Прецесійні коливання і резонансі осесиметричних оболонок з перерізом, що розгалужується, при складному обертанні

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню прецесійних коливань пружних осесиметричних оболонкових роторів з розгалуженим меридіональним перерізом, що обертаються навколо своєї осі симетрії, яка, в свою чергу, здійснює плоский поворот.

Актуальність теми дисертації. Ротори сучасних турбомашин зазвичай виконуються у вигляді комбінації пружних валів, тонкостінних дисків, оболонок і тонких закручених лопаток. Вони знаходять широке застосування як елементи двигунів літальних апаратів. Під час експлуатації літальних апаратів на їх ротори діють різні нестаціонарні навантаження, що зумовлені дією аеродинамічних сил, високотемпературних полів і загальною вібрацією системи. Особливості динамічної поведінки пружних систем, які обертаються, пов'язані з тим, що їх елементи при коливаннях одночасно беруть участь у різних видах рухів і на них діють позиційні (відцентрові) сили інерції, що залежать від розташування елемента, та гіроскопічні (коріолісові) сили інерції, зумовлені взаємодією обертальних і лінійних складових руху.

Обертання пружної системи пов'язане з якісною зміною форм її коливань. Оскільки фази коливань елементів ротора стають різними, моди його періодичних рухів у зв'язаній з ним системі координат перестають бути стоячими, вузлові лінії починають зміщуватись і форма коливань набуває вигляду хвилі, що рухається в окружному напрямку.

Характер пружних коливань тонкостінного ротора ще більш ускладнюється в умовах його складного обертання, коли літальний апарат виконує маневри переорієнтації та вісь його ротора здійснює додатковий примусовий поворот. В цьому випадку в результаті накладання і взаємодії різних видів рухів збуджуються пружні прецесійні коливання, які в системі координат, що пов'язана з ротором, мають вид гармонійної хвилі, яка біжить з кутовою швидкістю обертання в протилежному напрямку. Тому в інерційній системі відліку ці коливання надаються у формі стаціонарного руху по моді, симетричній відносно площини, що проходить через осі обертання та повороту з приоритетними напрямками переміщень, паралельними до цієї площини.

На цей час особливості динаміки складного обертання оболонкових конструкцій залишаються практично невивченими, тому задача теоретичного моделювання складного обертання тонкостінного ротора з врахуванням збудження його пружних прецесійних коливань є актуальною. Знання особливостей таких коливань дозволяє уникнути появи резонансних режимів вібрацій, знизити ймовірність втомлювального руйнування елементів ротора літального апарата і поліпшити динамічні характеристики двигуна.

Мета і задачі дослідження. Мета даної дисертаційної роботи полягає в розвитку методики дослідження динаміки пружних оболонок з розгалуженим меридіональним перерізом при складному обертанні, створенні програмного забезпечення, розробці та реалізації на персональному комп'ютері чисельної методики та її застосування до розв'язування прикладних задач.

1. Відомості про розвиток досліджень з динаміки осесиметричних оболонок у полі сил інерції

Проаналізовано сучасні результати розв'язку задач про напружено - деформований стан і про коливання оболонок, які обертаються, в умовах дії на них відцентрового навантаження. Проведено аналіз методів розрахунку систем диференціальних рівнянь динамічної рівноваги осесиметричних оболонок, які обертаються.

Загальна теорія тонких пружних оболонок, а також багаточисельні питання, що пов'язані з розрахунком на міцність, стійкість та коливання ряду конкретних оболонкових конструкцій, знайшли глибоке висвітлення у працях відомих вітчизняних та закордонних вчених. До їх числа відносяться В.З. Власов, К.З. Галімов, А.Л. Гольденвейзер, А.Н. Гузь, Н.А. Кільчевський, Н.В. Колкунов, М.С. Корнишин, А.И. Лур'є, А. Ляв, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, С.П. Тимошенко, К.Ф. Черних та інші. Ці праці містять основні положення сучасної теорії пластин і оболонок.

