Математические модели измерительных сигналов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Классификация сигналов

1.1.1 Классификация измерительных сигналов

1.1.2 Классификация помех

1.2 Математическое описание измерительных сигналов

1.3 Математические модели элементарных измерительных сигналов

1.4 Математические модели сложных измерительных сигналов

1.5 Применение моделей измерительных сигналов

2. Расчетная часть

Вывод

Список литературы

Введение

Метрология - наука об измерениях.

В практической жизни человек всюду имеет дело с измерениями. На каждом шагу встречаются измерения таких величин, как длина, объем, вес, время и др.

Измерения являются одним из важнейших путей познания природы человеком. Они дают количественную характеристику окружающего мира, раскрывая человеку действующие в природе закономерности. Все отрасли техники не могли бы существовать без развернутой системы измерений, определяющих как все технологические процессы, контроль и управление ими, так и свойства и качество выпускаемой продукций.

Велико значение измерений в современном обществе. Они служат не только основой научно-технических знаний, но имеют первостепенное значение для учета материальных ресурсов и планирования, для внутренней и внешней торговли, для обеспечения качества продукции, взаимозаменяемости узлов и деталей и совершенствования технологии, для обеспечения безопасности труда и других видов человеческой деятельности.

Особенно возросла роль измерений в век широкого внедрения новой техники, развития электроники, автоматизации, атомной энергетики, космических полетов. Высокая точность управления полетами космических аппаратов достигнута благодаря современным совершенным средствам измерений, устанавливаемым как на самих космических аппаратах, так и в измерительно-управляющих центрах.

Большое разнообразие явлений, с которыми приходится сталкиваться, определяет широкий круг величин, подлежащих измерению. Во всех случаях проведения измерений, независимо от измеряемой величины, метода и средства измерений, есть общее, что составляет основу измерений - это сравнение опытным путем данной величины с другой подобной ей, принятой за единицу. При всяком измерении мы с помощью эксперимента оцениваем физическую величину в виде некоторого числа принятых для нее единиц, т.е. находим ее значение.

В настоящее время, установлено следующее определение измерения: измерение есть нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.

Метрология в ее современном понимании - наука об измерениях, методах, средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Единство измерений - такое состояние измерений, при котором их результаты выражены в узаконенных единицах и погрешности измерений известны с заданной вероятностью. Единство измерений необходимо для того, чтобы можно было сопоставить результаты измерений, выполненных в разных местах, в разное время, с использованием разных методов и средств измерений.

1. Теоретическая часть

измерительный сигнал математический модель

1.1 Классификация сигналов

1.1.1 Классификация измерительных сигналов

Сигналом называется материальный носитель информации, представляющий собой некоторый физический процесс, один из параметров которого функционально связан с измеряемой физической величиной. Такой параметр называют информативным.

Измерительный сигнал - это сигнал, содержащий количественную информацию об измеряемой физической величине. Основные понятия, термины и определения в области измерительных сигналов устанавливает ГОСТ 16465-70 «Сигналы радиотехнические. Термины и определения». Измерительные сигналы чрезвычайно разнообразны. Их классификация по различным признакам приведена на рис. 1

По характеру измерения информативного и временного параметров измерительные сигналы делятся на аналоговые, дискретные и цифровые.

Аналоговый сигнал - это сигнал, описываемый непрерывной или кусочно-непрерывной функцией Y_d(t), причем как сама эта функция, так и ее аргумент t могут принимать любые значения на заданных интервалах Y€(Y_min; y_max) и t€(t_min; t_max) (рис. 2, а).

Дискретный сигнал - это сигнал, изменяющийся дискретно во времени или по уровню. В первом случае он может принимать в дискретные моменты времени nТ, где Т = const - интервал (период) дискретизации, n = 0; 1; 2;...- целое, любые значения Y_д (nT) €(Y_min; Y_max,), называемые выборками, или отсчетами. Такие сигналы (рис. 2, б) описываются решетчатыми функциями. Во втором случае значения сигнала Y_д(t) существуют в любой момент времени t€ (t_min; t_max), однако они могут принимать ограниченный ряд значений h₁= nq, кратных кванту q.

