Методи розв’язання некоректних задач на основі багатокритеріальної оптимізації і диференціальних перетворень для автоматизованих систем управління

Необхідно зробити кілька перетинів при фіксації xi, , кількість перетинів N дорівнює кількості невідомих коефіцієнтів розкладання розв'язку y(s) у степеневий ряд (35). У кожному перетині xі застосовуються зміщені перетворення (34) по аргументу s.

Припустимо, що s=s+, а =s- де - локальний аргумент, s - зміщена точка (випадок, коли s0). Позначимо підінегральну функцію в (3)

. (43)

Тоді . (44)

Розбиваємо інтеграл в (44) на суму інтегралів відносно зміщених точок. В загальному випадку маємо

, (45)

де r - кількість зміщених точок.

З рівняння (45) при достатньому значенні і може бути отримана система рівнянь з невідомими коефіцієнтами cj розв'язку ІРФ (3). Отже, для розв'язання задачі відновлення сигналів виду (3) необхідно із системи лінійних алгебраїчних рівнянь низької розмірності N визначити коефіцієнти шуканого розв'язку (35).

Розроблений метод на основі ЗДТ-перетворень дозволяє побудувати чисельні схеми розв'язання задачі відновлення сигналів на основі ІРФ першого роду, що відрізняються простотою алгоритму, відсутністю методичної похибки прямого перетворення і зменшенням похибки зворотнього перетворення в 2q раз в порівнянні з основними ДТ-перетвореннями.

Для розширення класу задач відновлення використані різні апроксимації для ядра ІРФ (3). Апроксимації Паде мають ряд переваг. Кожен степеневий ряд має коло збіжності |х|<R. Якщо R=, то ряд являє собою функцію, аналітичну усюди в комплексній площині. Якщо даний ряд збігається до функції f(х) в околі |х|<R, 0<R<, то послідовність апроксимацій Паде може збігатися в більш широкій області, отже, це більш практичний підхід до задач аналітичного продовження. Однак обчислення вимагають більшої точності, тому що апроксимації Паде екстраполюють усю послідовність коефіцієнтів по їх кінцевому числу, отже, їхні початкові коефіцієнти повинні бути обчислені досить точно.

Апроксимуємо в (44) при фіксованому xi всередині інтервалу x[,], x=(x1,x2,…,xr), аналітичною функцією (x,a,b), для якої відомий табличний інтеграл. Отже, можна побудувати модель вигляду

, (46)

де a=(a0, a1,….,am), b=(b1,b2,…,bm).

Якщо кількість точок по xi дорівнює кількості невідомих коефіцієнтів a, b апроксимуючої функції, то маємо систему рівнянь для визначення a, b.

Підінтегральний вираз zi(x,s) можна також апроксимувати, коли невідомий його аналітичний опис. Прикладом такої аналітичної функції може бути дробово-раціональна функція (апроксимація Паде)

. (47)

Для покращення збіжності доречно використовувати діагональні апроксимації Паде, де m=n.

Представимо розв'язок y(s) у вигляді аналітичної функції y(s,c), де c=(c0,c1,…,cN-1) - вектор вільних коефіцієнтів, наприклад, у вигляді степеневого багаточлена (35). Для отримання системи рівнянь, які визначають невідомі коефіцієнти ci, для (43) застосуємо диференціальні перетворення

. (48)

Застосуємо метод балансу диференціальних спектрів, запропонований Г.Є.Пуховим. Переведемо в область зображень аналітичну функцію (47)

. (49)

Складемо рівняння балансу диференціальних спектрів (48) і (49):

. (50)

Послідовно привласнюючи цілочислове значення аргументу k=0,1,2,... з (48), складемо систему рівнянь, кількість рівнянь якої дорівнює кількості невідомих коефіцієнтів ci.

Розв'язуючи систему кінцевих рівнянь (50), знаходимо вектор вільних коефіцієнтів, компоненти якого визначають шуканий розв'язок (35) ІРФ (3).

Переваги методу відновлення сигналу на основі ЗДТ-перетворень полягають в наступному.

Використовуючи точний табличний інтеграл, усувається недолік, пов'язаний з похибками наближеного інтегрування.

Відомо, що помилка підінтегральної функції слабо впливає на похибку обчислення інтегралів.

Система рівнянь (як правило з погано обумовленою матрицею) розпадається на дві нелінійні системи низької розмірності. Це також підвищує обчислювальну стійкість у порівнянні з розв'язанням систем рівнянь високої розмірності з погано обумовленою матрицею.

Таким чином, базова формула для обчислення визначеного інтеграла на обраному інтервалі [c, c] з довільним зсувом точки розкладання s0 у локальний ряд Тейлора багатоточковими ДТ-перетвореннями буде мати вигляд на основі (45), оскільки s00, то відомі коефіцієнти Ci з (36) перераховуються по формулах (42).

У третьому розділі виконано системоаналогове моделювання процесу відновлення інформації. У відповідності до системоаналогового методу модель процесу відновлення сигналів будується у вигляді складної системи різноманітних моделей (системоаналогів), що мають віддалену подібність з об'єктом (процесом), що моделюється. Концепцію системоаналогового моделювання зручно реалізувати на основі зміщених диференціальних перетворень.

Представимо методику системоаналогового моделювання задачі відновлення сигналів, яка складається з двох етапів.

На першому етапі складемо рівняння за виразом (43):

. (51)

Функціональне рівняння (51) буде визначатися як перша модель системоаналогу.

