Метод Мелера-Фока у контактних задачах теорії пружності для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

МЕТОД МЕЛЕРА-ФОКА У КОНТАКТНИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ ПІВПРОСТОРУ З КРУГОВИМИ ЛІНІЯМИ РОЗДІЛУ ГРАНИЧНИХ УМОВ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

ГАЙДАЙ Олександр Васильович

Київ - 2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор УЛІТКО Андрій Феофанович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри теоретичної та прикладної механіки

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ПОДІЛЬЧУК Юрій Миколайович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, м. Київ, завідувач відділу,

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник ГОМІЛКО Олександр Михайлович, Інститут гідромеханіки НАН України, м. Київ, провідний науковий співробітник

Провідна установа: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача, м. Львів

Захист відбудеться “__” _____2002 р. о “ ” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (03022, м. Київ, проспект Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет)

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська, 64).

Автореферат розісланий “ 11 ” листопада 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, кандидат фізико-математичних наук, доцент Кепич Т. Ю.

АНОТАЦІЇ

Гайдай О.В. Метод Мелера-Фока у контактних задачах теорії пружності для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Дисертація присвячена аналітичному розв'язанню ряду задач про гладкий контакт із пружним півпростором: кільцевий штамп, два круглих штампи, круглий штамп і нерухома жорстка півплощина. Усі задачі розв'язано із застосуванням інтегрального перетворення Мелера-Фока в тороїдальних координатах та апарату парних інтегральних рівнянь для цього перетворення. У кожній із задач отримано одне чи систему двох рівнянь Фредгольма другого роду з регулярним ядром. Ці рівняння розв'язані аналітично шляхом апроксимації ядра виродженим. Виведено формули і за ними обчислено контактні напруження, коефіцієнти інтенсивності, силу і момент, прикладені до штампів. Користуючись математичною аналогією, розв'язані також задачі Стокса про обтікання кільцевої пластинки і двох дисків. Знайдено швидкості, гідродинамічний тиск і вихор в потоці рідини, побудовано ізобари і лінії току.

Ключові слова: кільцевий штамп, два круглих штампи, тороїдальні координати, перетворення Мелера-Фока, аналітичний розв'язок, контактні напруження, коефіцієнт інтенсивності, задача Стокса, гідродинамічний тиск і вихор.

Гайдай А.В. Метод Мелера-Фока в контактных задачах теории упругости для полупространства с круговыми линиями раздела граничных условий. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Диссертация посвящена аналитическому решению ряда задач гладкого контакта для упругого полупространства: осесимметричный кольцевой штамп, два круглых штампа, круглый штамп и неподвижная жесткая полуплоскость.

Напряжения и дефомации в задаче гладкого контакта представляются согласно Папковичу и Нейберу через гармоническую в полупространстве функцию. В основе решения всех рассматриваемых задач лежит формулирование соответствующих им задач теории потенциала в тороидальных координатах с последующим применением интегрального преобразования Мелера-Фока, то есть представлением общего решения уравнения Лапласа в виде разложения в интеграл по фукциям Лежандра.

Такой подход позволяет задачу для кольцевого штампа свести к парной системе двух интегральных уравнений, а не трех, как при применении преобразование Ханкеля в цилиндрических координатах. Парные уравнения, выделяя в явном виде решение для круглого штампа без отверстия, приводятся к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с регулярным ядром. Предложено аналитическое решение этого уравнения, основанное на апроксимации ядра вырожденным. При этом погрешность решения гарантированно меньше 1% для отверстий кольцевого штампа не более половины его внешнего радиуса b. Для больших (до 0.999 b) отверстий уравнение Фредгольма решается с достижением той же точности методом последовательных приближений. Выведены квадратурные формулы для контактных напряжений (построена эпюра) и силы вдавливания штампа (построена ее зависимость от радиуса отверстия).

В задаче для двух круглых штампов примененяется обобщенное преобразование Мелера-Фока, то есть гармоническая функция задачи подается в виде разложения в ряд Фурье и в интеграл по присоединенным фукциям Лежандра. При этом для k-й гармоники ряда Фурье для двух неизвестных плотностей разложения в интеграл Мелера приходим к парной системе четырех уравнений, которая сводится к системе двух уравнений Фредгольма II рода. Ядро уравнений регулярно и одинаково для всех k, меняются только правые части, которые зависят от k неизвестных констант. Константы находятся после решения самих уравнений из енергетических условий интегрируемости контактных напряжений на краях штампов.

Более детально рассмотрены штампы с равными радиусами и осадками. Этот случай приводит к одному для каждого k уравнению Фредгольма, которое решается аналитически, апроксимируя ядро вырожденным. При этом точность решения в 1% достигается для расстояний между штампами не менее их радиуса. Неизвестные константы находятся из СЛАР kЧk.

