, кинематические коэффициенты вязкости н_г и н_х, удельные теплоемкости С_г и С_х, плотности с_г и с_х. скорости и теплофизические свойства соответствуют средним температурам теплоносителей. Кроме того, известны начальные температуры теплоносителей t_гн и t_хн. Выходными параметрами являются конечные температуры теплоносителей t_гк и t_хк. Отношение минимальной разности температур теплоносителей к максимальной превышает величину 0,6. Теплообмен стабилизированный D/d > 6.

Условия течения теплоносителей приведены в таблице.

Показатель	Последняя цифра шифра
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Схема течения теплоносителя	прямоток	противоток
Тепловое граничное условие на поверхности теплопередачи	постоянная температура стенки	постоянная плотность теплового потока на стенке
Показатель	Предпоследняя цифра шифра
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Режим течения в трубе	турбул.	ламинар.	турбул.	ламинар.	турбул.
Режим течения в кольцевом пространстве	турб.	ламин.	турб.	ламин.	турб.	ламин.	ламин.	турб.	турб.	ламин.

Решение:

Примем температуру газов на выходе из теплообменника:

К.

Средняя температура газов:

К.

Найдем теплофизические свойства газов среднего состава при температуре 865 К:

- плотность _ср = 0,409 кг/ м³;

- теплоемкость c_p = 1212 Дж/(кг К);

- кинематическая вязкость _ср = 92,2210^-6 м²/с;

- теплопроводность _ср = 0,0735 Вт/(м К);

- число Прандтля Pr = 0,6208.

Соответствующие поправки найдем при средней температуре газов 865 К и объемной доле водяных паров 0,09.

; ; .

Теплоемкость и число Прандтля не корректируются.

С учетом найденных поправок окончательно будем иметь:

c_pг = 1212 Дж/(кг К);

91,2910^-6 м²/с;

0,072 Вт/(м К);

0,397 кг/ м³;

Pr_г = 0,6208.

Температуру воздуха на выходе из теплообменника приближенно определим из уравнения теплового баланса. Потери тепла в первом приближении примем 5%, а теплоемкость воздуха Дж/(кгК).

Уравнение (1) запишем в виде:

.

Отсюда найдем:

Округляя, примем

Средняя температура воздуха в теплообменнике:

К.

По таблице найдем теплофизические свойства воздуха при 326 К:

1,083 кг/ м³;

1005 Дж/(кг К);

1,82610^-5 м²/с;

0,0285 Вт/(м К);

0,6974.

Теплопередача в цилиндрическом канале

Конвективная составляющая

Средняя скорость движения газов;

м/с.

Число Рейнольдса для газов;

Режим течения - турбулентный. Для расчета коэффициента теплоотдачи от газов к стенке воспользуемся формулой.

Откуда конвективная составляющая коэффициента теплоотдачи от газов к стенке:

Вт/(м²К).

Радиационная составляющая

Объем, занимаемый излучающим газом:

м³.

Площадь поверхностей, ограждающих излучающий объем газа:

м³.

Эффективная толщина излучающего слоя:

0,4 м.

Парциальные давления компонентов продуктов сгорания:

Па;

Па.

Соответствующие величины:

мПа (3,6 смата);

мПа (4,8 смата).

Находим:

Для определения поправки предварительно вычислим:

мПа;

Эффективная степень черноты газового объема:

Степень черноты материала стенки трубы:

Приведенная степень черноты:

В первом приближении температуру стенки внутренней трубы теплообменника T_вн примем как среднее значение между температурой газа T_{г ср} и температурой воздуха T_{в ср}:

Плотность теплового потока излучением:

5245 Вт/ м².

Коэффициент теплоотдачи излучением:

Вт/(м²К).

Коэффициент теплоотдачи от газов к стенке (суммарный):

Вт/(м²К).

Теплоотдача в щелевом канале

Эквивалентный диаметр щелевого канала:

м.

Площадь сечения для прохода воздуха:

0,0432 м².

Скорость воздуха:

м/с.

Число Рейнольдса для воздуха:

Режим течения - турбулентный. Поэтому воспользуемся формулой для расчета числа Нуссельта (в предположении, что воздух течет в круглой цилиндрической трубе диаметром ):

40,2.

Для дальнейшей корректировки числа Нуссельта вычислим вспомогательные величины:

Внутренняя стенка щелевого канала

Длина начального теплового участка по формуле:

м.

