Автоматизация технологических процессов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автоматизация технологических процессов

1. Автоматизация тепловых процессов

1.1 Типовые решения автоматизации процессов нагревания

Основные принципы управления процессом нагревания рассмотрим на примере поверхностного кожухотрубчатого теплообменника, в который подают нагреваемый продукт и теплоноситель. Показателем эффективности данного процесса является фnвых - температура продукта на выходе из теплообменника, а целью управления - поддержание этой температуры на определенном уровне (рис. 1.1)

Зависимость температуры tn вых от параметров процесса может быть найден из уравнения теплового баланса:

где Fn, FT - расходы соответственно продукта и горячего теплоносителя;

сn, сT - удельные теплоемкости продукта и горячего теплоносителя;

tnвх, tTвх - температуры продукта и теплоносителя на входе в теплообменник;

t n вых , t Твых - температуры продукта и теплоносителя на выходе из теплообменника.

Решая данное уравнение относительно - tn вых ,, получим:

Расход теплоносителя FT можно легко можно стабилизировать.

Расход продукта Fn - не может быть ни стабилизирован, ни использован для внесения регулирующих воздействий (т.к. связан с определенным технологическим процессом).

Температуры tnвх и tТ вх, а также удельные теплоемкость Сп и Ст определяются технологическими режимами предыдущих процессов, поэтому их также нельзя стабилизировать. Значит регулируемой величиной является tnвых, а регулирующее воздействие осуществляется путем изменение расхода FT.

Теплообменники как объекты регулирования температуры обладают большим временем запаздывания, поэтому следует уделять особое внимание выбору места установки датчика и закону регулирования.

Для уменьшения запаздывания датчик температуры необходимо помещать как можно ближе к теплообменнику и значительный эффект может дать применение регуляторов с предварением и исполнительных механизмов с позиционерами.

В качестве контролирующих величин следует принимать FП и FT, их конечные и начальные температуры, давления. Знание текущих значения этих параметров необходимо для нормального пуска, наладки технологического процесса. Расход FT требуется знать также для подсчета технико-экономических показателей процесса, а расход FП и tnвых - для оперативного управления процессом.

Сигнализации подлежат температура tnвых и FП. В связи с тем, что резкое падание расхода Fn может послужить причиной выхода из строя теплообменника, устройство защиты в этом случае должно перекрывать линию горячего теплоносителя.

Все рассуждения в отношении процесса нагревания справедливы и для процесса охлаждения.

1.2 Каскадно-связанное регулирование

Использование двухконтурных САР значительно улучшает качество регулирования конечной температуры продукта (основная регулируемая величина), если в качестве вспомогательного параметра выбирают расход теплоносителя, если теплоносителем служит пар с переменным давлением, то предпочтительнее брать давление теплоносителя в рубашке теплообменного аппарата

1.3 Регулирование процесса нагревания байпасированием продукта

Для регулирования температуры системах, в которых изменение расхода теплоносителя недопустимо, используют метод байпасирования. Регулирующее воздействие в этих случаях осуществляется изменением расхода байпасируемого продукта.

При высоких требованиях к постоянству расхода продукта устанавливают два мембранных исполнительных механизма разных типов НО и НЗ.

Аналогичный эффект достигается при установке трехходового смесительного клапана.

Регулирование методом байпасирования улучшает динамическую характеристику системы, так как при этом из цепи регулирования исключается теплообменник.

1.4 Регулирование процесса изменением температуры горячего теплоносителя

Если насос теплоносителя установлен после теплообменника, то стабилизировать конечную температуру продукта можно путем изменения начальной температуры горячего теплоносителя за счет рециркуляции части отработанного теплоносителя

Достоинством данного метода является постоянство расхода и скорости теплоносителя в теплообменнике, что обеспечивает высокие и стабильные значения коэффициента теплоотдачи.

1.5 Регулирование процесса изменением расхода продукта

Если для качественного управления процессом теплообмена допустимо изменение или стабилизация расхода продукта, то в зависимости от возможных возмущающих воздействий может быть принят один из вариантов схем регулирования (рис. 1.5а, б).

Стабилизирующие регуляторы расхода теплоносителя и расхода продута ликвидируют возмущения до поступления их в систему.