Получены в виде квадратур от решений уравнений Фредгольма формулы для контактных напряжений, коэфициентов их интенсивности, силы вдавливания штампов в полупространство, а также момент, приложенный к штампам для удержания их от поворота. Построены соответственные графики.

Используя математическую аналогию между задачами теории упругости для несжимаемого материала и задачами течений вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса, полученные решения переносятся на задачи Стокса для кольцевой пластинки и для двух дисков. В обоих случаях найдены поля скоростей, гидродинамического давления, вихря скорости. Найден поток через отверстие кольца в зависимости от его ширины. Построены линии тока, изобары, линии уровня вихря.

Как частный случай задачи о двух круглых штампах при устремлении радиуса одного из них к бесконечности впервые решена задача о гладком контакте круглого штампа с упругим полупространством, подкрепленным на границе жесткой неподвижной полуплоскостью. Из того, что нормальные перемещения на половине границы полупространства, которая соответствует полной координатной поверхности в тороидальных координатах, равны 0, сразу же получаем связь между неизвестными плотностями разложения в интеграл Мелера. Это приводит для каждого k к одному уравнению Фредгольма похожего вида, которое решается аналогично. Выражения основных механических характеристик для штампа остаются в силе (но решение уравнения Фредгольма - уже другое), а их выражения для полуплоскости получаются аналогичным способом.

Ключевые слова: кольцевой штамп, два круглых штампа, тороидальные координаты, преобразование Мелера-Фока, аналитическое решение, контактные напряжения, коефициент интенсивности, задача Стокса, гидродинамическое давление и вихрь.

Hayday A.V. Mehler-Fok method in elasticity theory contact problems for a half-space with circle lines separating boundary conditions. - Manuscript.

Thesis for a Candidate Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.02.04 - Mechanics of Solids. Kyiv Taras Shevchenko National University. - Kyiv, 2002.

The Dissertation is devoted to the analytical solving of a number of problems of smooth contact with elastic half-space: circular annulus punch, two circular punches, circular punch and rigid motionless half-plane. All of the problems are solved, using Mehler-Fok Integral Transformation in thoroidal coordinates and Coupled Integral Equation Theory for this transformation. One or system of two Second Kind Fredholm Integral Equations with regular Kernel was derived in each of the problems. These equations have been analytically solved by means of approximation of their Kernel with Degenerated one. The formulas have been obtained and the values have been calculated for Contact Stresses, Stress Intensity Factors, Force and Moment of Force applied to the punches. Using mathematical analogy, Stokes Problems for the flows past circular annulus plate and past two circular disks have been solved as well. Velocities, hydrodynamical pressure and vorticity have been found in the flow around. The Streamlines and Izobars have been built.

Key Words: circular annulus punch, two circular punches, thoroidal coordinates, Mehler-Fok Transformation, analytical solution, Contact Stresses, Stress Intensity Factors, Stokes Problem, hydrodynamical pressure and vorticity.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У наукових дослідженнях та інженерній практиці досить часто доводиться розглядати поля деформацій та напружень, що виникають під час контактної взаємодії двох чи декількох пружних або пружних і абсолютно жорстких тіл. Математичними моделями таких полів є диференціальні рівняння в частинних похідних з крайовими умовами мішаного типу. Такі крайові задачі є найбільш складними і багато з них, принаймні, якщо говорити про точні розв'язки, уже десятиліттями чекають на своє вирішення.

Внутрішня єдність теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних дозволяє отримані для одного класу прикладних задач розв'язки застосовувати у фізично абсолютно інших ситуаціях. У цьому суть відомого метода математичних аналогій. Контактні задачі, наприклад, мають електростатичні аналогії та для випадку нестисливого матеріалу аналогію із задачами повільних течій в'язкої рідини, а методи їх розв'язання успішно використовуються в теорії дислокацій. Усе це розширяє значення досліджень у галузі контактних задач, чим можна пояснити і зростання інтересу до них спеціалістів різних науково-технічних напрямків.

Усе, що зазаначено вище, стосується і плоских, і просторових контактних задач. Але останні мають, як підтверджує практика, більшу актуальність для фундаментальних та прикладних досліджень. З одного боку, практично завжди напружено-деформований стан має тривимірний характер, а всі вироджені стани (плоскі напруження, плоскі деформації, теорія стержнів, пластин і оболонок) насправді є певними наближеннями, умови застосовності яких у конкретних окремих випадках виконуються точно або наближено. З іншого боку, в інженерних питаннях міцності матеріалів та елементів конструкцій використовують в основному інформацію про досягнення компонентами напружено-деформованого стану або їхніми комбінаціями екстремальних значень у локальних зонах (у місцях прикладання нерівномірного навантаження, поблизу країв, у зонах різкої зміни геометрії елементів конструкцій тощо). У зв'язку з цим отримання достовірної та повної інформації про напружено-деформований стан у вказаних локальних зонах пов'язане тільки з використанням методів та результатів просторових задач.

