Відновлення імпульсних навантажень, що діють на пружні пластини та напівпростір

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного

УДК 539.3

Відновлення імпульсних навантажень, що діють на пружні пластини та напівпростір

01.02.04 ? механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Богдан Дмитро Іванович

Харків 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі деталей машин і теорії машин і механізмів Харківського національного автомобільно-дорожнього університету МОН України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Янютін Євген Григорович, Національний технічний університет “ХПІ”,

професор кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Аврамов Констянтин Віталійович, Інститут проблем машинобудуванняім. А. М. Підгорного НАН України, провідний науковий співробітник.

кандидат фізико - математичних наук, Марченко Тетяна Анатоліївна, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, науковий співробітник.

Захист відбудеться “27” березня 2008 р. о 16.00 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий “22” лютого 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01 доктор технічних наук Стрельнікова О.О.

імпульсний навантаження пружній напівпростір

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Пластини, що лежать на пружних інерційних основах, в багатьох випадках можуть розглядатися як важливі елементи сучасних конструкцій, що зустрічаються в різних галузях техніки. Вони можуть навантажуватись як статичними, так і динамічними впливами. Дуже часто доводиться розглядати і імпульсні впливи на такі елементи конструкцій. Якщо відомі кінематичні або силові збурення пластин, то, як правило, відповідні задачі зводяться до аналізу задач математичної фізики, що прийнято називати прямими. На сьогодні прямі задачі, що моделюються динамічними рівняннями теорії пружності, вивчені дуже добре. Тому відповідних опублікованих робіт в цьому напрямі багато.

Дослідниками в галузі теорії механіки деформівного твердого тіла менше приділялось уваги оберненим нестаціонарним задачам. Як відомо, такі задачі дуже часто є некоректними. Завдяки тому, що в математичній фізиці останнім часом розроблені спеціальні методи розв'язання багатьох класів некоректних задач, значно поліпшилась справа з відповідною ситуацією в механіці деформівного твердого тіла.

До вказаних прямих та обернених задач пластин на деформівних основах примикають задачі деформування пружних просторів. В цьому напрямі дуже важливі як фундаментальні, так і прикладні результати.

Актуальність роботи. Поміж багатьох класів обернених задач в механіці деформівного твердого тіла відзначимо задачі, метою яких є ідентифікація (відновлення) за часом невідомих силових навантажень. Процедура ідентифікації відбувається на основі знання відомих параметрів напружено-деформівного стану або параметрів кінематичного характеру, що притаманні елементам конструкцій типу пластин в деяких їх точках. До такого виду обернених задач належать також задачі з керування коливаннями пластин, причому в основі алгоритму керування лежить виконання якогось критерію, що вважається наперед заданим.

Розвиток сучасних конструкцій машинобудування в значній мірі залежить від знання конструкторами точних значень навантажень, що діють на відповідні елементи деформівних об'єктів. Але на практиці значення таких навантажень не завжди відомі. Тому створення методів відновлення нестаціонарних зовнішніх навантажень, що діють на пластини на пружній інерційній основі та на напівпростір, є актуальним напрямом в механіці деформівного твердого тіла.

Створення методів розв'язання задач керування коливаннями пластин та пружних напівпросторів може бути покладено в наукове підґрунтя математичної теорії вирішення проблеми демпфування або керування при кінематичному або силовому навантаженні пружнодеформівних елементів конструкцій, які використовуються в різних галузях техніки.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано на кафедрі деталей машин і ТММ Харківського національного автомобільно-дорожнього університету відповідно до планів:

- підготовки аспірантів Харківського національного автомобільно-дорожнього університету (ХНАДУ);

- бюджетної теми “Створення методів математичного моделювання з керування нестаціонарними деформаційними процесами” (ДР №0104U002046) за період 2004-2006 рр.

- бюджетної теми “Математичні основи експрес-аналізу механічних параметрів дорожнього покриття та дослідження його динамічних властивостей” (ДР №0107U001004) за період 2007-2009 рр.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка аналітико-чисельних і чисельних методів ідентифікації нестаціонарних навантажень, що діють на прямокутні, круглі та нескінченні пластини на пружній основі та на напівпростір; розв'язання задач керування; а також розробка методів відновлення довільних відносно осьової координати та за часом змін нестаціонарних навантажень.

