Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• 1. Практическая часть
• 1.1 Задача 1
• 1.2 Задача 2
• 1.3 Задача 4
• 1.4 Задача 5
• 1.5 Задача 6
• 1.6 Задача 7
• 1.7 Задача 8
• 1.8 Задача 9
• 1.9 Задача 12
• 1.10 Задача 13
• 2. Анализ надежности в машиностроении
• 2.1 Основные направления технической диагностики
• 2.2 Постановка задач технической диагностики
• 2.3 Основы статистических испытаний элементов машин на надежность
• 2.4 Обработка результатов испытаний и оценка их доброкачественности
• Заключение
• Библиографический список


Введение

Живая природа за миллионы лет создала совершенные живые системы, в том числе и человека. За сравнительно более короткие сроки человек научился управлять свойствами живой природы и изменять свойства отдельных организмов применительно к своим нуждам. Но человек не только управляет живой природой -- он создает машины и механизмы, облегчающие ему эту деятельность. И так же, как свойствами природы, он может управлять свойствами создаваемых средств техники и, в первую очередь, их надежностью. Однако проблема эта весьма сложна, что обусловлено особенностями надежности как научной дисциплины. Пожалуй, нельзя назвать ни одной технической дисциплины, в которую не «вмешивались» бы специалисты по надежности.

Надежность - это свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах все параметры, обеспечивающие выполнение требуемых функций в заданных условиях эксплуатации.

Уровень надежности в значительной степени определяет развитие техники по основным направлениям: автоматизации производства, интенсификации рабочих процессов и транспорта, экономии материалов и энергии.

Современные технические средства очень разнообразны и состоят из большого количества взаимодействующих механизмов, аппаратов и приборов. Первые простейшие машины и радиоприемники состояли из десятков или сотен деталей, а, к примеру, система радиоуправления ракетами состоит из десятков и сотен миллионов различных деталей. В таких сложных системах в случае отсутствия резервирования отказ всего одного ответственного элемента может привести к отказу или сбою в работе всей системы.

Низкий уровень надежности оборудования вполне может приводить к серьезным затратам на ремонт, длительному простою оборудования, к авариям и т.п.

В настоящее время наблюдается быстрое и многократное усложнение машин, объединение их в крупные комплексы, уменьшение их металлоемкости и повышением их силовой и электрической напряженности. Поэтому наука о надежности быстро развивается.

Отказы деталей и узлов в разных машинах и разных условиях могут иметь сильно отличающиеся последствия. Последствия выхода из строя машины, имеющейся на заводе в большом количестве, могут быть легко и без последствий устранены силами предприятия. А отказ специального станка, встроенного в автоматическую линию, вызовет значительные материальные убытки, связанные с простоем многих других станков и невыполнением заводом плана.



1. Практическая часть

1.1 Задача 1

Составьте структурную надежностную схему автомобиля и найдите вероятность его безотказной работы, если вероятность безотказной работы каждого элемента равна Pi (табл.1). При составлении схемы автомобиля считайте, что в его состав входят: четырехцилиндровый двигатель, трансмиссия, две независимые тормозные системы и система питания. Следовательно, он может быть представлен схемой четырех элементов двигателя (четыре цилиндропоршневые группы), с которыми соединяются два элемента трансмиссии (муфта сцепления и коробка передач). Последовательно с ними включаются два элемента, соответствующие двум различным системам торможения. Последний (9-й) включенный элемент соответствует системе питания.

Определите затем вероятность безотказной работы, при условии, что для питания используются две системы питания, например, с бензиновым и газовым топливом с той же вероятностью безотказной работы.

Сравните результаты расчётов и сделайте вывод о надёжности двух рассмотренных структурных схемах автомобиля.

Таблица 1

Вариант	Значение
9	0,78



Решение:

Рисунок 1. Структурная надежностная схема автомобиля с одной системой питания

Рисунок 2. Структурная надежностная схема автомобиля с двумя системами питания

a_1,2,3,4 - цилиндропоршневые группы;

b₁ - муфта сцепления;

b₂ - коробка передач;

c_1,2 - тормозные системы;

d₁ - система питания с бензиновым топливом;

d₂ - система питания с газовым топливом.

Предположим, что A_i - событие, состоящее в безотказной работе цилиндропоршневой группы (i=1-4);

B₁ - событие, состоящее в безотказной работе муфты сцепления;

B₂ - событие, состоящее в безотказной работе коробки передач;

C_1,2 - событие, состоящее в безотказной работе тормозной системы;

D_j - событие, состоящее в безотказной работе системы питания (j=1 для одной системы питания, j=1,2 для двух систем питания);

E - событие, состоящее в безотказной работе автомобиля.