Цифровые сигналы - квантованные по уровню и дискретные по времени сигналы Y_ц(nT), которые описываются квантованными решетчатыми функциями (квантованными последовательностями), принимающими в дискретные моменты времени nТ лишь конечный ряд дискретных значений - уровней квантования h₁, h₂,..., h_n (рис. 2, в).

Рис. 1. Классификация измерительных сигналов

Рис. 2. Аналоговый (а), дискретный (по времени) (б) и цифровой (в) измерительные сигналы

По характеру изменения во времени сигналы делятся на постоянные, значения которых с течением времени не изменяются, и переменные, значения которых меняются во времени. Постоянные сигналы являются наиболее простым видом измерительных сигналов.

Переменные сигналы могут быть непрерывными во времени и импульсными. Непрерывным называется сигнал, параметры которого изменяются непрерывно. Импульсный сигнал - это сигнал конечной энергии, существенно отличный от нуля в течение ограниченного интервала времени, соизмеримого с временем завершения переходного процесса в системе, для воздействия на которую этот сигнал предназначен.

По степени наличия априорной информации переменные измерительные сигналы делятся на детерминированные, квазидетерминированные и случайные.

Детерминированный сигнал - это сигнал, закон изменения которого известен, а модель не содержит неизвестных параметров. Мгновенные значения детерминированного сигнала известны в любой момент времени. Детерминированными (с известной степенью точности) являются сигналы на выходе мер. Например, выходной сигнал генератора низкочастотного синусоидального сигнала характеризуется значениями амплитуды и частоты, которые установлены на его органах управления. Погрешности установки этих параметров определяются метрологическими характеристиками генератора.

Квазидетерминированные сигналы - это сигналы с частично известным характером изменения во времени, т.е. с одним или несколькими неизвестными параметрами. Они наиболее интересны с точки зрения метрологии. Подавляющее большинство измерительных сигналов являются квазидетерминированными.

Детерминированные и квазидетерминированные сигналы делятся на элементарные, описываемые простейшими математическими формулами, и сложные. К элементарным относятся постоянный и гармонический сигналы, а также сигналы, описываемые единичной и дельта-функцией. К сложным сигналам относятся импульсные и модулированные сигналы.

Сигналы могут быть периодическими и непериодическими. Непериодические сигналы делятся на почти периодические и переходные. Почти периодическим называется сигнал, значения которого приближенно повторяются при добавлении к временному аргументу надлежащим образом выбранного числа - почти периода. Периодический сигнал является частным случаем таких сигналов. Почти периодические функции получаются в результате сложения периодических функций с несоизмеримыми периодами. Переходные сигналы описывают переходные процессы в физических системах.

Периодическим называется сигнал, мгновенные значения которого повторяются через постоянный интервал времени. Период T сигнала - параметр, равный наименьшему такому интервалу времени. Частота f периодического сигнала - величина, обратная периоду. Периодический сигнал характеризуется спектром. Различают три вида спектра:

* комплексный - комплексная функция дискретного аргумента, кратного целому числу значений частоты щ периодического сигнала Y (t), представляющая собой значения коэффициентов комплексного ряда Фурье:

(1.1)

где k - любое целое число;

* амплитудный - функция дискретного аргумента, представляющая собой модуль комплексного спектра периодического сигнала:

(1.2)

где Re(z), Im(z) - действительная и мнимая части комплексного числа z;

* фазовый - функция дискретного аргумента, представляющая собой аргумент комплексного спектра периодического сигнала:

(1.3)

Периодической сигнал содержит ряд гармоник. Гармоника - гармонический сигнал с амплитудой и начальной фазой, равными соответствующим значениям амплитудного и фазового спектра периодического сигнала при некотором значении аргумента. Наличие высших гармоник в спектре периодического сигнала количественно описывается коэффициентом гармоник, характеризующим отличие формы данного периодического сигнала от гармонической (синусоидальной). Он равен отношению среднеквадратического значения сигнала суммы всех его гармоник, кроме первой, к среднеквадратическому значению первой гармоники:

(1.4)

где Y,, У, - i-я и первая гармоники сигнала Y (t).

