Оценка погрешности измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А."

Кафедра "Электронные приборы и устройства"

КУРСОВАЯ РАБОТА

Оценка погрешностей измерений

Выполнил:

студент ИнЭТМ,

Сусский А.В.

Проверил:

Доктор технических наук,

профессор

Захаров А.А.

Саратов 2014



Содержание

Введение

1. Элементы теории

1.1 Модель измерения и основные постулаты метрологии

1.2 Виды и методы измерений

1.3 Классификация погрешностей

2. Методы определения и учета погрешностей

2.1 Обнаружение грубых погрешностей

3. Расчетная часть

Выводы

Список использованной литературы



Введение

Измерение физических величин и получение их числовых значений являются непосредственной задачей большинства физических экспериментов. Однако результаты всех измерений, как бы тщательно они не выполнялись, всегда получаются с некоторыми погрешностями. Кроме того, результаты эксперимента или наблюдения зачастую представляют собой набор статистических данных, которые необходимо уметь правильно обрабатывать и интерпретировать. Это касается, безусловно, не только физического эксперимента, но и любой науки, оперирующей какими-либо экспериментальными или наблюдательными данными, в частности, таких областей, как медицина, экономика, социология и т. д.

Анализ и оценка погрешностей составляют предмет отдельной науки -- теории ошибок, а теорией обработки статистических данных занимается тесно связанная с ней дисциплина -- математическая статистика. Умение работать с погрешностями, или «ошибками», является важной частью любого научного эксперимента на всех его этапах. Так, при подготовке и проведении эксперимента необходимо знать точность используемых приборов, уметь находить пути возможного уменьшения ошибок, разумно организовать сами измерения и правильно оценивать точность полученных значений. На этапе обработки возникает необходимость пересчитывать возможную ошибку в конечных результатах по известным оценкам погрешностей в исходных данных. А на самом важном этапе -- интерпретации результатов эксперимента или наблюдения -- без знания точности проведённых измерений и без корректной статистической обработки невозможно делать обоснованные выводы в пользу той или иной физической модели, той или иной гипотезы.



1. Элементы теории

1.1 Модель измерения и основные постулаты метрологии

Для оценки технического состояния технических систем (ТС) в эксплуатации производят измерения ее выходных параметров и на основе измерительной информации принимают решение о пригодности ТС к дальнейшей эксплуатации или необходимости профилактических (ремонтных) воздействий. В простейшем случае модель измерения (рис.1.) может быть описана функциональной зависимостью изменения выходного сигнала у от изменения входного сигнала х, как y = f(x).

Рис. 1. Модель измерения

Однако в процессе измерений возникают различные внешние и внутренние помехи z_i z_j..., которые вносят погрешность в результат измерения. Причем каждая из составляющих имеет свою плотность вероятности f(x), f(y), f(z). Это определяет тот факт, что при многократном измерении одной и той же величины х одним и тем же средством измерения в одинаковых условиях результаты измерения, как правило, различаются между собой и не совпадают с истинным х_и значением физической величины

Под истинным значением физической величины понимается значение, которое идеальным образом отражало бы в качественном и количественном отношениях соответствующие свойства ТС через ее выходной параметр. Поскольку истинное значение есть идеальное значение, то в качестве наиболее близкого к нему используют действительное значение x_д, найденное экспериментальным методом, например с помощью более точных СИ.

Изложенное позволяет сформулировать основные постулаты метрологии. Истинное значение определяемой величины существует, и оно постоянно. Истинное значение измеряемой величины отыскать невозможно.

1.2 Виды и методы измерений

Измерение - процесс нахождения значения физической величины опытным путем с помощью средств измерения. Результатом процесса является значение физической величины

Q = qU ,

где q - числовое значение физической величины в принятых единицах; U - единица физической величины. Значение физической величины Q, найденное при измерении, называют действительным.