На другому етапі апроксимуємо z(x,s) при фіксованому xi аналітичною функцією, для якої відомий табличний інтеграл. Прикладом такої аналітичної функції може бути дробово-раціональна функція (апроксимація Паде), або функція вигляду (при цілому В інтеграл береться аналітично). Тоді відома точна відповідність визначеного інтеграла і функції (x,a,b) з відомою аналітичною структурою визначається табличним інтегралом

, (52)

Друга модель системоаналогу має вигляд (52), або

, (53)

де a=(a0, a1,…...,am), b=(b1,b2,…,bm)... .

При фіксації x усередині інтервалу x[, ], x=(x1,x2,…,xr), з моделі (52) одержуємо систему рівнянь для визначення коефіцієнтів а, b апроксимуючої дробово-раціональної функції (47).

Рівняння (51) і (52) являють собою системоаналог ІРФ (3). Дійсно, він дозволяє знайти розв'язок y(s) по системній моделі, що містить у собі моделі (51) і (52).

В роботі розроблені підходи системоаналогового моделювання дозволяють одночасно використовувати переваги зміщених диференціальних перетворень і апроксимацій Паде для підвищення ефективності розв'язання задачі відновлення інформації. У порівнянні з відомими сітковими методами розв'язку ІРФ першого роду запропонований метод моделювання істотно скорочує розмірність системи рівнянь і підвищує стійкість обчислення наближеного розв'язку (3), оскільки використання розглянутих апроксимацій підінтегральної функції для задач відновлення сигналів, виражених інтегральним рівнянням Фредгольма першого роду в поєданнні з використанням зміщених ДТ-перетворень може істотно спростити ДТ-модель цієї задачі.

Наведена чисельна реалізація алгоритмів на основі розроблених моделей.

Представимо алгоритм обчислень для прикладу з ядром вигляду :

b=; а=3,92; , (54)

з використанням ЗДТ-перетворень для двох точок розкладання. На рис. 3 зображений додатній інтервал підінтегральної функції z(s) для перетину x=0. На рис.3,а використані ЗДТ-перетворення, на рис.3,б - багатоточкові ДТ-перетворення.

Розбиваємо інтеграл на суму інтегралів щодо зміщених точок по формулі (45):

.

Для двох точок розкладання по побудові рис.3,а обрано Н=0,25, =0,25 і =0,75. Обрано три дискрети диференціального спектра підінтегральних функцій.

Тоді нев'язка для інтервалу s[-1;1] обчислюється

=-0,0324.

У таблиці 1 приведені нев'язки для прикладу (54) для перетину х=0 і різної кількості точок розкладання (і, відповідно, кроку). Розрахунки проводилися на трьох дискретах. ЗДТ-перетворення обчислювалися по формулі (34), тобто Н1=Н2=Н. Для ЗДТ-перетворення, обчисленого по формулі (34), і для багатоточкового ДТ-перетворення, обчисленого по формулі (33), отримані нев'язки 1 і 2, які наведені в таблиці 1. Відмінності між цими перетвореннями, як видно з рис.3, - у тім, що для першого необхідно брати в два рази менше точок розкладання, ніж у другому. Тому обчислень по формулі (34) буде також у два рази менше, ніж для ДТ-перетворення, обчисленого по формулі (33), оскільки непарні дискрети дорівнюють непарним дискретам у (34), узятим із протилежним знаком. Крім того, як видно з рисунка 3, для багатоточкових ДТ-перетворень відбувається нагромадження похибок, що також є недоліком у порівнянні зі ЗДТ-перетвореннями. Отже, у порівнянні з відомими сітковими методами розв'язання ІРФ першого роду запропонований метод істотно скорочує розмірність системи рівнянь і підвищує стійкість обчислення наближеного розв'язку ІРФ (3).

В роботі запропонований метод процесу відновлення інформації, що відрізняється від відомих одночасним застосуванням багатокритеріальної оптимізації і зміщених диференціальних перетворень інформації, що дало можливість знизити похибку і спростити процес відновлення інформації в умовах невизначеності та збурень.

Таблиця 1

ДТ-перетворення	Крок Н
	0,25	0,15	0,1	0,05	0,025	0,01
Зміщені ДТ-перетворення, рис.3,а	0,0324	-0,0328	-0,0330	-0,0330	-0,0330	-0,0330
Багатоточкові ДТ-перетворення, рис.3,б.	0,4658	0,3441	0,2675	0,0159	-0,0328	-0,0330

Представимо метод відновлення інформації на основі багатокритеріальної оптимізації і диференціальних перетворень.

1. Розв'язок рівняння (3) шукається у виді сукупності апроксимуючих функцій (35) для кожної зміщеної точки. Кількість невідомих коефіцієнтів Сіj, де залежить від кількості зміщених точок r і степені кожної апроксимуючої функції n.

2. Накладається сітка n перетинів по змінній х.

3. По вихідному рівнянню (3) на основі формул (44) і (41) складається його ДТ-модель.

4. Інтеграл в (44) розбивається на суму інтегралів відносно зміщених точок по формулі (45). В частинному випадку кількість зміщених точок дорівнює одиниці.

5. На основі формули (45) з врахуванням (36)-(42) складається система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), де невідомими є коефіцієнти Сіj. Кількість невідомих залежить від степені багаточлена (35) і кількості зміщених точок.

6. Розв'язується отримана СЛАР відносно Сіj за допомогою метода багатокритеріальної оптимізації. Частинні критерії, що входять в нелінійну згортку (21): псевдорозв'язок і критерій по чисельній стійкості . Знайдені Сіj визначають невідомі функції (35).

Отже, процес розв'язання задачі відновлення поділяється на два етапи. На першому етапі будується ДТ-модель ІР Фредгольма першого роду, на другому - отримана СЛАР, яка задана неточно, розв'язується МБО на основі формули (21).

