Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

САМОСТІЙНА РОБОТА СТУДЕНТІВ В ПРАКТИЧНОМУ КУРСІ ОПОРУ МАТЕРІАЛІВ

КАРПЮК В. М.

ОДЕСА

ООО “ЗОВНІШРЕКЛАМСЕРВІС”

2004

ББК 30.121я73

УДК 539.3/8

Карпюк В.М.

Самостійна робота студентів в практичному курсі опору матеріалів / Навчальний посібник для будівельних вузів. - Одеса: ООО “Зовнішрекламсервіс”, 2004. - 170 с.

В навчальному посібнику коротко викладено основні положення курсу опору матеріалів та детально розглянутий хід розв'язку задач для набуття студентами необхідних навичок виконання розрахунково-проектних робіт при самостійному вивченні названого курсу та рішенні практичних задач як спрощеного типу, так і підвищеної складності.

Посібник призначений для студентів всіх форм навчання будівельних спеціальностей.

Рецензенти: завідувач кафедри опору матеріалів та будівельної механіки Одеського національного морського університету, професор, доктор технічних наук Грішин В.О.;

завідувач кафедри будівельної механіки Одеської державної академії будівництва та архітектури, професор, доктор технічних наук Яременко О.Ф.

Рекомендований Міністерством освіти та науки України як навчальний посібник для студентів будівельних спеціальностей (Лист Міністерства освіти та науки України від 22.03.2001, № 14/18.2-320).

ISBN © Карпюк В.М., 2004

ВСТУП

Цей навчальний посібник призначений для самостійної праці студентів при опануванні курсу опору матеріалів. Ним рекомендується користуватися при підготовці до практичних занять, розрахунково-проектних, лабораторних та контрольних робіт; до захисту робіт за індивідуальними завданнями тощо. Посібник може знадобитися і для підготовки до олімпіад з окремих розділів курсу.

Мета посібника, який обіймає основні теми учбової програми, - допомогти студентам в придбанні навичок рішення практичних задач.

Для більш успішного засвоєння студентами теоретичного матеріалу по кожній темі приводяться короткі відомості з теорії та контрольні запитання, на які рекомендується відповісти при самоперевірці.

Для полегшення самостійного опрацювання матеріалу в учбовому посібнику значне місце займають приклади докладного розв'язання задач з рекомендаціями не припускатися типових помилок. Окрім того, для більш міцного засвоєння матеріалу пропонується самостійно розв'язати задачі як спрощеного типу, так і підвищеної складності. Останні приведені в порядку поступового ускладнення і вимагають нешаблонного розв'язку.

В кінці кожної теми приводиться зміст розрахунково-проектних робіт та короткі методичні вказівки щодо їх виконання.

Нестандартність запропонованого навчального посібника полягає в тому, що в ньому приділяється особлива увага розбору характерних помилок, яких часто припускаються студенти при практичному втіленні окремих теоретичних положень курсу.

В заключній частині посібника приводиться перелік навчально-методичної літератури, за допомогою якої студент може поглибити знання, одержані в процесі самостійної роботи над даним посібником.

Автор виражає глибоку пошану та щиру вдячність кандидатам технічних наук, доцентам Наталії Олександрівні Соколовій та Юрію Анатолійовичу Шафрановському, старшому викладачу Анатолію Володимировичу Коврову за допомогу при підготовці даного посібника.

1. ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ПЕРЕРІЗІВ

1.1 Короткі теоретичні відомості

Розрахунок на міцність, жорсткість та стійкість при розв'язанні задач курсу опору матеріалів виконується з урахуванням геометричних характеристик перерізів елементів споруди чи конструкції. Тому цьому розділу курсу приділяється велика увага та присвячується розрахунково-проектна робота.

Вивчаючи геометричні характеристики перерізів - статичний момент площі, осьовий, полярний та відцентровий моменти інерції, - необхідно звернути увагу на їхню головну особливість. На відміну від площі, ці геометричні характеристики залежать не тільки від форми та розмірів перерізу, а й від його розташування відносно осі, точки-полюса чи системи осей, які лежать в площині перерізу.

Встановлено, що при роботі стержня на осьовий стиск чи розтяг його міцність залежить від площі поперечного перерізу. Зовсім друга ситуація виникає при згині стержня (балки).