Принцип измерений - физическое явление или совокупность физических явлений, положенных в основу измерений. Например, измерение массы тела при помощи взвешивания с использованием силы тяжести, пропорциональной массе, измерение температуры с использованием термоэлектрического эффекта.

Метод измерений - совокупность приемов использования принципов и средств измерений.

Средствами измерений (СИ) являются используемые технические средства, имеющие нормированные метрологические свойства. Существует различные виды измерений. Классификацию видов измерения проводят, исходя из характера зависимости измеряемой величины от времени, вида уравнения измерений, условий, определяющих точность результата измерений и способов выражения этих результатов.

По характеру зависимости измеряемой величины от времени измерения выделяют статические и динамические измерения.

Статические - это измерения, при которых измеряемая величина остается постоянной во времени. Такими измерениями являются, например, измерения размеров изделия, величины постоянного давления, температуры и др.

Динамические - это измерения, в процессе которых измеряемая величина изменяется во времени, например, измерение давления и температуры при сжатии газа в цилиндре двигателя.

По способу получения результатов, определяемому видом уравнения измерений, выделяют прямые, косвенные, совокупные и совместные измерения.

Прямые - это измерения, при которых искомое значение физической величины находят непосредственно из опытных данных. Прямые измерения можно выразить формулой Q = X, где Q - искомое значение измеряемой величины, а X - значение, непосредственно получаемое из опытных данных. Примерами таких измерений являются: измерение длины линейкой или рулеткой, измерение диаметра штангенциркулем или микрометром, измерение угла угломером, измерение температуры термометром и т.п.

Косвенные - это измерения, при которых значение величины определяют на основании известной зависимости между искомой величиной и величинами, значения которых находят прямыми измерениями. Таким образом, значение измеряемой величины вычисляют по формуле

Q = F(x1, x2 ... xN),



где Q - искомое значение измеряемой величины; F - известная функциональная зависимость, x1, x2, … , xN - значения величин, полученные прямыми измерениями. Примеры косвенных измерений: определение объема тела по прямым измерениям его геометрических размеров, нахождение удельного электрического сопротивления проводника по его сопротивлению, длине и площади поперечного сечения, измерение среднего диаметра резьбы методом трёх проволочек и т.д. Косвенные измерения широко распространены в тех случаях, когда искомую величину невозможно или слишком сложно измерить прямым измерением. Встречаются случаи, когда величину можно измерить только косвенным путём, например размеры астрономического или внутриатомного порядка.

Совокупные - это такие измерения, при которых значения измеряемых величин определяют по результатам повторных измерений одной или нескольких одноименных величин при различных сочетаниях мер или этих величин. Значение искомой величины определяют решением системы уравнений, составляемых по результатам нескольких прямых измерений. Примером совокупных измерений является определение массы отдельных гирь набора, т.е. проведение калибровки по известной массе одной из них и по результатам прямых измерений и сравнения масс различных сочетаний гирь. Рассмотрим пример совокупных измерений, который заключается в проведении калибровки разновеса, состоящего из гирь массой 1, 2, 2*, 5, 10 и 20 кг. Ряд гирь (кроме 2*) представляет собой образцовые массы разного размера. Звездочкой отмечена гиря, имеющая значение, отличное от точного значения 2 кг. Калибровка состоит в определении массы каждой гири по одной образцовой гире, например по гире массой 1 кг. Меняя комбинацию гирь, проведем измерения. Составим уравнения, где цифрами обозначим массу отдельных гирь, например 1обр обозначает массу образцовой гири в 1 кг, тогда: 1 = 1обр + a; 1 + 1обр = 2 + b; 2* = 2 + c; 1 + 2 + 2* = 5 + d и т.д. Дополнительные грузы, которые необходимо прибавлять к массе гири указанной в правой части уравнения или отнимать от неё для уравновешивания весов, обозначены a, b, c, d . Решив эту систему уравнений, можно определить значение массы каждой гири.