2. Регулирование работы трубчатых печей

В нефтеперерабатывающей и нефтехимической промышленности широкое применение находят печи, в которых продукт непрерывно прокачиваемый через змеевик, нагревается за счет тепла, выделяющегося при сжигании топлива. Трубчатая печь является сложным объектом регулирования; стабилизацию конечной температуры продукта в ней необходимо обеспечить при значительно меняющейся температуре и расходе продукта. Постоянно изменяется также состояние змеевика и тепловой изоляции.

Компенсация всех воздействий осуществляется изменением количества подаваемого в печь топлива.

В связи с тем, что для трубчатой печи характеры большие запаздывания, целесообразно использовать каскадно-связанное регулирование.

На рис 3а представлена схема регулирования расхода топлива с коррекцией по температуре нагреваемого продукта на выходе из печи.

Качество регулирования заметно улучшается при введении вспомогательного контура регулирования температуры топочных газов над перевальной стенкой. Это улучшение сильно влияет на температуру продукта на выходе из печи. Схема обеспечивает регулирование температуры продукта на выходе из печи с учетом изменений температуры над перевальной стенкой и расхода продукта.

Продукт теплоноситель

3. Автоматизация массообменных процессов

3.1 Ректификация

В качестве объекта управления при автоматизации процесса ректификации примем установку для разделения бинарной смеси, состоящей из тарельчатой ректификационной колонны 2, выносного кипятильника 4, дефлегматора 3 и теплообменника для подогрева исходной смеси 1. Показателем эффективности процесса ректификации является состав целевого продукта. В зависимости от технологических особенностей в качестве целевого продукта могут выступать как дистиллят, так и кубовый остаток. Поддержание постоянного состава целевого продукта (дистиллята или остатка) будет являться целью управления

Состав другого продукта при этом может колебаться в определенных пределах вследствие изменения состава исходной смеси.

Ректификационная установка является сложным объектом управления со значительным временем запаздывания (например, в отдельных случаях выходные параметры процесса начнут изменяться после изменения параметров сырья лишь через 1-3 ч), с большим количеством параметров, характеризующих процесс, многочисленными взаимосвязями между ними, распределенностью их и т.д.

Трудность регулирования процесса объясняется еще частотой и амплитудой возмущений. В объекте имеют место такие возмущения, как изменения начальных параметров исходной смеси, а также тепло- и хладоносителей, изменение свойств теплопередающих поверхностей, отложение веществ на стенках и т.д. Кроме того, на технологический режим ректификационных колонн, устанавливаемых под открытым небом, влияют колебания температуры атмосферного воздуха.

Регулирование процесса при использовании дистиллята в качестве целевого продукта

Рассмотрим возможности регулирования режимных параметров верхней части ректификационной колонны, которые непосредственно определяют состав дистиллята.

Для получения определенной концентрации Сд дистиллята следует поддерживать на определенном значении давление Р и концентрацию жидкости в верхней части колонны.

Давление Р стабилизируется изменением расхода пара из колонны.

Стабилизация давления в верхней части колонны необходима не только для поддержания заданного состава целевого продукта, но и для обеспечения нормального гидродинамического режима колонны, так как при уменьшении давления может произойти "захлебывание" колонны (восходящий поток пара начинает препятствовать стеканию жидкости по тарелкам вниз), а при его (давления) увеличении снижается скорость парового потока, что связано с уменьшением производительности.

Концентрацию дистиллята Сд регулируют изменением расхода флегмы: чем выше этот расход, тем больше низкокипящего компонента будет в жидкости, и наоборот.

На практике чаще регулируют состав паров (а в отдельных случаях и непосредственно состав дистиллята) изменением расхода флегмы. Регулирующий орган может быть установлен как на линии флегмы, так и на линии дистиллята. В качестве анализаторов состава используют хроматографы и газоанализаторы.

Итак, для достижения цели управления необходимо стабилизировать давление и состав жидкости в верхней части колонны путем изменения расхода хладоносителя, поступающего в дефлегматор, и расхода флегмы. Качество регулирования этих параметров зависит от состава и скорости паров, движущихся из нижней исчерпывающей части колонны и определяемых ее технологическим режимом - главным образом давлением, температурой и составом жидкости в кубе колонны.