Определим вероятность безотказной работы автомобиля с одной системой питания:

E₁ = A_i•B₁•B₂•C_1,2•D₁ ;

P_E1 = P_Ai•P_B1•P_B2•P_C1,2•P_D2;

P_Ai = 1-(1-P)⁴ = 1-(1-0,78)⁴ = 0,9976;

P_C1,2 = 1-(1-P)² = 1-(1-0,78)² = 0,952;

P_E1 = 0,9976•0,78•0,78•0,952•0,78= 0,451

Определим вероятность безотказной работы автомобиля с двумя системами питания:

E₂ = A_i•B₁•B₂•C_1,2•D_{1 ,2} ;

P_E2 = P_Ai•P_B1•P_B2•P_C1,2•P_D1,2

P_D1,2 = 1-(1-P)² = 1-(1-0,78)² = 0,922

P_E2 = 0,9976•0,78•0,78•0,952•0,952= 0,55

Вывод: т.к. P_E1< P_E2 , то вероятность безотказной работы автомобиля с двумя системами питания выше, чем с одной.

1.2 Задача 2

Известно, что в целом по машиностроительной отрасли на N единиц однотипного оборудования повышенной опасности приходится M аварий в год. Какова вероятность того, что на конкретном машиностроительном предприятии, имеющем n единиц аналогичного оборудования произойдет m аварий в год, если работы по предупреждению аварий проводятся на отраслевом уровне (т. е. для данного предприятия вероятность аварии на оборудовании, такая же, как и в отрасли). Определите также вероятность m и более аварий в год. Исходные данные в табл. 2.

Таблица 2

Вариант	N	M	n	m
9	1130	20	12	3

Указание. Для решения следует воспользоваться биноминальным законом распределения. Произвольный член биноминального ряда выражается формулой:

где n - объем выборки;

m - номер члена ряда;

-вероятность аварии для N единиц однотипного оборудования;

v= 1-- .

Решение:

v = 1-- = 1 - 0,018=0,982;

Вероятность, что произойдет 3 аварии в год:

Вероятность, что произойдет 3 и более аварий в год:

P = 1 - P_2,12 ;

P_2,12 =

P = 1 -( P_3,12+ P_2,12+ P_1,12+ P_0,12)= 0,000075

1.3 Задача 4

В результате измерений отказов n объектов, установлено среднее значение наработки на отказ Тcp, дисперсия Dx. С какой вероятностью можно утверждать, что истинное среднее значение наработки на отказ не отклонится от найденной величины больше, чем на L? Исходные данные в табл. 3.

Таблица 3

Вариант	n	Tср, ч	Dx, ч2	L, %
9	41	53,94	5	3

Решение:

Расчет основывается на формуле (1) для оценки параметра по результатам ограниченного числа испытаний.

(1)

где t -- параметр Стьюдента, определяемый из таблицы приложения 3 по значениям и k=n--1 степеней свободы.

- среднее значение случайной величины;

n - число опытов;

- среднее квадратичное отклонение;

- доверительная вероятность.

k=n--1=41-1=40;

= = = 2,24

Для того чтобы выполнялось равенство:

,

должно выполняться условие:

=

= = 4,63

Из таблицы по значениям k=40 и =4,63 находим доверительную вероятность =0,99. С вероятностью 0,99 можно утверждать, что истинное среднее значение наработки на отказ не отклонится от найденной величины больше, чем на 3%.

1.4 Задача 5

Вероятность безотказной работы машины P(t) в период нормальной эксплуатации после t часов работы составляет Р (исходные данные в табл. 4). Определить интенсивность отказов л. Построить график изменения P(t) и определить графически наработку на отказ.

Таблица 4

Вариант	t, ч	P
9	1000	0,92

Решение:

, отсюда

= 0,00008 = 8•10^-5

Рисунок 3. График изменения P(t)

Наработка на отказ (графически) составляет 12055 ч.

организация хозяйствование конкурентный ресурс



1.5 Задача 6

На испытания были поставлены 200 восстанавливаемых изделий.

Статистика отказов по вариантам приведена в табл. 5. Необходимо построить гистограмму параметра потока отказов щ (t), определить среднюю наработку до первого отказа То.

Таблица 5

ч	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
n	77	62	54	50	46	42	38	38	34	34	32	32	30	30	30
t·10-3, час	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
·10-5	37,5	31	27	25	23	21	19	19	17	17	16	16	15	15	15

Решение:

Рисунок 4. График изменения щ(t)•10^-5

В данном случае эксплуатируется восстанавливаемое изделие, основной характеристикой в условии ремонта является параметр потока отказов.

Построенную по сглаженной гистограмме кривую (t) аппроксимируем уравнением . Найдем значения коэффициентов a, b и k.

Определим k по точке на графике:

k =4,4•10^-4

Средняя наработка до первого отказа:

1.6 Задача 7

Для технического объекта задана наработка на отказ Тоз. Требуется оценить безопасность объекта (по величине наработки на опасный отказ То) с доверительной вероятностью г, если число отказов n, а суммарная наработка до наступления n отказов равна tn часов (данные по табл. 6.).