Так как , то поправка , вычисляемая по формуле, будет равна:

1,05.

Из формулы следует, что

Число Нуссельта для внутренней стенки по формуле:

36,66.

Коэффициент теплоотдачи от внутренней стенки щелевого канала к воздуху:

20,1 Вт/(м²К).

Наружная стенка щелевого канала

Длина начального теплового участка:

1,84 м.

Так как , то поправка вычисляемая по формуле, будет равна:

1,051.

Число Нуссельта для наружной стенки щелевого канала по формуле:

38,24 .

Коэффициент теплоотдачи от воздуха к наружной стенке щелевого канала:

20,95 Вт/(м²К).

Теплопередача через внутреннюю стенку теплообменника

Поверхность гладкой части стенки:

2,81 м² .

Поверхность ребер:

0,583 м².

Поверхность ребристой стенки - формула:

3,393 м² .

В условиях данной задачи можно принять:

20,1 Вт/(м²К).

Теплопроводность материала стенки внутренней трубы при T _вн =595,5 К найдем:

Вт/(мК).

Число Био со стороны боковой поверхности ребра:

Коэффициент эффективности ребра по формуле:

0,968.

Приведенный коэффициент теплоотдачи от стенки внутренней трубы теплообменника к воздуху по формуле:

19,98 Вт/(м²К).

Площадь поверхности гладкой стенки внутренней трубы теплообменника (со стороны воздуха):

м².

Линейный коэффициент теплопередачи по формуле:

5,995 Вт/(мК).

Для вычисления среднего температурного напора изобразим графически (без масштаба) изменение температур газов и воздуха по длине теплообменника:

Рис. 2

Среднелогарифмический температурный напор:

Линейная плотность теплового потока:

, Вт/м.

Тепловой поток, передаваемый продуктами сгорания через внутреннюю стенку (по уравнению теплопередачи):

Вт.

Тепловой поток, передаваемый продуктами сгорания через внутреннюю стенку (по уравнению теплового баланса):

Вт.

Расхождение составляет порядка 22%, что превышает допустимое значение (5 %).

Поэтому необходимо выполнить еще одну итерацию, выбрав уточненные значения температур газа и воздуха на выходе из теплообменника.

Примем температуру газов на выходе из теплообменника:

.

Уточним значение температуры воздуха на выходе:



Средняя температура газов:

К.

Средняя температура воздуха:

К.

По сравнению с предыдущим расчетом разница в полученных значениях столь незначительна, что можно не пересчитывать теплофизические свойства газа и воздуха, а также коэффициенты теплоотдачи и теплопередачи. Уточним средний температурный напор:

.

Линейная плотность теплового потока:

, Вт/м.

Тепловой поток, передаваемый продуктами сгорания через внутреннюю стенку (по уравнению теплопередачи):

Вт.

Тепловой поток (по уравнению теплового баланса):

Вт.

В этом случае расхождение между и не превышает 2,5%. Т.е. полученные данные можно считать окончательными.

Теплопередача через наружную стенку теплообменника

Конвекция

Примем среднюю температуру поверхности обшивки:

310 K.

Температура наружного воздуха (по заданию):

.

По таблице при этой температуре:

кинематическая вязкость воздуха

м²/с,

теплопроводность

Вт/(мК),

число Прандтля

.

Число Грассгофа:

0,7510¹⁰.

Комплекс:

0,5310¹⁰.

Из формулы следует, что имеет место турбулентный режим, и число Нуссельта будет равно:

241,3.

Отсюда:

3,54 Вт/(м²К).

Излучение

Степень черноты материала обшивки (алюминий):

Плотность теплового потока излучением от наружной поверхности обшивки в окружающую среду:

5,79 Вт/ м².

Коэффициент теплоотдачи излучением:

0,579 Вт/(м²К).

Суммарный коэффициент теплоотдачи от обшивки в окружающую среду:

Вт/(м²К).

коэффициент теплопроводности стекловаты

Вт/(мК),

коэффициент теплопроводности материала обшивки (алюминия)

Вт/(мК).

Среднюю температуру наружной стальной трубы теплообменника примем равной:

При этой температуре коэффициент теплопроводности стали:

 Вт/(мК),

Соответствующие диаметры граничных поверхностей наружной трехслойной стенки:

0,5+2 (0,005+0,026)=0,562 м;

0.5+2 (20,005+0,026)=0,572 м;

0.5+2 (20,005+0,026+0,09)=0,752 м;

0,5+2 (20,004+0,026+0,09+0,004)=0,760 м.