На рис. 1.1 показано стержень прямокутного перерізу, який згинається зосередженою силою. При різній орієнтації прямокутного перерізу відносно осі Х вертикальні переміщення точок поперечного перерізу (прогини) будуть неоднаковими. В варіанті (а), коли стержень закріплено “на ребро”, вони менші. Площа перерізу в обох варіантах однакова. Це свідчить про те, що при розрахунку стержня, який згинається, необхідно враховувати також інші геометричні характеристики.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.1. Різні варіанти розташування прямокутного перерізу відносно площини, в якій діє навантаження.

Як відомо, внутрішні сили, які виникають в поперечних перерізах деформованих стержнів, приводяться до головного вектора та головного момента. За точку приведення, як правило, приймають центр ваги поперечного перерізу. Положення центра ваги визначається за допомогою статичних моментів перерізу відносно вибраних для цієї мети осей.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статичним моментом плоскої фігури відносно осі, яка лежить в тій же площині, називається взята по всій площі фігури безперервна сума добутків елементарних площинок на їх координати (віддалі до даної осі).

(1.1)

Якщо переріз складають прості фігури, для яких положення центра ваги відомо, то статичний момент всього перерізу дорівнює сумі статичних моментів його частин. При цьому, статичний момент простої фігури відносно вибраної осі визначається простим перемноженням площі фігури на координату її центра ваги. Згідно з математичним записом (1.1) статичний момент вимірюється одиницею довжини в третій степені. За одиницю довжини рекомендується брати “см”. Необхідно пам'ятати, що знак статичного моменту залежить від знака координати центра ваги плоского перерізу. Відносно центральної осі статичний момент дорівнює нулю. Останньою властивістю рекомендується користуватися при виборі допоміжних осей.

Робоча формула визначення координат центра ваги перерізу, який складається з деякого числа частин, має вигляд:

(1.2)

Аналогічно статичному моменту визначення осьових Іх та Іу , полярного І та відцентрового Іху моментів інерції можна зробити за допомогою записів:

 (1.3)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для успішного виконання розрахунково-проектної роботи з розглянутого розділу опору матеріалів необхідно пам'ятати основні властивості моментів інерції:

1). Одиниця виміру - мм4, см4, ...

2). Знаки осьових та полярного моментів інерції завжди додатні, а відцентрового - залежать від положення плоскої фігури відносно декартової системи осей.

3). Згідно властивостей інтеграла по площі момент інерції складеного перерізу дорівнює сумі моментів інерції його частин (момент інерції отвору віднімається від загальної суми).

4). Сума осьових моментів інерції відносно декартової системи осей дорівнює полярному моменту інерції відносно їх початку. Звідси випливає, що при повороті осей відносно їх початку, сума осьових моментів інерції не змінюється, оскільки незмінним залишається полярний момент інерції.

5). Якщо плоска фігура має хоча б одну вісь симетрії, то відцентровий момент інерції відносно цієї та перпендикулярної до неї осі дорівнює нулю.

Осі, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти інерції набувають екстремальних значень, називаються головними осями інерції.

6). Головні осі інерції можна провести через будь-яку точку плоскої фігури. А якщо вони проходять через центр ваги перерізу, то їх називають головними центральними осями інерції.

7). Момент інерції фігури відносно осі, паралельної центральній осі фігури, більший центрального на добуток площі цієї фігури на квадрат віддалі між осями (ця властивість відноситься також і до відцентрових моментів інерції відносно двох систем паралельних осей, одна з яких - центральна).

(1.4)

8). Поворот системи координатних осей на фіксований кут приводить до зміни величин осьових та відцентрового моментів інерції згідно формул (1.5):

(1.5)

9). Кут нахилу головних осей інерції до заданих осей Х, У можна підрахувати за формулою (1.6), одержаною на основі математичного запису відцентрового момента інерції відносно повернутих осей (1.5) при умові, що осі Х1 , У1 - головні.

(1.6)

10). Величини головних моментів інерції можна визначити як за формулами (1.5), так і за виразом (1.7):

(1.7)

При цьому, знак “+” перед радикалом відповідає Imax , знак “-” Imin .

11). Якщо плоска фігура має більше двох осей симетрії, то через її центр ваги можна провести нескінченну кількість головних центральних осей, для яких осьові моменти інерції однакові.