Периодические сигналы бывают гармоническими, т. е. содержащими только одну гармонику, и полигармоническими, спектр которых состоит из множества гармонических составляющих. К гармоническим сигналам относятся сигналы, описываемые функцией синуса или косинуса. Все остальные сигналы являются полигармоническими.

Случайный сигнал - это изменяющаяся во времени физическая величина, мгновенное значение которой является случайной величиной.

1.1.2 Классификация помех

Измерительные сигналы редко присутствуют в средствах измерений в чистом виде. Практически всегда на них накладываются помехи. Под помехой понимается сигнал, однородный с измерительным и действующий одновременно с ним. Его присутствие приводит к появлению погрешности измерения. Классификация помех возможна по ряду признаков.

По месту возникновения помехи делятся на внешние и внутренние. Причиной возникновения внешних помех являются природные процессы и работа различных технических устройств. Последние создают так называемые индустриальные помехи. Внутренние помехи обусловлены процессами, происходящими при работе самого средства измерений.

В зависимости от вида включения источников помехи и измерительного сигнала в эквивалентных схемах средств измерений различают помехи общего вида (синфазные) и помехи нормального (последовательные) вида. Источник помехи общего вида включен между общими точками (корпусами) схем объекта измерений и СИ. Источник помехи нормального вида включен последовательно во входную цепь СИ.

По виду частотного спектра помехи делятся на белый и розовый шумы. Спектральные составляющие белого шума равномерно распределены по всему частотному диапазону. У розового шума спектральная мощность, приходящаяся на декаду частоты, постоянна.

По основным свойствам помехи можно разделить на три вида: флуктуационные, сосредоточенные и импульсные.

Флуктуационные помехи представляют собой хаотическое, беспорядочное изменение во времени сигнала, однородного с измеряемым, в каком-либо месте средства измерений. Такие помехи часто называют шумом.

Пример - внутренние шумы измерительных электронных усилителей. Различают следующие виды шумов:

* тепловой (шум Джонсона), по своим свойствам близкий к белому шуму. Тепловой шум генерируется любым резистором, находящимся в измерительной цепи. Значение его состоит в том, что он устанавливает нижнюю границу напряжения шумов любого измерительного преобразователя, имеющего выходное сопротивление;

* дробовый, обусловленный движением электронов - дискретных носителей электрического тока. Он имеет равномерный спектр, т. е. является белым;

* фликкер-шум. К данному виду относят шумы, у которых спектральная мощность на декаду частоты примерно постоянна, т. е. розовые шумы, например шум постоянного резистора, пропорциональный протекающему через него току, шум тока базы транзистора и др.

Влияние флуктуационной помехи уменьшается при усреднении суммы измерительного сигнала и помехи. Максимальное уменьшение влияния флуктуационной помехи на результат измерения возможно в том случае, когда спектральная плотность помехи постоянна в пределах полосы пропускания средства измерений, т.е. помеха имеет характер белого шума.

Сосредоточенными называют помехи, основная часть мощности которых сосредоточена на отдельных участках диапазона частот, меньших полосы пропускания СИ. Помехи, наводимые в измерительных цепях СИ от промышленной силовой сети частотой 50 Гц, являются сосредоточенными. Эффективность их подавления в значительной мере определяется достоверностью априорных данных о частотном спектре.

Импульсными помехами называется регулярная или хаотическая последовательность импульсных сигналов, однородных с измерительным сигналом. Источниками таких помех являются цифровые и коммутирующие элементы СИ или работающего рядом с ними устройства. Характерный пример импульсных помех - помехи от устройств зажигания двигателей внутреннего сгорания. Импульсные и сосредоточенные помехи часто называют наводками.