Поява складних режимів експлуатації оболонкових конструкцій обумовлює розвиток і вдосконалення теорії та методів розрахунку їх динаміки. Розробці теорії, дослідженню динаміки оболонок присвячені роботи В.В. Болотіна, А.С. Вольмира, Э.Н. Григолюка, Я.М. Григоренка, В.В. Кабанова та ін.

Питання про вплив обертання на коливання тонкої оболонки вперше досліджував G.H. Braun в кінці XIX ст. На спрощеній моделі ним було встановлено, що рівномірне обертання оболонки відносно осі призводить до розщеплення резонансних частот і стояча згинна хвиля в цьому випадку прецесує, зберігаючи свою форму. Було відкрито та проаналізовано динамічні ефекти, що складають принцип дії сучасних гіроскопів.

Дослідження напружено - деформованого стану і динамічної поведінки оболонок, що обертаються навколо своєї осі симетрії, пов'язане з побудовою математичних моделей та застосуванням ефективних методів їх чисельного розв'язку. Проблема коливань осесиметричних оболонок, що обертаються навколо своєї осі симетрії, постійно привертає увагу великої кількості вчених. Великий внесок у розвиток досліджень динаміки оболонок при простому обертанні внесли роботи A.E. Armenakas, K. Armstrong, R.N. Arnold, P.I. Christie, M. Endo, G. Herrmann, T.B. Hunt, H. Igawa, D.C. Johnson, H.J. Macke, K. Mizoguchi, I. Padovan, J. Shaw, G. Shikanai, K.R. Sivadas, K. Susuкіи, G.B. Wanburton, Ю.С. Воробйова, С.И. Детистова, В.Ф. Журавльова, А.Л. Климова, Н.Е. Егарміна та ін.

Постановка задач про прецесійні коливання осесиметричних оболонок, у випадку складного обертання і результати їх дослідження представлено в роботах В.І. Гуляєва, А.А. Грома, C.O. Chang, J.J. Hwang, C.S.Chou.

Але, не дивлячись на актуальність і складність проблеми, дисертанту не вдалося знайти в науковій літературі постановки задач про динаміку тонкостінних оболонкових роторів з розгалуженим меридіональним перерізом в умовах складного обертання.

2. Викладення основних співвідношень та понять нелінійної теорії оболонок, які покладено в основу розробленої математичної моделі поставленої задачі

Розглянуто основні співвідношення теорії оболонок, що базуються на гіпотезах Кірхгофа - Лява, виведено диференціальні рівняння руху, що дозволяють визначити компоненти інерційного навантаження пружних осесиметричних оболонок при складному обертанні, сформульовано умови сполучення фрагментів оболонок в місцях їх розгалужень, поставлено задачу про складне обертання пружних оболонок з розгалуженим меридіональним перерізом.

При постановці задачі вважалось, що оболонка з розгалуженим меридіональним перерізом обертається з постійною по модулю кутовою швидкістю , відносно осі симетрії 0z, яка, в свою чергу, здійснює примусовий плоский поворот з постійною швидкістю , за умов, що >>0.

Для опису пружних коливань оболонки, що зумовлені складним обертанням, введено праві системи координат: 0X*Y*Z* - інерційна система координат з початком у центрі лівого опорного контуру, вісь 0Y* якої колінеарна вектору повороту ; 0xyz - система координат, що зафіксована в основі та обертається; 0XYZ - система координат, вісь 0Y якої збігається з віссю 0Y*, а вісь 0Z - з віссю 0z. На серединній поверхні оболонки введено ортогональну криволінійну систему координат 01x1x2x3, у якій координатна лінія x1 лежить в твірному перерізі, x2 спрямована в окружному напрямку, x3- по внутрішній нормалі до поверхні оболонки (рис.1).

Динамічна рівновага оболонкового елемента в системі координат 0xyz визначається рівняннями:

, (=1,2),

де - фундаментальний визначник метричного тензора; - вектор внутрішніх сил; - вектор внутрішніх моментів; - вектор абсолютного прискорення; h - товщина оболонки; - густина її матеріалу; - вектори основного локального базису.