Чисельний експеримент. Обрано модельний приклад на основі ІРФ (3), де

;

х =s[-1;1], f(x)=1,378-0,744x2+1,128x4. (55)

Спочатку складається ДТ-модель ІРФ (55) на основі формул (35)-(42) для однієї зміщеної точки s0=0. Оскільки у математичному описі вихідного сигналу f(x) у (55) С1=С3=0, то будемо припускати, що в шуканому сигналі y(s) ці коефіцієнти при непарних ступенях полінома (34) також дорівнюють нулю. Тому в критеріях, що відповідають за значення нев'язки при різних перетинах х залишимо тільки ненульові коефіцієнти. Тоді СЛАР буде мати розмірність, рівну трьом:

0,735С0+0,585С2+1,124С4=0,689+1;

1,529С0+0,215С2+0,278С4=1,370+2;

1,467С0+0,285С2+0,147С4=1,004+3. (56)

Оскільки СЛАР (56) має неточно задану праву частину, то традиційні методи її розв'язання можуть не забезпечувати прийнятний розв'язок. Ця проблема ускладнюється для загального випадку з довільною кількістю точок розкладання і степенів апроксимуючого полінома. Наприклад, отримаємо розв'язок СЛАР за допомогою знаходження оберненої матриці, який буде істотно відрізнятися від точного: С0=1,007; С2= -2,24; С4=1,12.

Застосуємо оптимізаційні методи для розв'язку СЛАР (56) і з нев'язок кожного рівняння цієї СЛАР складемо перший критерій . Другий критерій . У загальному випадку I1 і I2 можуть конфліктувати між собою, тому при розв'язанні неточно заданої СЛАР (56) необхідно використати МБО, представлений формулою (21).

Для підвищення точності розв'язку СЛАР, у якої неточно задана права частина, необхідно збільшити кількість точок розкладання, що призведе до незначного збільшення розмірності СЛАР. Наприклад, у розглянутому прикладі розмірність СЛАР дорівнює трьом, використана одна точка розкладання. Якщо розглянути дві точки розкладання, то розмірність даної СЛАР зросте до шести.

Отже, отримана ДТ-модель інтегрального рівняння Фредгольму першого роду, що дозволяє знайти його розв'язок, представлений апроксимуючою функцією. Ця модель відрізняється простотою в описі і містить декілька дискрет диференціального спектра. Показано, що використання багатоточкових ДТ-перетворень при розглянутій постановці можливо навіть на одній точці розкладання на всьому проміжку існування розв'язку, без його розбивки на кілька точок розкладання. Це істотно скорочує розмірність СЛАР, до якої зводиться ДТ-модель. Оскільки отримана СЛАР має неточно задану праву частину, то для знаходження стійких розв'язків використовуються оптимізаційні методи, адаптовані до розв'язання таких СЛАР. У якості багатокритеріальної цільової функції для МБО використана нелінійна схема компромісів, що дозволяє одержати розв'язки, оптимальні по Парето.

У розділі 4 представлене застосування багатокритеріальної оптимізації і диференціальних перетворень для розв'язання некоректних задач контролю, оптимізації і прогнозування стану об'єктів АСУ.

Розроблений метод диференціальних перетворень для моделювання процесу відновлення двовимірних сигналів, отриманих оптичними приладами в інформаційних системах.

Вихідна математична модель задачі відновлення двовимірних сигналів представлена двовимірним ІРФ:

, t[1, 1], s[2, 2]. (57)

Права частина задана на прямокутнику .

Представимо метод розв'язання ІРФ (57).

1. Нехай розв'язок рівняння (57) можна представити у вигляді апроксимації, наприклад, у вигляді степеневого багаточлена:

, (58)

де степінь багаточлена q вибирається згідно особливостей конкретної задачі; ={c0(t), c1(t), …,cq(t)} - невідомі коефіцієнти.

2. Переводимо (58) в область зображень (33) по аргументу s:

, (59)

- де p - цілочисловий аргумент.

3. Вводимо позначення

, (60)

яке переводимо в область зображень (33):

. (61)

4. Знижуємо розмірність задачі (57), позбувшись від внутрішнього інтеграла по змінній s.

(62)

де .

5. Задача зведена до одновимірного ІРФ по аргументу t: , яке залежить від невідомих функцій . Задаємо у вигляді поліномів

. (63)

6. Підінтегральну функцію і вираз (63) переводимо в область зображень (33) по аргументу t:

, (64)

де , m - цілочисловий аргумент, аiq - невідомі коефіцієнти.

7. По диференціальному спектру обчислюємо зовнішній інтеграл

(65)

де A={aij} - набір невідомих коефіцієнтів.

8. Послідовно привласнюючи значення аргументам x, y з (65), складемо і розв'яжемо СЛАР, кількість рівнянь якої (q+1)(n+1) дорівнює кількості невідомих коефіцієнтів aiq з (63).

Розроблений метод на основі ДП дозволяє побудувати чисельні схеми розв'язання задачі відновлення двовимірних сигналів на основі двовимірних ІРФ першого роду, що відрізняються простотою алгоритму. Даний метод, на відміну від методу кубатур, зводить до СЛАР суттєво більш низької розмірності, що залежить від кількості врахованих дискрет диференціального спектра представлення рівняння в області зображень, а не від вузлів сітки, як у методі кубатур. Наведені в роботі розрахунки на основі модельних прикладів дозволяють зробити висновок щодо придатності розглянутого методу для задач відновлення сигналів, виражених двовимірними ІРФ.

Запропонований метод визначення теплофізичних характеристик матеріалів за допомогою МБО. Застосування цього методу значно скорочує час обчислення і знижує похибку визначення теплофізичних характеристик матеріалів за рахунок знаходження найкращого співвідношення між похибкою і стійкістю одержуваного розв'язку. Розв'язок МБО оптимальний по Парето і не поліпшується при даному рівні похибок вихідних даних оберненої коефіцієнтної задачі теплопровідності.

