Изгиб с кручением

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Пермский национальный исследовательский политехнический университет"

Кафедра механики композиционных материалов и конструкций

Курсовая работа

по дисциплине «Сопротивление материалов»

на тему: «Изгиб с кручением»

Выполнил студент гр. А-13-1б:Наркевич Ростислав Олегович

Вариант: 51

Проверил: доцент

Макарова Елена Юрьевна

Пермь 2014



Содержание

Введение

Теоретическая часть «Сложное сопротивление

Гипотеза прочности

Пространственный изгиб

Косой изгиб

Расчет вала на «изгиб с кручением

Заключение

Список использованной литературы



Введение

В процессе изучения дисциплины, собственно по которой и написана данная курсовая работа, мы узнаем о некоторых простых видах деформации, которые испытывают различные элементы конструкций и детали машин (осевое растяжение и сжатие, плоский поперечный изгиб, сдвиг или кручение). В каждом из этих простых видов деформации в поперечном сечении элемента действовал один внутренний силовой фактор.

На практике кроме простых видов деформации часто встречаются случаи, когда в результате действия нагрузки в поперечных сечениях бруса одновременно появляются несколько внутренних сил, влиянием которых нельзя пренебречь. В этом случае вид деформации, возникающий в брусе, называется сложным сопротивлением.

Принципиально нового задачи сложного сопротивления не вносят, так как совместное действие внутренних факторов приводит к напряженному состоянию, которое можно получить суммирований напряженных состояний, вызванным каждым видом простого нагружения в отдельности.

Основной целью данной курсовой работы является изучение и понимание такого вида сложного сопротивления как изгиб с кручением, с закреплением пройденного теоретического материала при помощи расчётно-графической работы.

Принцип суперпозиции (суммирования действия сил) широко применяется в сопротивлении материалов, когда деформации малы и подчиняются закону Гука. Тем не менее, здесь не все так просто. Все виды сложного сопротивления разделяют на две группы:

виды сложного сопротивления, при которых возникает линейное напряженное состояние;

виды сложного сопротивления, при которых возникает сложное напряженное состояние.



Сложное сопротивление

В процессе изучения дисциплины, собственно по которой и написана данная курсовая работа, мы узнаем о некоторых простых видах деформации, которые испытывают различные элементы конструкций и детали машин (осевое растяжение и сжатие, плоский поперечный изгиб, сдвиг или кручение). В каждом из этих простых видов деформации в поперечном сечении элемента действовал один внутренний силовой фактор - продольная сила при осевом растяжении или сжатии, поперечная сила при сдвиге, крутящий момент при кручении, изгибающий момент при чистом изгибе. Исключение составил лишь плоский поперечный изгиб, так как в поперечных сечениях бруса при этом виде деформации имели место поперечная сила и изгибающий момент . Но, учитывая то, что касательные напряжения при плоском поперечном изгибе имеют обычно второстепенное значение, этот вид изгиба относят также к числу простых видов деформации.

На практике кроме простых видов деформации часто встречаются случаи, когда в результате действия нагрузки в поперечных сечениях бруса одновременно появляются несколько внутренних сил, влиянием которых нельзя пренебречь. В этом случае вид деформации, возникающий в брусе, называется сложным сопротивлением. К числу таких видов сложного сопротивления можно отнести следующие:

пространственный и косой изгиб;

изгиб с растяжением (сжатием);

внецентренное растяжение или сжатие;

изгиб с кручением;

кручение с растяжением или сжатием.

Возможны и другие виды сложной деформации с более сложной комбинацией внутренних силовых факторов.

Принципиально нового задачи сложного сопротивления не вносят, так как совместное действие внутренних факторов приводит к напряженному состоянию, которое можно получить суммирований напряженных состояний, вызванным каждым видом простого нагружения в отдельности.

Принцип суперпозиции (суммирования действия сил) широко применяется в сопротивлении материалов, когда деформации малы и подчиняются закону Гука. Тем не менее, здесь не все так просто. Если пренебречь влиянием поперечных сил, то принцип простого суммирования действия сил может быть применен к таким из перечисленных выше видам сложного сопротивления, как пространственный изгиб, косой изгиб и изгиб с растяжением. К этим же видам сложного сопротивление можно отнести и внецентренное растяжение и сжатие. В то же время принцип суммирования действия сил неприменим к таким видам сложного сопротивления, как изгиб с кручением, кручение с растяжением или сжатием и вообще ко всем видам сложного сопротивления, при которых возникает сложное напряженное состояние. В связи с этим все виды сложного сопротивления следует разделить на те виды, при которых возникает линейное напряженное состояние, и, следовательно, применим принцип простого суммирования напряжений при составлении условий прочности, и те виды, при которых возникает сложное напряженное состояние, и при составлении условий прочности принцип простого суммирования напряжений неприменим, а для оценки прочности используют теории прочности.