Вектор абсолютного прискорення визначається за формулою:

Для обчислення векторів переносного , відносного і коріолісового прискорень використовуються співвідношення:

, , ,

де - радіус - вектор точки елемента деформованої оболонки в рухомій системі координат 0xyz; - радіус - вектор точки елемента недеформованої оболонки в цій системі координат; - вектор переміщень елемента оболонки; - вектор абсолютної кутової швидкості системи відліку 0xyz; - вектор кутового прискорення цієї системи.

Не враховуючи величини більш високого порядку малості, вектор абсолютного прискорення в основному локальному базисі набуває вигляду:

(4)

,

де - кут між дотичною до твірної оболонки і віссю обертання, r=r(x1) - відстань від осі обертання до розглянутого елемента, - коефіцієнти першої квадратичної форми, , , - компоненти вектора переміщень ( =1, 2) та їх похідні за часом.

Вектори внутрішніх зусиль та моментів можна розкласти за векторами основного локального базису недеформованої серединної поверхні S.

, (, =1,2),

де T - двічі контраваріантні компоненти тензора внутрішніх зусиль, що характеризують мембранні зусилля; T3 - перерізуючі зусилля T12 = T21.

,

де M11, M22 - згинаючі моменти; M12, M21 - крутильні моменти; c - дискримінантний тензор поверхні:

.

Контраваріантні складові тензора внутрішніх сил T і моментів M виражаються через коваріантні компоненти функцій деформацій ij та зміни кривизни ij залежностями, що є наслідками закону теорії пружності та умов рівності нулю поперечних напружень:

,

, (i,j,,=1,2),

де E - модуль пружності Юнга; - коефіцієнт Пуассона.

Компоненти деформацій ij і зміни кривизни ij визначаються через компоненти u1, u2, u3 вектора переміщень:

,

, (i, j, k=1, 2),

де - вектор кутів повороту до серединної поверхні, а кути виражаються через вектор переміщень у такий спосіб:

.

У цих формулах 11, 22 - деформації за напрямками базисних векторів , ; 12=12 - кут зсуву між напрямками базисних векторів і ; 11, 22 - згінні деформації, які характеризують зміну кривизни серединної поверхні за напрямками базисних векторів і , 12 - кручення поверхні S; - кути повороту нормалі до серединної поверхні оболонки.

В роботі розглянуто деформовану оболонку з розгалуженим меридіональним перетином, яка під дією навантаження знаходиться в рівновазі. Уявним перерізом дану конструкцію було розділено на окремі складові оболонки. Вплив окремих оболонок одна на одну визначається векторами сили і момента . Для отримання умов спряженості виділено нескінченно малий елемент розгалуженої конструкції в околі лінії сполучення суміжних оболонок. З боку першої оболонки на цей елемент діють сили , , , а також моменти , . З боку другої оболонки на нього діють сили , , і моменти , . З боку третьої - сили , , і моменти , . Внаслідок того, що елемент перебуває в рівновазі, повинна виконуватися умова рівності нулю всіх діючих на нього сил і моментів. Крім зазначених умов, повинні збігатися значення векторів переміщень і кутів повороту кожної з оболонок.

Повну систему розв'язувальних рівнянь для окремо взятої оболонки складають рівняння динамічної рівноваги тонких оболонок, які доповнено співвідношеннями, що пов'язують внутрішні зусилля і моменти з компонентами деформацій ij і зміни кривизни ij, а також співвідношеннями. Для замикання цієї системи було використано граничні умови та умови спряження окремих фрагментів оболонки.

3. Обчислювальні аспекти задач про прецесійні коливання і резонанси тонкостінних роторів з розгалуженим перерізом

Розроблено підхід, заснований на поділі складного обертання ротора на два стани. У першому стані він здійснює просте обертання навколо своєї осі симетрії з постійною по модулю кутовою швидкістю. На ротор діють стаціонарні осесиметричні сили інерції і він не коливається.

Для основного осесиметричного напружено - деформованого стану ротора, який пов'язаний з обертанням навколо осі 0z з кутовою швидкістю доданки в розв'язувальних рівняннях, що містять похідні по координаті x2 і компоненту переміщення u2, обертаються в нуль. Система диференціальних рівнянь з частинними похідними перетворюється в систему звичайних диференціальних рівнянь. При цьому перше співвідношення буде мати вигляд:

,

,

де - поверхневі символи Крістоффеля другого роду,

,

.

