Методы аппроксимации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.

Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. При изучении количественных зависимостей различных показателей, значения которых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и, особенно, живой природы, частично обуславливается погрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью вариабельности значений. Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд").

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. аппроксимация алгебраический интерполяционный полином

Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно "пожертвовать" деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.

1. Теоретическое описание задачи

Получить аналитическое описание графически заданных зависимостей концентрации дырок р-типа от температуры в образцах кремния с примесью бора (график 1 и 2) методами Лагранжа, Ньютона, Форсайта и сравнить точности каждого из методов при решении данной задачи.

Исходные данные для выполнения курсовой работы:

	1	2	3	4	5
x	0,005	0,01	0,015	0,02	0,025
yа	14,2	14	13	11,8	10,5
ув	15,2	15	14	13	11,8

Рис.1. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора.

2. Теоретическое описание методов решения

Аппроксимацией (приближением) функции f(X) называется нахождение такой функции g(X) (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций f(X) и g(X) могут быть различные.

В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной. В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.

Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция (в широком смысле).

Пусть задан дискретный набор точек X_i(i=0,1,…,n), называемых узлами интерполяции, причем среди этих точек нет совпадающих, а также значения функции Y(X) в этих точках. Требуется построить функцию g(X), проходящую через все заданные узлы. Таким образом, критерием близости функции является g(X_i)=y_i. В качестве функции g(X) обычно выбирается полином, который называют интерполяционным полиномом.

В том случае, когда полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная. В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции.

Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции f(X) между узлами (провести интерполяцию в узком смысле слова), а также определить значение функции f(X) даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию). Следует иметь в виду, что точность экстраполяции обычно очень невелика особенно при удалении от заданного интервала.

Аппроксимация функций с помощью алгебраических интерполяционных полиномов.

Задача аппроксимации функции с помощью алгебраического интерполяционного полинома формулируется следующим образом. Пусть аналитическое выражение функции Y=f(X) неизвестно, заданы только ее значения Y₁...Y_N в точках X₁...X_N некоторого отрезка [a,b]. Необходимо найти полином степени n

(1.1)

для которого выполняются условия:

(1.2)

Так как в точках X_j значение функции Y_j и значение полинома P_n(X_j) должны совпадать между собой, то неизвестные коэффициенты полинома можно найти путем решения системы уравнений (1.2)

Интерполяционная формула Лагранжа.

Одну из простейших формул интерполяции позволяет построить метод Лагранжа. По условию находим полином P_N-1(X) степени (N-1), который в N точках совпадает с N значениями функции f(X). Если найти систему полиномов {ц_j(X)}, каждый из которых в точке Xj равен единице, а в остальных точках равен нулю, то интерполяционный полином можно представить в виде

(1.3)

Это следует из того, что

(1.4)

Последовательность функций {ц_j(X)} такого типа называется фундаментальной системой полиномов.

По предположению полином ц_j(X) в точках X_k при k?j обращается в нуль, поэтому его можно представить в виде

(1.5)

где С_J - некоторая постоянная. Учитывая, что ц_j(X_j)=1, получим

(1.6)

Отсюда следует, что интерполяционный полином Лагранжа имеет вид

(1.7)

Формула Лагранжа при N?4 становится громоздкой при практическом использовании, так как в нее входит произведение П(х). Рассмотрим случай выбора узлов интерполяции, когда формула значительно упрощается.

Предположим, что функция Y=f(X) задана на отрезке [-1,1]. Далее полученные результаты обобщим на случай произвольного отрезка [a,b]. Сначала введем полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода. По определению полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода задаются с помощью формул:

(1.8)

(1.9)

Если узлами интерполяции являются нули полинома T_N(X), то интерполяционный полином Лагранжа можно представить в виде

(1.10)

Предположим, что узлами интерполяции являются нули полинома Чебышева 2-го рода U_N(X). В этом случае интерполяционную формулу Лагранжа можно представить в виде

. (1.11)

Интерполяционная формула Ньютона.