Задачі дослідження, що обумовлені темою дисертаційної роботи:

· створення математичних моделей для опису процесів динамічного деформування елементів конструкцій, що розглядаються;

· розв'язання прямих задач із визначення деформування елементів конструкцій, що є основою для розв'язання обернених задач і задач керування;

· розробка стійких обчислювальних алгоритмів ідентифікації невідомих нестаціонарних навантажень, що діють на пластини та напівпростір;

· розв'язання задач керування деформуванням пластин на пружній інерційній основі та напівпростору;

· проведення розрахункових експериментів в задачах ідентифікації і керування.

Об'єкт дослідження - нестаціонарне деформування елементів конструкцій у вигляді пластин на пружній основі та напівпростору.

Предмет дослідження - обернені задачі з ідентифікації нестаціонарних навантажень, що діють на пластини на пружній інерційній основі та на напівпростір, а також задачі керування коливаннями цих елементів конструкцій.

Методи дослідження - перетворення Лапласа та Ханкеля для розв'язання диференційних рівнянь; методи розв'язання інтегральних рівнянь Вольтерра 1-го та 2-го роду; ряди Фур'є для розв'язання прямих та обернених задач; метод регуляризації А. М. Тихонова для розв'язання обернених задач.

Наукова новизна отриманих результатів:

- набула подальшого розвитку методика розв'язання обернених задач для круглих і прямокутних пластин;

- вперше розв'язано обернені задачі для прямокутних і круглих пластин на пружній інерційній основі, що деформуються нестаціонарно;

- вперше розв'язано обернену задачу з ідентифікації часової складової навантаження, що діє на нескінченну пластину на пружній інерційній основі;

- вперше розроблено метод ідентифікації просторово - часової зміни навантаження, що діє на круглу пластину на пружній інерційній основі;

- вперше розв'язано задачу з відновлення граничних переміщень пружного напівпростору при реєстрації кінематичного збудження на деякій глибині.

- вперше розв'язано задачу керування при кінематичному навантаження пружного напівпростору.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані методи ідентифікації можуть бути використані для отримання інформації про точні значення імпульсних навантажень, що діють на елементи конструкцій змодельованих за допомогою пластин на пружній інерційній основі та напівпростору в різних технологічних процесах. Це важливо, наприклад, в таких технологічних процесах: побудова автомобільних шляхів, об'ємна гаряча і холодна штамповка металів, холодна різка металів зсувом, клепка, розчеканка, пробивка отворів у виробах, пресування порошків та ін. Використання методів ідентифікації дозволило розробити методики розрахунку елементів робочого обладнання, що базуються на сучасних досягненнях механіки і математичної фізики.

Результати розв'язання задач керування можуть бути використані при демпфуванні коливань, а також для забезпечення заданої зміни у часі параметра НДС конструкції при застосуванні схем активного керування.

Окремі результати дисертаційної роботи були використані при виконанні господарського договору №32-03-06 “Расчет на прочность опорной рамы энергетического модуля блочной транспортируемой электростанции”, укладеного між ХНАДУ і МЕТЕНЕРГОМАШ, про що свідчить відповідний акт у додатку А дисертації.

Особистий внесок здобувача. Основні наукові результати, що наведені в дисертаційній роботі й висвітлені в авторських публікаціях [1-10], отримані здобувачем самостійно. Внесок автора у роботи, що написані з співавторами, такий: у роботі [1] здобувачем розроблені методи ідентифікації нестаціонарних рухомих навантажень, що діють на прямокутну плиту на пружній інерційній основі; в роботі [2] розв'язані обернені задачі для прямокутної пластини під дією рухомого навантаження; у роботах [3, 6] розроблені методи ідентифікації однієї зосередженої сили, що діє на плиту на пружній інерційній основі; у роботі [4] здобувачем одержані результати з ідентифікації чотирьох рухомих зосереджених сил, що мають однакову часову складову ; у роботі [5] виконується відновлення зосередженого навантаження, що діє на прямокутну плиту; у роботі [7] одержані результати ідентифікації нестаціонарних осесиметричних навантажень, що діють на нескінченну плиту на пружній інерційній основі; в роботах [8, 9] розв'язано задачу просторово-часової ідентифікації нестаціонарного навантаження, що діє на круглу плиту на пружній інерційній основі; у роботі [10] розглянуто задачу керування для пружного напівпростору.