Для контактних задач, що розв'язуються в даній роботі (осесиметричний кільцевий штамп, два круглих штампа, круглий штамп і нерухома півплощина), на сьогодні не знайдено точного аналітичного розв'язку в замкненому вигляді. Третя з указаних проблем розглядається взагалі, мабуть, уперше. Друга задача та подібні їй розглядались у кількох роботах, але побудовані там розв'язки або суттєво наближені й не враховують нахилу штампів під час їхньої взаємодії, або подаються у вигляді розкладів за степенями малого параметра, оберненого до відстані між штампами, що погано спрацьовує для відносно близько розташованих штампів. У такій самій постановці, як у даній дисертації, задача про два штампи розглядалась в єдиній роботі, яка, на жаль, не містить жодних розрахунків. Окрім того, в усіх згаданих роботах не знайшло відповіді питання про розподіл напружено-деформованого стану в об'ємі пружного півпростору.

Таким чином, дане дослідження покликане збагатити математичну теорію пружності новими точними розв'язками ряду контактних задач для півпростору. Також, як уже зазначалось вище, застосовуючи метод математичних аналогій, з розв'язків цих задач досить просто отримуються розв'язки задач про обтікання дисків в'язкою рідиною з малими числами Рейнольдса (наближення Стокса). У теорії стоксових течій ці результати є новими.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження та результати дисертаційної роботи тісно пов'язані з дослідженнями задач теорії пружності для необмежених тіл з тороїдальним, веретеноподібним або лінзоподібним включенням, а також клиноподібних тіл, які проводились на кафедрі теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Дана дисертація є частиною комплексної наукової програми Київського національного університету імені Тараса Шевченка на 1997-2002 pp. за темою “Дослідження закономірностей деформування складних механічних структур з урахуванням явищ і ефектів зв'язності полів різної природи і розробка методів їх кількісного аналізу”.

Метою дослідження є розробка методики розв'язання та побудова точних розв'язків контактних задач теорії пружності для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов на основі використання інтегрального перетворення Мелера-Фока. Для досягнення цієї мети автор ставив перед собою такі конкретні завдання:

- розробити вказану методику розв'язання на прикладі задачі про гладкий контакт плоского кільцевого штампа з пружним півпростором; провести аналіз отриманих результатів у порівнянні з роботами інших авторів;

- за розробленою схемою побудувати точний розв'язок задачі про гладкий контакт двох круглих штампів із пружним півпростором; детально розглянути випадок штампів рівних радіусів та осадок і випадок виродження одного із них у нерухому півплощину;

- базуючись на аналогії між контактними задачами теорії пружності і задачами гідродинаміки при малих числах Рейнольдса, розв'язати також задачу Стокса для кільця і двох дисків.

Наукова новизна одержаних результатів. Уперше дістав завершення отриманий за допомогою інтегрального перетворення Мелера-Фока та апарату парних інтегральних рівнянь для цього перетворення аналітичний розв'язок осесиметричної контактної задачі теорії пружності про вдавлювання без тертя плоского кільцевого штампа у пружний півпростір, а також задачі Стокса про осесиметричний рух кільцевої пластинки у в'язкій рідині.

Подальшого розвитку дістало застосування методу, який базується на перетворенні Мелера-Фока, до задачі про вдавлювання без тертя і перекосу двох круглих штампів у пружний півпростір. Для цієї задачі вперше на основі вказаного методу обчислені всі основні механічні характеристики на границі півпростору для випадку плоских штампів однакових радіусів і осадок. Уперше, спираючись на аналогію зі стоксовими течіями, проведено детальний аналіз механічних полів у об'ємі в'язкої рідини, що обтікає систему двох однакових дисків.

Уперше розглянуто і розв'язано задачу про гладкий контакт круглого плоского штампа із пружним півпростором, границя якого розділена на дві півплощини, на одну із яких діє цей штамп, а точки іншої не мають можливості зміщуватись по вертикалі.

Практичне значення одержаних результатів. Побудовані розв'язки трьох контактних задач теорії пружності можна використати під час проектування, аналізу поведінки, розрахунків на міцність та жорсткість інженерних конструкцій, які містять контактуючі пружні і жорсткі елементи схожої геометрії. Інше пряме застосування отриманих результатів - розрахунок фундаментів схожої геометрії, якісна та кількісна оцінка взаємовпливу двох близько розташованих споруд на круглих фундаментах.

Розв'язки задач про повільне обтікання тіл в'язкою рідиною можна застосувати в теорії осадження частинок, а також у задачах, які виникають у хімічних технологіях під час перемішування дуже в'язких розчинів, розплавів полімерів, тощо апаратами, що містять конструктивні елементи у вигляді круглих чи кільцевих пластинок.