12). Відцентровий момент інерції відносно центральних осей, паралельних поличкам рівнобокого кутика, визначається за формулою (1.8), одержаною на основі (1.5). Знак відцентрового момента залежить від розташування кутика відносно координатних осей (рис. 1.6).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.6. До визначення відцентрового момента кутика.

(1.8)

Задача знаходження положення головних центральних моментів інерції плоского складеного перерізу розв'язується за таким планом:

1). Вибір допоміжних осей для знаходження положення центра ваги перерізу.

2). Визначення координат центра ваги за формулами (1.2).

3). Обрахування осьових та відцентрового моментів інерції відносно центральних осей за формулами (1.4).

4). Визначення положення головних центральних осей за формулою (1.6).

5). Обрахування величин головних центральних моментів інерції перерізу по формулі (1.7).

6). Перевірка розв'язку задачі на основі властивостей моментів інерції.

Необхідно підкреслити, що на відміну від прокатних профілів, геометричні характеристики яких приведені в сортаментах, центральні моменти інерції простих фігур - прямокутника, трикутника, кола - рекомендується обчислювати за формулами, приведеними в довідниках та підручниках по курсу опору матеріалів.

При підготовці до захисту розрахунково-проектної роботи, а також для контролю знань на будь-якому рівні доцільно відповісти на приведені нижче запитання:

1. Що називається статичним моментом плоского перерізу та які його властивості?

2. Як визначається положення центра ваги складеного перерізу?

3. Сформулюйте означення моментів інерції:

- осьового;

- полярного;

- відцентрового.

4. Перерахуйте властивості моментів інерції. Чим відрізняється відцентровий момент інерції від осьових та полярного?

5. Які осі називаються головними та головними центральними?

6. Запишіть формули для визначення центральних моментів інерції таких простих фігур:

- полярного та осьового відносно центра ваги кола і його діаметра;

- осьових моментів інерції прямокутника відносно його осей симетрії;

- осьового моменту інерції трикутника відносно центральної осі, паралельної основі;

- осьового моменту інерції рівнобедреного трикутника відносно його осі симетрії.

7. Поясніть, який зв'язок існує між моментами інерції відносно паралельних осей, одна з яких центральна?

8. Чи зміниться сума осьових моментів інерції при повороті осей?

9. Як знайти положення головних осей? Якими властивостями наділені ці осі?

10. Як визначити відцентровий момент інерції кутика відносно центральних осей, паралельних поличкам?

11. Скільки пар головних центральних осей може мати плоска фігура? Чому?

12. Як обчислити головні центральні моменти інерції перерізу?

1.2 Розв'язання задач

Для перевірки навичок, набутих в процесі вивчення розділу курсу “Геометричні характеристики плоских перерізів”, та виконання відповідної проектної роботи студентам пропонується розв'язати задачі різної складності. Практика показала, що недостатня підготовка до контролю знань часто приводить до однотипних характерних помилок. Так, при обчисленні статичного момента перерізу відносно заданої осі не завжди враховується знак координати центра ваги перерізу в прийнятій системі осей. При користуванні сортаментом прокатних профілів, деколи, не враховуються різні одиниці виміру геометричних характеристик. Допускаються помилки при практичному використанні формул, які зв'язують моменти інерції при паралельних осях. Досить часто припускаються помилки при визначенні знака відцентрового момента інерції рівнобокого кутика відносно центральних осей, паралельних поличкам тощо.

При розв'язанні задач зустрічаються випадки неправильних дій з наближеними числами. Добиваючись якомога більшої точності, студенти обчислюють значення моментів інерції з кількістю десяткових знаків, що перевищує точність вихідних даних. Досить часто порушується порядок виконання обчислень. Рекомендується всі розміри та віддалі, які використовуються при обчисленні, показувати на рисунку в цифровому виразі (в мм). В такому випадку полегшується перевірка правильності їх підстановки в відповідні формули, скорочується обчислювальна робота та зменшується імовірність помилки.

Для ілюстрації приведених рекомендацій та зауважень розглянемо приклад визначення геометричних характеристик складеного перерізу відносно довільно заданих осей.

Задача 1

Визначити статичний момент Sx та осьовий момент інерції Іу заданого перерізу.