Совместные - это измерения, производимые одновременно двух или нескольких разноименных величин для нахождения функциональной зависимости между ними. Примерами совместных измерений являются определение длины стержня в зависимости от его температуры или зависимости электрического сопротивления проводника от давления и температуры.

По условиям, определяющим точность результата, измерения делятся на три класса.

1. Измерения максимально возможной точности, достижимой при существующем уровне техники. В этот класс включены все высокоточные измерения и в первую очередь эталонные измерения, связанные с максимально возможной точностью воспроизведения установленных единиц физических величин. Сюда относятся также измерения физических констант, прежде всего универсальных, например измерение абсолютного значения ускорения свободного падения.

2. Контрольно-поверочные измерения, погрешность которых с определенной вероятностью не должна превышать некоторого заданного значения. В этот класс включены измерения, выполняемые лабораториями государственного контроля (надзора) за соблюдением требований технических регламентов, а также состоянием измерительной техники и заводскими измерительными лабораториями. Эти измерения гарантируют погрешность результата с определенной вероятностью, не превышающей некоторого, заранее заданного значения.

В зависимости от способа выражения результатов измерений различают абсолютные и относительные измерения.

Абсолютными называют измерения, которые основаны на прямых измерениях одной или нескольких основных величин или на использовании значений физических констант. Примерами абсолютных измерений являются: определение длины в метрах, силы электрического тока в амперах, ускорения свободного падения в метрах на секунду в квадрате.

Относительными называют измерения, при которых искомую величину сравнивают с одноименной величиной, играющей роль единицы или принятой за исходную. Примерами относительных измерений являются: измерение диаметра обечайки по числу оборотов мерного ролика, измерение относительной влажности воздуха, определяемой как отношение количества водяных паров в 1 куб.м воздуха к количеству водяных паров, которое насыщает 1 куб.м воздуха при данной температуре.

В зависимости от способа определения значений искомых величин различают два основных метода измерений метод непосредственной оценки и метод сравнения с мерой.

Метод непосредственной оценки - метод измерения, при котором значение величины определяют непосредственно по отсчетному устройству измерительного прибора прямого действия. Примерами таких измерений являются: измерение длины с помощью линейки, размеров деталей микрометром, угломером, давления манометром и т. д.

Метод сравнения с мерой - метод измерения, при котором измеряемую величину сравнивают с величиной, воспроизводимой мерой. Например, для измерения диаметра калибра оптиметр устанавливают на нуль по блоку концевых мер длины, а результат измерения получают по показанию стрелки оптиметра, являющегося отклонением от нуля. Таким образом, измеряемая величина сравнивается с размером блока концевых мер.Существуют несколько разновидностей метода сравнения:

а) метод противопоставления, при котором измеряемая величина и величина, воспроизводимая мерой, одновременно воздействуют на прибор сравнения, позволяющий установить соотношение между этими величинами, например измерение сопротивления по мостовой схеме с включением в диагональ моста показывающего прибора;

б) дифференциальный метод, при котором измеряемую величину сравнивают с известной величиной, воспроизводимой мерой. Этим методом, например, определяют отклонение контролируемого диаметра детали на оптиметре после его настройки на нуль по блоку концевых мер длины;

в) нулевой метод - также разновидность метода сравнения с мерой, при котором результирующий эффект воздействия величин на прибор сравнения доводят до нуля. Этим методом измеряют электрическое сопротивление по схеме моста с полным его уравновешиванием;

г) при методе совпадений разность между измеряемой величиной и величиной, воспроизводимой мерой, определяют, используя совпадения отметок шкал или периодических сигналов. Например, при измерении штангенциркулем используют совпадение отметок основной и нониусной шкал.

В зависимости от способа получения измерительной информации, измерения могут быть контактными и бесконтактными. В зависимости от типа, применяемых измерительных средств, различают инструментальный, экспертный, эвристический и органолептический методы измерений.