Апробація результатів дисертації. Результати окремих розділів дисертації та робота в цілому доповідалась на науковому семінарі “Проблеми механіки” при кафедрі теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Крім цього, окремі результати роботи доповідались на V міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2000) та на міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (Київ, 2001).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 6 наукових праць, серед яких 4 - у наукових фахових журналах і 2 - у збірниках праць міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаної літератури. Повний обсяг дисертації становить 136 сторінок друкованого тексту, в тому числі: 31 рисунок (усі включено до тексту) та список використаної літератури зі 100 найменувань, який розміщено на 9 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи; сформульовано мету і задачі дослідження; вказано наукову новизну та практичне значення результатів, отриманих у роботі; наведено дані про апробацію результатів роботи та список публікацій автора за темою дисертації.

Перший розділ містить огляд літератури, присвяченої розв'язанню різних задач природознавства, які приводять до мішаних крайових задач математичної фізики для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов.

Зокрема розглядаються роботи таких видатних учених, як Г. Герц, Дж. Бусінеск, А.Н. Діннік, І.Я. Штаерман, А.І. Лурьє, В.М. Абрамов, Л.А. Галін, Я.С. Уфлянд, В.І. Моссаковський, Н.Н. Лебедєв, А.Я. Александров, К.Є. Єгоров, В.С. Губенко, З. Олесяк, Н.М. Бородачов, Ф.Н. Бородачова, Дж.С. Кук, Г.М. Валов, В.М. Александров, А.А. Баблоян, В.С. Тоноян, А.Ф. Улітко, Г.Я. Попов, Г.М. Накашидзе, В.Г. П'ятоваленко, Ю.А. Антіпов, А.М.Дж. Дейвіс, Р.П. Роджер, Р.Г. Хуссей, В .Т. Грінченко, О.Є. Андрейків, В.В. Панасюк, Г.Ф. Маслюк, М. Стімпсон, Г.Б. Джеффері, Дж. Хаппель і Г. Бреннер, В.С. Проценко і В.Г. Проценко, А.Х. Раков, С.А. Дубецький, Б.М. Марзіцин, Я.П. Бузько, О.Я. Шехтер, В.А. Бабешко і Т.В. Коренева, які зробили значний внесок у розвиток задач теорії пружності та теорії стоксових течій для кільця, одного та двох круглих штампів чи дисків.

Другий розділ присвячено задачі про осесиметричне вдавлювання на глибину V₀ абсолютно гладкого штампа з плоскою кільцевою основою радіусів a і b (a < b) у пружний півпростір з числом Пуасона m і модулем зсуву G. Вектор пружних переміщень u задовольняє рівняння Ламе:

2(m - 1) grad div u - (m - 2) rot rot u = 0. (1)

Граничні умови - традиційні для задач гладкого контакту: відсутність дотичних напружень на всій границі, відсутність нормальних напружень поза штампом, рівність нормальних переміщень під штампом V₀

Задача розв'язується в тороїдальних координатах (о, з), які пов'язані з природно введеними циліндричними такими формулами:

Подаючи переміщення і напруження у вигляді представлень Папковича-Нейбера через одну гармонічну у півпросторі функцію щ, отримуємо для неї мішану задачу теорії потенціалу, граничні умови якої записуємо в тороїдальних координатах:

Загальний же розв'язок рівняння Лапласа з урахуванням першої з умов (3), яка задається на повному проміжку 0 о < , - це добуток “ріманового радикала” на розклад в інтеграл Мелера-Фока за функціями Лежандра:

Решта дві умови (3) дають відносно невідомої густини d(ф) парну систему інтегральних рівнянь, яка розв'язується окремо для вузьких та широких кілець.

У випадку вузьких кілець шляхом введення нової невідомої функції h(о) приходимо до інтегрального рівняння на проміжку о₀ о < з логарифмічно особливим ядром. Після заміни його на асимптотично рівне при великих о отримуємо рівняння Карлемана, точний розв'язок якого дозволив знайти асимптотики контактних напружень та сили вдавлювання штампа у півпростір:

У випадку широких кілець виділяється в явному вигляді точний розв'язок для круглого штампа без отвору:

Функція подається у вигляді (4). Парна система, яка отримується для розв'язується шляхом представлення невідомої густини у вигляді

який тотожно задовольняє друге з рівнянь (8). При підстановці (9) у перше рівняння (8), використовуючи розривні інтеграли Мелера, інтегральні розвинення для функцій Лежандра та точний розв'язок рівняння Абеля, приходимо врешті решт до рівняння Фредгольма другого роду з регулярним ядром простої будови:

Це рівняння розв'язувалось методом послідовних наближень, який збігається для о₀ < 10 (a/b < 0.9999), тобто для практично довільної ширини кільця. Аналітичний же розв'язок (10) для a/b 0.5 отримується, апроксимуючи ядро рівняння виродженим:

при цьому похибка розв'язку (9), спричинена заміною ядра, не перевищує

Контактні напруження і сила вдавлювання для широких кільцевих штампів:

Напруження (рис. 1) мають класичні кореневі особливості при підході до країв штампа, причому на зовнішньому краю коефіцієнт їхньої інтенсивності більший, ніж на внутрішньому (для радіусів кільця a = b/2 - приблизно удвічі).