Линейный коэффициент теплопередачи через наружную стенку:

0,260 Вт/(мК).

Средний температурный напор через наружную стенку в нашем случае можно определить как разность между средней температурой воздуха в теплообменнике и температурой окружающего воздуха (расчет по среднелогарифмической формуле здесь невозможен, т.к. меньший температурный напор равен в нашем случае нулю).

К.

Линейная плотность теплового потока через наружную стенку:

26,9 Вт/м.

Тепловой поток в окружающую среду:

Вт.

Величина тепловых потерь составляет:

0,27 %

от количества тепла, передаваемого воздуху в теплообменнике.

Средняя температура поверхности стенки Т_вн,1 со стороны внутреннего цилиндрического канала определяется соотношением:

где T_г,ср - средняя температура продуктов сгорания, К, - суммарный коэффициент теплоотдачи со стороны продуктов сгорания, Вт/(м²•К).

Температура поверхности стенки Т_вн,2 со стороны щелевого канала (оребренной поверхности) определяется соотношением:

Распределение температур по толщине стенки описывается логарифмической зависимостью:

где - текущее значение диаметра ().

Расчетная средняя температура внутренней стенки определяется как средняя арифметическая величина:

Температуры соответствующих границ слоя рассчитываются по соотношениям:

В качестве средней температуры каждого слоя может быть принята среднеарифметическая величина:

Результаты расчета:

Теплофизические характеристики воздуха
, Дж/(кгК)	, кг/ м3	, Вт/(м К)	, м2/с
1005	1,083	0,0285	18,26
Теплофизические характеристики продуктов сгорания
, Дж/(кгК)	, кг/ м3	, Вт/(м К)	, м2/с		,
1212	0,397	0,072	91,29	0,14	0,8
Температура
Воздух	Продукты сгорания	Стенки
300	367	900	810	590,2	332,2699	317,6169	302,9661
Характеристики теплоотдачи
Коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2К)	Эффективность оребрения
4,38	19,46	23,84	20,1	20,95	3,54	0,579	4,12	0,968
Теплофизические характеристики материала стенок
, Вт/(м К)	, Вт/(м К)	, Вт/(м К)	, Вт/(м К)
19,55	16	0,04	240
Характеристики теплопередачи
Площадь поверхности теплообмена, м2	Средне- логарифм. температурный напор, К	Линейный коэффициент теплопередачи, Вт/(м К)	Тепловой поток, Вт	Линейная плотность теплового потока, Вт/м
3,393	4,3	523	33	5,995	0,26	54017,5	265,99	15782,44	26,9

3. Особенности записи уравнений переноса при турбулентном течении жидкости. Эффективные коэффициенты переноса

Температурное поле - совокупность значений температуры во всех точках изучаемого пространства в данный момент времени. Математически оно записывается в виде t f (x, y, z, ) . Нахождение температурного поля является главной задачей аналитической теории теплопроводности.

Различают стационарное температурное поле, когда температура во всех точках пространства не зависит от времени, и нестационарное, соответствующее неустановившемуся процессу. В зависимости от количества координат, вдоль которых может изменяться температура тела, различают одномерное, двухмерное и трехмерное поля температур.

Рис. 3

Изотермическая поверхность - геометрическое место точек, температура которых одинакова. Так как одна и та же точка пространства не может одновременно иметь разные значения температуры, то изотермические поверхности не могут пересекаться. Они либо оканчиваются на поверхности тела, либо целиком лежат внутри тела (не могут обрываться внутри тела).

Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает семейство изотерм, которые обладают свойствами изотермических поверхностей.

На рис. 3 изображено семейство изотерм, отличающихся на t. Температура в теле может изменяться только в направлениях, пересекающих изотермические поверхности. Наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотермической поверхности.

Градиент температуры grad t - вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по этому направлению. Необходимым условием распространения тепла является неравномерность распределения температуры в рассматриваемой среде, поэтому для передачи тепла теплопроводностью необходимо неравенство нулю температурного градиента в различных точках тела.

Тепловой поток Q - количество теплоты, передаваемое в единицу времени через произвольную поверхность.