Оценка состояния объекта может проводиться поэлементными и комплексными измерениями.

Поэлементныйметод характеризуется измерением каждого параметра изделия в отдельности. Например, эксцентриситета, овальности, огранки цилиндрического вала.

Комплексный метод характеризуется измерением суммарного показателя качества, на который оказывают влияние отдельные его составляющие.



Рис. 3. Классификация видов измерений

1.3 Классификация погрешностей

Погрешность измерения -- оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения. Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение никакой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. Такое значение, обычно, вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2,8±0,1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с. до 2,9 с. с некоторой оговорённой вероятностью. В 2004 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределённость измерений», однако ГОСТ Р 50.2.038-2004 допускает использовать термин погрешность для документов, использующихся в России. В практике использования измерений очень важным показателем становится их точность, которая представляет собой ту степень близости итогов измерения к некоторому действительному значению, которая используется для качественного сравнения измерительных операций. А в качестве количественной оценки, как правило, используется погрешность измерений. Причем чем погрешность меньше, тем считается выше точность. Согласно закону теории погрешностей, если необходимо повысить точность результата (при исключенной систематической погрешности) в 2 раза, то число измерений необходимо увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т. д. Процесс оценки погрешности измерений считается одним из важнейших мероприятий в вопросе обеспечения единства измерений. Естественно, что факторов, оказывающих влияние на точность измерения, существует огромное множество. Следовательно, любая классификация погрешностей измерения достаточно условна, поскольку нередко в зависимости от условий измерительного процесса погрешности могут проявляться в различных группах. При этом согласно принципу зависимости от формы данные выражения погрешности измерения могут быть: абсолютными, относительными и приведенными. Кроме того, по признаку зависимости от характера проявления, причин возникновения и возможностей устранения погрешности измерений могут быть составляющими. При этом различают следующие составляющие погрешности: систематические и случайные.

Систематическая составляющая остается постоянной или меняется при следующих измерениях того же самого параметра.

Случайная составляющая изменяется при повторных изменениях того же самого параметра случайным образом. Обе составляющие погрешности измерения (и случайная, и систематическая) проявляются одновременно. Причем значение случайной погрешности не известно заранее, поскольку оно может возникать из-за целого ряда неуточненных факторов Данный вид погрешности нельзя исключить полностью, однако их влияние можно несколько уменьшить, обрабатывая результаты измерений.

Выделяют следующие виды погрешностей:

абсолютная погрешность;

относительна погрешность;

приведенная погрешность;

основная погрешность;

дополнительная погрешность;

систематическая погрешность;

случайная погрешность;

инструментальная погрешность;

методическая погрешность;

личная погрешность;

статическая погрешность;

динамическая погрешность.

Погрешности измерений классифицируются по следующим признакам.

По способу математического выражения погрешности делятся на абсолютные погрешности и относительные погрешности.

По взаимодействию изменений во времени и входной величины погрешности делятся на статические погрешности и динамические погрешности.

По характеру появления погрешности делятся на систематические погрешности и случайные погрешности. По характеру зависимости погрешности от влияющих величин погрешности делятся на основные и дополнительные. По характеру зависимости погрешности от входной величины погрешности делятся на аддитивные и мультипликативные.

Абсолютная погрешность - это значение, вычисляемое как разность между значением величины, полученным в процессе измерений, и настоящим (действительным) значением данной величины.

Абсолютная погрешность вычисляется по следующей формуле:

?Q_n =Q_n -Q₀,

где ?Q_n - абсолютная погрешность;

Q_n - значение некой величины, полученное в процессе измерения;

Q₀ - значение той же самой величины, принятое за базу сравнения (настоящее значение).

Абсолютная погрешность меры - это значение, вычисляемое как разность между числом, являющимся номинальным значением меры, и настоящим (действительным) значением воспроизводимой мерой величины.