Графік для сили вдавлювання побудований “склеюванням” формул (13) і (6), які добре узгоджуються для “середніх” кілець (0.85 < a/b < 0.999).

У третьому розділі щойно отриманий розв'язок контактної задачі використовується у задачі Стокса про осесиметричне обтікання кільцевої пластинки в'язкою рідиною. Таке перенесення результатів із контактної механіки в теорію стоксових течій є законним завдяки доведеній для нестисливого матеріалу (m = 2) математичній аналогії між вказаними задачами. При цьому переміщення і напруження в пружному тілі відповідають швидкостям і напруженням у рідині, а модуль зсуву G - динамічній в'язкості м.

Максимально спрощуємо вираз для гармонічної функції задачі, який отримується підстановкою (8) у (3). Для цього функцію Лежандра замінюємо на її інтегральне розвинення, міняємо порядок інтегрування в отриманому потрійному інтегралі і обчислюємо внутрішні інтеграли. У результаті маємо:

На основі (14), представлень Папковича-Нейбера і формул, які виражають похідні по r і z через похідні по о і з, знаходимо в точках простору швидкості і гідродинамічний тиск

p = - (у_r + у_z + у_ц)/3 = - щ/z. (15)

Компоненти швидкості знайдено в системі координат, в якій кільце рухається зі швидкістю V₀ у нерухомій на нескінченності рідині. Для побудови ліній току потрібно перейти в координати, жорстко зв'язані з тілом, що обтікається. Для цього достатньо від знайденої V_z відняти V₀.

Із побудованих лінії току (рис. 3) зокрема видно, що вплив отвору на картину обтікання проявляється, в основному, у безпосередній близькості до нього. Як наслідок, кількість рідини, яка проходить крізь отвір за одиницю часу (потік), - порівняно незначна (рис. 4). Знаходиться потік, інтегруючи швидкість V_z по площі отвору. Кратні інтеграли, які при цьому виникають, вдалося, міняючи порядок інтегрування, згорнути і отримати таку просту формулу:

Ізобари (рис. 5), побудовані згідно з (15), на відстані від кільця порядку його радіуса майже не відрізняються від ізобарів для відповідного суцільного диска. Вплив отвору знову ж таки відчувається у невеликому його околі і проявляється у тому, що тиск при наближенні до отвору трохи спадає. Це зокрема означає, що частинки рідини, які рухаються до кільця по осі симетрії задачі, перед входженням в отвір дещо прискорюються, а отже своє мінімальне на осі Oz значення швидкість V_z приймає не у початку координат, як це могло б здаватися на перший погляд. Цей факт підтверджується також і тим, що трубки току при вході в отвір трохи звужуються (рис. 3), отже, швидкість там зростає.

Важливою характеристикою в'язкого потоку є величина, що відповідає за інтенсивність перемішування рідини, - вихор. В осесиметричному випадку він має єдину ненульову складову:, де - вектор нормалі до меридіонального перерізу.

На рис. 6 по різні боки від лінії нульового вихору (пунктир) частинки рідини обертаються в різні боки. Вихор, так само, як тиск і напруження у контактній задачі, має кореневі особливості на краях кільця, причому з такими ж самими коефіцієнтами. Тобто, біля зовнішнього краю рідина перемішується інтенсивніше, ніж біля внутрішнього.

Причому параметр с вибирається саме так, щоб через краї штампів проходили деякі тороїдальні координатні поверхні о = о₊ і о = о-, тобто:

shо = c/R, 4D²c² = (D² - R₊² - R-² )² - 4R₊²R-²,

де D - відстань між центрами штампів.

Постановка задачі повторює постановку для кільцевого штампа: рівняння Ламе (1) і стандартні граничні умови гладкого контакту. Згідно з поданням Папковича-Нейбера, яке перепишемо з урахуванням нової орієнтації ПДСК, маємо переміщення і напруження через гармонічну у півпросторі функцію щ і пов'язану з нею щ₁ (щ₁/х = щ):

Граничні умови для щ в тороїдальних координатах мають вигляд:

Пружний півпростір будемо розглядати як просторовий клин з кутом розхилу р. Отже, загальний розв'язок рівняння Лапласа (²щ = 0) виберемо у відповідній формі, яка з урахуванням парності задачі по змінній з і після заміни іншої змінної cthо = chб (при цьому chо = cthб, shо = 1/shб) набуває вигляду:

Підстановка (20) в умови (19) і використання формул для визначення коефіцієнтів ряду Фурьє по cos kз дає парну систему інтегральних рівнянь:

де л₀ = 1, л_k = 2 (k 1).