В цьому ж розділі розроблений метод моніторингу параметрів руху транспортних засобів при малій кількості точок в експериментальних даних. Цей метод розроблений на основі методу спільного застосування диференціальних перетворень і багатокритеріальної оптимізації, який запропонований у розділі 3.

Проблема полягає в тому, що при таблично заданих експериментальних даних невідома аналітична залежність, що описує процес. Метод рівних площ, що використовує диференціальні тейлорівські перетворення, вимагає меншого обсягу експериментальних даних для одержання апроксимуючої функції , ніж метод найменших квадратів (МНК). Як видно з рис. 5, функцію W(v) при v>120-140 км/год екстраполювати поліномами високих порядків не можна, тому що поліном різко розбігається і отримується якісно невірний результат. Тому постає задача поліпшити екстраполяційні властивості апроксимуючих функцій за допомогою введення стабілізуючих критеріїв в МБО.

Стабілізація апроксимуючої функції являє собою некоректну задачу, тому що можна знайти нескінченну кількість апроксимуючих поліномів у рамках заданої точності наближення в інтервалі апроксимації. Поза межами інтервалу апроксимації знайдені апроксимації можуть як завгодно сильно відрізнятися одна від одної, не кажучи вже про розбіжність із шуканою функцією W(v). Тому необхідно звузити початкову множину М апроксимуючих функцій до множини М* за допомогою процедури стабілізації коефіцієнтів cі поліномів . Пропонується метод моніторингу експериментальних залежностей на основі скалярної згортки частинних критеріїв за допомогою нелінійної схеми компромісів (21) із введенням у неї частинних критеріїв на нормальний розв'язок і на нев'язку. Оптимізація отриманого скалярного критерію зводять некоректну задачу екстраполяції до стійкої задачі розв'язання системи кінцевих рівнянь (23). У тому випадку, коли відомі методи (наприклад, МНК) отримують при прогнозі якісно невірний результат, застосування запропонованого методу дозволяє одержати розв'язок в межах заданої похибки, що підтверджено співпаданням результату з експериментальними даними.

Розроблений МБО для розв'язання обернених задач оптимального проектування транспортних засобів.

Задача вибору оптимальних геометричних параметрів тягово-левітаційної системи для забезпечення необхідних силових і енергетичних характеристик складових його пристроїв може бути зведена до задачі багатокритеріальної оптимізації. Розглянута математична модель конструктивних рішень пристроїв тягово-левітаційної системи з дискретними шляховими обмотками, засновану на векторі змінних параметрів - геометричних параметрів пристрою.

В роботі представлена інша постановка багатокритеріальної задачі на основі МБО, яка врівноважує кожен частинний критерій якості таким чином, що, за умови опуклості критеріїв буде отриманий єдиний і оптимальний по Парето розв'язок.

Розв'язана задача відновлення сигналів, отриманих оптичними приладами в інформаційних системах управління транспортними потоками. В цьому пункті побудована модель апаратної функції і вхідного сигналу оптичних приладів, змодельована апаратна функція для задачі відновлення зображень і відновлені близькорозташовані сигнали. На рис. 6, а, показані вихідні приклади ІРФ, на рис 6,б, 6,в - розв'язок ІРФ за допомогою різних методів.

Особливості цих прикладів: приклад (а) має два дуже вузьких стосовно апаратної функції (АФ) піка з нульовим значенням між ними; приклад (б): одиничний сигнал із двома вершинами. Ці два сигнали згладжуються АФ в одиничний широкий пік із шириною, рівною ширині АФ.

Приклади були також розв'язані за допомогою оптимізаційних методів: ЗНП (20) по Тихонову і МБО (21). ЗНП по Тихонову не визначає наявність двох піків, у той час, як МБО (21) їх виявляє, з деякою похибкою по амплітуді. Якщо врахувати, що необхідно виявити присутність двох вузьких піків в одному широкому, то це є прийнятним результатом.

; ,

; (*)

; (**);

і розв'язання прикладів (*- б, ** - в) методом власних функцій (1), прямим методом розв'язання СЛАР (2), оптимізаційними методами: ЗНП по Тихонову (3), МБО (4).

Запропоновано використовувати розроблені методи розв'язання некоректних задач відновлення параметрів АСУ з відомими методами. Цей підхід до побудови нових математичних моделей задачі відновлення параметрів об'єктів АСУ з високим ступенем вiрогiдностi розроблений на основі диференціальних перетворень нетейлорівського типу і МНК. Одночасне використання МНК і диференціальних перетворень дозволило підвищити достовірність наближення апроксимуючої функції до експериментальної залежності в умовах збурень і завад.

Висновки

У дисертаційній роботі розв'язана важлива науково-технічна проблема розробки методів розв'язання некоректних задач на основі багатокритеріальної оптимізації і диференціальних перетворень для підвищення якості інформаційного і математичного забезпечення автоматизованих систем управління. Відсутність аналогічних рішень в нашій країні та за рубежем робить результати досліджень приоритетними.

У рамках досягнення цієї мети і розв'язанні задач досліджень були отримані наступні результати:

1. Удосконалено метод відновлення інформації, який відрізняється від відомих застосуванням багатокритеріальної оптимізації за нелінійною схемою компромісів, що дає можливість знизити похибку відновлення інформації.

2. Уперше розроблений за допомогою нелінійної схеми компромісів метод багатокритеріальної оптимізації для розв'язання некоректних задач оптимального планування, що відрізняється від відомих узгодженою оптимізацією похибки розв'язання і стійкості методу з урахуванням обмежень на частинні критерії якості, що дає можливість знизити розмірність некоректних задач оптимального планування.