На практике для аппроксимации функции часто используется интерполяционный полином Ньютона. Этот полином вводится с помощью разделенных разностей различных порядков, найденных по значениям функцииY1,…,Y_N в точках X₁,…,X_N.

По определению разделенные разности первого порядка равны

(1.12)

Разности 2-го порядка определяются с помощью разностей 1-го порядка:

(1.13)

Разделенные разности n-го порядка можно представить в виде

(1.14)

Отсюда следует, что разделенная разность является симметричной функцией относительно узлов X_j, т.е. не зависят от порядка расположения входящих в нее переменных X_j.

Построим интерполяционный полином Ньютона. Пусть X-произвольная точка отрезка [a,b]. Рассмотрим разность первого порядка

(1.15)

Из этого выражения находим значение функции в точке :

 (1.16)

Разность второго порядка имеет вид

(1.17)

Отсюда

(1.18)

Подставив это выражение в (1.15) получим

(1.19)

Разность 3-го порядка

(1.20)

позволяет представить (1.19) в виде

(1.21)

Продолжая процесс подстановки, получим выражение



(1.22)

которое можно представить в следующей форме

(1.23)

где

(1.24)

(1.25)

Полином P_N-1(X) является интерполяционным, так как имеют место равенства

(1.26)

Этот полином называется интерполяционным полиномом Ньютона, а R_N-1(X) - остаточным членом формулы Ньютона. Так как по значениям функции в некоторых точках можно единственный интерполяционный полином, то полином Ньютона путем перегруппировки его членов можно преобразовать в интерполяционный полином Лагранжа, для которого каждое из слагаемых суммы (1.18) зависит от всех узлов интерполяции, произвольный m-й член полинома Ньютона зависит только от m первых узлов. Поэтому для полинома Ньютона добавление новых узлов интерполяции приводит лишь к появлению новых слагаемых полинома, без изменения первоначальных.

На практике часто используется интерполяционный полином Ньютона, представленный в виде

(1.27)

который называется формулой Ньютона интерполирования назад.

Метод наименьших квадратов с помощью ортогональных полиномов, интерполяционная формула Форсайта

Рассмотренные выше методы позволяют аппроксимировать функции, заданные экспериментальными данными, с помощью интерполяционных многочленов. На практике интерполяционные формулы применяются в тех случаях, когда ошибки в данных можно не учитывать и число N точек X_j является малым. При больших N эти формулы становятся громоздкими, а также возникают трудности, связанные с неустойчивостью интерполяционного процесса на концах отрезка [a,b].

В реальных задачах ошибки в экспериментальных данных необходимо учитывать. Если зависимости между параметрами являются достаточно гладкими, то даже при больших N часто нет необходимости выбирать для аппроксимации функций можно использовать метод наименьших квадратов (VYR)/

Предположим, что функция Y=f(X) задана на отрезке [a,b] экспериментальными значениями

(1.28)

где е_j - некоррелируемые случайные величины, имеющие нулевое математическое ожидание и дисперсию у². При аппроксимации функции Y=f(X) алгебраическим полиномом (1.28) с помощью МНК по экспериментальным данным необходимо оценить коэффициенты a_k полинома таким образом, чтобы сумма квадратов

(1.29)

была минимальной.

Алгебраический полином (1.28) является частным случаем общей линейной модели

(1.30)

Оценка коэффициентов общей линейной модели сводится к решению системы нормальных уравнений X^TXa = X^TY, которая для приближения (1.28) имеет вид

(1.31)

Где

(1.32)

(1.33)

- оценки коэффициентов .

Решение системы (1.31) существует, если определитель Дn+1 ? 0.

В рамках современной математики задача аппроксимации с помощью полинома (1.28) формулируется как задача оценки коэффициентов модели, представляющей собой комбинацию функций некоторой подсистемы Lm системы базисных функций L={1,X,X²,…,Xⁿ,…}. Влияние плохой обусловленности значительно уменьшается, если вместо модели (1.28) рассматривается модель

(1.34)

представляющая собой линейную комбинацию элементов подсистемы Lm системы ортогональных полиномов L={1,ц₁(X), ц₂(X),…, ц_n(X),…}.