Плотность теплового потока (удельный тепловой поток) q - тепловой поток, отнесенный к единице поверхности. Это вектор, совпадающий с направлением распространения тепла, т.е. направлен в сторону убывания температуры и ортогонален изотермам.

Закон Фурье, коэффициент теплопроводности.

Исследуя процесс теплопроводности в твердых телах, Фурье экспериментально установил (1822 г.), что количество переданного тепла пропорционально времени, площади сечения, перпендикулярного направлению распространения тепла, и градиенту температуры,

где - множитель пропорциональности, называемый коэффициентом теплопроводности, который является физическим параметром, характеризует способность данного вещества проводить тепло и численно равен количеству теплоты, переданному в единицу времени через единицу поверхности при градиенте температуры, равном единице.

Разделив правую и левую части уравнения (1) на время и площадь поверхности, получим наиболее распространенную формулировку закона Фурье: плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры.

Коэффициент теплопроводности, характеризующий способность данного вещества проводить тепло, в общем случае зависит от структуры, плотности, влажности, давления и температуры. В технических расчетах значения коэффициента теплопроводности берутся из справочных таблиц, в которых, как правило, учитывается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры. Большинство этих табличных данных получено в результате измерения теплового потока и градиента температуры в заданном веществе из определения коэффициента теплопроводности:

Перенос тепла теплопроводностью в газах при обычных давлениях и температурах определяется переносом кинетической энергии теплового движения в результате хаотического движения и столкновения отдельных молекул газа. С изменением давления коэффициент теплопроводности меняется незначительно, а с ростом температуры он увеличивается. Исключением является водяной пар, теплопроводность которого падает с ростом температуры, для которого к тому же проявляется значительная зависимость от давления. Для смесей газов правило аддитивности не действует, коэффициент теплопроводности определяется опытным путем. Для газов значение коэффициента теплопроводности лежит в диапазоне 0,005-0,5 Вт/(мК). Самые высокие значения коэффициента теплопроводности имеют водород и гелий. Механизм распространения тепла в капельных жидкостях можно представить как перенос энергии путем нестройных упругих колебаний. С повышением температуры убывает плотность жидкости и коэффициент теплопроводности (за исключением воды и глицерина), с повышением давления - увеличивается. Для жидкостей коэффициент теплопроводности не превышает 1 Вт/(мК) и лежит примерно в диапазоне 0,07-0,7 Вт/(мК). В металлах переносчиками тепла являются электроны, которые можно уподобить идеальному одноатомному газу. Вследствие движения электронов происходит выравнивание температуры во всех точках нагревающегося или охлаждающегося металла. Свободные электроны движутся во всех направлениях - как из более нагретых областей в холодные, так и в обратном направлении. В первом случае они отдают энергию атомам, а во втором - отбирают.

Так как в металлах носителями тепловой и электрической энергии являются электроны, то коэффициент теплопроводности и электропроводность пропорциональны друг другу. При повышении температуры вследствие усиления тепловых неоднородностей рассеивание электронов усиливается. Это влечет за собой уменьшение коэффициентов теплопроводности и электропроводности чистых металлов. Примеси значительно снижают коэффициент теплопроводности, так как структурные неоднородности сильно рассеивают электроны. Например, у чистой меди = 395 Вт/(мК), а у меди с примесями мышьяка = 142 Вт/(мК). Для сплавов, в отличие от чистых металлов, коэффициент теплопроводности увеличивается с ростом температуры. В целом коэффициент теплопроводности убывает с уменьшением плотности. Наибольшим коэффициентом теплопроводности обладают чистые серебро и медь (около 400 Вт/(мК)), затем идут золото (300 Вт/(мК)) и алюминий (210 Вт/(мК)). В среднем коэффициент теплопроводности металлов лежит в диапазоне 20-400 Вт/(мК).

В неметаллических твердых телах коэффициент теплопроводности растет с увеличением температуры, а также с ростом плотности вещества. Здесь на величину коэффициента теплопроводности оказывают влияние структура, пористость и влажность материала. Многие строительные материалы являются пористыми, а применение закона Фурье к пористым материалам условно. Его следует понимать следующим образом: такой коэффициент теплопроводности имело бы сплошное тело таких же формы и размеров, а также температурах на границе при прохождении через него такого же количества тепла. Для порошкообразных и пористых тел коэффициент теплопроводности сильно зависит от их объемной плотности - растет с ее увеличением, так как теплопроводность заполняющего поры воздуха существенно меньше теплопроводности твердых компонентов пористого материала С ростом влажности коэффициент теплопроводности пористых материалов увеличивается в первую очередь за счет конвективного переноса тепла из-за капиллярного движения воды. Для неметаллических твердых материалов коэффициент теплопроводности обычно ниже 10 Вт/(мК), для строительных и теплоизоляционных материалов составляет 0,02-3,0 Вт/(мК).