Относительная погрешность - это число, отражающее степень точности измерения. Относительная погрешность вычисляется по следующей формуле:

где ?Q - абсолютная погрешность;

Q₀ - настоящее (действительное) значение измеряемой величины.

Относительная погрешность выражается в процентах.

Приведенная погрешность - это значение, вычисляемое как отношение значения абсолютной погрешности к нормирующему значению.

Нормирующее значение определяется следующим образом:

для средств измерений, для которых утверждено номинальное значение, это номинальное значение принимается за нормирующее значение;

для средств измерений, у которых нулевое значение располагается на краю шкалы измерения или вне шкалы, нормирующее значение принимается равным конечному значению из диапазона измерений. Исключением являются средства измерений с существенно неравномерной шкалой измерения;

для средств измерений, у которых нулевая отметка располагается внутри диапазона измерений, нормирующее значение принимается равным сумме конечных численных значений диапазона измерений;

для средств измерения (измерительных приборов), у которых шкала неравномерна, нормирующее значение принимается равным целой длине шкалы измерения или длине той ее части, которая соответствует диапазону измерения. Абсолютная погрешность тогда выражается в единицах длины.

Погрешность измерения включает в себя инструментальную погрешность, методическую погрешность и погрешность отсчитывания. Причем погрешность отсчитывания возникает по причине неточности определения долей деления шкалы измерения.

Инструментальная погрешность - это погрешность, возникающая из-за допущенных в процессе изготовления функциональных частей средств измерения ошибок.

Методическая погрешность - это погрешность, возникающая по следующим причинам:

неточность построения модели физического процесса, на котором базируется средство измерения;

неверное применение средств измерений.

Субъективная погрешность - это погрешность возникающая из-за низкой степени квалификации оператора средства измерений, а также из-за погрешности зрительных органов человека, т. е. причиной возникновения субъективной погрешности является человеческий фактор.

Погрешности по взаимодействию изменений во времени и входной величины делятся на статические и динамические погрешности.

Статическая погрешность - это погрешность, которая возникает в процессе измерения постоянной (не изменяющейся во времени) величины.

Динамическая погрешность - это погрешность, численное значение которой вычисляется как разность между погрешностью, возникающей при измерении непостоянной (переменной во времени) величины, и статической погрешностью (погрешностью значения измеряемой величины в определенный момент времени).

По характеру зависимости погрешности от влияющих величин погрешности делятся на основные и дополнительные.

Основная погрешность - это погрешность, полученная в нормальных условиях эксплуатации средства измерений (при нормальных значениях влияющих величин).

Дополнительная погрешность - это погрешность, которая возникает в условиях несоответствия значений влияющих величин их нормальным значениям, или если влияющая величина переходит границы области нормальных значений.

Нормальные условия - это условия, в которых все значения влияющих величин являются нормальными либо не выходят за границы области нормальных значений.

Рабочие условия - это условия, в которых изменение влияющих величин имеет более широкий диапазон (значения влияющих не выходят за границы рабочей области значений).

Рабочая область значений влияющей величины - это область значений, в которой проводится нормирование значений дополнительной погрешности.

По характеру зависимости погрешности от входной величины погрешности делятся на аддитивные и мультипликативные.

Аддитивная погрешность - это погрешность, возникающая по причине суммирования численных значений и не зависящая от значения измеряемой величины, взятого по модулю (абсолютного).

Мультипликативная погрешность - это погрешность, изменяющаяся вместе с изменением значений величины, подвергающейся измерениям.

Надо заметить, что значение абсолютной аддитивной погрешности не связано со значением измеряемой величины и чувствительностью средства измерений. Абсолютные аддитивные погрешности неизменны на всем диапазоне измерений. Значение абсолютной аддитивной погрешности определяет минимальное значение величины, которое может быть измерено средством измерений. Значения мультипликативных погрешностей изменяются пропорционально изменениям значений измеряемой величины. Значения мультипликативных погрешностей также пропорциональны чувствительности средства измерений Мультипликативная погрешность возникает из-за воздействия влияющих величин на параметрические характеристики элементов прибора.