Таким образом, все виды сложного сопротивления условно можно разделить на две группы:

виды сложного сопротивления, при которых возникает линейное напряженное состояние;

виды сложного сопротивления, при которых возникает сложное напряженное состояние.

К первой группе видов сложного сопротивления могут быть отнесены, как уже отмечалось выше, пространственный и плоский косой изгиб, изгиб с растяжением, внецентренное растяжение или сжатие. Ко второй группе - изгиб с кручением, кручение с растяжением или сжатием, общий случай сложного сопротивления. У каждой из этих групп имеются свои подходы и своя методика расчета. Рассмотрим методики расчета элементов конструкций, испытывающих сложное сопротивление, относящиеся к разным группам по типу напряженного состояния.

Гипотезы (теории) прочности

1 теория прочности (гипотеза наибольших нормальных напряжений) основывается на предположении, что причиной разрушения материала являются наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения.

Условие прочности по первой гипотезе прочности :

,(1)

где R - расчетное сопротивление при одноосном растяжении.

Существенный недостаток первой гипотезы прочности. Заключается он в том, что при определении эквивалентного напряжения совершенно не учитываются два других главных напряжения, оказывающих влияние на прочность материала.

В настоящее время первая гипотеза прочности не применяется и имеет лишь историческое значение.

2 теория прочности (гипотеза наибольших линейных деформаций).

В соответствии с ней при наступлении предельного состояния наибольшее удлинение достигает предельного значения, равного относительному удлинению при одноосном растяжении.

Условие прочности по второй гипотезе прочности :

,(2)

где µ - коэффициент Пуассона.

Достоинством второй гипотезы прочности является то, что при вычислении эквивалентного напряжения она учитывает все три главных напряжения.

С помощью гипотезы наибольших линейных деформаций можно объяснить разрушение хрупких материалов при простом сжатии. Однако вторая гипотеза прочности недостаточно подтверждается опытами и не применяется.

3 теория прочности (гипотеза наибольших касательных напряжений).

Согласно третьей гипотезе прочности наибольших касательных напряжений, причиной разрушения материала являются наибольшие Касательные напряжения. Максимальное касательное напряжение для заданного объемного напряженного состояния и эквивалентного ему линейного напряженного состояния одинаковы:

(3)

Формула наибольшего касательного напряжения при объемном напряженном состоянии:

(4)

Условие прочности при напряженном состоянии по третьей теории :

. (5)

Третья гипотеза прочности не учитывает второго главного напряжения (). Однако, опыты показывают, что для пластичных материалов гипотеза наибольших касательных напряжений дает удовлетворительные результаты.

4 теория прочности (энергетическая).

Количество удельной потенциальной энергии изменения формы, накопленной к моменту наступления предельного состояния материала, одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом одноосном растяжении.

В четвертой гипотезе прочности речь идет не обо всей удельной потенциальной энергии деформации, а лишь ее части, которая накапливается за счет изменения формы кубика с ребром равным единице.

Условие прочности при плоском напряженном состоянии по четвертой теории:

. (6)

Достоинство четвертой гипотезы прочности заключается в том, что эквивалентное напряжение определяется значениями всех трех главных напряжений.

Энергетическая гипотеза прочности согласуется с опытными данными для пластичных материалов.

Гипотеза прочности Мора.

Отличительной чертой теории Мора является то, что она полностью базируется на экспериментальных данных и по мере их накопления может уточняться.

Условие прочности по теории Мора:

(7)

деформация прочность изгиб кручение

Гипотеза прочности Мора рекомендуется для хрупких материалов. Для пластичных материалов гипотеза прочности Мора тождественна третьей гипотезе прочности.



1.2 Пространственный (сложный) изгиб

Пространственным изгибом называется такой вид сложного сопротивления, при котором в поперечном сечении бруса действуют только изгибающие моменты и . Полный изгибающий момент при этом действует ни в одной из главных плоскостей инерции. Продольная сила отсутствует. Пространственный или сложный изгиб часто называют неплоским изгибом, так как изогнутая ось стержня не является плоской кривой. Такой изгиб вызывается силами, действующими в разных плоскостях перпендикулярно оси балки (Рис. 1.2.1).