Апробація результатів дисертації. Основні результати, що отримані в дисертаційній роботі, доповідалися і обговорювалися на наукових семінарах кафедри деталей машин і ТММ Харківського національного автомобільно-дорожнього університету (2005-2007 рр.) та на конференціях і симпозіумах: 7-й міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові, Львів, 18-20 травня 2005; міжвузівська науково-практична конференція “Можливості використання методів механіки для вирішення питань безпеки в умовах надзвичайних ситуацій”, Харків, грудень 2004 р., Академія пожежної безпеки України; міжнародна науково-технічна конференція “Проблемы и перспективы развития транспорта промышленных регионов”, Дніпропетровськ, 17-19 травня 2006 р., Національний гірничий університет; VIII Кримська міжнародна математична школа “Метод функций Ляпунова и его приложение”, Симферополь 10-17 вересня 2006 р.; міжнародна конференція “Dynamical system modelling and stability investigation”, 22-25 травня 2007 р., Київ, Київський національний університет ім. Т. Г. Шевченка; науково-практична конференція "Інформаційні технології: наука, техніка, технологія, освіта, здоров'я" (МісгоСAD), Харків, 2005 р., НТУ “ХПІ”, VII Международная научная школа-семинар “Импульсные процессы в механике сплошных сред”, Миколаїв, 21-25 серпня 2007р.

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 10 друкованих праць, серед яких 4 статті у журналах і збірниках наукових праць та 6 праць в матеріалах наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел із 149 найменувань та одного додатку. Робота містить 165 сторінок, включаючи 75 рисунків та 2 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, визначено мету і задачі дослідження, вказано основні наукові результати, наведено відомості про публікації і апробацію основних положень дисертаційної роботи.

У першому розділі дисертації проведено огляд робіт, присвячених дослідженню деформування елементів конструкцій при динамічному навантаженні. Літературний огляд складається з трьох частин. В першій частині наведені роботи, присвячені розв'язанню прямих задач динаміки пластин на пружній інерційній основі та напівпростору за допомогою аналітико-чисельних і суто чисельних методів; у другій - роботи, в яких розв'язані обернені задачі механіки; у третій - роботи, в яких розв'язуються задачі керування коливаннями механічних систем.

На основі літературного огляду в дисертаційній роботі зроблено висновок, що вивченню коливань пластин на пружній інерційній основі та напівпростору присвячена велика кількість досліджень і що в цьому напряму одержано багато результатів як прикладного, так і фундаментального характеру. Значний внесок у вивчення прямих нестаціонарних задач механіки деформівного твердого тіла (МДТТ) внесли українські вчені, серед яких: А.Е. Бабаєв, Ю.С. Воробйов, Є.Г. Голоскоков, А.Н. Гузь, П.Д. Доценко, Б.Я. Кантор, Н.А. Кільчевський, С.С. Кохманюк, В.Д. Кубенко, Л.В. Курпа, В. П. Ольшанський, В.Л. Рвачов, І.Т. Селезов, М.С. Синєкоп, А.Ф. Улітко, А.П. Філіппов, О.М. Шупіков, Є.Г. Янютін та інші.

Аналіз наукової літератури свідчить, що теорія обернених задач теорії пружності розвинена не зовсім достатньо. Залишаються невивченими питання ідентифікації імпульсних навантажень, а також керування деформуванням конструкцій. Відмічається, що розв'язок некоректних задач, до яких належать більшість обернених задач, пов'язані з подоланням значних математичних труднощів. В значній мірі їх можна подолати, якщо застосувати до їх наближеного розв'язання метод А.М. Тихонова, який полягає у введенні згладжуючого функціоналу, що має вигляд

(1)

- стабілізуючий функціонал, причому >0 - параметр регуляризації, для визначення якого є різні засоби.

У другому розділі розглянуті обернені задачі для прямокутної пластини на пружній інерційній основі. Пластина моделюється згідно з теорією Кірхгофа-Лява, а основа типу Власова-Леонтьєва.

Коливання пластини моделюються рівнянням.

Детальна розшифровка прийнятих у (2) позначень наводиться в роботі, а також у дисертації. Відмітимо, що в (2) функція - це загальне навантаження, що діє на пластину на пружній основі.

За допомогою перетворювання Лапласа та використання розкладу розв'язку в подвійні ряди Фур'є, що відповідає шарнірному закріпленню контуру пластини, було розв'язано диференціальне рівняння коливань та отримано вираз для визначення переміщень точок пластини. Це рівняння було використано для розв'язання прямої та обернених задач.