4. Теплообмен в турбулентном пограничном слое на плоской стенке: решение Кармана

Температурное поле в плоской стенке при граничных условиях первого рода. Приведение уравнений к безразмерному виду. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры. Теплопроводность через многослойную стенку. Эквивалентный коэффициент теплопроводности плоской стенки. Передача тепла при граничных условиях третьего рода (теплопередача). Коэффициент теплопередачи. Термическое сопротивление теплопроводности, теплоотдачи, теплопередачи. Граничные условия второго и третьего рода.

Решение задач теплопроводности связано с определением поля температур и тепловых потоков. Для установления зависимости между величинами, характеризующими явление теплопроводности, воспользуемся методом математической физики, который рассматривает протекание физических процессов в произвольно выделенном из всего рассматриваемого пространства элементарном объеме и в течение бесконечно малого промежутка времени. Это позволяет пренебречь изменением некоторых величин и существенно упростить выкладки.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности считаем, что тело однородно и изотропно (то есть физические свойства тела не зависят от выбранного в нём направления), физические параметры л, с(теплоемкость), и с (плотность) постоянны, внутренние источники теплоты равномерно распределены в теле. Под внутренними источниками теплоты понимаются тепловыделения, например, в тепловыделяющих элементах атомных реакторов, или при прохождении тока в электрических проводниках. Внутренние источники теплоты характеризуются величиной q_v - количеством теплоты, которое выделяется в единице объема в единицу времени.

В основу вывода положен закон сохранения энергии, согласно которому вся теплота, выделенная внутренними источниками dQ_вн и внесенная извне в элементарный объем путем теплопроводности dQ_m за время dф, идет на изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме

Выделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис 4). Количество теплоты, которое проходит путем теплопроводности внутрь выделенного объема в направлении оси ОX через элементарную площадку dy·dz за время dф:



Рис. 4. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

На противоположной грани параллелепипеда температура получит приращение

и будет составлять

.

Количество тепла, отведенного через эту грань:

Разница количества теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него, представляет собой теплоту, внесенную путем теплопроводности в направлении оси ОX:

Аналогично:

Полное количество теплоты внесено в элементарный параллелепипед путем теплопроводности

Здесь произведение dx·dy·dz представляет собой объем элементарного параллелепипеда dv. Количество теплоты, которое выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников:

Приращение внутренней энергии можно выразить через массу

параллелепипеда с·dv, теплоемкость с и приращение температуры

:

Подставляя выражения для dQ_m, dQ_вн и dU в уравнение (3), после соответствующих сокращений получаем:

Сумма вторых частных производных любой функции в математическом анализе носит название оператора Лапласа и обозначается следующим образом:

Величину называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой a. В указанных обозначениях уравнение (3) примет вид:

Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье и лежит в основе математической теории теплопроводности. Коэффициент температуропроводности a является физическим параметром вещества. Из уравнения (4) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a.

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной д (рис. 2). На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t_с1 и t_с2. Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен л. При стационарном режиме () и отсутствии внутренних источников теплоты (q_v=0) дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид:

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (ось Оx). В этом случае

и дифференциальное уравнение теплопроводности перепишется в виде:

Граничные условия первого рода запишутся следующим образом: при x=0 t=t_c1; при x=д t=t_c2. Интегрируя уравнение (7), находим

После второго интегрирования получаем

Постоянные С₁ и С₂ определим из граничных условий: при x=0 t=t_c1, С₂=t_c1; при x=д t=t_c2=С₁·д+t_c1, отсюда

.

Подставляя значения С₁ и С₂ в уравнение (8), получим уравнение распределения температуры по толщине стенки:

Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку в направлении оси Оx, воспользуемся законом Фурье, согласно которому

.

Учитывая, что

,

Получим

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время ф,

Отношение называют тепловой проводимостью стенки, обратную ей величину - термическим сопротивлением теплопроводности. Поскольку величина л зависит от температуры, в уравнения (10), (11) необходимо подставить коэффициент теплопроводности л_с, взятый при средней температуре стенки.