Рис.1.2.1 Пространственный изгиб

Следуя порядку решения задач при сложном сопротивлении, изложенному выше, раскладываем пространственную систему сил, представленную на рис. 1.2.1, на две такие, чтобы каждая из них действовала в одной из главных плоскостей. В результате получаем два плоских поперечных изгиба - в вертикальной и горизонтальной плоскости. Из четырех внутренних силовых факторов, которые при этом возникают в поперечном сечении балки , будем учитывать влияние только изгибающих моментов . Строим эпюры , вызванных соответственно силами (Рис. 1.2.1).

Анализируя эпюры изгибающих моментов, приходим к выводу, что опасным является сечение А, так как именно в этом сечении возникают наибольшие по величине изгибающие моменты и . Теперь необходимо установить опасные точки сечения А. Для этого построим нулевую линию. Уравнение нулевой линии с учетом правила знаков для членов, входящих в это уравнение, имеет вид:

. (8)

Здесь принят знак “” возле второго члена уравнения, так как напряжения в первой четверти, вызванные моментом , будут отрицательными.

Определим угол наклона нулевой линии с положительным направлением оси (Рис.12.6):

. (9)

Рис. 1.2.2 Нулевая линия

Из уравнения (8) следует, что нулевая линия при пространственном изгибе является прямой линией и проходит через центр тяжести сечения.

Из рис. 1.2.2 видно, что наибольшие напряжения возникнут в наиболее удаленных от нулевой линии точках сечения №2 и №4. По величине нормальные напряжения в этих точках будут одинаковыми, но по знаку отличаются: в точке №4 напряжения будут положительными, т.е. растягивающими, в точке №2 - отрицательными, т.е. сжимающими. Знаки этих напряжений были установлены из физических соображений.

Теперь, когда опасные точки установлены, вычислим максимальные напряжения в сечении А и проверим прочность балки с помощью выражения:

. (10)

Условие прочности (10) позволяет не только выполнить проверку прочности балки, но и подобрать размеры ее поперечного сечения, если задано соотношение сторон поперечного сечения.

1.3 Косой изгиб

Косым называется такой вид сложного сопротивления, при котором в поперечных сечениях балки возникают только изгибающие моменты и , но в отличие от пространственного изгиба все силы, приложенные к балке, действуют в одной (силовой) плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей инерции. Этот вид изгиба наиболее часто встречается в практике, поэтому исследуем его подробнее.

Рассмотрим консольную балку, нагруженную силой , как показано на рис 1.3.1, и выполненную из изотропного материала.

Рис. 1.3.1 Консольная балка, нагруженная силой P.

Так же, как и при пространственном изгибе, при косом изгибе отсутствует продольная сила. Влиянием поперечных сил при расчете балки на прочность будем пренебрегать.

Расчетная схема балки, изображенной на рис. 1.3.1, приведена на рис. 1.3.2.

Рис. 1.3.2 Расчетная схема балки.

Разложим силу на вертикальную и горизонтальную составляющие и от каждой из этих составляющих построим эпюры изгибающих моментов и .

Вычислим составляющие полного изгибающего момента в сечении :

; . (11)

Полный изгибающий момент в сечении равен

. (12)

Таким образом, составляющие полного изгибающего момента можно выразить через полный момент следующим образом:

; . (13)

Из выражения (13) видно, что при косом изгибе нет необходимости раскладывать систему внешних сил на составляющие, так как эти составляющие полного изгибающего момента связаны друг с другом с помощью угла наклона следа силовой плоскости . В результате отпадает необходимость в построении эпюр составляющих и полного изгибающего момента. Достаточно построить эпюру полного изгибающего момента в силовой плоскости, а затем, воспользовавшись выражением (13), определить составляющие полного изгибающего момента в любом интересующем нас сечении балки. Полученный вывод существенно упрощает решение задач при косом изгибе.

Подставим значения составляющих полного изгибающего момента (13) в формулу для нормальных напряжений при. Получим:

. (14)

Здесь знак “” возле полного изгибающего момента проставлен специально с той целью, чтобы автоматически получать правильный знак нормального напряжения в рассматриваемой точке поперечного сечения. Полный изгибающий момент и координаты точки и берутся со своими знаками при условии, что в первом квадранте знаки координат точки принимаются положительными.

Формула (14) была получена из рассмотрения частного случая косого изгиба балки, защемленной одним концом и нагруженной на другом сосредоточенной силой. Тем не менее, эта формула является общей формулой для вычисления напряжений при косом изгибе.