В роботі під задачею ідентифікації невідомого навантаження розуміється розпізнавання закону зміни у часі цього навантаження. Ідентифікація здійснювалась на підставі знання зміни у часі переміщення в точці пластини з координатами х₀, y₀. Для визначення невідомого нестаціонарного навантаження P(t) як зосередженої сили використовувався регуляризуючий алгоритм А.М. Тихонова.

Аналітичний вираз для прогину плити на пружній інерційній основі в довільній точці може розглядатися як інтегральне рівняння Вольтерра I-го роду такого вигляду:

де - ядро інтегрального рівняння, - відома функція.

Оскільки інтегральне рівняння (3) є рівнянням з виродженим ядром, то точного розв'язку його відносно функції P(t) не існує. Тому треба застосовувати метод розв'язання, пов'язаний з застосуванням методу регуляризації А. М. Тихонова. Цей метод математичної фізики був використаний в дисертації для розв'язання конкретних задач.

При чисельних розрахунках були прийняті такі величини констант, що визначають геометрію плити і фізичні властивості її матеріалу та матеріалу основи: l = 0.6 м, m = 0.4 м, h_пл = 0.01м, h_осн = 0.1м,Е_пл = 2.110¹¹Па, Е_осн = 1.5710⁷Па, н_пл=0.3; н_осн=0.4.

Було розв'язано задачу ідентифікації часової складової рухомого навантаження, що діє на плиту на пружній інерційній основі. Як чисельний приклад розглядалась задача ідентифікації чотирьох рухомих сил, що мають однакову часову складову. Таким чином було змодельовано вплив рухомого автомобіля на дорожнє полотно.

Також в цьому розділі розглядається задача керування прогином плити в n довільних точках на плиті, що лежить на пружній інерційній основі. Для виконання критерію керування до пластини прикладена додаткова система, що складається з n керуючих зосереджених навантажень, що можуть бути прикладені в будь-яких не співпадаючих точках пластини. Під критерієм керування розуміється функція, що встановлює зв'язок прогину пластини в деякій її заданій конкретній точці з бажаним законом зміни у часі цього прогину.

В математичному плані керування коливаннями пластини зводиться до розв'язання системи інтегральних рівнянь Вольтерра I роду такого вигляду:

В лівій частині системи (4) знаходяться інтеграли типу Дюамеля, що включають невідомі керуючі навантаження () та ядра інтегральних рівнянь, а в правій - відомі (бажані) функції, що відтворюють зміну у часі прогинів пластини в конкретних її точках.

Розроблений засіб, що грунтується на застосуванні методу А.М. Тихонова, для наближеного розв'язання такої системи рівнянь (4) у випадку . Один з прикладів розв'язання цієї системи наведений на Ошибка! Источник ссылки не найден., на якому зображено результат керування у випадку, коли необхідно забезпечити зміну у часі прогину в першій точці згідно з напівхвилею синуса, а у другій - у вигляді стрибка у часі. Пунктирними кривими зображено результат керування, а суцільними - криві, що прийняті згідно з критерієм. Схему розміщення точок керування та керуючих навантажень зображено на Ошибка! Источник ссылки не найден..

У третьому розділі дисертаційної роботи розглядається кругла пластина сталої товщини, що знаходиться на пружній інерційній основі та деформується осесиметрично. Диференціальне рівняння коливань пластини при цьому має такий вигляд:

де, - зовнішнє навантаження, що діє на пластину з основою.

Розв'язок рівняння знаходиться за допомогою перетворення Лапласа та розкладу функції в ряди Фур'є-Бесселя. Для задовільнення повної системи граничних умов на контурі плити доводиться вводити додатковий зосереджений силовий момент як функцію часу, прикладений вздовж лінії контуру. Детальний опис такого підходу можна знайти в роботі

Розглянуто відновлення декількох видів навантажень. У першому випадку припускається, що навантаження розподілене по невеликому кругу радіуса c в центрі плити, а в другому - рівномірно розподілено вздовж всієї поверхні пластини.

На фінішному етапі розв'язання задачі ідентифікації використовується алгоритм методу регуляризації А.М. Тихонова, що зводить розв'язок до аналізу СЛАР великої розмірності. Для вибору параметра регуляризації використовується метод відхилу. Вірогідність отриманих результатів досліджується за допомогою аналізу узгодження результатів прямих та відповідних обернених задач, а також вивчення збіжності рядів Фур'є-Бесселя та співставлення з результатами, отриманими методом скінченних елементів.