Тут індексом нуль позначені величини, що описують напружено - деформований стан простого обертання.

В другому стані, який зумовлено плоским поворотом осі обертання, на елементи ротора діють сили інерції, що збуджують малі прецесійні коливання оболонки відносно початкового напруженого стану.

Для побудови рівнянь коливань у другому стані було лінеаризувано систему в околі простого обертання. Після лінеаризації одержано:

,

,

,

,

,

.

Застосований підхід надає можливість розглядати ці стани по черзі, використовуючи розв'язки рівнянь першого стану для обчислення коефіцієнтів рівнянь коливань оболонки в другому стані.

Вигляд навантаження pi у рівняннях дозволяє надати шукані функції у формі гармонійних хвиль, що біжать в окружному напрямку.

T11 = T(11)(x1)sin(t+x2), T12 = T(12)(x1)cos(t+x2),

T22 = T(22)(x1)sin(t+x2),

T13 = T(13)(x1)sin(t+x2), T23 = T(23)(x1)cos(t+x2), (12)

......................................................................................

u3 = u(3)(x1)sin(t+x2).

Заміна дає змогу виключити фазову координату t+x2, а також похідні по x2, t та побудувати систему звичайних диференціальних рівнянь першого порядку відносно шуканих функцій з незалежною змінною x1.

В процесі розв'язування задачі ротор умовно розбивається на окремі складові оболонки, для кожної з яких розв'язується система лінійних диференціальних рівнянь за допомогою методу початкових параметрів, а частинні розв'язки рівнянь знаходяться методом Рунге - Кутта четвертого порядку. Початкові умови для кожної оболонки визначаються з граничних умов та рівнянь спряження суміжних оболонкових елементів в місцях розгалуження. Для ротора одержано 3 оболонки, і на підставі рівняння спряження для складного обертання буде мати вигляд:

,

,

,

,

, ,

, ,

,

,

,

,

де індекс зверху для , , , та індекс знизу для сил, моментів і кутів i визначає номер розглянутої оболонки.

Особливість застосування викладеного вище підходу полягає в тому, що в зв'язку з наявністю у лінеаризованій системі рівнянь великих коефіцієнтів, що обумовлені обертанням оболонки, вона є жорсткою, а серед її частинних розв'язків є швидко зростаючі функції. Тому при побудові розв'язку додатково застосовується модифікована процедура ортогоналізації.

4. Результати чисельного розв'язування задач про прецесійні коливання та резонанси дисків, конічних оболонок і одноопорних роторів, які защемлено на одній з основ, чи закріплено на тонкостінному валу

Прийнято, що своєю меншою опорою (діаметром d1) торцева оболонка висоти l3 жорстко зв'язана з твердим носієм, що обертається з постійною по модулю кутовою швидкістю відносно осі симетрії 0z, яка, в свою чергу, здійснює примусовий плоский поворот з постійною швидкістю . До циліндричної частини ротора на відстані l1 зсередини приєднано диск із меншим діаметром d3, а ззовні - конічна оболонка. В розрахунках вважалося, що d1=0,05м, d2=0,4м, d3=0,8м, d4=0,02м, l1=0,15м, l2=0,05м, l3=0,3м, =84°. Товщина кожного з оболонкових елементів ротора h=0,005м, коефіцієнт Пуассона матеріалу =0,3, модуль пружності Е=2,1.1011 Па, густина =7,8.103 кг/м3. Значення змінювались в межах 0 2500 с-1 із кроком =25 с-1, 0 =1 с-1.

Як відомо, інтегральною мірою динамічної поведінки механічної системи у випадку складного обертання є її гіроскопічний момент . Прояви цього моменту для осесиметричного твердого тіла, яке обертається і вісь якого до того ж здійснює додатковий плоский поворот, пов'язані з виникненням в опорах тіла реакцій, що складають пари сил з моментом:

.