Невідомі густини a_k(ф) та b_k(ф) шукаємо у вигляді

який тотожно задовольняє однорідні рівняння з (21). А при підстановці (22) в неоднорідні рівняння з (21) після k-кратного інтегрування отриманих рівностей по shб dб у межах від 0 до б, використовуючи (28), зміну порядку інтегрування і значення розривного інтеграла Мелера, приходимо до рівнянь типу Абеля. Точний розв'язок останніх дає систему рівнянь Фредгольма другого роду:

Ядро системи можна знову ж замінити близьким до нього виродженим:

що дозволить розв'язати систему (23) аналітично. До пошуку аналітичного розвязку спонукає також і те, що праві частини (23) залежать від k невідомих констант. Вони з'явились під час k-кратного інтегрування і знаходяться із енергетичних умов інтегровності контактних напружень на краях штампів:

для користування якими необхідно мати розв'язок (23) і його похідні.

Для спрощення подальших викладок обмежимось випадком, коли штампи мають однакові радіуси (R = R₀, б = б₀) і осадки (V = V₀). У цьому разі задача набуває симетрії відносно осі Oz, тобто парності по кординаті ц, з якої слідує, що

b_k(ф) 0, Ф_k (x) = Ф_k (x), f_k (x) = f_k (x).

Отже, тепер для кожного k маємо єдине рівняння (23) з виродженим ядром (24).

Його розв'язок подамо у вигляді лінійної комбінації k невідомих сталих: де K_n (x) - досить громіздкі, але аналітичні вирази, які до того ж містять тільки елементарні функції, а отже нескладно диференціюються, а це дає змогу записати (25) у вигляді СЛАР для визначення с_n^(k). Ці константи знаходяться зі СЛАР аналітично, як функції параметра б₀, який відповідає за відстань між штампами. Таким чином, отримано наближений аналітичний розв'язок (23) в явній залежності від параметра б₀. Похибка розв'язку від заміни ядра виродженим гарантовано менша 1% для б₀ 0.8, тобто для відстані між штампами не менше їхнього радіуса (d R₀). Самі розв'язки для d = R₀:

Контактні напруження знаходяться відповідно до (18) при х = 0 (ц = р /2). Для цього (22) при b_k(ф) 0 підставляємо в (20) і використовуємо формулу:

Тоді з урахуванням значення розривного інтеграла Мелера маємо: k-ту похідну по chб від квадратних дужок знайдемо інтегруючи частинами k раз, вносячи кожного разу одну похідну по chб під знак інтеграла. У результаті отримуємо формулу, яка містить неінтегровні особливості порядку -3/2 і вище. Прирівнюючи коефіцієнти при них до 0, отримуємо умови (25). Позначивши, контактні напруження (рис. 8) набувають вигляду:

Внаслідок викривлення епюри контактних напружень до штампів для їх вдавлювання без перекосу необхідно прикласти зусилля, які мають не тільки головний вектор, а й головний момент. Для їх знаходження необхідно проінтегрувати у_x та у·у_x відповідно по підошві штампа. Потрійні інтеграли, які при цьому виникають, вдалося згорнути до однократних: де M_z - момент відносно осі, що проходить через центр штампа паралельно Oz. M_z виявився таким, що намагається нахилити штампи один від одного, тобто якщо момент не прикладати, то штампи нахилилися б один до одного. При збільшенні відстані між штампами P_x прямує до 4m(m -1)^-1R₀GV₀, а M_z - до 0, тобто - до значень, які відповідають одинокому штампу.

Розв'язок задачі Стокса про обтікання двох дисків отримується зі щойно розв'язаної (лише при рівних осадках штампів) покладанням числа Пуасона m = 2. При цьому для знаходження поля швидкостей і гідродинамічного тиску (18) необхідно знайти гармонічну функцію задачі у просторі. Її вираз після певних спрощень і позначення в = t+ iц набуває вигляду:

У п'ятому розділі вперше розв'язується задача про дію гладкого круглого штампа на пружний півпростір, половина границі якого прикріплена до абсолютно жорсткої нерухомої півплощини. Прикріплення до півплощини також гладке, тобто точки півпростору можуть вільно по ній ковзати. У цьому випадку дотичні напруження відсутні на всій границі півпростору і задача розглядається як частинний випадок задачі про два круглих штампи, коли один із них (на рис. 12 - лівий) має осадку V- = 0 і радіус R- = (о- = 0). При цьому

граничні умови (19) для гармонічної функції задачі щ при ц = р /2 не зміняться (лише замінимо індекс “₊” на “₀”), а при ц = - р /2 приймуть вигляд

щ = 0 (- р < з < р, 0 о < ), (34)

який дозволяє завдяки перетворенню Мелера-Фока встановити зв'язок між густинами в загальному розв'язку (20):

b_k(ф) = a_k(ф) cth(рф /2). (35)

Тепер отримуємо парну систему для a_k(ф):

яка розв'язується шляхом заміни:

Гармонічна функція задачі щ при цьому набуває вигляду: а для f_k(x) уже звичним способом отримується рівняння Фредгольма 2-го роду: де праві частини такі ж самі, як у (23), тільки індекси “^±” слід опустити.