Розглядається задача просторово-часової ідентифікації невідомого навантаження, що діє на круглу пластину скінченних розмірів, причому припускається, що пластина та основа деформуються осесиметрично. На пластину діє довільне відносно часової і просторової змінних навантаження. Задача ставиться з відновлення законів просторової та часової залежності навантаження, якщо відомі закони зміни прогину пластини у часі в декількох точках вздовж її радіуса. Кількість точок реєстрації переміщень при цьому зумовлює, як показав проведений чисельний аналіз, якість ідентифікації навантаження. Невідоме навантаження апроксимується за допомогою n-часткової суми ряду Фур'є-Бесселя. Розв'язання задачі зводиться до системи матричних рівнянь вигляду (6)

Система (6) отримана на підставі запису виразів для переміщень пластини в n точках вздовж радіуса пластини. При цьому використовується апроксимація переміщень за допомогою n-часткової суми ряду Фур'є-Бесселя, що є точним розв'язком задачі нестаціонарних коливань пластини.

Вказані вирази розглядаються як система n інтегральних рівнянь, які містять n невідомих функцій часу, що є по суті коефіцієнтами відповідних n часткових сум. Наближений розв'язок інтегральних рівнянь будується за допомогою введення згладжуючого функціоналу А.М. Тихонова, з якого випливають СЛАР, матричний запис якої і є система (6). Наближений розв'язок вказаних інтегральних рівнянь контролюється методом відхилу, що дозволяє автоматично розраховувати значення параметра регуляризації.

Окремі результати чисельного експерименту з ідентифікації невідомого навантаження наведені на Ошибка! Источник ссылки не найден.. Один із розглянутих варіантів відновленого навантаження зображено у вигляді поверхні на Ошибка! Источник ссылки не найден..

Виконувалось вивчення якості ідентифікації в залежності від розподілення точок реєстрації переміщень вздовж радіуса плити. Відзначимо, що краща ідентифікація має місце при рівномірному розміщенні точок ідентифікації.

Розглядаються обернені задачі з ідентифікації і керування для нескінченної плити на пружній інерційній основі. При розв'язанні цих задач використовувались два інтегральних перетворення -Лапласа за часом і Ханкеля за просторовою координатою:

В загальному вигляді отримано розв'язок задачі деформування нескінченної пластини на пружній інерційній основі такого вигляду

Наведений вираз (8) ліг в підґрунтя розв'язку прямих та обернених задач.

Розглянута задача ідентифікації, коли імпульсне навантаження змінюється за законом півхвилі синуса.

При розв'язанні задач керування розглядається декілька випадків розміщення навантажень. У першому випадку основне навантаження, що викликає коливання пластини, розташоване у центрі, а керуюче прикладене вздовж кола на периферії пластини. В другому випадку, навпаки, основне навантаження прикладене на периферії, а керуюче - в центрі плити. Проаналізовані значення навантажень, що викликають конкретні коливання. Було виконано чисельне вивчення практичної збіжності невласних інтегралів, що входять до отриманих розв'язків.

У цьому розділі, як і в попередніх, побудова наближених розв'язків обернених задач відбувалася на підставі використання регуляризуючого алгоритму А.М. Тихонова.

У четвертому розділі роботи розв'язується обернена задача для початкового етапу деформування пружного напівпростору при заданих граничних умовах в кінематичній постановці. Одна із розрахункових схем наведена на Ошибка! Источник ссылки не найден.. На підставі цієї схеми розглянуто осесиметричне деформування напівпростору. На рисунку зображено умовно вирізаний із напівпростору напівнескінченний вздовж координати z циліндр.

Для розв'язання задачі приймається така система рівнянь руху пружного напівпростору:

При побудові розв'язку поставленої задачі використовується ідея теорії розширеного поля, згідно з якою для малих значень часу розв'язок системи (9) можна записати у вигляді:

де - корені рівняння , причому вибирається на підставі чисельного експерименту.

Якщо вирішується обернена задача, то розв'язок системи (10) полягає в знаходженні невідомих функцій і . Знайшовши ці функції, можна розрахувати закони зміни переміщень за часом в довільній точці напівпростору, в тому числі і на поверхні. Обернена задача може бути розв'язана, якщо, наприклад, будуть відомі переміщення на деякій глибині напівпростору, як функції часу.