З сортаменту прокатної сталі виписуємо вихідні дані для заданих профілів:

Профіль	h, см	А, см2	Іх , см4	Іу , см4	Z0 , см	b, см
1	2	3	4	5	6	7
	24	30,6	2900	208	2,48	9,0
1	2	3	4	5	6	7
	20	26,8	1840	115	-	10,0

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розв'язок задачі.

1. Визначення статичного моменту Sx відносно осі X:

Де = Z0 - віддаль від осі Х до центра ваги швелера в напрямку осі У, тому > 0;

- віддаль від осі Х до центра ваги двотавра в протилежному напрямку осі У. Тому < 0.

Тоді Sx = 30,6 2,42 + 26,8 (-10) = = 74 - 268 = -194,0 см3.

2. Визначення осьового момента інерції Iy :

переріз інерція момент деформований

Де a1 = 7 см - віддаль від осі У до осі У1 , a2 = 0 - віддаль між суміщеними осями У та У2 .

Размещено на http://www.allbest.ru/

При підстановці значень та з таблиці вихідних даних потрібно уважно віднестися до того, що ось У1 швелера в задачі збігається з віссю Х в сортаменті (див. позначення в таблиці), а вісь У2 двотавра збігається з віссю У в сортаменті.

Таким чином, = = = 2900 см4, = = 208 см4. Тоді Іу = 2900 + 30,6 72 + 208 + + 26,8 0 = 4607,4 см4.

Задача 2

Знайти координату центра ваги Хс перерізу та відцентровий момент інерції перерізу Іху відносно заданих осей Х, У.

З сортаменту прокатної сталі виписуємо вихідні дані для рівнобокого кутика.

	А, см2	, см4	, см4	Z0 , см
125 125 10	24,3	571	149	3,4

Розв'язок задачі.

1. Знаходимо координати центра ваги перерізу, використовуючи формулу

де - площі квадрату та кутика;

- віддаль від осі У до центра ваги квадрата, зміряна в протилежному осі Х напрямку, < 0;

- віддаль від осі У до центра ваги кутика, зміряна в напрямку осі Х, > 0.

Тоді см.

2. Визначаємо відцентровий момент інерції Ixy за формулою:

Де = 0, оскільки центральні осі Х1 , У1 - осі симетрії квадрата, і, відповідно, головні осі;

a1 , b1 - віддалі від осей У та Х до осей У1 , Х1 , відповідно. При цьому, а1 = = -10 см, b1 = -10 см.

Негативний знак відцентрового момента інерції відповідає випадкові, коли обидві позитивні напівосі Х2 та У2 не пересікають поличок рівнобокого кутика;

a2 , b2 - віддалі від осей У, Х до осей У2 , Х2 , відповідно. Причому, а2 = = 3,4 см і b2 = - (20 - 3,4) = - 16,6 см.

Тоді

Іху = 0 + (-10) (-10) 400 - 211 + 3,4 (-16,6) 24,3 = 38417,5 см4.

1.3 Задачі, які пропонуються для самостійного опрацювання

Для закріплення теоретичних знань з розділу “Геометричні характеристики плоских перерізів” студентам рекомендується розв'язати задачі різного ступеня складності.

Задачі спрощеного типу розв'язуються на одну або кілька дій і призначаються для перевірки знань з конкретного питання даного розділу.

Якщо перші задачі розв'язані успішно, то можна перейти до більш складних прикладів, які вимагають від студентів не тільки доброго знання теоретичного матеріалу, але й вміння логічно вірно побудувати їх розв'язок.

1.3.1 Задачі спрощеного типу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1.

Визначити статичний момент Sy перерізу, зображеного на рис. 1.9.

Задача 2.

Визначити момент інерції Іх перерізу, приведеного на рис. 1.10.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 3.

Для рівнобокого кутика, зображеного на рис. 1.11, визначити момент інерції , якщо Іх = Іу = = 106 см4; = 168 см.

Задача 4.

Чому дорівнює полярний момент інерції відносно точки перетину С центральних осей Хс., Ус трикутного перерізу, зображеного на рис. 1.12?

Задача 5.

Визначте осьовий момент інерції ромба Іх .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 6.

Визначте відцентровий момент інерції Іху перерізу, зображеного на рис. 1.14.

1.3.2. Задачі підвищеної складності

Задача 7.