Таблица 6

Вариант	tn, ч	Tоз, ч	n	г
9	500	25	20	0,80

Решение:

Для решения задачи необходимо оценить надежность с учетом доверительных границ, воспользовавшись формулой (3.11). После проведённых по исходным данным расчётов, выполните расчёты, вновь принимая, что статистические данные о наработке и количестве отказов уменьшились вдвое (значения данных о наработке tn примите такими же).

Сделайте вывод о влиянии объёма выборки (числа испытаний) на ширину доверительного интервала.

Или

где Т^*_0н -- нижняя , Т^*_0в --верхняя граница доверительного интервала;

Когда известно , определяют (=1-=0,2; /2 =0,1; 1--/2=0,9) и при k=2n=40 степеней свободы по таблице приложения 4 находят:

и

;

24,8 ? T_o ? 42,74

При уменьшении количества отказов k=2•10=20, (=1-=0,2; /2 =0,1; 1--/2=0,9) по таблице приложения 4 находят:

и

35,21 ? T_o ? 68,59

С вероятностью 80% наработка на отказ попадает в данный интервал. Если наработку и количество отказов увеличить, то безопасность объекта снизится. Чем выше доверительная вероятность, тем шире доверительный интервал.



1.7 Задача 8

Восстанавливаемая система с показательным распределением времени безотказной работы и времени восстановления имеет коэффициент безопасности Kб (табл. 7). Определить вероятность нахождения системы в безопасном состоянии в момент времени t, если наработка на опасный отказ То.

Таблица 7

Вариант	Kб	t, ч	То, ч
9	0,85	50	800

Решение:

Показательный закон распределения:

P(t) = e^-лt , в момент времени t:

= ;

= = 141,18

P (30) = K_б +(1- K_б) = 0,85 + (1 - 0,85) = 0,95

Вероятность нахождения системы в безопасном состоянии в момент времени t=50ч составляет 95%.

1.8 Задача 9

На испытание поставлено N элементов. Число отказов n(Дti) фиксировалось в каждом интервале времени испытаний Дt = 500 ч. Данные об отказах по табл. 8. Необходимо определить вероятность безотказной работы P (Дt), частоту отказов f (Дt) и интенсивность отказов л (Дt), построить графики этих функций и найти среднюю наработку до первого отказа Tо.

Таблица 8

Вариант	N	Число отказов n(Дti) на интервале времени Дt = 500 ч
9	850	146	86	75	55	50	45	34	29	23	24	25	25	50	65	55	33	15	15

Решение:

(t_i) =

n(t)i	146	86	75	55	50	45	34	29	23	24	25	25	50	65	55	33	15	15
(ti),	0,14	0,22	0,29	0,35	0,42	0,48	0,53	0,57	0,61	0,65	0,68	0,71	0,77	0,84	0,90	0,94	0,97	1
(ti),	0,86	0,78	0,71	0,65	0,58	0,52	0,47	0,43	0,39	0,35	0,32	0,29	0,23	0,16	0,10	0,06	0,03	0
(ti)•	0,28	0,17	0,15	0,13	0,12	0,11	0,10	0,09	0,08	0,07	0,06	0,07	0,12	0,14	0,12	0,08	0,06	0,06
(ti)•	0,30	0,2	0,20	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,18	0,20	0,19	0,23	0,46	0,76	0,97	1,12	1,33	4



Рисунок 5. Графики изменения f (Дt), P (Дt), л (Дt)

Средняя наработка до первого отказа :

1.9 Задача 10

Для графа изменения состояния функционирования объекта, представленного на рис. 1, составить систему дифференциальных уравнений цепи Маркова, решить ее для стационарного процесса и определить наработку на опасный отказ (состояние 2) при заданных значениях интенсивностей лij, и допустимой вероятности опасного состояния Р2. (табл.9).

Каким должно быть время устранения опасного отказа, чтобы коэффициент опасности Кo принимал значения 0,001 и 0,0006?



Рисунок 6. Граф изменения состояния функционирования: 1 - безопасное работоспособное состояние; 2 - опасное работоспособное состояние; 3 - безопасное неработоспособное состояние

Таблица 9

Вариант	л21, ч	л23, ч	л31, ч	л13, ч	P2•104
9	0,3	0,1	0,3	0,1	0,5

Решение:

Составим систему дифференциальных уравнений:

(1)

(2)

(3)

Т.к. процесс стационарный, то

Сложим (1) и (3):

отсюда

(4)

;

Подставим в (1):

Из (4):

Проверка:

P₁(t)+P₂(t)+P₃(t)=0,997+0,00005+0,00295=1



Время устранения опасного отказа, при котором время Кo принимает значения 0,001 и 0,0006:

При К₀=0,001: T_y=50 ч

При К₀=0,0006: T_y= 30 ч

1.9 Задача 12

В результате внезапной разгерметизации ёмкости в пространство, загроможденное подводящими трубопроводами, выброшено М кг горючего газа (табл.). Рядом с загазованным объектом на расстоянии L находится помещение цеха. Концентрация газа в облаке K. Используя [6], определите степень поражения здания цеха и расположенного в нем персонала при взрыве облака топливо-воздушной смеси (ТВС).