За допомогою отриманих виразів було проведено чисельний експеримент з ідентифікації граничних переміщень.

У цьому розділі розглянуто також задачу керування НДС напівпростору на площині, що паралельна граничній. Постановка задачі така: на поверхні напівпростору є вертикальні переміщення, а горизонтальні - відсутні. Прикладені вертикальні переміщення зумовлять появу на деякій глибині як вертикальних, так і горизонтальних переміщень. За мету задачі керування вибиралось усунення горизонтальних переміщень на глибині напівпростору за допомогою прикладення додаткових (шуканих) переміщень на поверхні напівпростору.

У п'ятому розділі роботи розв'язується задача для напівпростору, віднесеного до декартової системи координат. У цьому випадку із напівпростору виділяється напівнескінченний вздовж координати z паралелепіпед з довжиною ребер та .

Нестаціонарні коливання точок пружного ізотропного середовища моделюються за допомогою динамічного рівняння Ляме в векторній формі, розв'язок якого через дві потенціальні скалярні функції подається у вигляді

Використаний в дисертації розв'язок векторного рівняння Ляме є функцією чотирьох змінних, що відображає розповсюдження нестаціонарних хвиль деформації вздовж осей і побудований таким чином, що на підставі нього можна розглянути як прямі, так і деякі обернені задачі. Цей розв'язок по суті є узагальненням підходу для розгляду прямих та обернених задач для стрижнів на тривимірний випадок деформаційних хвиль.

Один із часткових розв'язків рівняння Ляме, що побудований в дисертації, є розв'язком прямої задачі, що відповідає малим значенням часу після початку збурення (розглядається кінематичне збурення пружного напівпростору). Цей розв'язок також є основою для побудови розв'язку оберненої задачі. При побудові згаданого часткового розв'язку були використані результати роботи у вигляді розвинення скалярних хвильових функцій в подвійні ряди Фур'є:

В роботі прийнято, що

Для знаходження невідомих коефіцієнтів в виразах (11) отримані такі формули:

де , , - невідомі функції часу.

Для випадку розв'язання прямої задачі коефіцієнти знаходяться на підставі системи інтегральних рівнянь такого вигляду:

де в правій частині записані відомі коефіцієнти розвинення заданих граничних переміщень при . Розв'язання цієї системи провадиться з використанням чисельного методу.

У випадку розв'язання оберненої задачі відповідна система інтегральних рівнянь більш складна, проте її розв'язок також не викликає принципових труднощів.

Як окремий випадок виконання чисельного розрахунку, були відновлені граничні переміщення, за умови задання законів зміни переміщень у часі на деякій глибині напівпростору. Результати розв'язку оберненої задачі наведено у вигляді набору тривимірних епюр.

В кінці цього розділу дисертаційної роботи також сформульовані декілька варіантів обернених задач для пружного напівпростору, які можна розв'язати на базі розробленої методики.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена створенню аналітико-чисельних методів розв'язання обернених (в тому числі і некоректних) задач механіки деформівного твердого тіла для елементів конструкцій, що моделюються за допомогою круглих, прямокутних та нескінченних пластин на пружній інерційній основі та напівпростору. Створені методи з ідентифікації нестаціонарних навантажень, що діють на розглянуті елементи конструкцій, а також з керування їх НДС.

Головні наукові і практичні результати роботи:

1. Набула подальшого розвитку методика розв'язання обернених задач для круглих і прямокутних плит. Це дозволило розширити коло задач ідентифікації, які можуть бути розв'язані за допомогою цих методик.

2. Вперше розглянуті обернені задачі для прямокутних і круглих плит на пружній інерційній основі, що деформуються нестаціонарно. Побудовані методики для ідентифікації одного чи декількох рухомих зосереджених навантажень, що дає змогу моделювати вплив автомобільного транспортного засобу на дорожнє полотно.

3. Вперше розв'язано обернену задачу з ідентифікації часової складової навантаження, що діє на нескінченну плиту на пружній інерційній основі. Розв'язок такої задачі будується за допомогою декількох інтегральних перетворень (Лапласа за часом і Ханкеля за координатою).

4. Вперше розроблено метод ідентифікації просторово-часової зміни навантаження, що діє на круглу плиту на пружній інерційній основі. Проведений аналіз ефективності відновлення в залежності від розміщення точок реєстрації.