3. Уперше розроблена диференціально-тейлорівська модель процесу відновлення сигналів, у яких відсутня методична похибка і неперервний аргумент в області зображень, що дозволяє моделювати процес відновлення інформації про стан об'єктів АСУ у реальному часі.

4. Уперше розроблений метод розв'язання некоректної задачі відновлення інформації на основі зміщених диференціальних перетворень, що в порівнянні з багатоточковими диференціально-тейлорівськими перетвореннями забезпечує зниження верхньої границі оцінки похибки в 2q раз, де q - кількість врахованих дискрет диференціального спектра, що дозволяє отримати прості і швидкі алгоритми обробки інформації про стан об'єктів АСУ.

5. Уперше запропонований метод процесу відновлення інформації, що відрізняється від відомих спільним застосуванням багатокритеріальної оптимізації і зміщених диференціальних перетворень інформації, що дало можливість знизити похибку і спростити процес відновлення інформації про стан об'єкта АСУ в умовах невизначеності та збурень.

6. Уперше розроблений метод моніторингу параметрів об'єктів АСУ, який відрізняється від відомих застосуванням диференціальних перетворень і багатокритеріальної оптимізації за нелінійною схемою компромісів, що дозволяє розширити діапазон прогнозування параметрів руху. У тому випадку, коли відомі методи отримують при прогнозі якісно невірний результат, застосування розробленого методу дозволяє одержати розв'язок в межах заданої похибки. Його достовірність підтверджена експериментально, оскільки результат прогнозу співпадає з експериментальними залежностями.

7. Розроблено метод розв'язання двовимірної інформації, отриманої оптичними приладами в інформаційних системах диспетчерського управління транспортом на основі диференціальних перетворень. Він дозволяє побудувати чисельні схеми розв'язання задачі відновлення інформації на основі двовимірних інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду, що дозволяє спростити алгоритм розв'язку. Даний метод зводить початкове інтегральне рівняння до системи лінійних алгебраїчних рівнянь низької розмірності, яка залежить від кількості врахованих дискрет диференціального спектра представлення рівняння в області зображень, а не від вузлів сітки, як у відомому методі кубатур.

8. Встановлені переваги запропонованого методу багатокритеріальної оптимізації над методом Тихонова при розв'язанні некоректної задачі відновлення інформації в умовах невизначеності по характеристикам: чутливість розв'язку до знаходження параметра регуляризації, стійкість до похибки вимірювання сигналу (похибки правої частини системи лінійних алгебраїчних рівнянь або інтегрального рівняння), збіжність обчислювального процесу на всьому діапазоні існування параметра регуляризації.

9. Удосконалено метод розв'язання вироджених і погано обумовлених систем лінійних алгебраїчних рівнянь на основі скалярної згортки частинних критеріїв за допомогою нелінійної схеми компромісів із введенням у неї частинних критеріїв на нормальний розв'язок і на нев'язку рівнянь. Оптимізація отриманої скалярної згортки зводить задачу розв'язання виродженої або погано обумовленої системи лінійних алгебраїчних рівнянь до стійкої задачі розв'язання системи скінчених рівнянь. Даний метод забезпечує мінімальний сумарний рівень нев'язок СЛАР і отримує єдиний розв'язок при заданих обмеженнях на опуклі частинні критерії.

10. Визначено, що підвищення ефективності моделювання процесу відновлення інформації про стан об'єктів АСУ моделями, вираженими інтегральним рівнянням Фредгольма першого роду, може бути досягнуто використанням диференціальних перетворень. Це дозволяє:

а) регулювати точність обчислень кількістю дискрет диференціального спектра і кількістю точок розкладання функції, що характеризує параметри об'єктів АСУ.

б) розв'язувати задачі відновлення первинних параметрів об'єктів АСУ із широкими ядрами в інтегральному рівнянні, що є важливим для розв'язання задачі відновлення інформації від датчиків стану об'єктів АСУ.

в) використовувати адекватні апроксимації підінтегральної функції в поєднанні зі зміщеними диференціально-тейлорівськими перетвореннями, що підвищує ефективність процесу моделювання процесу відновлення інформації, прискорює процедуру розв'язання цієї задачі і підвищує стійкість одержуваного розв'язку.

11. Запропонований системоаналоговий метод моделювання процесу відновлення інформації про стан об'єктів АСУ на основі зміщених диференціальних тейлорівських перетворень. Він істотно скорочує розмірність систем рівнянь і підвищує стійкість обчислення наближеного розв'язку інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, яким описуються інформація про стан об'єктів АСУ.

12. Запропоновано метод визначення теплофізичних характеристик матеріалів в об'єктах АСУ за допомогою багатокритеріальної оптимізації, що дозволяє знайти неполіпшувані розв'язки по точності і стійкості при даному рівні похибки вихідних даних оберненої коефіцієнтної задачі теплопровідності.

13. Запропонований метод одночасного використання диференціальних нетейлорівських перетворень і метода найменших квадратів при розв'язанні задачі відновлення параметрів об'єктів в умовах невизначеності. Він дозволяє одержати бiльш достовiрні дані про параметри невiдомого сигналу, що характеризує параметри об'єктів АСУ.

14. Запропонований метод розрізнення близькорозташованих сигналів, що відрізняються від відомих застосуванням багатокритеріальної оптимізації за нелінійною схемою компромісів, що надало змогу в порівнянні з методом Тихонова підвищити розрізнення сигналів в умовах збурень і завад.

Мета досліджень досягнута і всі поставлені часткові задачі вирішені повністю.

Основні публікації за темою дисертаційної роботи

Засядько А.А. Сравнение методов Тихонова и многокритериальной отимизации при решении задачи восстановления сигналов // Проблемы управления и информатики, 2003. - № 5. - С. 60-67.