Таблица 10

Вариант	Вещество	М, кг	L, м	К, г/м3	q·107, Дж/кг
9	пропан	100	80	140	4,64

Примечание: q - удельная теплота сгорания горючего газа.

Решение:

Находим эффективный энергозапас горючей смеси E:

(при расчете параметров взрыва облака, лежащего на поверхности земли, величина эффективного энергозапаса удваивается).

Исходя из классификации веществ, определяем, что пропан относится к классу 2 опасности (чувствительные вещества). Геометрические характеристики окружающего пространства относятся к виду 1 (загроможденное пространство). По экспертной определяем диапазон ожидаемого режима взрывного превращения облака топливно-воздушной смеси - первый, что соответствует детонации.

Определяем безразмерное параметрическое расстояние:

По соотношениям для падающей волны находим:

амплитуда фазы давления:

, при

амплитуда фазы разряжения:

, при

длительность фазы сжатия:



длительность фазы разрежения:

с+

импульсы фаз сжатия и разрежения:

с

с

Декремент затухания

Форма падающей волны с описанием фаз сжатия и разрежения в наиболее опасном случае детонации газовой смеси может быть описана соотношением:

Используя полученные значения и имеем:

1,48 ,

(при расчете P_r3 предполагается, что масса человека 80 кг)

По таблице 3 означает, что вероятности повреждения стен 1,5%, вероятности разрушения промышленных зданий, разрыва барабанных перепонок близки к нулю.

По соотношениям для отраженной волны находим:

амплитуда фазы давления:

,при

амплитуда фазы разрежения:

,при

длительность фазы сжатия:

с

длительность фазы разрежения:

с

импульсы фаз сжатия и разрежения:

с

-1,56



с

Декремент затухания

Форма отраженной волны с описанием фаз сжатия и разрежения с хорошей для практических целей точностью может быть описана соотношением:

Используя полученные значения и имеем:

, P_r3 = -7,02; P_r4 = 0,8; P_r5 = -9,9.

Это согласно табл.3 означает вероятности: вероятности повреждения стен 13%, вероятность разрушений промышленных зданий равна 1%. Вероятности остальных критериев поражения близки к нулю.

1.10 Задача 13

Для приведённой структурной схемы (рис. 2): определите среднюю наработку до опасного отказа То, если поток отказов простейший, а интенсивность отказов для каждого элемента лi (из табл. 1).

Постройте график Рс (t) в интервале значений от 1 до 0.

Рисунок 7. Структурная схема объекта



Указание. При решении задачи учесть, что

где Рс (t) - вероятность безотказной работы системы

Таблица 11

Вариант	Значение
9	0,78

Решение:

Р_с (t)=[1-(1-P₁)•(1-P₂)]•[1-(1-P₃)•(1-P₄)]=[1-(1-P_i)²]²=[1-1+2• P_i - P_i²]² =

= (2• P_i - P_i²)² = 4•P_i² - 4•P_i³ + P_i⁴ ;

P_i (t)= e -^лt ;

T₀=== ¦¦¦=

= = 11752,14 ч.



Рисунок 8. График изменения Рс (t)



2. Анализ надежности в машиностроении

2.1 Основные направления технической диагностики

Определения. Термин «диагностика» происходит от греческого слова «диагнозис», что означает распознавание, определение.

В процессе диагностики устанавливается диагноз, т.е. определяется состояние больного (медицинская диагностика) или состояние технической системы (техническая диагностика).

Технической диагностикой называется наука о распознавании состояния технической системы.

Цели технической диагностики. Рассмотрим кратко основное содержание технической диагностики. Техническая диагностика изучает методы получения и оценки диагностической информации, диагностические модели и алгоритмы принятия решений. Целью технической диагностики является повышение надежности и ресурса технических систем.

Как известно, наиболее важным показателем надежности является отсутствие отказов во время функционирования (работы) технической системы. Отказ авиационного двигателя в полетных условиях, судовых механизмов во время плавания корабля, энергетических установок в работе под нагрузкой может привести к тяжелым последствиям.

Техническая диагностика благодаря раннему обнаружению Дефектов и неисправностей позволяет устранить подобные отказы в процессе технического обслуживания, что повышает надежность и эффективность эксплуатации, а также дает возможность эксплуатации технических систем ответственного назначения по состоянию.

В практике ресурс таких систем определяется по наиболее «слабым» экземплярам изделий. При эксплуатации по состоянию каждый экземпляр эксплуатируется до предельного состояния в соответствии с рекомендациями системы технической диагностики. Эксплуатация по техническому состоянию может принести выгоду, эквивалентную стоимости 30% общего парка машин.