Поскольку основным следствием действия помехи является появление погрешности измерения, то стараются устранить или, по крайней мере, ослабить их действие на средства измерений. Для устранения влияния помех целесообразно, если это возможно, исключить причины их возникновения. Способы борьбы с помехами в значительной мере зависят от их спектрального состава, вида измерительного сигнала и помехи.

1.2 Математическое описание измерительных сигналов

В метрологии измерительные сигналы описываются математическими моделями вида Y = f (X, А, В, С,. ), где Y - основной информативный параметр сигнала, X - независимый аргумент сигнала, А, В, С - параметры сигнала. В зависимости от рода независимого аргумента сигналы описываются временными (X = t) и частотными (X = щ) математическими моделями. Вид модели выбирается в зависимости от конкретных условий решаемой задачи.

Во временной области применяют известные математические функции f (l, А, В, С,...), наиболее точно описывающие изменение сигнала, в которых один из параметров А, В, С и т.д. зависит от измеряемой величины. Временная форма представления сигнала позволяет легко определить такие важные характеристики, как энергия, мощность и длительность сигнала.

Наряду с временным описанием сигналов широко используется их спектральное (частотное) представление. В процессе передачи и обработки сигналов оно играет особую роль, поскольку определяет параметры используемой аппаратуры. Частотное представление основывается на преобразовании Фурье сигнала Y(t):

(1.5)

где А₀- постоянная составляющая; А_n,ц_n- амплитуда и фаза n-й гармоники Множество значений А_n (щ) и ц_n (щ) образуют соответственно амплитудный и фазовый спектры, которые характеризуют свойства сигнала Y (t) в частотной области. Такой спектр называют линейчатым, или дискретным. Различные формы представления спектра периодического сигнала могут быть также найдены с помощью выражений (1.1) - (1.3).

При постепенном увеличении периода сигнала (в пределе до бесконечности) разности соседних частотных составляющих спектра становятся ничтожно малыми и дискретный спектр превращается в непрерывный.

Для описания непрерывного спектра непериодического сигнала Y(t) используют спектральную функцию S(щ), модуль спектральной функции ¦S(щ)¦ , часто называемый спектром, и аргумент спектральной функции argS(щ).

Спектральную функцию можно определить с помощью интеграла Фурье:

(1.6)

Здесь Re¦S(щ)¦ и Im¦S(щ)¦ -действительная и мнимая части спектральной функции:

(1.7)

Модуль и аргумент спектральной функции определяются соответственно по формулам

(1.8)

Спектральная функция S(щ) является комплексной величиной, содержащей информацию о спектре и амплитуд, и фаз, поэтому часто ее называют комплексным спектром. Модуль функции S(co) является спектром амплитуд, но он выражает не непосредственно амплитуду, а ее спектральную плотность.

Спектральное представление сигнала позволяет оценить его частотный диапазон, т. е. граничные частоты, между которыми заключены все или основные, имеющие наибольшие амплитуды гармонические составляющие сигнала. Частотный диапазон является важной характеристикой сигнала, определяющей необходимую полосу пропускания средства измерения для передачи сигналов с требуемой точностью.

1.3 Математические модели элементарных измерительных сигналов

К элементарным измерительным сигналам относятся постоянный во времени сигнал и сигналы, описываемые единичной и синусоидальной функциями, а также дельта-функцией,

Постоянный сигнал - самый простой из элементарных сигналов, описываемый математической моделью вида Y = А, где А - единственный параметр сигнала. Графики временной и частотной моделей постоянного сигнала приведены на рис. 3.

Единичная функция, называемая иногда функцией Хевисайда, описывается уравнением

(1.9)

Рис. 3. Графики временной (а) и частотной (б) математических моделей постоянного сигнала

Она имеет один параметр - момент времени t₀. Её временная и частотная модели представлены на рис. 4, а.