Доказати, що в рівносторонньому трикутнику всі центральні осі - головні, а моменти інерції відносно цих осей одинакові.

Задача 8.

Яку долю основи а повинен складати розмір X, щоби центр ваги площі прямокутної трапеції з довільною висотою h знаходився на прямій АВ, перпендикулярній основі? Знайти для цього перерізу положення центра ваги по висоті в залежності від h.

Задача 9.

Стінка та поличка таврового перерізу мають однакову товщину t (див. рис. 1.16). Виявити залежність ширини полички b від висоти h і товщини t, при якій координата центра ваги перерізу дорівнюватиме .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 10.

Визначити момент інерції площі фігури, зображеної на рис. 1.17, відносно осі при завданих b, d та .

Задача 11.

Користуючись таблицею сортаменту, визначити відцентровий момент інерції нерівнобокого кутика 125 80 12 відносно осей Х1 та У1., показаних на рис. 1.18.

1.4 Зміст та короткі вказівки щодо виконання розрахунково-проектної роботи

Розрахунково-проектна робота по даній темі заключається в розв'язанні трьох задач.

Задача 1.

Для заданого, складеного з прокатних профілів, перерізу з двома осями симетрії (рис. 1.19) необхідно показати головні центральні осі інерції та обчислити головні центральні моменти інерції.

Головними центральними осями є осі симетрії та .

Головні центральні моменти інерції складеного перерізу обчислюються як сума моментів інерції окремих частин перерізу з використанням числових даних з сортаменту для “власних” моментів інерції прокатних профілів, а також формул, які виражають залежність між моментами інерції відносно паралельних осей, одна з яких - центральна.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 2.

Для заданого, складеного з простих геометричних фігур, перерізу з однією віссю симетрії (рис. 1.20) необхідно визначити положення головних центральних осей інерції та обчислити головні центральні моменти інерції.

Головними центральними осями інерції перерізу, зображеного на рис. 1.20, являються вісь симетрії та перпендикулярна до неї вісь , яка проходить через центр ваги перерізу. Тому, попередньо потрібно знайти положення центра ваги С. Для цього визначаємо координату центра ваги Ус відносно допоміжної осі, наприклад Х1., за формулою:



Де - статичний момент відносно осі Х1 складеного перерізу, обчислений як сума статичних моментів простих фігур, з яких, власне, складається переріз; А - площа всього перерізу.

Головні центральні моменти інерції , обчислюються як сума моментів інерції окремих частин перерізу з використанням формул для власних моментів інерції простих фігур та формул, які виражають залежність між моментами інерції відносно паралельних осей.

Задача 3.

Для заданого несиметричного перерізу, складеного з двох прокатних профілів (рис. 1.21), необхідно визначити положення головних центральних осей інерції та обчислити головні центральні моменти інерції.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розв'язок задачі здійснюється за планом:

1. Знаходимо координати центра ваги перерізу відносно допоміжних, наприклад Х2., У2 , осей:

За цими координатами на креслення наноситься центр ваги С перерізу, через який проводяться допоміжні цент-ральні осі X0 та У0 .

2. Обчислюються осьові та відцентровий моменти інерції відносно допоміжних осей Х0 , У0 як сума моментів інерції окремих частин перерізу з використанням даних сортамента про “власні” моменти інерції прокатних профілів та формул, які виражають залежність між моментами інерції відносно паралельних осей (, , ). Попередньо наносяться на креслення перерізу координати центрів ваги окремих частин С1 та С2 в центральних осях X0., У0 .

3. Визначається положення головних осей інерції перерізу. За допомогою формули (1.6) обчислюється кут 0., на який потрібно повернути допоміжні центральні осі X0 , У0 , щоби вони стали головними центральними осями інерції перерізу (рис. 1.21).

4. Обчислюються головні центральні моменти інерції перерізу за формулою (1.7).

5. Вирішується питання про те, яка з головних осей являється першою (1), відносно якої момент інерції приймає найбільше значення, і яка - другою (2), відносно якої момент інерції найменший. Так, якщо для заданого перерізу, зображеного на рис. 1.21, , то головна центральна вісь, найближча до осі Х0 , і буде першою (1). Потім робляться відповідні позначення на кресленні перерізу (осі 1, 2).

Размещено на Allbest.ru

...