Необходимость стабилизации давления паров в кубе отпадает, так как ректификационная колонна обладает хорошо выраженными свойствами самовыравнивания по этому параметру и регулирование давления в верхней части колонны приведет к тому, что давление в кубе через несколько минут примет определенное (несколько большее, чем вверху колонны) значение.

Этого нельзя сказать о температуре (составе) жидкости в кубе. В связи с этим, для поддержания нормального режима в кубе возникает необходимость регулирования температуры (или состава). Обычно стабилизируют температуру, т.к. датчик температуры значительно проще и надежнее, чем анализаторы состава.

Регулирующие воздействия в нижней части колонны могут осуществляться изменением расходов кубового остатка и теплоносителя, подаваемого в кипятильник.

Таким образом, если целевым продутом является дистиллят, то для достижения цели управления следует регулировать расход исходной смеси, температуру исходной смеси, давление в верхней части колонны, состав жидкости в верхней части колонны, температуру и уровень жидкости в кубе.

Контролю подлежат: расход исходной смеси, тепло- и хладоносителя; уровень в кубе колонны; температура по высоте колоны, давление в верхней и нижней частях колонны, а также перепад этих давлений.

Сигнализации подлежат значительные отклонения состава целевого продукта, уровня и давления в колонне от заданных значений. При давлении в колонне выше допустимого, а также при прекращении поступления исходной смеси должны сработать автоматические устройства защиты, отключающие ректификационную установку. При этом магистрали теплоносителей, остатка и дистиллята перекрываются, а магистрали хладоносителя и флегмы полностью открываются.

Регулирование процесса при использовании кубового остатка в качестве целевого продукта

Кубовый остаток используют в качестве целевого продукта не реже, чем дистиллят. В этих случаях более жесткие требования предъявляются к поддержанию технологического режима в нижней части колонны, поэтому в кубе колонны устанавливают датчик состава, а в верхней части - датчик температуры. Остальные узлы остаются неизмененными.

Регулирование процесса ректификации при использовании экстремальных регуляторов и ЭВМ

При управлении процессом ректификации могут ставиться задачи получения продуктов максимально возможной чистоты, достижения максимальной производительности колонны, получения минимальной себестоимости целевого продукта и т.п. В этих случаях возникает необходимость в применении экстремальных регуляторов или управляющих вычислительных машин.

Экстремальный регулятор, например, служит для изменения расхода флегмы с целью получения максимально возможной чистоты дистиллята. На работу такого регулятора накладываются ограничения по расходу флегмы.

Процесс ректификации является одним из самых сложных процессов химической технологии, поэтому применение простых регуляторов, как правило не исчерпывает всех возможностей увеличения производительности и уменьшения себестоимости продукции. Большой эффект может дать применение управляющих машин, на которые возлагаются следующие функции:

вычисление оптимальной нагрузки колонны и установления задания регулятору расхода смеси;

вычисление номера оптимальной тарелки питания и переключение устройств ввода на эту тарелку;

вычисление оптимальных соотношений расходов смеси и флегмы, смеси и теплоносителя и установление задания регуляторам расхода флегмы и теплоносителя;

переход от одного алгоритма управления к другому при изменении цели управления, при переходе с пускового режима на нормальный и с нормального режима на останов.

Если ректификации подвергается многокомпонентная смесь, управляющая машина рассчитывает номер тарелки для отбора промежуточного продукта и производит переключение устройств отбора на нужную тарелку.

3.2 Абсорбция. Типовое решение автоматизации

В качестве объекта управления процессом абсорбции примем абсорбционную установку, состоящую из абсорбционной колонны 2 и двух холодильников - на линиях абсорбента 3 и газовой смеси 1. Показателем эффективности процесса является концентрация извлекаемого компонента в обедненной смеси, а целью управления - достижение определенного (минимального возможного для данных производственных условий) значения этой концентрации. Концентрация YH определяется разностью количеств извлекаемого компонента, поступающего с газовой смесью и поглощаемого из нее абсорбентом.

Количество компонента, поступающего в колонну, рассчитывается по уравнению:

М - Fс-Yн,

т.е. однозначно определяется расходом газовой смеси Fc и начальной концентрацией в ней извлекаемого компонента YH.