Система полиномов

ортогональна на [a,b] в следующем смысле

(1.35)

В настоящее время разработано несколько подходов к построению ортогональных полиномов. Одной из наиболее простых является система полиномов Чебышева. На практике удобной является так же система ортогональных полиномов Форсайта

(1.36)

где и и выбираются из условия ортогональности .

Если аппроксимирующая функция имеет вид (1.34), то

 (1.37)

Эту систему уравнений можно представить в матричной форме

(1.38)

с - (n+1)-мерный вектор-столбец неизвестных параметров модели (1.34). Из условия ортогональности матрица системы нормальных уравнений является диагональной:

(1.39)

Из линейной алгебры известно, что матрица, обратная к диагональной, также является диагональной., причем ее элементы равны обратным величинам диагональных элементов исходной матрицы. Поэтому учитывая, что решение нормальной системы уравнений можно найти по формуле

,

получим оценки коэффициентов модели (1.34)

(1.40)

Оценки коэффициентов не коррелированны между собой и имеют дисперсии

(1.41)

где - дисперсия случайных ошибок эксперимента.

При решении практических задач степень аппроксимирующего полинома обычно неизвестна. Если функция Y=f(X) аппроксимируется с помощью полинома (1.28), то выбор его степени часто осуществляется следующим образом. Начиная с некоторого малого числа n₀, выбирается возрастающая последовательность целых чисел n₁,n₂,n₃,…,n_p,… и для этих степеней путем решения системы (X^TX)a=X^Ty вычисляются коэффициенты полинома. Для каждого значения n с помощью найденных оценок вычисляются остаточные дисперсии

(1.42)

При увеличении n остаточная дисперсия сначала обычно убывает, а позже наступает момент, когда она начинает возрастать. Поэтому степень полинома n выбирается равной значению n, при котором остаточная дисперсия является минимальной.

Система нормальных уравнений взвешенного метода наименьших квадратов имеет вид (1.29), где

(1.43)

(1.44)

Задачу аппроксимации функции взвешенным методом наименьших квадратов можно также решить, используя ортогональные полиномы. При этом коэффициенты модели (1.34) выбираются из условия минимума функции

(1.45)

Если полиномы образуют ортогональную систему функций, то матрица нормальной системы является диагональной, а решение системы имеет вид

(1.46)

Ортогональные полиномы можно найти с помощью рекуррентных формул

, (1.47)

где

3. Расчёт и графики по каждому методу аппроксимации

Результат работы программы расчета по методу Лагранжа:

Для кривой 1: Для кривой 2:



Рис.2. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Лагранжа.

Результат работы программы расчета по методу Ньютона:

Для кривой 1:Для кривой 2:



Рис.3. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Ньютона.

Результат работы программы расчета по методу Форсайта:

Степень алгебраического полинома М=2

Для кривой 1:

Для кривой 2:



Рис.4. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Форсайта.

Степень алгебраического полинома М=3

Для кривой 1:

Для кривой 2:

Рис.5. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Форсайта.

Степень алгебраического полинома М=4

Для кривой 1:

Для кривой 2:



Рис.6. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Форсайта.

4. Сводный график

Рис.7. Сводный график.

где:

1 - заданный график для «1»

2 - заданный график для «2»

3 - аппроксимированный график по методу Лагранжа для «1»

4 - аппроксимированный график по методу Лагранжа для «2»

5 - аппроксимированный график по методу Ньютона для «1»

6 - аппроксимированный график по методу Ньютона для «2»

7 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 2 для «1»

8 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 2 для «2»

9 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 3 для «1»

10 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 3 для «2»

11 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 4 для «1»

12 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 4 для «2»