Погрешности, которые могут возникнуть в процессе измерений, классифицируют по характеру появления. Выделяют:

систематические погрешности и случайные погрешности.

В процессе измерения могут также появиться грубые погрешности и промахи.

Систематическая погрешность - это составная часть всей погрешности результата измерения, не изменяющаяся или изменяющаяся закономерно при многократных измерениях одной и той же величины. Обычно систематическую погрешность пытаются исключить возможными способами (например, применением методов измерения, снижающих вероятность ее возникновения), если же систематическую погрешность невозможно исключить, то ее просчитывают до начала измерений и в результат измерения вносятся соответствующие поправки. В процессе нормирования систематической погрешности определяются границы ее допустимых значений. Систематическая погрешность определяет правильность измерений средств измерения (метрологическое свойство). Систематические погрешности в ряде случаев можно определить экспериментальным путем. Результат измерений тогда можно уточнить посредством введения поправки.

Способы исключения систематических погрешностей делятся на четыре вида:

ликвидация причин и источников погрешностей до начала проведения измерений;

устранение погрешностей в процессе уже начатого измерения способами замещения, компенсации погрешностей по знаку, противопоставлениям, симметричных наблюдений;

корректировка результатов измерения посредством внесения поправки (устранение погрешности путем вычислений);

определение пределов систематической погрешности в случае, если ее нельзя устранить.

Ликвидация причин и источников погрешностей до начала проведения измерений. Данный способ является самым оптимальным вариантом, так как его использование упрощает дальнейший ход измерений (нет необходимости исключать погрешности в процессе уже начатого измерения или вносить поправки в полученный результат). Для устранения систематических погрешностей в процессе уже начатого измерения применяются различные способы.

Способ введения поправок базируется на знании систематической погрешности и действующих закономерностей ее изменения. При использовании данного способа в результат измерения, полученный с систематическими погрешностями, вносят поправки, по величине равные этим погрешностям, но обратные по знаку.

Способ замещения состоит в том, что измеряемая величина заменяется мерой, помещенной в те же самые условия, в которых находился объект измерения. Способ замещения применяется при измерении следующих электрических параметров: сопротивления, емкости и индуктивности.

Способ компенсации погрешности по знаку состоит в том, что измерения выполняются два раза таким образом, чтобы погрешность, неизвестная по величине, включалась в результаты измерений с противоположным знаком.

Способ противопоставления похож на способ компенсации по знаку. Данный способ состоит в том, что измерения выполняют два раза таким образом, чтобы источник погрешности при первом измерении противоположным образом действовал на результат второго измерения.

Случайная погрешность - это составная часть погрешности результата измерения, изменяющаяся случайно, незакономерно при проведении повторных измерений одной и той же величины. Появление случайной погрешности нельзя предвидеть и предугадать. Случайную погрешность невозможно полностью устранить, она всегда в некоторой степени искажает конечные результаты измерений. Но можно сделать результат измерения более точным за счет проведения повторных измерений. Причиной случайной погрешности может стать, например, случайное изменение внешних факторов, воздействующих на процесс измерения. Случайная погрешность при проведении многократных измерений с достаточно большой степенью точности приводит к рассеянию результатов.

Промахи и грубые погрешности - это погрешности, намного превышающие предполагаемые в данных условиях проведения измерений систематические и случайные погрешности. Промахи и грубые погрешности могут появляться из-за грубых ошибок в процессе проведения измерения, технической неисправности средства измерения, неожиданного изменения внешних условий.



2.Методы определения и учета погрешностей

Методы определения и учета погрешностей измерений используются для того, чтобы:

на основании результатов измерений получить настоящее (действительное) значение измеряемой величины;

определить точность полученных результатов, т. е. степень их соответствия настоящему (действительному) значению.