Рис. 4. Графики моделей единичной (а) и дельта-функции (б)

Дельта-функция описывается уравнением

(1.10)

Она также имеет один параметр - момент времени t₀. Графики временной и частотной моделей дельта-функции д(t) показаны на рис. 4, б. Из них видно, что дельта-функция имеет спектр бесконечной ширины.

Единичная и дельта-функции связаны между собой следующими выражениями:

(1.11)

Важной особенностью дельта-функции является стробирующее действие, которое описывается уравнением

(1.12)

Оно используется для представления дискретизированной во времени функции с шагом дискретизации ?t:

(1.13)

Гармонический сигнал описывается уравнением

(1.14)

Рис 5. Спектр гармонического сигнала

Параметрами такого сигнала являются: амплитуда Y_m, период Т (или частота f = 1/T, или круговая частота щ) и начальная фаза ц. График временной модели общеизвестен, а график частотной модели такого сигнала показан на рис. 5.

1.4 Математические модели сложных измерительных сигналов

В средствах измерений используется большое число измерительных сигналов, имеющих самые разнообразные формы. Рассмотрим некоторые из них, наиболее часто встречающиеся на практике.

Прямоугольные импульсы. Одиночный идеальный прямоугольный импульс (рис. 6, а) описывается уравнением

(1.15)

т.е. он формируется как разность двух единичных функций, сдвинутых во времени на величину ф - длительность импульса.

Последовательность прямоугольных импульсов есть сумма одиночных импульсов:

(1.16)

Для ее описания необходимо знать три параметра: амплитуду Y_m, длительность ф и период Т (рис. 6, б). Отношение периода к длительности прямоугольного импульса называется скважностью, а обратная величина - коэффициентом заполнения. При скважности, равной двум, последовательность импульсов называют меандром (см. рис. 6, б).

Идеальные прямоугольные импульсы в природе не встречаются. В реальных импульсах время изменения сигнала от нулевых до амплитудных значений (и обратно) всегда имеет конечную длительность, т.е. фронт ф _ф и спад ф _с (рис. 6, в). Следовательно, у реальных импульсов форма близка к трапецеидальной.

Трапецеидальный импульс также является идеализации реальных импульсов, которые имеют гораздо более сложную форму. Она отличается от трапеции спадом вершины импульса, выбросами на вершине и в паузе и другими особенностями, учтенными в системе параметров реального прямоугольного импульса по ГОСТ 16465-70.

Рис. 6. Формирование идеального прямоугольника импульса (а), последовательность прямоугольных импульсов (б) и трапецеидальный импульс (в)

Модулированные сигналы. Модулированным называется сигнал, являющийся результатом взаимодействия двух или более сигналов, т.е. модуляции. Модуляция - это воздействие измерительного сигнала X(t) на какой-либо параметр стационарного сигнала Y(t), обладающего такими физической природой и характером изменения во времени, при которых удобны его дальнейшие преобразования и передача. В качестве стационарного сигнала, именуемого несущим, обычно выбирают синусоидальное (гармоническое) колебание или последовательность импульсов.

Физический процесс, обратный модуляции, называется демодуляцией, или детектированием, и заключается в получении из модулированного сигнала другого сигнала, пропорционального модулирующему. Задача демодуляции - по возможности полное восстановление информации, содержащейся в модулирующем сигнале X(t).

Вид модуляции и способ детектирования зависят от требований, предъявляемых к точности передачи информации. Наиболее простым модулированным гармоническим сигналом является амплитудно-модулированный сигнал, в котором измерительная информация содержится в амплитуде несущего синусоидального сигнала (рис. 7).

Амплитудно-модулированныс сигналы описываются формулой

(1.17)

где m - глубина амплитудной модуляции (всегда меньше единицы).

При частотной модуляции (рис. 8) измерительная информация содержится в частоте модулированного сигнала, т. е.

 (1.18)

где ?_щ - наибольшее изменение частоты модулированного сигнала, т.е. девиация частоты, пропорциональная амплитуде модулирующего сигнала.