Основные задачи технической диагностики. Техническая диагностика решает обширный круг задач, многие из которых являются смежными с задачами других научных дисциплин. Основной задачей технической диагностики является распознавание состояния технической системы в условиях ограниченной информации.

Техническую диагностику иногда называют безразборной диагностикой, т. е. диагностикой, осуществляемой без разборки изделия. Анализ состояния проводится в условиях эксплуатации, при которых получение информации крайне затруднено. Часто не представляется возможным по имеющейся информации сделать однозначное заключение и приходится использовать статистические методы.

Теоретическим фундаментом для решения основной задачи технической диагностики следует считать общую теорию распознавания образцов. Эта теория, составляющая важный раздел технической кибернетики, занимается распознаванием образов любой природы (геометрических, звуковых и т.п.), машинным распознаванием речи, печатного и рукописного текстов и т.д. Техническая диагностика изучает алгоритмы распознавания применительно к задачам диагностики, которые обычно могут рассматриваться как задачи классификации.

Алгоритмы распознавания в технической диагностике частично основываются на диагностических моделях, устанавливающих связь между состояниями технической системы и их отображениями в пространстве диагностических сигналов. Важной частью проблемы распознавания являются правила принятия решений (решающие правила).

Решение диагностической задачи (отнесение изделия к исправным или неисправным) всегда связано с риском ложной тревоги или пропуска цели. Для принятия обоснованного решения целесообразно привлекать методы теории статистических решений, разработанные впервые в радиолокации.

Решение задач технической диагностики всегда связано с прогнозированием надежности на ближайший период эксплуатации (до следующего технического осмотра). Здесь решения должны основываться на моделях отказов, изучаемых в теории надежности.

Вторым важным направлением технической диагностики является теория контролеспособности. Контролеспособностью называется свойство изделия обеспечивать достоверную оценку его

технического состояния и раннее обнаружение неисправностей и отказов. Контролеспособность создается конструкцией изделия и принятой системой технической диагностики.

Крупной задачей теории контролеспособности является изучение средств и методов получения диагностической информации. В сложных технических системах используется автоматизированный контроль состояния, которым предусматривается обработка диагностической информации и формирование управляющих сигналов. Методы проектирования автоматизированных систем контроля составляют одно из направлений теории контролеспособности. Наконец, очень важные задачи теории контролеспособности связаны с разработкой алгоритмов поиска неисправностей, разработкой диагностических тестов, минимизацией процесса установления диагноза.

В связи с тем, что техническая диагностика развивалась первоначально только для радиоэлектронных систем, многие авторы отождествляют теорию технической диагностики с теорией контролеспособности (поиском и контролем неисправностей), что, конечно, ограничивает область приложения технической диагностики.

Структура технической диагностики. На рис. 5.1 показана структура технической диагностики. Она характеризуется двумя взаимопроникающими и взаимосвязанными направлениями: теорией распознавания и теорией контролеспособности. Теория распознавания содержит разделы, связанные с построением алгоритмов распознавания, решающих правил и диагностических моделей. Теория контролеспособности включает разработку средств и методов получения диагностической информации, автоматизированный контроль и поиск неисправностей. Техническую диагностику следует рассматривать как раздел общей теории надежности.

Рис 4. Структура технической диагностики

2.2 Постановка задач технической диагностики

Вводные замечания. Пусть требуется определить состояние шлицевого соединения валов редуктора в эксплуатационных условиях. При большом износе шлицев появляются перекосы и усталостные разрушения. Непосредственный осмотр шлицев невозможен, так как требует разборки редуктора, т. е. прекращения эксплуатации. Неисправность шлицевого соединения может повлиять на спектр колебаний корпуса редуктора, акустические колебания, содержание железа в масле и другие параметры.

Задача технической диагностики состоит в определении степени износа шлицев (глубины разрушенного поверхностного слоя) по данным измерений ряда косвенных параметров. Как указывалось, одной из важных особенностей технической диагностики является распознавание в условиях ограниченной информации, когда требуется руководствоваться определенными приемами и правилами для принятия обоснованного решения.

Состояние системы описывается совокупностью (множеством) определяющих ее параметров (признаков). Разумеется, что множество определяющих параметров (признаков) может быть различным, в первую очередь, в связи с самой задачей распознавания. Например, для распознавания состояния шлицевого соединения двигателя достаточна некоторая группа параметров, но она должна быть дополнена, если проводится диагностика и других деталей.

Распознавание состояния системы -- отнесение состояния системы к одному из возможных классов (диагнозов). Число диагнозов (классов, типичных состояний, эталонов) зависит от особенностей задачи и целей исследования.