В процессе определения и учета погрешностей оцениваются:

математическое ожидание;

среднеквадратическое отклонение.

Точечная оценка параметра (математического ожидания или среднеквадратического отклонения) - это оценка параметра, которая может быть выражена одним числом. Точечная оценка является функцией от экспериментальных данных и, следовательно, сама должна быть случайной величиной, распределенной по закону, зависящему от закона распределения для значений исходной случайной величины Закон распределения значений точечной оценки будет зависеть также от оцениваемого параметра и от числа испытаний (экспериментов).

Точечная оценка бывает следующих видов:

несмещенная точечная оценка;

эффективная точечная оценка;

состоятельная точечная оценка.

Несмещенная точечная оценка - это оценка параметра погрешности, математическое ожидание которой равно этому параметру.

Эффективная точечная оценка - это точечная оценка. дисперсия которой меньше, чем дисперсия другой какой угодно оценки этого параметра.

Состоятельная точечная оценка - это оценка, которая при увеличении числа испытаний стремится к значению параметра, подвергающегося оценке.

Основные методы определения оценок:

метод максимального правдоподобия (метод Фишера);

метод наименьших квадратов.

1. Метод максимального правдоподобия основывается на идее, что сведения о действительном значении измеряемой величины и рассеивании результатов измерений, полученные путем многократных наблюдений, содержатся в ряде наблюдений. Метод максимального правдоподобия состоит в поиске оценок, при которых функция правдоподобия проходит через свой максимум.

Оценки максимального правдоподобия - это оценки среднеквадратического отклонения и оценки истинного значения. Если случайные погрешности распределены по нормальному закону распределения, то оценка максимального правдоподобия для истинного значения представляет собой среднее арифметическое результатов наблюдений, а оценка дисперсии является средним арифметическим квадратов отклонений значений от математического ожидания.

Преимущества оценок максимального правдоподобия заключается в том, что данные оценки:

несмещенные асимптотически;

асимптотически эффективные;

асимптотически распределены по нормальному закону.

2. Метод наименьших квадратов состоит в том, что из определенного класса оценок берут ту оценку, у которой минимальная дисперсия (самую эффективную). Из всех линейных оценок действительного значения, где присутствуют некоторые постоянные, только среднее арифметическое сводит к наименьшему значению дисперсии. В связи с этим при условии распределения значений случайных погрешностей по нормальному закону распределения оценки, полученные с использованием метода наименьших квадратов, идентичны оценкам максимального правдоподобия. Оценка параметров с помощью интервалов проводится посредством нахождения доверительных интервалов, в пределах которых с заданными вероятностями располагаются действительные значения оцениваемых параметров.

Доверительная граница случайного отклонения - это число, представляющее собой длину доверительного интервала, разделенную пополам. При достаточно большом количестве испытаний доверительный интервал существенно уменьшается. Если увеличивается число испытаний, то допустимо увеличить число доверительных интервалов.

2.1 Обнаружение грубых погрешностей

Грубые погрешности - это погрешности, намного превышающие предполагаемые в данных условиях проведения измерений систематические и случайные погрешности. Промахи и грубые погрешности могут появляться из-за грубых ошибок в процессе проведения измерения, технической неисправности средства измерения, неожиданного изменения внешних условий. Для того чтобы исключить грубые погрешности, рекомендуется до начала измерений приближенно определить значение измеряемой величины. В случае, если при проведении измерений выясняется, что результат отдельного наблюдения сильно отличается от других полученных результатов, нужно обязательно установить причины такого отличия. Результаты, полученные с резким отличием, можно отбросить и повторно измерить данную величину. Однако в некоторых случаях отбрасывание таких результатов может вызвать ощутимое искажение рассеивания ряда измерений. В связи с этим рекомендуется не отбрасывать необдуманно отличающиеся результаты, а дополнять их результатами повторных измерений.