Аналогічно до попередньої задачі, шукаємо наближений аналітичний розв'язок, апроксимуючи для б₀ 0.8 (d R₀/2) ядро рівняння (39) виродженим:

Розв'язання рівнянь (39-40) повторює з певними відмінностями розв'язання рівнянь (23-24). Таким чином, знайдено розв'язки перших шести рівнянь (39-40). Наприклад, для d = R₀/2:

Контактні напруження під круглим штампом (рис. 13) і коефіцієнт їхньої інтенсивності К у залежності від кута и, який задає положення точки на краю штампа (лівий рис. 14), знаходяться за тими ж формулами (30) і (31), де f_k(x) - це вже розв'язки (39). Напруження виявилися більшими, ніж у тому випадку, якби півплощини не було, причому їхня епюра викривлена в інший бік, ніж у попередній задачі. Що ж стосується нормальних напружень розтягу під нерухомою півплощиною, то для них отримано таку формулу:

Знайдено і коефіцієнт інтенсивності напружень на півплощині

Його максимальне значення (значення в 0) виявилось меншим за максимум коефіцієнта інтенсивності напружень під штампом (майже удвічі для d = R₀/2).

Для контролю правильності розв'язку виконано граничний перехід до задачі про нерухому півплощину і зосереджену силу (зменшувався радіус штампа і збільшувалась його осадка так, щоб сила вдавлювання залишалася постійною). До цієї ж задачі перейдено від розв'язаної Л.А. Галіним задачі про круглий штамп при наявності на границі півпростору зосередженої нормальної сили (збільшувався радіус штампа до нескінченності при нульовій його осадці). У результаті отримано ідентичні формули для контактних напружень.

Головний вектор та головний момент, які необхідно прикласти до штампа, подаються тими ж формулами (32), але тепер момент має протилежний знак, а сила більша за силу для одинокого штампа. Знайдено також зовнішню силу і момент прикладених до півплощини зовнішніх сил відносно осі Oz:

Після обрахунків виявилося, що, тобто півплощина повністю компенсує силу, з якою штапм діє на півпростір.

ВИСНОВКИ

У дисертації на основі єдиного підходу отримано точні аналітичні розв'язки ряду контактних задач теорії пружності для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов та відповідних їм задач теорії стоксових течій. Згаданий підхід полягає в застосуванні інтегрального перетворення Мелера-Фока в тороїдальних координатах та апарату парних інтегральних рівнянь для цього перетворення. Це дозволяє звести мішану крайову задачу для гармонічної функції до парної системи двох, а не трьох інтегральних рівнянь, як це буває при використанні більш звичних циліндричних координат. У кожній із задач отримано одне чи систему двох рівнянь Фредгольма другого роду з простим регулярним ядром. Ці рівняння розв'язано аналітично шляхом заміни ядра на вироджене. Застосована методика показала свою ефективність у всіх розглянутих у роботі випадках порівнянно з відомими у науковій літературі підходами до розв'язання відповідних задач.

При цьому до основних результатів проведених розв'язків можна віднести знаходження наступних характеристик механічних полів та встановлення наступних властивостей досліджуваних механічних систем.

Встановлено, що контактні напруження під кільцевим осесиметричним штампом мають класичні кореневі особливості при підході до границь штампа, причому коефіцієнт інтенсивності напружень на зовнішній границі виявився більшим, ніж на внутрішній (приблизно удвічі для радіусу отвору a, що дорівнює половині зовнішнього радіусу кільця b).

На основі розв'язків для широкого та для вузького кільця знайдено зв'язок між силою вдавлювання штампа у півпростір і його осадкою. Значення цієї сили, обчислені відповідно до різних методів, добре співпадають для 0.85<a/b<0.999 (при цьому при a/b=0.999 для досягнення методом для широких кілець точності в 1% знадобилось 7 послідовних наближень). Таким чином, отриманий з використанням перетворення Мелера-Фока розв'язок дає високоточний результат для кілець практично довільної ширини. Виявлено також незначну відмінність (максимум - на 10%) сили вдавлювання широкого (0<a/b<0.8) кільцевого штампа від її значення при відсутності отвору, а також її різке спадання від 0.5 до 0 при подальшому збільшенні a/b від 0.999 до 1.

Показано, що рівняння статики пружних нестисливих тіл і усталених стоксових течій приводяться до ідентичних рівнянь векторного поля. Це дозволило, враховуючи подібність також і граничних умов, провести аналогію між відповідними задачами.