5. Вперше розв'язано задачу з відновлення граничних переміщень пружного напівпростору при реєстрації кінематичного збудження на деякій глибині. Розглянуто новий клас обернених задач. Вперше розв'язано задачу керування при кінематичному навантаженні пружного напівпростору.

6. Проведено аналіз вірогідності одержаних результатів шляхом вивчення математичної збіжності отриманих розв'язків, узгодження розв'язків прямих і обернених задач, порівняння з результатами, отриманими різними способами та узгодження з результатами інших авторів.

7. Результати дисертаційної роботи з ідентифікації нестаціонарних навантажень і керування коливаннями елементів конструкцій були впроваджені при виконанні госпдоговору №32-03-06 “Расчет на прочность опорной рамы энергетического модуля блочной транспортируемой электростанции”, укладений між ХНАДУ і МЕТЕНЕРГОМАШ, про що свідчить відповідний акт у додатку А дисертації.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Янютин Е. Г., Богдан Д. И. Идентификация нестационарной подвижной нагрузки, воздействующей на плиту на упругом инерционном основании // Вісник Національного технічного університету “Харківський політехнічний інститут” №21: Зб. наук. праць. - Харків, 2005. - С. 133-139.

2. Yanyutin Е. G., Bogdan D. I., Voronova E. M. Solution of the problem of plate forced oscillations in case of the movable loading // Вестник Харьковского национального автомобильно-дорожного университета №31: Сб. науч. труд. - Харьков, 2005. - С. 92-94

3. Янютiн Є. Г., Богдан Д. І., Поваляєв С. І. Обернені задачi iмпульсного деформування пластин та стержнів // Машинознавство. - 2006. - №2. - С. 17-22.

4. Янютин Е. Г., Богдан Д. И., Гришакин В. Т. Идентификация подвижных нагрузок, воздействующих на балки и плиты // Збірник наукових праць Національного гірничого університету № 24: Зб. наук. праць. - Дніпропетровськ, 2006. - С. 145-150.

5. Янютин Е. Г., Богдан Д. И. Решение прямых и обратных нестационарных задач теории упругости для прямоугольной плиты на упругом инерционном основании // Можливості використання методів механіки для розв'язання питань безпеки в умовах надзвичайних ситуацій: Матеріали II міжвузівської науково-практичної конференції. Харків 28 грудня 2004 р. - Харків, 2004 р. - С. 12-15.

6. Янютiн Є. Г., Богдан Д. І., Поваляєв С. І. Обернені задачi iмпульсного деформування пластин та стрижнів. // Сьомий міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові. Львів 18-20 травня 2005 р. - Львів, 2005. - С. 33-34.

7. Янютин Е. Г., Богдан Д. И., Гришакин В. Т. Обратные нестационарные задачи при упругом деформировании балок и пластин. // Восьмая Крымская международная математическая школа. Метод функций Ляпунова и его приложения. Симферополь, 10-17 сент. 2006 г. - Симферополь, 2006. - С. 199.

8. Янютин Е. Г., Воропай А. В., Поваляев С. И., Богдан Д. И., Гришакин В. Т. Обратные нестационарные задачи для упругодеформируемых стержней пластин и оболочек // Международная конференция. Актуальные проблемы прикладной математики и механики. Харьков,23-26 октября 2006г. - Харьков , 2006. - С. 104.

9. Янютин Е. Г., Богдан Д. И., Гришакин В. Т. Идентификация нагрузок, воздействующих на круглую плиту и двухпролетную балку // International conference. Dynamical system modeling and stability investigation. Kyiv, May 22-25 - 2007. - Киев, 2007. - С. 351.

10. Янютин Е. Г., Богдан Д. И., Поваляев С. И. Два подхода к решению обратных задач теории упругости. // VII Международная научная школа-семинар. Импульсные процессы в механике сплошных сред. Николаев, 21-25 августа - 2007. - Николаев, 2007. - С 41-42.

АНОТАЦІЇ

Богдан Д. І. Відновлення імпульсних навантажень, що діють на пружні пластини та напівпростір. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України, Харків, 2007.

У дисертаційній роботі створена методика розв'язання обернених задач механіки деформівного твердого тіла для круглих і прямокутних плит на пружній інерційній основі та пружного напівпростору.

Розв'язані нові задачі ідентифікації зовнішнього навантаження, що діє на елементи конструкцій. Серед яких задача керування прогином в декількох точках на прямокутній плиті на пружній інерційній основі, а також ідентифікація просторово часового розподілу невідомого навантаження, що діє на круглу плиту.