Засядько А.А. Дифференциально-тейлоровская модель задачи восстановления в спектроскопии // Электронное моделирование. - 2002. - Т.24. - № 6. - С. 97-105.

Засядько А.А. Многокритериальная модель процесса восстановления сигналов // Электронное моделирование. - 2004. - Т.26. - № 4. - С. 13-21.

Засядько А.А. Застосування багатокритеріальної оптимізації при моделюванні процесу відновлення сигналів диференціальними перетвореннями//Проблеми інформації та управління: Збірник наукових праць: Випуск 4 (15). - К.: НАУ, 2005. - С. 83-87.

Засядько А.А. Два этапа методики гибкой адаптации в задачах многокритериальной оптимизации // Вісник ЧДТУ. - 2002. - №. 2 - С.14-17.

Засядько А.А. Метод смещенных дробно-рациональных дифференциальных преобразований для моделирования процесса восстановления сигналов//Вісник ЧДТУ. - 2002. - №. 3 - С.61-65.

Засядько А.А. Использование нелинейной схемы компромиссов для решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений. //Збірник наукових праць ІПМЕ НАН України - Випуск 21. - К.: 2003. - С.99-104.

Засядько А.А. Метод дифференциальных преобразований для моделирования процесса восстановления двумерных сигналов // Збірник наукових праць ІПМЕ НАН України: Випуск 28. - К.: 2005. - С. 16-21.

Засядько А.А. Многокритериальный метод регуляризации некорректных задач // Збірник наукових праць ІПМЕ НАН України: Випуск 22. - К.: 2003. - С.76-82.

Засядько А.А. Применение дифференциальных преобразований при восстановлении сигналов на основе смещенных дробно-рациональных функций // Збірник наукових праць ІПМЕ НАН України - Випуск 18. К.: - 2002. - С. 87-95.

Засядько А.А. Применение многокритериальной оптимизации для решения задач нелинейного программирования//Збірник наукових праць ІПМЕ НАН України: Вип. 23. - К.: 2003. - С.68-72.

Засядько А.А. Использование нелинейной схемы компромиссов для решения систем линейных алгебраических уравнений с неточно заданными данными // Моделювання та інформаційні технології. Зб. наук. праць ІПМЕ НАН України: Випуск 25. - К.:2003. - С. 95-100.

Засядько А.А. Исследование влияния ширины аппаратной функции спектральных приборов на результаты восстановления сигнала методом модельних примеров // Моделювання та інформаційні технології. Зб. наук. праць ІПМЕ НАН України: Випуск 9. - К.: 2001. -- С. 41-45.

Засядько А.А. Моделирование процесса восстановления сигналов на основе смещенных дифференциальных преобразований // Моделювання та інформаційні технології. Збірник наукових праць ІПМЕ НАН України: Випуск 19. - К.: 2002. - С. 151-158.

Засядько А.А. Моделювання задачі відновлення сигналів за допомогою багатокритеріальної оптимізації // Вісник ЖІТІ. - 2003. - № 1(18) / Технічні науки. - С. 94-98.

Засядько А.А. Моделювання процесу відновлення сигналів методом дифференційно-тейлоровських перетворень // Вісник ЖІТІ. - 2001. - № 18 / Технічні науки. - С.101-104.

Засядько А.А. Методика гнучкої адаптації в задачах багатокритеріальної оптимізації // Вісник ЖІТІ. Спеціальний випуск за матеріалами Міжнародної науково-технічної конференції “Інформаційно-комп'ютерні технології 2002”. - 2002. - С.81-84.

Засядько А.А. Розв'язання задачі відновлення сигналів за допомогою однокритеріальної оптимізації //Вісник ЖІТІ. - 2002. - № 4 (23) / Технічні науки. - С.133-136.

Баранов В.Л., Жуков І.А., Засядько А.А. Використання методу головного критерію для розв'язання задачі відновлення сигналів // Вісник НАУ, 2003. - № 1. - С. 9-13.

Баранов В.Л., Засядько А.А. Системоаналогове моделювання процесу відновлення сигналів//Проблеми інформатизації та управління: Збірник наукових праць Випуск 13. - К.:НАУ, 2005. - С. 22-25.

Жуков И.А., Засядько А.А. Дифференциальные преобразования процесса восстановления сигналов на основе смещенных дробно-рациональных функций// Проблеми інформатизації та управління. Збірник наукових праць: Випуск 7. - К.: НАУ, 2003. - С.101-106.

Жуков І.А., Засядько А.А. Багатокритеріальний метод розв'язання вироджених систем лінійних алгебраїчних рівнянь//Вісник НАУ, 2002. - № 3(14). - С.178-182.

Баранов Г.Л., Жуков І.А., Засядько А.А. Використання методу багатокритеріальної оптимізації для розв'язання некоректних задач квадратичного програмування // Проблеми інформатизації та управління. Збірник наукових праць: Випуск 8. - К.: НАУ, 2003. - С. 114-118.

Засядько А.А., Краюшкин С.Б., Дубровская Г.Н. Решение задачи восстановления методом модельних примеров при лазерном масс-спектральном анализе // Электронное моделирование. - 2000. - № 5. - Т.22. - С. 31-39.

Засядько А.А., Олецкий А.В. Использование метода собственных функций при решении задачи восстановления сигналов // Электронное моделирование.-2003.-Т.25.-№ 1.-С. 107-113.

Засядько А.А., Почка С.І. Метод диференціальних перетворень для моделювання процесу відновлення двовимірних сигналів //Вісник Хмельницького національного університету. Серія Технічні науки. - 2006. -№ 1. - С.214-219.