Если необходимо исключить грубые погрешности в процессе обработки полученных результатов, когда уже нельзя скорректировать условия проведения измерений и провести повторные измерения, то применяются статистические методы. Общий метод проверки статистических гипотез позволяет выяснить, присутствует ли в данном результате измерений грубая погрешность.

измерение погрешность динамический статистический



3. Расчетная часть

Задание для расчетной части:

Провести теоретическое исследование основных видов погрешностей. Ознакомиться с их классификацией и способами определения.

Исследовать методы определения погрешностей и методы статистической оценки распределений. Провести расчеты по заданной выборке (выборка должна быть получена у преподавателя).

При анализе выборки необходимо рассмотреть следующие параметры:

объем выборки; 75

интервальный статистический ряд и частости для каждого интервала;

медиану распределения;

размах вариации;

выборочное среднее;

выборочную дисперсию;

среднеквадратическое отклонение;

эмпирическую функцию распределения.

Так же рекомендуется выдвинуть гипотезу о виде распределения и провести проверку данной гипотезы.

Для 6 генераций



Рис.4. генерация чисел 6 рядов

Рис.5. Описательная статистика наблюдения для 600 точек



Медиана -- это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части. При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем -- значение медианы по формуле:

где:

-- искомая медиана

-- нижняя граница интервала, который содержит медиану

-- величина интервала

-- сумма частот или число членов ряда

- сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

-- частота медианного интервала

Размах вариации:

Среднее линейное отклонение:

где -- выборочное среднее

Дисперсия



Среднее квадратичное отклонение



Рис.6. Распределение частот для 600 точек при интервале 100.

Рис. 7. Тест на нормальное распределение (график) при интервале 100.



Рис.8. Распределение частот для 600 точек при интервале 50

Рис. 9. Тест на нормальное распределение (график) при интервале 50.



Рис. 10.

Рис. 11. График распределения Стьюдента (понятие нормальности)



Выводы

В процессе проведения работы, была выдвинута гипотеза о виде распределения и проведена проверка данной гипотезы. Из проведенных измерений были определены границы критичеких областей 3 рядов. Так как статистика измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Её границу находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям числа интервалов, параметры оценены по выборке.

Наблюдаемое значение статистики попадает в критическую область, поэтому есть основания не отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены по нормальному закону.



Список использованной литературы

Сергеев А.Г. Метрология: Учебник. Издательство: М. Логос, 2005- 272с.
ISBN: 5-94010-374-Х

Белова Л. Метрология, стандартизация и сертификация. Изд.дом. Окей-книга, 2008 г.

Сергеев А.Г., Крохин В.В. С32 Метрология: Учеб. пособие для вузов. -М.: Логос, 2001. -408 с.: ил. ISBN 5-94010-039-2.

Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике.: Учебное пособие. - М.: Высш. школа, 1991. - 157с.

Сергеев А.Г., Терегеря В.В. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник. Издательство: Юрайт, 2011

Лифиц И. М. «Стандартизация, метрология и сертификация». Учебник. -- 2-е изд., перераб. и доп. -- М.: Юрайт-Издат, 2003.

Шишкин И.Ф. «Метрология, стандартизация и управление качеством». -- М.: Издательство стандартов, 1990.

Письменный Д.Т. П34 Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. - 2-е издание., испр. - М.:Айрис-пресс, 2005. - 256с. ISBN 5-8112-1497-9.

Тютрин Н.Л. «Введение в метрологию». -- М.: Издательство стандартов, 1985.

Коротков В. П., Тайц Б. А. «Основы метрологии и теории точности измерительных устройств». М.: Изд-во стандартов, 1978. 351 с.

А. И. Якушев, Л. Н. Воронцов, Н. М. Федотов. «Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения»: - 6-е изд., перераб. и дополн. - М.: Машиностроение, 1986. - 352 с., ил.

Размещено на Allbest.ru

...