Количество компонента, который переходит из газовой фазы в жидкую, определяется:

M'=K-S-Д,

где К - коэффициент массопередачи;

S - поверхность контакта;

Д - средняя движущая сила процесса.

В качестве регулируемой величины выбирают концентрацию YH, a регулирующее воздействие реализуют изменением отношения расходов FA/FС - абсорбент-сырье. Для улучшения качества регулирования показателя эффективности предусматриваются регуляторы расхода Fc, температур сырья и абсорбента, и давления в колонне.

В нижней части абсорбера должно находиться некоторое количество жидкости, обеспечивающее гидравлический затвор, что исключает поступление газовой смеси из абсорбера в линию насыщенного абсорбента и позволяет регулировать давление в абсорбере. Постоянное количество этой жидкости поддерживается регулированием уровня в абсорбере путем изменения расхода насыщенного абсорбента.

Контролируемыми параметрами являются: расход и температура исходного и насыщенного абсорбента, расход и температура исходной и обедненной газовой смеси, хладоносителей, а также концентрация извлекаемого компонента в обедненной смеси, уровень в нижней части колонны, температура по высоте колонны, давление и перепад давлений в ней.

Сигнализации подлежат отклонения давления в колонне от предельных значений.

В качестве объекта управления рассмотрим противоточный непрерывнодействующий аппарат 1 с кипящим слоем мелкозернистого адсорбента на тарелках 2. На верхнюю тарелку такого аппарата подается адсорбент с помощью дозатора 3. Под действием силы тяжести адсорбент проваливается с тарелки на тарелку и выводится из нижней части аппарата, газ же движется снизу вверх и выводится из верхней части адсорбера. Показатель эффективности, цель управления и закономерности такого процесса адсорбции аналогичны процессу абсорбции, поэтому типовые решения автоматизации этих процессов одни и те же. Основным контуром регулирования является регулятор концентрации адсорбируемого компонента в отходящем газе, а регулирующее воздействие осуществляется изменением расхода адсорбента (корректировкой работы дозатора 3). Для устранения возмущения по каналу расхода газовой смеси этот расход стабилизируется.

Контролю подлежат расход газовой смеси, конечная концентрация адсорбируемого компонента, температуры газовой смеси и адсорбента, температура по высоте адсорбера, давление в верхней и нижней частях колонны, перепад давлений между ними.

Сигнализации подлежат концентрация адсорбируемого компонента в отходящем газе и давление в колонне. При резком возрастании давления в колонне должно сработать устройство защиты.

Автоматический регулятор - это средство автоматизации, получающее, усиливающее и преобразующее сигнал отклонения регулируемой величины и целенаправленно воздействующее на объект регулирования; он обеспечивает поддержание заданного значения регулируемой величины или изменение её значения по заданному закону.

По виду регулируемого параметра автоматические регуляторы подразделяются на регуляторы температуры, давления, разряжения, расхода, уровня, состава, содержания вещества и т.п.

В зависимости от источника используемой энергии автоматические регуляторы (А.Р) подразделяются на (А.Р) прямого и непрямого действия.

В (А.Р) прямого действия одновременно с изменением регулируемой величины от объекта регулирования отбирается часть энергии, которая используется для работы регулятора и воздействия на его исполнительный механизм - регулирующий орган объекта регулирования. Таким образом, к автоматической системе "объект - регулятор" энергия из вне не подводится.

Выходная величина обратно пропорциональна входной величине

Где е - входное воздействие на регулятор равное отклонению

регулируемой величины от заданного значения;

м - воздействие регулятора на объект, направленное на ликвидацию

отклонения регулируемой величины от заданного значения;

Кр -коэффициент передачи регулятора являющийся параметром его настройки.

Интегральные регуляторы (И - регуляторы)

Выходная величина такого регулятора пропорциональна интегралу от входной величины

Ти - постоянная времени интегрирования - параметры настройки.

Основное назначение закона И - регулирования - ликвидация установившейся ошибки регулирования.

В качестве самостоятельных И - регуляторы применяют редко из-за медленного нарастания регулирующего воздействия на объект при отклонении регулируемой величины.

Очень часто закон И - регулирования формируется не самостоятельным регулятором, а устройством являющимся составной частью регулятора реализующий более сложный закон регул. например пропорционально- интегральный закон регулирования.