Знайдено і проаналізовано стоксовий потік навколо кільцевої пластинки: побудовано лінії обтікання, лінії рівня вихору швидкості, знайдено миттєву витрату рідини через отвір кільця та силу опору його рухові і, на відміну від багатьох робіт по стоксових течіях, знайдено гідродинамічний тиск в об'ємі рідини та побудовано ізобари. Проведений аналіз, зокрема показав, що:

Наявність отвору в кільцевій пластині позначається на лініях току і на ізобарах лише у безпосередній близькості до цього отвору. Картина ліній току та ізобарів у околі отвору пояснюють той, на перший погляд, малоочевидний факт, що частинка, яка наближається до кільця по осі симетрії задачі, не завжди гальмується, але при наближенні до отвору на певну відстань дещо прискорюється.

Коефіцієнти при кореневих особливостях на краях кільцевої пластинки для тиску співпадають з коефіцієнтами для вихору.

Сили опору рухові вузького кільця і вузького тора таких самих радіусів логарифмічно спадають і асимптотично рівні при стягуванні кільця і тора в нескінченно тонку нитку.

Величина потоку через отвір кільця незначна порівнянно з незбуреним потоком через таку ж саму площу на нескінченності (при 0<a/b<0.95 нормований потік Q майже лінійно росте від 0 до 0.4), і лише для дуже вузьких кілець (0.99<a/b<1) Q різко зростає від 0.5 до 1.

У задачі про два круглих штампи встановлено, що присутність другого штампа зменшує напруження під першим і викривляє їхню епюру так, що напруження на внутрішніх краях штампів стають меншими, ніж на зовнішніх. Знайдено і побудовано залежності від відстані між штампами головного вектора та головного момента зовнішніх сил, які необхідно прикласти до штампів для утримання їх від нахилу.

Розв'язана задача Стокса для двох круглих дисків: знайдено в об'ємі рідини вектор швидкості, гідродинамічний тиск та вихрові складові поля швидкості. Побудовано лінії рівня двох останніх величин та лінії обтікання у двох основних перерізах.

Уперше як частинний випадок задачі про два круглих штампи (при збільшенні радіуса одного із них до нескінченності) розв'язана задача про круглий штамп і нерухому півплощину. Знайдено розподіл контактних напружень під штампом і півплощиною, коефіцієнти інтенсивності напружень на їхніх краях, головний вектор і головний момент зовнішніх сил, що діють на штамп і на півплощину, у залежності від відстані між штампами. Побудовано відповідні графіки. Виявилося, що присутність нерухомої півплощини збільшує контактні напруження під штампом, причому на ближньому до неї краю це збільшення відчутніше. Штамп намагається відхилитись від півплощини, на відміну від задачі про два штампи, де вони намагаються нахилитись один до одного.

В усіх розв'язаних у роботі задачах виконано граничні переходи до відомих точних розв'язків, що разом з класичними постановками проблем, узгодженістю результатів між собою та з роботами інших авторів дає впевненість у достовірності отриманих результатів.

Слід зазначити, що держані в дисертації результати мають насамперед теоретичне значення. Щодо практичного застосування побудованих точних розв'язків задач теорії пружності та стоксових течійможна зауважити, що розв'язок задач Стокса для кільця і для двох дисків моде бути застосовано у хімічних технологіях змішування в'язких розчинів, осаджування частинок у розчинах, коли елементи конструкцій або частинки мають круглу чи кільцеву форму. Розв'язки задач теорії пружності можуть бути використані під час проектування фундаментів подібної форми, в інших контактних ситуаціях, а також до розрахунку на міцність конструкцій, що містять жорсткі включення у вигляді круглих чи кільцеподібних пластин.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

аналітичний задача інтегральний перетворення

1. Гайдай О.В. Про інтегральне рівняння мішаних задач для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов // Вісник Київського університету. Математика. Механіка. - 1999. - № 3. - С. 54-58.

2. Гайдай О.В. Осесиметричний рух жорсткого кругового кільця у в'язкій рідині Стокса // Вісник Київського університету. Математика. Механіка. - 2000. - № 4. - С. 42-48.

3. Гайдай О.В. Обтікання двох жорстких кругових дисків стоксовою рідиною // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки - 2000. - № 3. - С. 97-104.

4. Гайдай О.В. Дія гладкого круглого штампа на пружний півпростір, підкріплений нерухомою півплощиною // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки - 2001. - № 3. - С. 94-100.

5. Гайдай О.В. Осесиметричний рух жорсткої кільцевої пластинки у в'язкій рідині (модель Стокса) // Праці Міжнар. конф. “ Моделювання та оптимізація складних систем” (МОСС - 2001). - Т. 2. - К.: ВПЦ “Київський університет”. - 2001. - С. 85-86.

6. Гайдай О.В. Метод Мелера-Фока у задачі про жорстке кільцеподібне включення у пружному нестисливому просторі // Праці Міжнар. конф. “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”. - Т. 2. - Львів: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України. - 2000. - С. 68-71.

Размещено на Allbest.ru

...