Фролов Г.О., Засядько А.А., Биков В.І. Визначення теплопровідності теплозахисних матеріалів за допомогою багатокритеріальної оптимізації//Вісник ЧДТУ.-2005.-№ 1-С.140-145.

Максимович М.О., Олецький О.В., Засядько А.А. Проблема вибору критерію регуляризації в зворотніх задачах теорії непрямих вимірювань//Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації. Збірник наукових праць за матеріалами Всеукраїнської науково-методичної конференції. - Київ-Кам'янець-Подільський. - 2004. - С.149-153.

Засядько А.А. Метод диференціальних перетворень для розв'язання двовимірного інтегрального рівняння Фредгольма першого роду//Вісник Черкаського університету. Серія математика, прикладна математика. Випуск 74, 2006. - С.59-67.

Баранов В.Л., Засядько А.А. Моделирование процесса восстановления сигналов с помощью дифференциальных тейлоровских преобразований // Матеріали п'ятої науково-практичної конференції “Сучасні технології в аерокосмічному комплексі” - Житомир:ЖІТІ.- 2001.- С. 213-218.

Баранов В.Л., Засядько А.А., Почка С.И. Многокритериальный метод регуляризации некорректных задач // Тези доповідей ХІV науково-технічної конференції „Наукові проблеми розробки, модернізації та застосування інформаційних систем космічного і наземного базування” - Частина І. Житомир: ЖВІРЕ. - 2004. - С.112-113.

Жуков И.А., Баранов В.Л., Засядько А.А. Многокритериальный метод решения задачи восстановления сигналов // Матеріали п'ятої Міжнародної науково-технічної конференції “Авіа-2003”. - Том I. Інформаційно-діагностичні системи - Київ: НАУ. - 2003. - С. 14.1-14.4.

Жуков І.А., Баранов В.Л., Засядько А.А. Застосування багатокритеріальної оптимізації для зменшення обчислювальної складності задач нелінійного програмування // Матеріали шостої Міжнародної науково-технічної конференції “Авіа-2004”. - Том I. Інформаційно-діагностичні системи - Київ: НАУ. - 2004. - С. 13.17-13.20.

Засядько А.А., Олецкий А.В. Многокритериальный метод решения некорректных систем линейных алгебраических уравнений // Комп'ютерне моделювання та інформаційні технології в науці, економіці та освіті. Матеріали доповідей V Всеукраїнської науково-практичної конференції: Збірник наукових праць. - Черкаси: Брама ІСУЕП, 2003. - С.47-48.

Засядько А.А., Олецкий А.В. Моделирование восстановления сигналов на основе метода собственных функций// Матеріали четвертої Міжнародної науково-технічної конференції “Авіа-2002”. - Том I. Інформаційно-діагностичні системи. - Київ: НАУ. - 2002. - С. 13.57-13.58.

Засядько А.А., Олецкий А.В. Повышение точности измерений спектральными приборами с помощью способа модельных примеров // Матеріали першої міжнародної наукової конференції “Раціональне використання природних ресурсів. Проблеми екології, енергозбереження, економіки, освіти та інформації в умовах ринкових відносин”-Черкаси: ЧІТІ. - 2001. - С. 76-77.

Засядько А.А., Олецкий А.В. Решение задач многокритериальной оптимизации с помощью методики гибкой адаптации // Матеріали третьої науково-практичної конференції “Інформаційні технології в науці і техніці”. - Черкаси: ЧДУ. - 2002. - С.275-276.

Засядько А.А., Почка С.И. Аналитический метод решения двумерных задач восстановления сигналов // Матеріали VI всеукраїнської науково-практичної конференції “Комп'ютерне моделювання та інформаційні технології в науці, економіці та освіті”. Збірник наукових праць. - Кривий Ріг: КЕІ. - 2005. - С. 74-75.

Засядько А.А., Почка С.И., Гриценко В.Г. Метод экстраполяции экспериментальных данных высокоскоростных испытаний железнодорожного транспорта // Матеріали ІІІ науково-практичної конференції „Проблеми та перспективи розвитку транспортних систем: техніка, технологія, економіка і управління” - Київ: КУЕТТ. - 2005. - С.16-17.

Примеры решения задачи восстановления для лазерного масс-спектрального элементного анализа модификации поверхностных многослойных диэлектрических подложек/Бутенко Т.И., Дубровська Г.М., Засядько А.А., Пономаренко А.М., Котляр О.В.//Матеріали до 41-го міжнародного семінару по моделюванню і оптимізації композитів “Прогнозування в в матеріалознавстві” - Одеса. - 2002. - С.118.

Засядько А.А. Методи розв'язання некоректних задач на основі багатокритеріальної оптимізації і диференціальних перетворень для автоматизованих систем управління.- Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня доктора технічних наук по спеціальності 05.13.06 - “Автоматизовані системи управління і прогресивні інформаційні технології”. - Національний транспортний університет, м. Київ, 2006.

У роботі вперше розроблені нові методи розв'язання некоректних задач для інформаційного і математичного забезпечення автоматизованих систем управління за допомогою багатокритеріальної оптимізації і диференціальних перетворень, що дає можливість підвищити якість інформації про стан об'єктів АСУ.

Удосконалено метод відновлення інформації, який відрізняється від відомих застосуванням багатокритеріальної оптимізації за нелінійною схемою компромісів, що дає можливість знизити похибку відновлення інформації.

Уперше розроблена диференціально-тейлорівська модель процесу відновлення сигналів для контролю стану об'єктів АСУ, у яких відсутня методична похибка і неперервний аргумент в області зображень, що дозволяє моделювати процес відновлення інформації про стан об'єктів АСУ у реальному часі.

Уперше розроблений метод розв'язання некоректних задач в області зміщених диференціальних перетворень інформації, що дозволяє отримати прості і швидкі алгоритми обробки інформації про стан об'єктів АСУ.