Пропорционально- интегральный регулятор (ПИ - регулятор)

Для комплексного использования преимущество законов П - и И -регулирования широко применяются регуляторы формирующие законы как П- так и И - регулирования одновременно.

ПИ - регуляторы оказывают воздействие на регулирующий орган пропорционально отклонению регул. величины и интегралу от отклонения регулируемой величины.

Передаточная функция ПИ - регулятора

При скачкообразном изменении регулируемой величины на значение

х = х0 = е0 идеальный ПИ - регулятор мгновенно перемещает регулирующий орган на величину Кре0, пропорционально отклонению х0 регулируемой величины, после чего исполнительный механизм регулятора дополнительно перемещается в ту же сторону со скоростью пропорциональной отклонению регулируемой величины.

Следовательно, в ПИ - регуляторе при отклонении регулируемой величины от заданного значения мгновенно срабатывает пропорциональная (статическая) часть регулятора, а затем воздействие на объект постепенно увеличивается под действием интегральной (астатической) части регулятора. Параметры настройки являются Кр - коэффициент усиления и постоянная времени интегрирования - Ти

Пропорционально- дифференциальный регулятор (ПД - регулятор) Оказывают воздействие на объект регулирования пропорционально отклонению регулирующей величины и её скорости

Тд - постоянная времени дифференцирования, она определяет величину

составляющей регулирующего воздействия по скорости Передаточная функция регулятора

Wnd=KP + TдP

При поступлении на вход идеального ПД - регулятора сигнала е0 на

выходе мгновенно появляется бесконечно большой сигнал от действия дифференцирующей составляющей закона ПД - регулирования и сигнал от пропорциональной составляющей = Кре0.

Сигнал от дифференциальной составляющей сразу падает до нуля, а от пропорциональной составляющей остаётся постоянным и равным первоначальному.

Пропорционально - интегрально - дифференциальный регулятор (ПИД - регулятор)

Эти регуляторы воздействуют на объект регулирования пропорционально отклонению s регулируемой величины, интегралу от этого отклонения и скорости изменения регулируемой величины

Передаточная функция



При скачкообразном изменении регулируемой величины идеальный ПИД - регулятор В начальный момент времени оказывает мгновенное бесконечно большое воздействие на орган регулирования, затем величина воздействия мгновенно падает до значения определяемого П - частью регулятор, после чего как и в ПИ - регуляторе сказывается влияние астатической частью регулятора Параметры настройки Кр, Ти, Тд

Общие сведения об исполнительных устройствах.

Исполнительное устройство - это одно из звеньев САР, предназначенное для непосредственного воздействия на объект регулирования

Оно состоит из РО и ИМ

ИМ является приводной частью РО и должен обеспечить перемещение РО с возможно меньшим искажением законов регулирования, формируемых регулятором.

РО - звено исполнительного устройства , предназначенное для изменения расхода вещества или энергии в объекте регулирования.

Различают дозирующие и дроссельные РО

Дозирующие - изменяют расход вещества за счёт изменения производительности агрегатов ( дозаторы, насосы, компрессоры ит.д.) Дроссельные - представляют собой сопротивление изменяющее расход вещества за счёт изменения своего проходного сечения(регулирующие клапана, поворотные заслонки, краны)

РО характеризуется многими параметрами - пропускная и условная пропускная способность, условное и рабочее давление, перепад давления на РО и условный проход.

4. Устойчивость линейных систем автоматического управления

4.1 Понятие устойчивости систем управления

Понятие устойчивости системы регулирования связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Наглядно устойчивость равновесия, где изображен шар, лежащий в некотором углублении, на некоторой выпуклой поверхности, на плоскости.

Положение равновесия шара характеризуется точкой А0. В случае, а, при всяком отклонении его от положения равновесия, например в точку А2, шар будет стремиться снова возвратиться к положению равновесия - в точку А" (при отсутствии сил трения) или к некоторой конечной области, окружающей предшествующее положение равновесия, например в точку А, (при наличии сил трения). Такое положение равновесия будет устойчивым. Случай, изображенный на рис. 1,6, соответствует неустойчивому положению равновесия.

