Проектирование технической системы по заданным показателям надежности и риска

Размещено на http://allbest.ru

1. Теоретические сведения к расчету контрольной работы

надежность безотказный ремонтируемый

1.1 Показатели надежности и риск нерезервированной системы

Основными показателями надежности, характеризующими случайное время до первого отказа неремонтируемой или ремонтируемой системы, являются:

- вероятность безотказной работы в течение заданного времени t;

- среднее время безотказной работы .

Вероятность безотказной работы представляет собой закон распределения времени до первого отказа, а среднее время безотказной работы - среднее время функционирования системы до первого отказа.

Обозначим через

интенсивность отказов i-го элемента системы. Если после наступления отказа i -й элемент может ремонтироваться, то через

обозначим его интенсивность восстановления, i = 1, 2,..., n.

Для нерезервированной системы, состоящей из n элементов, вероятность безотказной работы и среднее время безотказной работы определяются по Формулам:

,

, (1.1)

интенсивность отказа системы. Суммарный риск системы за время t вследствие отказа какого-либо элемента определяется по формуле:

. (1.2)

вероятность отказа i -го элемента системы в момент времени t.

Замечание. Формулы (1.1) и (1.2) даже для нерезервированной системы справедливы только в случае, когда время до отказа каждого элемента случайно и имеет экспоненциальное распределение вероятностей. В общем случае эти формулы являются приближенными.

1.2 Вероятность безотказной работы резервированных подсистем

Предположим, что некоторый элемент зарезервирован m -1 раз однотипными по надежности элементами с интенсивностью отказа . Тогда при постоянно включенном резерве вероятность безотказной работы P(t) и среднее время безотказной работы системы Tc выражаются формулами:

, (1.3)

. (1.4)

В случае резерва замещением формулы вероятности P(t) и среднего времени безотказной работы системы Tc имеют вид:

, (1.5)

. (1.6)

Определение вероятности безотказной работы ремонтируемой системы является более сложной задачей, и мы ограничимся здесь случаем только дублированной системы.

Пусть , - интенсивность отказа, - интенсивность восстановления каждого элемента дублированной системы.

Тогда вероятность безотказной работы системы для постоянно включенного резерва выражается равенством:

, (1.7)

.

средняя наработка до отказа равна:

(1.8)

Для резерва замещением вероятность безотказной работы системы выражается равенством:

, (1.9)

.

а среднее время безотказной работы равно:

. (1.10)

Оценим выигрыш от восстановления дублированной системы по среднему времени безотказной работы. Так как среднее время безотказной работы дублированной системы

для случая постоянно включенного резерва и

для случая замещения, то этот выигрыш соответственно равен

.

1.3 Надежность и риск резервированной системы, состоящей из независимых подсистем

Рассмотрим метод определения показателей надежности и риска резервированной системы. Предположим, что i -й элемент зарезервирован раз.

Однотипными по надежности элементами, , причем вид резервирования произвольный (нагруженный, ненагруженный, облегченный). На рис. показан случай раздельного резервирования с постоянно включенным резервом.

Система может быть неремонтируемой или ремонтируемой, но при этом отдельные ее подсистемы должны быть независимы по обслуживанию.

Последнее означает, что имеет место неограниченное восстановление, т. е. каждая подсистема имеет такое число ремонтных органов, чтобы не возникала очередь на восстановление отказавших элементов.

Обозначим через - вероятность безотказной работы, а через

вероятность отказа i-й подсистемы, . Тогда вероятность безотказной работы и средняя наработка до отказа всей системы соответственно равны:

, . (1.11)

Риск из-за отказа системы определяется по формуле:

. (1.12)

1.4 Надежность и риск резервированной системы, состоящей из зависимых по восстановлению подсистем

Для систем, образованных из зависимых по восстановлению подсистем, не существует простых соотношений типа (1.11) и (1.12) для расчета ее показателей надежности и риска.

Здесь необходимо учитывать дисциплину обслуживания отказавших элементов, а именно: количество ремонтных органов и приоритет обслуживания, т. е. порядок, в котором ремонтируются отказавшие элементы.

Описание функционирования системы осуществляется с помощью построения графа состояний и составления системы линейных алгебраических и дифференциальных уравнений.

Граф состояний системы строится в следующем порядке [5]:

1) намечаются в виде горизонтальных линий уровни графа, которые нумеруются сверху вниз, считая верхний уровень нулевым;

2) возможным состояниям системы ставятся в соответствие узлы графа, располагаемые на определенных уровнях в виде кружков или квадратов. На нулевом уровне помещается узел, соответствующий состоянию, когда все элементы системы исправны (состояние (0)). На первом уровне помещаются узлы, соответствующие состояниям, когда отказал один любой элемент системы; на втором уровне помещаются узлы, соответствующие состояниям, когда отказали любые два элемента системы и т. д. На последнем уровне располагаются узлы, соответствующие только отказавшим состояниям системы;

3) узлы графа соединяются ветвями, которые соответствуют переходам системы из состояния в состояние. Ветви размечаются интенсивностями отказов (восстановлений) элементов, из-за которых осуществляются переходы из состояния в состояние;

4) узлы графа, соответствующие отказавшим состояниям системы, помечаются, например, крестами.