Розглянуті різні види навантаження об'єктів, що досліджуються. Значну увагу приділено питанням розв'язання задач, метою яких є побудова методик з керування нестаціонарними переміщеннями.

Достовірність результатів, що наведені в дисертаційній роботі, підтверджується оцінкою правильності розроблених аналітичних методик за допомогою порівняння з результатами, що одержані з використанням чисельних методик. Значну увагу при оцінці достовірності результатів приділено аналізу математичної стійкості розрахункових процедур і чисельный збіжності функціональних рядів, що входять як до розв'язку прямих, так і обернених задач.

Ключові слова: нестаціонарне навантаження, пластини на пружній інерційній основі, напівпростір, динамічна теорія пружності, інтегральні рівняння Вольтерра, обернені задачі, ідентифікація, керування, регуляризація.



Bogdan D. I. The identification of pulse loading acting on elastic plates and half-space. - Manuscript.

Thesis for the scientific degree of Candidate of Technical Science by specialty 01.02.04 - mechanics of the deformable solids - A. M. Pidgorny's Institute for problems in machinery, National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2007.

The thesis has developed the inverse problems solving methods in mechanics of the deformable solids for circular and rectangular plates on elastic foundation and half-space.

Some new problems on identification of external loads acting on structure elements have been solved among which are the problem of deformation control in couple points on rectangular plate on elastic foundation and simultaneous identification of load time dependence and load distribution lengthwise of the circular plate.

The different conditions of object loading have been treated, with special emphasis on the control of problem solution.

The reliability of results is supported by matching calculated data with output of numerical methods calculation. Special emphasis has also been devoted to mathematical stability of rated methods and convergence of functional series.

Key words: non-stationary loading, plates on elastic foundation, half-space, dynamic theory of elasticity, Volterra integral equation, inverse problems, identification, control problem, regularization.

Богдан Д. И. Восстановление импульсных нагрузок, воздействующих на упругие пластины и полупространство. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2007.

В диссертационной работе создана методика решения обратных задач механики деформируемого твердого тела для круглых и прямоугольных плит на упругом инерционном основании и упругого полупространства.

Рассмотрены различные виды нагружений исследуемых объектов. Представлены решения задач в случае заданных внешних воздействий, а также задач по восстановлению неизвестных нагружений. Значительное внимание уделено вопросам решения задач, цель которых построение - методик по управлению нестационарными перемещениями.

На основе численно-аналитических подходов решены задачи по идентификации как временных составляющих неизвестных нагрузок, так и пространственно-временных функций изменения нагрузок, воздействующих на деформируемые объекты.

С применением функциональных разложений, интегральных преобразований Лапласа и Ханкеля, а также метода регуляризации А.Н. Тихонова построены алгоритмы определения функций, входящих в правые части уравнений колебаний пластин. При рассмотрении задач о нестационарном деформировании упругого полупространства для решения прямых задач построены решения, определяющие распространение деформаций в виде бегущих волн. На основе этих соответствующих соотношений решены задачи идентификации граничных перемещений при кинематическом возмущении полупространства. Решения осуществлены в декартовых и цилиндрических системах координат.

Набор многочисленных результатов может быть использован для получения информации о точных значениях импульсных нагружений, которые воздействуют на элементы конструкций в виде пластин на упругом инерционном основании и полупространства в различных технологических процессах. Использование методов идентификации может дать возможность разработать методику расчетов элементов рабочего оборудования в случае отсутствия полной информационной базы данных, необходимых для решения вопросов динамической прочности.

Достоверность результатов, которые представлены в диссертационной работе, подтверждается оценкой правильности разработанных аналитических методик посредством сравнений с результатами, полученными численными методами, сопоставлением результатов решения задач с аналогичными результатами, описанными в научной литературе. Существенное внимание при оценке достоверности результатов уделялось анализу математической устойчивости вычислительных процедур и численной сходимости функциональных рядов, входящих в решения как прямых, так и обратных задач.

Результаты диссертации являются актуальными для механики деформируемого твердого тела при исследовании импульсного и ударного нагружения элементов конструкций.

Ключевые слова: нестационарное нагружение, пластина на упругом основании, полупространство, динамическая теория упругости, интегральные уравнения Вольтерра, обратные задачи, идентификация, управление, регуляризация.

Размещено на Allbest.ru

...