Состояние равновесия устойчиво лишь до тех пор, пока отклонение не вышло за некоторую границу, определяемую, например, точкой В. Выйдя за эту границу, шар уже не вернется в точку А0 а будет двигаться вправо от точки В, либо все время удаляясь, либо до нового состояния равновесия в зависимости от формы поверхности, т.е. в конечном счете в зависимости от уравнений движения шара.

В общем случае, рассматривая нелинейные системы, вводят понятие устойчивости "в малом", "в большом", "в целом". Система устойчива "в малом", если констатируют лишь факт наличия области устойчивости, но не определяют каким - либо образом ее границы. Систему называют устойчивой "в большом", когда определены границы области устойчивости, т.е. определены границы области начальных отклонений, при которых система возвращается в исходное состояние. В том случае, когда система возвращается в исходное состояние при любых начальных отклонениях, систему называют устойчивой "в целом". Устойчивость "в целом" для определенного класса нелинейностей называют "абсолютной устойчивостью".

Можно ввести понятия о невозмущенном состоянии равновесия, соответствующем точке Ао, а, и возмущенном состоянии равновесия (точка А2). После прекращения действия внешних сил шар возвратится в точку А0 или A1 Условие устойчивости можно сформулировать так: система называется устойчивой, если из возмущенного состояния равновесия она перейдет в некоторую конечную (заданную) область, окружающую невозмущенное состояние равновесия.

Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения некоторой системы. Пусть ее состояние определяется независимыми координатами

y1(t), y2(t)..., yn(t). Заданное движение системы определяется некоторым законом изменения координат:

Аналогично случаю положения равновесия заданное движение можно назвать невозмущенным движением. Приложение внешних сил к рассматриваемой системе вызовет отклонение действительного движения от заданного: y1(t)?y1*(t), у1(t)?у1*(t), y2(t)?y2*(t),…,yn(t)?yn*(t). Это движение будет возмущенным.

Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если в результате приложения внешних сил (возмущений), которые затем снимаются, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область:

где еi =const - заданные величины, i=l,2,..., n.

Устойчивость есть категория, относящаяся, прежде всего к собственным движениям системы, порождаемым начальными условиями (возмущениями) и внутренними свойствами системы, но не внешними воздействиями.

5. Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения:

D(s) =a0 S2+a1S2+...+an=0.(1)

Заметим, что необходимым условием устойчивости системы любого порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения

a0>0;а1>0,...,аn >0 (2)

В соответствии с теоремой Безу уравнение (1) можно представить в виде произведения множителей, содержащих корпи s1,s2,...,sn;

a0(s-s1)(s-s2)...(s-sn)=0

Бели все корни характеристического уравнения будут отрицательны, то коэффициенты уравнения (1) будут положительны.

Критерий устойчивости Рауса.

В 1877 г оду английский математик Э. Раус для определения устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения (1) предложил правило, оформленное в виде таблицы.

Коэффициенты	a0	a2	a4	a6
	a1	a3	а5	а7
	С13= а2-r0 -а3	С23=а4-r0a5	С33 =а6-r0a7	С43= а8-r0a9
	С14=a3 - r1c23	C24=a5-r1c33	C34 = a7-r1c43	C44= a6-r1c53
	С15=c23 - r2 c24	С25= Сзз-r2 c34	С35:=С43 - r2С44	С45=С53-r2С54

После того как таблица Рауса заполнена, по ней можно судить об устойчивости системы. Условие устойчивости Рауса формулируется так: для устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты (числа) первого столбца таблицы Рауса были положительными: а0>0; a1>0; C13>0;...;Cln+1>0.

Критерий устойчивости Гурвица

В 1895 году немецким математиком А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения (1) строят сначала главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от а1 | до а3 в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз - коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше п и меньше нуля проставляют нули.

Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом: для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при высшей степени, т.е. a0 >0 и все определители Гурвица Д1,Д2,...,Дn были положительными.

Если все определители Гурвица низшего порядкаД1,Д2,...,Дn-1, положительны, то система находится на границе устойчивости, когда главный определитель равен нулю:

Дn=an Дn-1 (5)

Последнее равенство возможно в двух случаях: аn=0 или Дn-1= 0. В первом случае система находится на границе апериодической устойчивости (один из корней характеристического уравнения равен нулю); во втором случае на границе колебательной устойчивости (два комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения находятся на мнимой оси).