Замечание. Узлы графа, соответствующие одинаковым по надежности элементам, входящим в одну резервную группу, могут объединяться, и соответствующая интенсивность перехода в укрупненный узел умножается на число элементов резервной группы. Общее число узлов графа при этом существенно сокращается.

Разработаем математическую модель функционирования системы, для чего получим, пользуясь графом состояний, выражения для показателей надежности и риска системы.

Пусть - множество всех состояний системы; - множество исправных; - множество отказных состояний; - вероятность пребывания системы в момент времени t в состоянии i, - интенсивность перехода из состояния i в состояние j. Если переход из состояния i в состояние j отсутствует, то .

По графу состояний формально составляется система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающая процесс функционирования нерезервированной и резервированной технической системы [5]:

, . (1.13)

Предполагая, что в момент времени т=0 система полностью исправна, запишем начальные условия функционирования:

, , . (1.14)

Решение системы (1.13) с заданными начальными условиями позволяет найти вероятность безотказной работы технической системы за время при условии, что все состояния отказа являются поглощающими:

. (1.15)

Для определения среднего времени безотказной работы по графу состояния составляется система линейных алгебраических уравнений относительно средних времен пребывания технической системы в исправных состояниях.

, . (1.16)

Тогда средняя наработка до отказа находится суммированием среднего времени пребывания системы в исправных состояниях:

. (1.17)

Суммарный риск системы за время находится по формуле:

, (1.18)

где - риск системы из-за отказа i-го элемента.

2. Методика выполнения контрольной работы по расчету проекта технической системы

2.1 Определение показателей надежности исходной системы и суммарного риска из-за ее отказа

Интенсивности отказов элементов определяется:

Суммарную интенсивность отказов системы определяется:

Вероятность и среднее время безотказной работы системы за время т, год (1.1). Суммарный риск системы определяется (1.2):

2.2. Разработка структурной схемы системы, риск которой в m раз меньше риска исходной

Второй элемент, отказ которого ведет к отказу системы, имеет наибольший риск.

Зарезервируем его идентичным по надежности элементом. Тогда вероятность безотказной работы каждой группы элементов равна:

находим риск за время t, год (1.12):

Видим, что суммарный риск системы уменьшился более чем в 10 раз, однако он еще не достиг требуемого уровня .

Резервируем повторно второй элемент. Вероятность безотказной работы каждой группы элементов будет равна:

Риск из-за отказа системы снова не достиг требуемого значения. Зарезервируем теперь четвертый элемент, отказ которого вызывает одну из наибольших опасностей в отказе системы (). Вероятность безотказной работы каждой группы элементов равна:

Риск из-за отказа системы достиг требуемого значения, поскольку

Итак, структурная схема системы имеет вид, представленный на рис.

2.3 Расчет показателей надежности усовершенствованной системы

Произведем расчет показателей надежности спроектированной системы. Вероятность безотказной работы такой системы можно найти по формуле (1.11):

Занести в таблицу значения функции и построить график вероятности безотказной работы усовершенствованной системы.

Наработка на отказ определяется по формуле (1.11):

2.4 Расчет показателей надежности новой системы для резерва замещением

В соответствии с (1.5) вероятности безотказной работы подсистем вычисляются по формулам:

Вероятность и среднее время безотказной работы, а также риск системы определяются по формулам (1.11) и (1.12).

Провести сравнительный анализ методов введения структурной избыточности. Численно показать и объяснить повышение надежности системы и уменьшение ее риска в случае использования резерва замещением.

Риск из-за отказа системы достиг требуемого значения, поскольку

2.5 Вычисление показателей надежности и риска системы при наличии восстановления

Предположим, что количество ремонтных органов достаточно для того, чтобы подсистемы были независимы по восстановлению (неограниченное восстановление). В этом случае можно воспользоваться формулами (1.11) и (1.12). Поскольку восстановление элементов значительно повышает надежность системы и снижает риск из-за отказа элементов, то в каждой резервной группе можно оставить лишь по одному резервному элементу. Таким образом, для ремонтируемой системы ее структурная схема имеет вид, показанный на рис.

Поскольку первая и третья подсистемы являются нерезервированными, а вторая и четвертая представляют собой дублированные подсистемы, то в соответствии с формулой (1.7) для постоянно включенного резерва получим следующие формулы для вероятности безотказной работы подсистем:

интенсивность восстановления элементов i-й подсистемы.

Для вычисления показателей надежности системы можно воспользоваться соотношениями (1.11):

Риск системы в момент , год:

Резерв замещением

В соответствии с формулой (1.9) для резерва замещением получим следующие формулы для вероятности безотказной работы подсистем:

Размещено на Allbest.ru