Рис. 7. Амплитудно-модулированный синусоидальный сигнал (2) и модулирующий сигнал Х(t) = sinщt(1) при m = 0,8 и соотношении частот щ₀/Щ = 15

Рис. 8. Частотно-модулированный (2) и модулирующий (1) сигналы при индексе частотной модуляции, равном 10, и частот щ₀/Щ =14



При фазовой модуляции (рис. 9) модулирующий сигнал X(t) воздействует на фазу несущего колебания:

(1.19)

где m_ф - коэффициент фазовой модуляции.

Рис. 9. Модулирующий (1), фазомодулированный (3) и опорный (2) сигналы при коэффициенте фазовой модуляции m = 0,8 и соотношении частот щ₀/Щ = 8

Для того чтобы при детектировании можно было восстановить модулирующий сигнал, необходимо иметь сигнал вида (1.16), называемый опорным. Относительно него наблюдают, как меняется фаза модулированного сигнала. Модулирующий, модулированный и опорный сигналы показаны на рис. 9.

Если модулируемым сигналом является периодическая последовательность прямоугольных импульсов, то возможны три вида модуляции (рис. 10): амплитудно-импульсная (АИМ); частотно-импульсная (ЧИМ); широтно-импульсная (ШИМ).

При этом параметром, несущим измерительную информацию, соответственно являются амплитуда, частота и длительность импульсов.

Рис. 10. Несущая последовательность прямоугольник импульсов (а), модулирующий (б), амплитудно-модулированный (в), частотно-модулированный (г) и широтно-модулированный (д) сигналы



Рис. 11. Гармонический сигнал

1.5 Применение моделей измерительных сигналов

Модели измерительных сигналов широко применяются в кибернетике, электронике, физике, телемеханике, промышленности и в других областях науки. Особенно широкое применение моделей измерительных сигналов получила в таких науках как «Теория автоматического управления» и «Теория автоматического регулирования». В этих предметах совокупность моделей измерительных сигналов представлена в виде систем, так как понятие системы и сигнала неразрывны между собой, потому что любой сигнал существует в какой-либо системе его обращения.

При изучении данных предметов также встречается понятие математическое описание системы, которое задается связью между сигналом входа и выхода.



2. Расчетная часть

Ответ:



Вывод

1) Сигналом называется материальный носитель информации, представляющий собой некоторый физический процесс, один из параметров которого функционально связан с измеряемой физической величиной.

Такой параметр называют информативным.

2) Измерительный сигнал - это сигнал, содержащий количественную информацию об измеряемой физической величине.

По характеру изменения информативного параметра сигналы делятся на четыре группы:

1. Сигналы, непрерывные по времени и размеру

2. Сигналы, непрерывные по времени и квантованные по размеру

3. Сигналы, дискретизированные по времени и непрерывные по размеру

4. Сигналы, дискретизированные по времени и квантованные по размеру.

3) Дискретизация - измерительное преобразование непрерывного во времени сигнала Y(t) в последовательность мгновенных значений этого сигнала Y_k=Y(k?t), соответствующих моментам времени k?t, где k=1; 2;...

Погрешность восстановления дискретизированных сигналов равна разности между значениями непрерывной исходной функции и восстанавливающей функции.



Список литературы

1. Долинский Е.Ф. Обработка результатов измерений. - М.: Изд-во стандартов, 1973.

2. Карташова А.Н. Достоверность измерений и критерии качества испытаний приборов. - М.: Изд-во стандартов, 1967.

3. Куликовский К.Л., Купер В.Я. Методы и средства измерений. - М.: Энергоатомиздат, 1986.

4. Малышев В.М., Механиков А.И. Гибкие измерительные системы в метрологии. - М.: Изд-во стандартов, 1988.

5. Новицкий А.В. Основы информационной теории измерительных устройств.- Л.: Энергия, 1968.

6. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений.- Л.: Энергоатомиздат, 1985.

7. Сергеев Г.А., Крохин В.В. Метрология, стандартизация и сертификация.

Размещено на Allbest.ru

...