Раскрывая определители Гурвица для характеристических уравнений первого, второго, третьего и четвертого порядков, можно получить следующие условия устойчивости:

1) Уравнение первого порядка.

a0s+a1=0

Для этого уравнения критерий Гурвица дает а0>0,Д1 =а1 >0.

2) Уравнение второго порядка.

a0 s2 + а1s + а2 = 0

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

a0>0;

Д1=a1 >0;

Д 2 = а1 а2> 0, Д 2= а2 Д1> 0;

Последнее условие при наличии предшествующего эквивалентно условию а2>0.

Для устойчивости системы первого и второго порядков необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения системы были положительными.

3) Уравнение третьего порядка.

a0s3+a1s2+a2s+a3=0.

Для ЭТОГО уравнения получаем условия а0>0, Д1= а, > 0,

a1 а3 = аха2 -а0а3 >0,

Д 3 = а3 Д 2 > 0.

Последнее условие при наличии предшествующего эквивалентно условию а3>0. Условие Д 2 > 0 при а0>0, a1>0, a3>0, если а2>0.

Для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения системы были положительными и определитель второго порядка Д 2 > 0.

Д 2 =а1 а2 -а0а3 >0.

Колебательная граница устойчивости Д 2 = 0.

4) Уравнение четвертого порядка.

a0s4 +a1 s3 +а2s2 +а3s + а4 =0.

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

a1 > 0,

Д1= а1 > 0,

Д2 =а1а2 -а0а3 >0,

Д3=-a1(а1а3 -а00) + a3(а1а2 -а0а3) = а3 Д2 -а12 a4 >0,

Д4 = а4 Д3 > 0. Если Д3 > 0,то а4 > 0.

Условие Д3 > 0 при а4 > 0, если а3>0 и Д2 > 0.

Д2 > 0 при а0 > 0, а1 > 0, а3 > 0, если а2 > 0.

Для устойчивости системы четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными и определитель третьего порядка Д3 > 0.

Колебательная граница устойчивости Д3 = 0.

5) Уравнение пятого порядка.

а0 s5+a1 s4 + а2 s3 +a2 s2 +a4 s + a5 = 0.

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

a1 a2-a0a3>0,(8)

(а1 а2-а 0а3 )(а3 а4 -а2 а5 )-(а1 а4 -а4 а5)2>0 (9)

Для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими.

Можно установить, что система находится на колебательной границе устойчивости при условии положительности всех миноров и равенства нулю предпоследнего определителя Дn-1 = 0.

6. Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик. Эти критерии позволяют сравнительно просто исследовать устойчивость систем высокого порядка, а также имеют геометрическую интерпретацию и наглядность.

Принцип аргумента. Частотные критерии устойчивости динамических систем базируются на принципе аргумента.

Пусть дан некоторый полином n-ой степени

D(s)=a0Sn+aIsn-1+...+an.(10)

Этот полином представлен в виде произведения сомножителей

D(s)= a0(s-s1)(s-s2)…(s-sn) (11)

где s1 s2 ,. . .,sn - корни характеристического уравнения D(s)=0.

Характеристический вектор можно тогда представить в следующем виде:

D(jщ)=a0(jщ-s1)(jщ-S2)...(jщ-Sn). (12)

Каждая из скобок представляет собой комплексное число. Следовательно, D(jщ) представляет собой произведение п комплексных чисел. При перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Поэтому результирующий угол поворота вектора D(jщ) при изменении частоты о от нуля до бесконечности будет равен сумме углов поворота отдельных сомножителей (12):

Ш=ш1 +ш 2+... + шп. (13)

Условимся считать вращение против часовой стрелки положительным.

Определим каждое слагаемое (13) в отдельности.

1. Пусть какой-либо корень, например s, является вещественным и отрицательным, т.е. S1 = -б1 где б1 >0. Сомножитель в выражении (12), определяемый этим корнем, будет иметь вид (Jщ+б1).

Построим годограф этого вектора на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис,2,а). При щ=0 вещественная часть равна at, a мнимая нуль. Этому соответствует точка А, лежащая на оси вещественных. При увеличении частоты до бесконечности конец вектора уходит в бесконечность, причем конец вектора все время остается на вертикальной прямой.