Тут Iz - момент інерції тіла відносно осі обертання, яка у розглянутому випадку має вигляд:

де доданки в правій частині визначають моменти інерції конічних, циліндричних оболонок та диска, з яких складається ротор. При цьому mк1, mц1, mц2, mк2, mд - маси цих тіл. Породжені складним обертанням прецесійні коливання пружного ротора супроводжуються виникненням на межах його приєднання до твердого носія, що обертається, системи крайових пружних згинальних та крутильних моментів і системи поздовжніх та внутрішніх перерізуючих зусиль, пружний результуючий момент яких можна надати у вигляді моменту пари з модулем:

,

де T(13), T(11), M(11) - фізичні компоненти амплітудних значень відповідних величин у місті жорсткого з'єднання торцевої конічної оболонки з твердим носієм, - кут між дотичною до твірної цієї оболонки і віссю симетрії в місцях защемлення.

Пружний момент Me збігається з гіроскопічним Mg за умови невеликих значень кутової швидкості власного обертання (0<<1000с-1), коли сили інерції пружних коливань малі. Досягнутий збіг гіроскопічного та пружного моментів є необхідною умовою достовірності математичної моделі та правильності роботи обчислювальної системи. На розглянутому інтервалі зміни кутової швидкості власного обертання даний ротор має дві резонансні частоти, у яких Me має розрив.

Форми прецесійних коливань ротора в перерізі площиною Y0Z, коли кутові швидкості власного обертання мають різні значення =1000 (а), =1600 (б), =2000 (в). Слід зазначити, що в цій площині компоненти пружного переміщення u1 та u3 елементів гіроскопічної системи приймають максимальні значення, а u2 - дорівнює нулю.

Епюри додаткових згинальних моментів в елементах ротора в перерізі площини, що містить вектори і. Можна зазначити, що М(11) набуває максимального значення в місцях твердого зєднання ротора з твердим носієм, що обертається. Порівняння моментів дає можливість зазначити, що при переході через резонансні частоти сильно видозмінюється форма епюр М(11). Це ще раз підкреслює складність явища прецесійних коливань.

У даному розділі розглянуто моделі роторів, у яких замість торцевої оболонки з відємною гауссовою кривизною використовувалася конічна оболонка, та були відсутні або диск, або конічна оболонка, приєднані до циліндричної.

Встановлено, що при різних геометричних параметрах дані ротори можуть як мати, так і не мати резонансних режимів руху. Із зменшенням діаметра d1 торцевої оболонки, зв'язаної з твердим носієм, із збільшенням більшого діаметра конічної оболонки, що приєднана до циліндричної з вільним краєм, а також із зменшенням товщини кожної з оболонок, з яких складається ротор, зменшується значення першої резонансної частоти.

5. Дослідження динаміки і напружено - деформованого стану осесиметричних двоопорних роторів при складному обертанні

Для розрахунків було обрано d1=0,05м, d2=0,4м, d3=0,8м, d4=0,2м, l1=0,8м, l2=0,4м, l3=0,1м, =84°. Товщина кожного з оболонкових елементів ротора h=0,005м, коефіцієнт Пуассона матеріалу =0,3, модуль пружності Е=2,1.1011 Па, густина =7,8.103 кг/м3. Значення змінювалось в межах 0 2500 с-1 із кроком =25 с-1, 0=1 с-1.

Залежності гіроскопічного Mg та пружного Me моментів від кутової швидкості . З малюнка видно, що в розглянутому діапазоні зміни кутової швидкості власного обертання дана конструкція має одну резонансну частоту 1525 с-1. Ця частота менша, ніж для аналогічного ротора, у якого відсутні диски, що приєднані зсередини до циліндричної частини ротора.

В цьому розділі розглянуто моделі роторів, у яких відсутні або диски, або конічні оболонки, а також моделі роторів, які замість конічних торцевих оболонок мають оболонки з відємною гауссовою кривизною. Крім твердого защемлення, в роботі розглянуто шарнірне обпирання торцевих оболонок. Наведено результати розв'язування задач.

Висновки

меридіональний оболонковий гіроскопічний

1. Поставлено задачу про збуджувані гіроскопічними силами інерції прецесійні коливання пружного тонкостінного ротора, який має розгалужений меридіональний переріз і здійснює складне обертання. Розглянуто випадки одноопорних і двоопорних роторів за умови їх шарнірного обпирання і твердого защемлення торцевих перерізів оболонок.