Часто требуется провести выбор одного из двух диагнозов (дифференциальная диагностика или дихотомия); например, «исправное состояние» и «неисправное состояние». В других случаях необходимо более подробно охарактеризовать неисправное состояние, например повышенный износ шлицев, возрастание вибраций лопаток и т. п. В большинстве задач технической диагностики диагнозы (классы) устанавливаются заранее, и в этих условиях задачу распознавания часто называют задачей классификации.

Так как техническая диагностика связана с обработкой большого объема информации, то принятие решений (распознавание) часто осуществляется с помощью электронных вычислительных машин (ЭВМ).

Совокупность последовательных действий в процессе распознавания называется алгоритмом распознавания. Существенной частью процесса распознавания является выбор параметров, описывающих состояние системы. Они должны быть достаточно информативны, чтобы при выбранном числе диагнозов процесс разделения (распознавания) мог быть осуществлен.

Математическая постановка задачи. В задачах диагностики состояние системы часто описывается с помощью комплекса признаков



K = (k_l, k₂,..., k_j,..., k_v), (2.1)

где k_j -- признак, имеющий m_j разрядов.

Пусть, например, признак k_j представляет собой трехразрядный признак (m_j = 3), характеризующий величину температуры газа за турбиной: пониженная, нормальная, повышенная. Каждый разряд (интервал) признака k_j обозначается k_js, например повышенная температура за турбиной k_jз. Фактически наблюдаемое состояние соответствует определенной реализации признака, что отмечается верхним индексом *. Например, при повышенной температуре реализация признака k*_j = k_jз.

В общем случае каждый экземпляр системы соответствует некоторой реализации комплекса признаков:

K* = (k₁^*, k₂^*,..., k_j^*,..., k_v^*). (2.2)

Во многих алгоритмах распознавания удобно характеризовать систему параметрами x_j, образующими v - мepный вектор или точку в v-мepнoм пространстве:

X = (x_l, x₂, , x_j, , x_v).(2.3)

В большинстве случаев параметры x_j имеют непрерывное распределение. Например, пусть x_j -- параметр, выражающий температуру за турбиной. Предположим, что соответствие между параметром x_j (^°C) и трехразрядным признаком k_j таково:

< 450 к_jl

450 -- 550 к_j2

> 500 к_j3



В данном случае с помощью признака k_j получается дискретное описание, тогда как параметр x_j дает непрерывное описание. Отметим, что при непрерывном описании обычно требуется значительно больший объем предварительной информации, но описание получается более точным. Если, однако, известны статистические законы распределения параметра, то необходимый объем предварительной информации сокращается.

Из предыдущего ясно, что принципиальных отличий при описании системы с помощью признаков или параметров нет, и в дальнейшем будут использованы оба вида описания.

Как указывалось, в задачах технической диагностики возможные состояния системы -- диагнозы D_i -- считаются известными.

Существуют два основных подхода к задаче распознавания: вероятностный и детерминистский. Постановка задачи при вероятностных методах распознавания такова. Имеется система, которая находится в одном из и случайных состояний D_i. Известна совокупность признаков (параметров), каждый из которых с определенной вероятностью характеризует состояние системы. Требуется построить решающее правило, с помощью которого предъявленная (диагностируемая) совокупность признаков была бы отнесена к одному из возможных состояний (диагнозов). Желательно также оценить достоверность принятого решения и степень риска ошибочного решения.

При детерминистских методах распознавания удобно формулировать задачу на геометрическом языке. Если система характеризуется v-мерным вектором X, то любое состояние системы представляет собой точку в v-мерном пространстве параметров (признаков). Предполагается, что диагноз D, соответствует некоторой области рассматриваемого пространства признаков. Требуется найти решающее правило, в соответствии с которым предъявленный вектор X* (диагностируемый объект) будет отнесен к определенной области диагноза. Таким образом задача сводится к разделению пространства признаков на области диагнозов.

При детерминистском подходе области диагнозов обычно считаются «непересекающимися», т.е. вероятность одного диагноза (в область которого попадает точка) равна единице, вероятность других равна нулю. Подобным образом предполагается, что и каждый признак либо встречается при данном диагнозе, либо отсутствует.

Вероятностный и детерминистский подходы не имеют принципиальных различий. Более общими являются вероятностные методы, но они часто требуют и значительно большего объема предварительной информации. Детерминистские подходы более кратко описывают существенные стороны процесса распознавания, меньше зависят от избыточной, малоценной информации, больше соответствуют логике мышления человека.

В последующих главах излагаются основные алгоритмы распознавания в задачах технической диагностики.

Метод Байеса

Среди методов технической диагностики метод, основанный на обобщенной формуле Бaйeca_, занимает особое место благодаря простоте и эффективности.

Разумеется, метод Байеса имеет недостатки: большой объем предварительной информации, «угнетение» редко встречающихся диагнозов и др. Однако в случаях, когда объем статистических данных позволяет применить метод Байеса, его целесообразно использовать как один из наиболее надежных и эффективных методов.