Годографы характеристического вектора для S1 = -a ±jв,s2= a±jв.

При увеличении щ от нуля до бесконечности концы обоих векторов уходят вверх в бесконечность, и оба вектора в пределе сливаются с осью мнимых.

Результирующий угол поворота первого вектора

Результирующий угол поворота второго вектора

Вектор, соответствующий произведению

(jщ +б - jв)(jщ+б+jв),

повернется на угол

4. Пусть те же комплексные корни имеют положительную вещественную часть, т.е. s1,2 =+б±jв. Проводя построения, аналогичные предыдущим (рие.3,6), можно получить, что результирующий угол поворота вектора, соответствующего произведению двух сомножителей, будет

Предположим, что полином D(s) имеет 1 правых корней и (n-1) левых корней.

Получаем следующую формулировку принципа аргумента: изменение (приращение) аргумента D(Jщ) при изменении частоты со от 0 до со равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(s) =0, умноженной на р/2

Для того, чтобы линейная система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости комплексного переменного s, т.е. чтобы 1=0. В этом случае согласно (14)

7. Критерий устойчивости Михайлова

Рассмотрим левую часть характеристического уравнения (11), которая представляет собой характеристический полином:

D(S) =a0sn+a1 sn-3 +...+an-1s + an. (l6)

Заменим в этом полиноме s = щ, где щ представляет собой угловую частоту

колебаний, соответствующих чисто мнимому корню характеристического уравнения. При этом получим характеристический вектор

D(jщ) =а0(Jщ)n + а1(Jщ)n-1 +... + an-1 Jщ + ап =ReD(jщ) + JmD(jщ) = X(щ) + jY(щ) (17)

где вещественная часть будет содержать четные степени щ:

X(щ) = ReD(jщ) = an-an-2aщ2+... (18)

амнимая-нечетныестепени щ:

Y(щ) = JmD(jщ) = а n - 1 щ - аn - 2щ3 +...(19)

Из формулы (15) следует формулировка критерия устойчивости Михайлова. Система автоматического управления устойчива, если при изменении частоты щ от 0 до ? вектор D(j щ) поворачивается на угол

кожухотрубчатый теплообменник дистиллят двухконтурный

степень характеристического уравнения D(s)=0.

Вектор D(jco) при изменении частоты от нуля до ? (0 < щ <?) вычертит в плоскости комплексного переменного некоторую кривую (годогфаф), которая называется кривой Михайлова.

Тогда критерий Михайлова можно сформулировать: система устойчива, если годограф D(jco) с ростом частоты от нуля до ор, начинаясь на действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) п квадрантов.

Практически годограф Михайлова строится по точкам, причем задаются различные значения частоты со и по формулам (18) и (19) вычисляются Х((й) и Y((o). Результаты расчетов сводятся в таблицу, по которой и строится годограф.

Оказывается, что годограф Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец его уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического полинома.

Частотный годограф Михайлова для устойчивых систем порядка п.

Неустойчивость системы всегда связана с тем, что в годографе Михайлова нарушается последовательность прохождения квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора D(jщ) оказывается меньшим, чем п*р/2



Частотный годограф Михайлова для неустойчивых систем четвертого порядка.

Наличие границы устойчивости всех трех типов рассмотрим на примере системы четвертого порядка

В случае границы устойчивости первого типа (нулевой корень) отсутствует свободный член характеристического полинома ап-0, т.е. а4=0 и кривая Михайлова идет из начала координат (рис 6,а).

При границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости) характеристический полином обращается в нуль при подстановке s = jщ0

D(jщ0)=X(щ0)+jY(щ0)=0

откуда вытекают два равенства:



Это значит, что точкащ=що на кривой Михайлова попадает в начало координат (рис.6,6). При этом величина що есть частота незатухающих колебаний.

Для границы устойчивости третьего типа (бесконечный корень) конец годографа Михайлова перебрасывается, как показано на рис.6,в. При этом коэффициент ао характеристического полинома D(s), будет проходить через нулевое значение, меняя знак плюс на минус.

Кривая Михайлова для границ устойчивости первого, второго и третьего типа

Размещено на Allbest.ru

...