Опасным сечением, как и при пространственном изгибе в рассматриваемом случае (1.3.1), будет сечение А, так как в этом сечении возникает наибольший по величине полный изгибающий момент. Опасные точки сечения А определим, построив нулевую линию. Уравнение нулевой линии получим, вычислив с помощью формулы (14) нормальные напряжения в точке с координатами и , принадлежащей нулевой линии и приравняем найденные напряжения нулю. После несложных преобразований получим:

(15)

или

. (16)

Здесь угол наклона нулевой линии к оси (Рис. 1.3.3).

Рис. 1.3.3

Исследуя уравнения (15) и (16), можно сделать некоторые выводы о поведении нулевой линии при косом изгибе:

Нулевая линия является прямой линией.

Нулевая линия проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Нулевая линия пересекает те четверти координат, которые не пересекает след силовой плоскости.

Нулевая линия в общем случае не перпендикулярна следу силовой плоскости. В частном случае при равенстве моментов инерции и (круг, квадрат) , , угол является дополнением к углу . При этом . Из этого можно сделать вывод, что для сечений, у которых моменты инерции относительно двух любых взаимно перпендикулярных осей равны (), косой изгиб не возникает.

Если , то угол раскрывается больше, чем прямой, нейтральная линия отклоняется к той оси, относительно которой момент инерции минимален.

Из рис. 1.3.3 следует, что наибольшие по величине напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нулевой линии. В рассматриваемом случае такими точками являются точки №1 и №3. Таким образом, при косом изгибе условие прочности имеет вид:

. (17)

Здесь: ; .

Если моменты сопротивления сечения относительно главных осей инерции могут быть выражены через размеры сечения, условие прочности удобно использовать в таком виде:

. (18)

При подборе сечений один из осевых моментов сопротивления выносят за скобку и задаются отношением . Зная , и угол , путем последовательных попыток определяют значения и , удовлетворяющие условию прочности

. (19)

Для несимметричных сечений, не имеющих выступающих углов, используется условие прочности в виде (17). В этом случае при каждой новой попытке подбора сечения необходимо предварительно вновь найти положение нулевой линии и координаты наиболее удаленной точки (). Для прямоугольного сечения . Задаваясь отношением , из условия прочности (19) легко можно найти величину и размеры поперечного сечения.

Рассмотрим определение перемещений при косом изгибе. Найдем прогиб в сечении консольной балки (Рис. 1.3.4). Для этого изобразим балку в единичном состоянии и построим эпюру единичных изгибающих моментов в одной из главных плоскостей. Будем определять полный прогиб в сечении , предварительно определив проекции вектора перемещений на оси и . Проекцию вектора полного прогиба на ось найдем, воспользовавшись формулой Мора:

. (20)

Проекцию вектора полного прогиба на ось найдем аналогичным способом:



. (21)

Полный прогиб определим по формуле:

. (22)

Рис. 1.3.4

Следует обратить внимание, что при косом изгибе в формулах (20) и (21) при определении проекций прогиба на оси координат меняются лишь постоянные члены, стоящие перед знаком интеграла. Сам же интеграл остается постоянным. При решении практических задач будем вычислять этот интеграл, пользуясь методом Мора-Симпсона. Для этого умножим единичную эпюру на грузовую (Рис. 1.3.4), построенную в силовой плоскости, а затем полученный результат умножим последовательно на постоянные коэффициенты, соответственно, и . В результате получим проекции полного прогиба и на оси координат и . Выражения для проекций прогиба для общего случая нагружения, когда балка имеет участков, будут иметь вид:

; (23)

. (24)

Отложим найденные значения для, и (Рис.12.8). Вектор полного прогиба составляет с осью острый угол , величин которого можно найти по формуле:

, (25)

Откуда

. (26)

Сравнивая уравнение (25) с уравнением нулевой линии (16), приходим к выводу, что

или ,

откуда следует, что нулевая линия и вектор полного прогиба взаимно перпендикулярны. Угол является дополнением угла до 900. Это условие может быть использовано для проверки при решении задач на косой изгиб:

. (27)

Таким образом, направление прогибов при косом изгибе перпендикулярно нулевой линии. Отсюда вытекает важное условие, что направление прогибов не совпадает с направлением действующей силы (Рис. 1.3.3). Если нагрузка представляет собой плоскую систему сил, то ось изогнутой балки лежит в плоскости, которая не совпадает с плоскостью действия сил. Балка перекашивается по отношению к силовой плоскости. Это обстоятельство послужило основанием для того, что подобный изгиб стали называть косым.