5. Анализ точности

Аппроксимация по методу Лагранжа

Х	0,005	0,0075	0,01	0,0125	0,015	0,0175	0,02	0,0225	0,025
У1(задан)	14,2	14,3	14	13,6	13	12,45	11,8	11,2	10,5
У1(апрок)	14,2	14,25703	14	13,55078	13	12,40703	11,8	11,17578	10,5
абсолют.п.	0	0,04297	0	0,04922	0	0,04297	0	0,02422	0
относит.п.	0	0,301395	0	0,363226	0	0,346336	0	0,216719	0

Погрешность составляет 0,13 %

Х	0,005	0,0075	0,01	0,0125	0,015	0,0175	0,02	0,0225	0,025
У2(задан)	15,2	15,3	15	14,5	14	13,5	13	12,5	11,8
У2(апрок)	15,2	15,28906	15	14,52656	14	13,48906	13	12,47656	11,8
абсолют.п.	0	0,01094	0	-0,02656	0	0,01094	0	0,02344	0
относит.п.	0	0,071554	0	0,182838	0	0,081103	0	0,187872	0

Погрешность составляет 0,05 %

Аппроксимация по методу Ньютона

Х	0,005	0,0075	0,01	0,0125	0,015	0,0175	0,02	0,0225	0,025
У1(задан)	14,2	14,3	14	13,6	13	12,45	11,8	11,2	10,5
У1(апрок)	14,2	14,25703	14	13,55078	13	12,40703	11,8	11,17578
абсолют.п.	0	0,04297	0	0,04922	0	0,04297	0	0,02422	10,5
относит.п.	0	0,301395	0	0,363226	0	0,346336	0	0,216719

Погрешность составляет 0,15 %

Х	0,005	0,0075	0,01	0,0125	0,015	0,0175	0,02	0,0225	0,025
У2(задан)	15,2	15,3	15	14,5	14	13,5	13	12,5	11,8
У2(апрок)	15,2	15,28906	15	14,52656	14	13,48906	13	12,47656
абсолют.п.	0	0,01094	0	-0,02656	0	0,01094	0	0,02344	11,8
относит.п.	0	0,071554	0	0,182838	0	0,081103	0	0,187872

Погрешность составляет 0,06 %

Аппроксимация по методу Форсайта со степенью 2

Х	0,005	0,0075	0,01	0,0125	0,015	0,0175	0,02	0,0225	0,025
У1(з.)	14,2	14,3	14	13,6	13	12,45	11,8	11,2	10,5
У1(а.)	14,36455	14,1669	13,8846	13,51759	13,0658	12,52926	11,90798	11,2019	10,411
А.п.	-0,16455	0,13303	0,11535	0,08241	-0,0658	-0,07926	-0,10798	-0,0019	0,0887
О.п.	1,145528	0,93901	0,83077	0,60965	0,503605	0,632599	0,906787	0,01758	0,8528

Погрешность составляет 0,71%

Х	0,005	0,0075	0,01	0,0125	0,015	0,0175	0,02	0,0225	0,025
У2(з.)	15,2	15,3	15	14,5	14	13,5	13	12,5	11,8
У2(а.)	15,36971	15,14243	14,8515	14,4969	14,07878	13,59697	13,05151	12,4424	11,769
А.п.	-0,16971	0,15757	0,14849	0,00303	-0,07878	-0,09697	-0,05151	0,05757	0,0303
О.п.	1,104184	1,04058	0,99983	0,02090	0,559566	0,24628	0,394667	086396	0,2574

Погрешность составляет 0,62 %

Аппроксимация по методу Форсайта со степенью 3

Х	0,005	0,0075	0,01	0,0125	0,015	0,0175	0,02	0,0225	0,025
У1(з.)	14,2	14,3	14	13,6	13	12,45	11,8	11,2	10,5
У1(а.)	13,88457	14,2278	14,1405	13,7311	13,1080	12,6165	11,6543	11,0405	10,646
А.п.	0,31543	0,0722	-0,1405	-0,1311	-0,1080	-0,1665	0,14566	0,1595	-0,146
О.п.	2,271802	0,50745	0,99381	0,95512	0,82445	1,3197	1,24983	1,44468	1,3763