Задача 2

В круглой трубе с внутренним радиусом R₂ осесимметрично расположен цилиндрический стержень радиусом R₁. по кольцевому зазору между стенкой трубы и стержнем протекает жидкость. При установившемся, полностью развитом ламинарном течении жидкости ее расход определяется формулой

,

где k - постоянная (зависит от величины падения давления на единице длины потока, плотности и вязкости жидкости).

Найти численные значения R₁ и R₂, при которых расход жидкости через кольцевой зазор с площадью поперечного сечения f максимален при условии, что А ? R₁ < R₂ ? В. Значения А, В и f даны в таблице.

Показатель	Последняя цифра шифра
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
f, см2	10	15	12	14	16	18	13	11	9	8
	Предпоследняя цифра шифра
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
А, см	2	1	1	2	1	5	4	3	2	1
В, см	10	10	12	15	20	20	30	20	25	30

Решение:

а) Однократное обтекание пучка труб.

Критерий Рейнольдса:

где

кг/мі - плотность воздуха при 150єС;

Па с. - динамический коэффициент вязкости при 150єС.

Определяем критерий Нуссельта

= 1

Коэффициент теплопередачи

Вт/мІК

Для Вт/мК - коэффициент теплопроводности для воздуха при 150єС.

б) Течение воздуха в межтрубном пространстве теплообменника с поперечными перегородками в кожухе.

Если задана расчетная скорость, то расчет аналогичен предыдущему, но в формулы для определения Nu или а вводится коэффициент = 0,6:

Вт/мІК.

Коэффициент теплопередачи:

Вт/мІК;

где = 46,5 Вт/мК

Удельный тепловой поток:

Вт/мІ;

Температуры, , , , определяются из соотношения

Температура внутренней поверхности стенки аппарата:

єС;

Температура наружной поверхности стенки аппарата:

єС;

Температура наружной поверхности изоляции:

єС;

Как видим, при наличии изоляции термическим сопротивлением стальной стенки можно пренебречь

математическая модель теплообменник турбулентное

Список использованной литературы

1. Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. М.: ООО «ИД Альянс», 2009. - 753 с.

2. Печенегов Ю.Я. Расчет гидравлических процессов на ЭВМ. - Саратов: СГТУ, 2010. 40с.

3. Печенегов Ю.Я., Косова О.Ю. Математическое моделирование и расчет пневмотранспортной сушилки. - Саратов: СГТУ. 2010. 28с.

4. Поникаров И.И., Гайнуллин М.Г. Машины и аппараты химических производств и нефтегазопереработки. Москва. Альфа - М. 2006.

5. Романков П.Г., Павлов К.Ф., Носков А.А. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии. М: ООО «ИД Альянс», 2006 г. - 576 с.

6. Лисицын Н.В. Химико-технологические системы: Оптимизация и ресурсосбережение: учеб. пособие . - [б. м.] : Менделеев, 2007. - 312 с.

7. Черный Д.Е. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных: учеб. пособие ; Сарат. гос. техн. ун-т (Саратов). - Саратов: СГТУ, 2008. - 64 с.

8. Печенегов Ю.Я. Введение в моделирование и оптимизацию тепло- и массообменных установок: Учебное пособие. - Саратов: СГТУ, 1994. - 60 с.

9. Печенегов Ю.Я. Математическое моделирование процессов тепло- и массообмена в инженерных задачах: Учебное пособие. - Саратов: СГТУ, 1994 - 80 с.

10. Кафаров В.В., Глебов M.В. Математическое моделирование основных процессов химических производств: Учеб. пособие для ВУЗов. - М.:Высш. шк., 1991. - 400 с.

11. Закгейм А.Ю. Введение и моделирование химико-технологических процессов.- 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Химия, 1982. - 288 с.

12. Кафаров В.В., Мешалкин В.П., Гурьева Л.В. Оптимизация теплообменных процессов и систем. - М.: Энергоатомиздат, 1988. - 192 с.

13. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидравлическое сопротивление: Справочное пособие. - М.: Энергоатомиздат, 1990.-367 с.

14. Федоткин И.М. Математическое моделирование технологических процессов. - Киев: Выща шк. Головнов изд-во,1988.-41.

Размещено на Allbest.ru

...