Расчет вала на «изгиб с кручением»

Задача. Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами, передающего мощность Р[кВт], при угловой скорости [рад/с],

1)определить вертикальные и горизонтальные составляющие реакций подшипников;

2)построить эпюру крутящих моментов;

3)построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях;

4)определить диаметр вала, полагая, чтоFr1 = 0,4F1; Fr2 = 0,4F2.

Расчет производить по гипотезе потенциальной энергии формоизменения.

При гипотезе потенциальной энергии формоизменения (пятая гипотеза)

.

Рис. 2.1 Схема вала к задаче по расчету на изгиб с кручением.

Исходные данные:

Вариант 51.

?= 60 Мпа;

P= 20 кВт;

= 18 рад/с;

Fr1 = 0,4 • F1;

Fr2 = 0,4 • F2.

Решение.

Вал подвергается изгибу, а части его, расположенные между шкивами, и скручиванию. Крутящий момент определяют по формуле:

Строим эпюры крутящих моментов в расчетной схеме (Рис.2.2).

Моменты, передаваемые каждым из шкивов на вал равны:

значит, отсюда:

По найденным значениям сил F1, F2 вычислим Fr1, Fr2:

Итак, определим вертикальные и горизонтальные составляющие реакций подшипников:

Во-первых определим горизонтальные составляющие реакций подшипников. Для этого составим уравнение проекций всех действующих сил на ось X:

Аналогичным образом составляем уравнение суммы моментов всех сил по оси X, относительно точки A:

Отсюда выражаем составляющую реакции точки С по оси Х:

Знак минус нам показывает, что направление составляющей реакции направлено в противоположную сторону, относительно первоначально заданного направления.

Зная горизонтальную составляющую реакции в точке C, найдем составляющую в точке A:

Во-вторых вычислим вертикальные составляющие реакций подшипником. Поэтому составим теперь уравнение проекций всех действующих сил на ось Y:

Далее составляем уравнение суммы моментов по оси Y, относительно точки A:

Выражаем отсюда составляющую в точке C и получаем:

Далее находим составляющую в точке А по оси ординат:

Для построения эпюр изгибающих моментов в горизонтальных и вертикальных плоскостях нам необходимо определить их соответствующие значения.

Рассмотрим вертикальную плоскость, т.е. ось ординат.

Теперь рассмотрим горизонтальную плоскость, т.е. ось абсцисс:

Определим диаметр вала.



Расчет необходимо производить по гипотезе потенциальной энергии формоизменения, то есть эквивалентный момент мы найдем по формуле:

Найдем результирующие изгибающих моментов, осуществив геометрическое сложение:

Максимальный результирующий изгибающий момент в сечении в точке B и крутящий момент имеют максимальные значения в этом сечении. Поэтому это сечение является самым опасным.

Тогда, диаметр вала равен:

На рис. 2.2 представлена расчетная схема, а так же изображения эпюр крутящих и изгибающих моментов.



Рис. 2.2. Расчетная схема вала, сил действующих на него и эпюр крутящих и изгибающих моментов.



Заключение

В заключение хочется сказать, что принципиально нового задачи сложного сопротивления не вносят. Закрепление теоретического материала при помощи расчетно-графической работы это показало. В итоге проделанной работы, выявлено, что совместное действие внутренних факторов приводит к напряженному состоянию, которое можно получить суммированием напряженных состояний, вызванным каждым видом простогонагружения в отдельности.

Основная цель курсовой работы достигнута. Так же хочется добавить, что в ходе написания данной курсовой работы был сделан вывод о эффективности и высокой значимости изучения данной дисциплины. В современном мире с необычайно высокой скоростью развивается автомобилестроение и многие другие сферы технической деятельности, что в конечном итоге не позволяет нам пренебрегать влиянием воздействия внутренних сил. Ведь при проектировании того же автомобиля, пренебречь действием внутренних сил может означать пренебрежение безопасности.



Список использованной литературы

Багмутов, В.П. Сложное сопротивление: учебное пособие/ В.П. Багмутов, Н.Ю. Полозенко. - Волгоград: ВолгГТУ, 2005. - 72 с.

Кочетов, В.Т. Сопротивление материалов/ В.Т. Кочетов, А.Д. Павленко, М.В. Кочетов. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2001. - 368 с.

Сопротивление материалов: Учеб. Пособие - 2-е изд., испр./ Н.А. Костенко, С.В. Балясникова, Ю.Э. Волошановская и др.; Под.ред. Н.А. Костенко. - М.: Высш. Шк., 2004. - 430 с.: ил.

Степин, П.А. Сопротивление материалов/ П.А. Степин. - Москва: Высшая Школа, 1988. - 367 с.

Размещено на Allbest.ru

...