Погрешность составляет 1,21%

Х	0,005	0,0075	0,01	0,0125	0,015	0,0175	0,02	0,0225	0,025
У2(з.)	15,2	15,3	15	14,5	14	13,5	13	12,5	11,8
У2(а.)	15,2707	15,1919	14,9434	14,56061	14,07878	13,53333	12,95959	12,39293	11,868
А.п.	-0,0707	0,10807	0,05656	-0,06061	-0,07878	-0,03333	0,04041	0,10707	-0,068
О.п.	0,46304	0,71136	0,37849	0,41626	0,559566	0,24628	0,311815	0,86396	0,5788

Погрешность составляет 0,5 %

Аппроксимация по методу Форсайта со степенью 4

Х	0,005	0,0075	0,01	0,0125	0,015	0,0175	0,02	0,0225	0,025
У1(з.)	14,2	14,3	14	13,6	13	12,45	11,8	11,2	10,5
У1(а.)	14,2040	14,2825	14,0286	13,5753	13,02038	12,4260	11,81952	11,1923	10,5010
А.п.	-0,0040	0,01746	-0,0286	0,02466	-0,02038	0,02391	-0,01952	0,00762	-0,0010
О.п.	0,0286	0,12224	0,20408	0,18165	0,156524	0,19241	0,16515	0,06808	0,00990

Погрешность составляет 0,12 %

Х	0,005	0,0075	0,01	0,0125	0,015	0,0175	0,02	0,0225	0,025
У2(з.)	15,2	15,3	15	14,5	14	13,5	13	12,5	11,8
У2(а.)	15,20216	15,2947	14,9973	14,51654	13,9906	13,4892	13,0134	12,4957	11,8001
А.п.	-0,00216	0,00526	0,0027	-0,01654	0,00935	0,01074	-0,0134	0,00426	-0,0001
О.п.	0,014208	0,03439	0,01800	0,11393	0,06683	0,79619	0,10335	0,03355	0,00127

Погрешность составляет 0,05%

Заключение

В своей практике инженер часто сталкивается с необходимостью аналитически описать экспериментально полученные зависимости, представленные графически или таблично. Для этого используются методы аппроксимации, соответствующее алгоритмическое и программное обеспечение.

В данной курсовой работе мы на практике знакомились с различными методами аппроксимации, соответствующим алгоритмическим и программным обеспечением.

Проведя все расчеты можно сделать вывод, что из рассмотренных методов аппроксимации, метод наименьших квадратов со степенью 4 является самым точным.

Список литературы

1. Бронштейн и Семендяев Справочник по математике для ВТУЗов. - М., 1986г.

2. Шафрин Ю.А. Информационные технологии.- М., Лаборатория базовых знаний, 2000г.

3. Конева Н.Е. Информационные технологии в электронике. Методические указания к лабораторному практикуму для студентов специальности 210105 - Электронные приборы и устройства. МГОУ, 2009г .

4. Норенков И.П. Системы автоматизированного проектирования. Учебное пособие, Высшая школа, Москва, 1986г.

5. Вллах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем. - М., Радио и связь, 1988г.

6. Чау Л.О., Пен-Ман Лиин. Машинный анализ электронных схем. - М.,Мир.

7. Шур Т. Решение инженерных задач на ЭВМ, - М., 1982г.

8. Чахмахсазян Е.А., Бармаков Ю.Н., Голденберг А.Э. Машинный анализ интегральных схем. - М., Советское радио, 1974г.

9. Бахвалов Н.С., Лапин А.Р., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. - М., Высшая школа, 2000г.

10. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Поспелов В.В. Сборник задач по методам вычислений. - М.,Издательство МГУ,1989г.

11. Конева Н.Е. Информационные технологии в электронике. Методические указания к курсовой работе для студентов специальности 210105 - Электронные приборы и устройства. МГОУ, 2009г.

Размещено на Allbest.ru

...