Уперше запропонований метод процесу відновлення інформації про стан об'єктів АСУ, що відрізняється від відомих спільним застосуванням багатокритеріальної оптимізації і зміщених диференціальних перетворень інформації, що дало можливість знизити похибку і спростити процес відновлення інформації про стан об'єктів АСУ в умовах невизначеності та збурень.

Уперше розроблений за допомогою нелінійної схеми компромісів метод багатокритеріальної оптимізації для розв'язання некоректних задач оптимального планування, що відрізняється від відомих узгодженою оптимізацією похибки розв'язання і стійкості методу з урахуванням обмежень на частинні критерії якості, що дає можливість знизити розмірність некоректних задач оптимального планування.

Уперше розроблений комбінований метод моніторингу параметрів рухомих об'єктів, який відрізняється від відомих застосуванням диференціальних перетворень і багатокритеріальної оптимізації за нелінійною схемою компромісів, що дозволяє розширити діапазон прогнозування параметрів руху.

Ключові слова: автоматизовані системи управління, методи розв'язання некоректних задач, моделі процесів відновлення інформації, багатокритеріальна оптимізація, диференціальні перетворення.

Засядько А.А. Методы решения некорректных задач на основе многокритериальной оптимизации и дифференциальных преобразований для автоматизированных систем управления. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.13.06 - “Автоматизированные системы управления и прогрессивные информационные технологии”. - Национальный транспортный университет, г. Киев, 2006.

В работе впервые разработаны новые методы решения некорректных задач для информационного и математического обеспечения автоматизированных систем управления с помощью многокритериальной оптимизации и дифференциальных преобразований, которые позволяют повысить качество информации о состоянии подвижных объектов.

Усовершенствован метод восстановления информации, который отличается от известных применениям многокритериальной оптимизации по нелинейной схеме компромиссов, что позволяет снизить погрешность восстановления информации.

Впервые разработан с помощью нелинейной схемы компромиссов метод многокритериальной оптимизации для решения некорректных задач оптимального планирования, который отличается от известных согласованной оптимизацией погрешности решения и устойчивостью метода с учетом ограничений на частные критерии качества, что позволяет снизить размерность задач оптимизации технических характеристик объектов АСУ.

Впервые разработана диференциально-тейлоровская модель процесса восстановления сигналов для контроля параметров объектов АСУ, в которых отсутствуют методическая погрешность и непрерывный аргумент в области изображений, что позволяет моделировать процесс восстановления информации о состоянии объектов АСУ в реальном времени.

Впервые разработан метод решения некорректных задач в области смещенных дифференциальных преобразований, который позволяет получить простые и быстрые алгоритмы обработки информации о состоянии объектов АСУ.

Впервые предложен комбинированный метод восстановления информации о состоянии объектов АСУ, который отличается от известных совместным применением многокритериальной оптимизации и смещенных дифференциальных преобразований информации, в результате снизилась погрешность и упростился процесс восстановления информации о состоянии объектов АСУ в условиях неопределенности.

Впервые разработан метод мониторинга параметров состояния подвижных объектов при малом количестве точек в экспериментальных данных. Метод отличается от известных совместным применением дифференциальных преобразований и многокритериальной оптимизации, что дало возможность расширить диапазон прогноза параметров состояния транспортных средств. Многокритериальная оптимизация сводит некорректную задачу экстраполяции к устойчивой задаче решения системы конечных уравнений. В том случае, если известные методы дают качественно неверный результат, применение разработанного метода позволяет получить решение в пределах заданной погрешности.

Ключевые слова: автоматизированные системы управления, методы решения некорректных задач, модели процессов восстановления информации, многокритериальная оптимизация, дифференциальные преобразования.

Zasjad'ko A.A. Methods of solving incorrect problems on the basis of multi-criteria optimization and differential transformations for the automated control systems. - Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of Dr.Sci.Tech. on a speciality 05.13.06 - "The Automated control systems and progressive information technologies". - National transport university, Kyiv, 2006.

For the first time, new methods of solving incorrect problems for information and mathematical supply of the automated control systems by means of multi-criteria optimization and differential transformations which allows to raise quality of the information about a state of automated control objects are developed.

The method of restoring signals is improved; this method differs from the other ones by using the multi-criteria optimization by means of the non-linear compromise schema, and this allows to reduce the error of restoring.

For the first time, it is developed the differential-taylorian model of process of restoring signals for the control of a state of automated control objects in which there is no methodical error and there is a continuous time argument in the field of images that allows to model the process of restoring the information of a state of objects of the automated control systems in the real time.

For the first time, the method of solving incorrect problems in the field of the biased differential transformations of the information which allows to receive simple and fast algorithms of processing of the information about a state of objects of the automated control systems is developed.

The method of process of restoring the information about a condition of the automated control systems which differs from known by the common application of multi-criteria optimization and the biased differential transformations of the information is offered for the first time; accuracy and stability of restoring the information on a state of objects of automated control objects in conditions of uncertainty and noise is the obtained result.

For the first time, the method of the multi-criteria optimization for solving incorrect tasks of the optimal planning by means of non-linear compromise schema is developed. This method differs from the known ones by the coordinated optimization of error and stability of the method with taking into account the limitations on the partial quality criteria. This allows to reduce the dimension of incorrect problems of optimal planning.

The combined method of monitoring parameters for moving objects is developed. The method differs from the known ones by use of differential transformations and multi-criteria optimization by non-linear compromise schema. This allows to increase the range of the forecast of movement parameters.

Keywords: the automated control systems, methods of the decision of incorrect problems, models of processes of restoring the information, multi-criteria optimization, differential transformations.

Размещено на Allbest.ru

...