Основы метода. Метод основан на простой формуле Байеса. Если имеется диагноз D_i и простой признак k_j, встречающийся при этом диагнозе, то вероятность совместного появления событий (наличие у объекта состояния D_i и признака k_j)

P (D_ik_j) = P (D_i) P (k_j/D_i) = P (k_j) P (D_i/k_j). (2.4)



Из этого равенства вытекает формула Байеса (см. гл. 11)

P(D_i/k_j) = P(D_i) P(k_i/D_i)/P(k_j) (2.5)

Очень важно определить точный смысл всех входящих в эту формулу величин.

P(D_i) -- вероятность диагноза D_i, определяемая по статистическим данным (априорная вероятность диагноза). Так, если предварительно обследовано N объектов и у N_i объектов имелось состояние D_i, то

P(D_i) = N_i/N. (2.6)

P (k_j/D_i) -- вероятность появления признака k_j у объектов с состоянием D_i. Если среди N_i объектов, имеющих диагноз D_i, у N_ij проявился признак k_j, то

P(k_j/D_i) = N_ij/N_i. (2.7)

P(k_j) -- вероятность появления признака k_j во всех объектах независимо от состояния (диагноза) объекта. Пусть из общего числа N объектов признак k_j был обнаружен у N_j объектов, тогда

P(k_j) = N_j/N. (2.8)

Для установления диагноза специальное вычисление P(kj) не требуется. Как будет ясно из дальнейшего, значения P(D_i)и P (k_j/D_i), известные для всех возможных состояний, определяют величину P (k_j).

В равенстве (3.2) P (D_i/k_j) -- вероятность диагноза D_i послетого, как стало известно наличие у рассматриваемого объекта признака k_j (апостериорная вероятность диагноза).

Обобщенная формула Байеса. Эта формула относится к случаю, когда обследование проводится по комплексу признаков К, включающему признаки k₁, k₂, ..., k_v. Каждый из признаков k_j имеет m_j разрядов (k_jl, k_j2, ..., k_js, ..., ). В результате обследования становится известной реализация признака

k_j^* = k_js (2.9)

и всего комплекса признаков K*. Индекс *, как и раньше, означает конкретное значение (реализацию) признака. Формула Байеса для комплекса признаков имеет вид

P(D_i/К*) = P(D_i)P(К*/D_i)/P(К*) (i = 1, 2, ..., n), (2.10)

где P (D_i/К*) -- вероятность диагноза D_i после того, как стали известны результаты обследования по комплексу признаков К, P (D_i) -- предварительная вероятность диагноза D_i (по предшествующей статистике).

Формула (5.10) относится к любому из n возможных состояний (диагнозов) системы. Предполагается, что система находится только в одном из указанных состояний и потому

(2.11)

В практических задачах нередко допускается возможность существования нескольких состояний А₁, ..., А_r, причем некоторые из них могут встретиться в комбинации друг с другом. Тогда в качестве различных диагнозов D_i следует рассматривать отдельные состояния D₁ = А₁, ..., D_r = А_r и их комбинации D_r+1 = А₁ ^ А₂, … и т. п.

Перейдем к определению P (К*/D_i). Если комплекс признаков состоит из v признаков, то

P(К*/D_i) = P(k₁*/D_i)P (k₂*/k₁*D_i)...P (k_v*/k_l* ... k*_v-1 D_i), (2.12)

где k_j* = k_js -- разряд признака, выявившийся в результате обследования. Для диагностически независимых признаков

P (К*/D_i) = P (k₁*/D_i) P (k₂*/D_i)... P (k_v*/D_i). (2.13)

В большинстве практических задач, особенно при большом числе признаков, можно принимать условие независимости признаков даже при наличии существенных корреляционных связей между ними.

Вероятность появления комплекса признаков К*

P(К*)= P(D_s)P(К*/D_s). (2.14)

Обобщенная формула Байеса может быть записана так:

P(D_i/K*) (2.15)

где P (К*/D_i) определяется равенством (5.12) или (5.13). Из соотношения (5.15) вытекает

P(D_i/К*)=l, (2.16)

что, разумеется, и должно быть, так как один из диагнозов обязательно реализуется, а реализация одновременно двух диагнозов невозможна.

Следует обратить внимание на то, что знаменатель формулы Байеса для всех диагнозов одинаков. Это позволяет сначала определить вероятности совместного появления i-гo диагноза и данной реализации комплекса признаков

P(D_iК*) = P(D_i)P(К*/D_i) (2.17)

и затем апостериорную вероятность диагноза

P (D_i/К*) = P(D_iК*)/P(D_sК*). (2.18)

Отметим, что иногда целесообразно использовать предварительное логарифмирование формулы (5.15), так как выражение (5.13) содержит произведения малых величин.