На підставі геометрично нелінійної теорії оболонок і методів теоретичної механіки побудовано нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними, що описують періодичний рух оболонкової конструкції з розгалуженим меридіональним перерізом. Прийняті до уваги переносні, відносні та коріолісові сили інерції, що діють на елементи ротора. З врахуванням припущення, що кутова швидкість власного обертання системи набагато перевищує кутову швидкість повороту її осі, побудовано лінеаризовані рівняння прецесійних коливань ротора відносно стану її простого обертання. Сформульовано умови спряження суміжних фрагментів оболонок у місцях їх розгалуження. Побудовано багатоточкову крайову задачу для одержаних рівнянь.

2. Розроблено методику чисельного дослідження рівнянь коливань тонких роторів з розгалуженим перерізом у випадку складного обертання, яку засновано на спільному використанні для багатоточкових крайових задач методу початкових параметрів, методу Рунге-Кутта і модифікованого методу ортогоналізації, який дає змогу знаходити початкові значення для кожної з оболонок, що складають ротор.

3. Створено обчислювальний комплекс, що реалізує на персональному комп'ютері алгоритми розв'язку задач про прецесійні коливання тонких роторів з розгалуженим меридіональним перетином при складному обертанні. Розв'язано серію тестових задач, що підтверджують ефективність запропонованого підходу та його програмної реалізації. Розв'язки задач свідчать про достатню достовірність результатів досліджень.

4. Проведено комп'ютерне моделювання прецесійних коливань одноопорних і двоопорних роторів, що складаються з конічних, циліндричних оболонок і оболонок обертання з від'ємною гауссовою кривизною. Побудовано епюри залежностей напружень від простого та складного обертань, епюри додаткових згинальних моментів від величини кутової швидкості власного обертання ротора, графіки зміни гіроскопічного та пружного моментів в залежності від геометричних параметрів і частоти власного обертання, форми прецесійних коливань.

Встановлено можливість виникнення резонансних режимів періодичних рухів. Показано, що в околі резонансних кутових швидкостей загальний гіроскопічний момент, що діє у випадку складного обертання з боку пружного ротора на несуче тіло, може значно відрізнятися від відповідного моменту, який знайдено для твердого тіла, геометрично еквівалентного оболонці. Виконано дослідження впливу параметрів його геометричних характеристик на пружні прецесійні коливання системи.

Література

Гром А.А., Сніжко Н.А., Соловйов І.Л. Коливання циліндричних та конічних оболонок при складному обертанні // Будівництво України, - 1997. - Вип. 2. - С. 41-43.

Соловьев И.Л. Колебания тонкостенного упругого ротора при сложном вращении // Системні методи керування, технологія та організація виробництва, ремонту і експлуатації автомобілів. - 1998. Вип. 5. - С. 130 - 133.

Гуляев В.И., Гайдайчук В.В., Соловьев И.Л. Динамика тонкостенных роторов при сложном вращении // Науково-практичні проблеми цивільної оборони в системі МНС. - Київ, 1998. - Вип. 1. - С. 32-35.

Гуляев В.И., Панкратова Н.Д., Соловьев И.Л. Прецессионные колебания и резонансы тонкостенных роторов при сложном вращении // Сборник трудов II Международной конференции “Динамика роторных систем”. - Хмельницкий, 1998. - С. 16-19.

Гуляев В.И., Соловьев И.Л. Прецессионные колебания и резонансы составных оболочек при сложном вращении // Прикл. мех. - 1999. - Т. 35, №6. - С. 74 - 81.

Гуляев В.И., Луговой П.З., Соловьев И.Л. Теоретические и экспериментальные исследования динамики упругого сферического сегмента при сложном вращении// Прикл. мех. - 2001. - Т. 37, №6. - С. 111 - 117.

Gulyaev V.I., Solovjov I.L., Lugovyy P.Z. Analysis of precession vibrations of thin-wall elastic shells in compound rotation // Journal of Sound and Vibration. - 2001. - V.246, N3, pp. 491-504.

Размещено на Allbest.ru