Если реализация некоторого комплекса признаков К* является детерминирующей для диагноза D_p, то этот комплекс не встречается при других диагнозах:

Тогда, в силу равенства (5.15)

(2.19)



Таким образом, детерминистская логика установления диагноза является частным случаем вероятностной логики. Формула Байеса может использоваться и в том случае, когда часть признаков имеет дискретное распределение, а другая часть -- непрерывное. Для непрерывного распределения используются плотности распределения. Однако в расчетном плане указанное различие признаков несущественно, если задание непрерывной кривой осуществляется с помощью совокупности дискретных значений.

Диагностическая матрица. Для определения вероятности диагнозов по методу Байеса необходимо составить диагностическую матрицу (табл. 5.1), которая формируется на основе предварительного статистического материала. В этой таблице содержатся вероятности разрядов признаков при различных диагнозах.

Таблица 5.1. Диагностическая матрица в методе Байеса

Диагноз Di	Признак kj	P(Di)
	k1	k2	k3
	P(k11/Di)	P(k12/Di)	P(k13/Di)	P(k21/Di)	P(k22/Di)	P(k23/Di)	P(k24/Di)	P(k31/Di)	P(k32/Di)
D1	0,8	0,2	0	0,1	0,1	0,6	0,2	0,2	0,8	0,3
D2	0,1	0,7	0,2	0	0	0,3	0,7	0,1	0,9	0,1
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

Если признаки двухразрядные (простые признаки «да -- нет»), то в таблице достаточно указать вероятность появления признака Р (k_i/D_i). Вероятность отсутствия признака Р (/D,-) = 1 - Р (k_i/D_i).

Однако более удобно использовать единообразную форму, полагая, например, для двухразрядного признака Р (k_j/D_i) = Р (k_i1/D_i); Р (/D,) = Р (k_i2 /D_i).

Отметим, что P(k_js/Di) = 1, где т, -- число разрядов признака k_j. Сумма вероятностей всех возможных реализаций признака равна единице.

В диагностическую матрицу включены априорные вероятности диагнозов. Процесс обучения в методе Байеса состоит в формировании диагностической матрицы. Важно предусмотреть возможность уточнения таблицы в процессе диагностики. Для этого в памяти ЭВМ следует хранить не только значения P(k_js/Di), но и следующие величины: N -- общее число объектов, использованных для составления диагностической матрицы; N_i -- число объектов с диагнозом D_i; N_ij -- число объектов с диагнозом D_i, обследованных по признаку k_j. Если поступает новый объект с диагнозом D_м, то проводится корректировка прежних априорных вероятностей диагнозов следующим образом:

(2.20)

Далее вводятся поправки к вероятностям признаков. Пусть у нового объекта с диагнозом D_м выявлен разряд r признака k_j. Тогда для дальнейшей диагностики принимаются новые значения вероятности интервалов признака k_j при диагнозе D_м:

(2.21)

Условные вероятности признаков при других диагнозах корректировки не требуют.

Пример. Поясним метод Байеса. Пусть при наблюдении за газотурбинным двигателем проверяются два признака: k₁ -- повышение температуры газа за турбиной более чем на 50 °С и k₂ -- увеличение времени выхода на максимальную частоту вращения более чем на 5 с. Предположим, что для данного типа двигателей появление этих признаков связано либо с неисправностью топливного регулятора (состояние D₁,), либо с увеличением радиального зазора в турбине (состояние D₂).

При нормальном состоянии двигателя (состояние D₃) признак k₁ не наблюдается, а признак k₂ наблюдается в 5% случаев. На основании статистических данных известно, что 80% двигателей вырабатывают ресурс в нормальном состоянии, 5% двигателей имеют состояние D₁ и 15% - состояние D₂. Известно также, что признак k₁ встречается при состоянии D₁ в 20% , а при состоянии D₂ в 40% случаев; признак k₂ при состоянии D₁ встречается в 30%, а при состоянии D₂ - в 50% случаев. Сведем эти данные в диагностическую таблицу (табл. 5.2).

Найдем сначала вероятности состояний двигателя, когда обнаружены оба признака k₁ и k₂. Для этого, считая признаки независимыми, применим формулу (5.15).

Вероятность состояния

Аналогично получим Р (D₂/k₁k₂) = 0,91; Р (D₃/k₁k₂) = 0.

Определим вероятность состояний двигателя, если обследование показало, что повышение температуры не наблюдается (признак k₁), но увеличивается время выхода на максимальную частоту вращения (признак k₂ наблюдается). Отсутствие признака k₁ есть признак наличия (противоположное событие), причем Р (/Di) = 1 - Р (k₁/Di).

Для расчета применяют также формулу (5.15), но значение Р (k₁/Di) в диагностической таблице заменяют на Р (/Di). В этом случае



и аналогично Р (D₂/k₂) = 0,46; Р (D₃/k₂) = 0,41. Вычислим вероятности состояний в том случае, когда оба признака отсутствуют. Аналогично предыдущему получим

Отметим, что вероятности состоян...