Автоматизация химико-технологических процессов

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Необходимость автоматизации химико-технологических процессов

Развитие автоматизации химической промышленности связано с возрастающей интенсификацией технологических процессов и ростом производств, использованием агрегатов большой единичной мощности, усложнением технологических схем, предъявлением повышенных требований к получаемым продуктам.

Особое значение придается вопросам автоматизации процессов химической технологии в связи с взрыво- и пожароопасностью перерабатываемых веществ, их агрессивностью и токсичностью, с необходимостью предотвращения вредных выбросов в окружающую среду. Указанные особенности, высокая чувствительность к нарушениям заданного режима, наличие большого числа точек контроля и управления процессом, а также необходимость своевременного и соответствующего сложившейся в данный момент обстановке воздействия на процесс в случае отклонения от заданных по регламенту условий протекания не позволяют даже опытному оператору обеспечить качественное ведение процесса вручную.

Человек обладает конечной скоростью восприятия ограниченного объема информации; ему требуется некоторое время на ее обдумывание, принятие решения и выполнение соответствующих мероприятий. Действия человека отличаются субъективностью. Оператор должен непрерывно следить за процессом, с максимальной быстротой оценивать текущую обстановку и в случае необходимости принимать решения с целью поддержания заданного режима, что чрезвычайно сложно, а иногда и невозможно. Поэтому в настоящее время эксплуатация процессов химической технологии без автоматизации практически немыслима.



2. Классификация АСР. Принципы управления

Управление -- это целенаправленное воздействие на объект, которое обеспечивает его оптимальное (в определенном смысле) функционирование и количественно оценивается величиной критерия (показателя) качества. Критерии могут иметь технологическую или экономическую природу (производительность технологической установки, себестоимость продукции или т. п.).

Во время работы выходные величины отклоняются от заданных значений под действием возмущений z_В и появляется рассогласование между текущими у_Т и заданными и₃ значениями выходных величин объекта. Если при наличии возмущений z_В объект самостоятельно обеспечивает нормальное функционирование, т. е. самостоятельно устраняет возникающее рассогласования у_Т--и₃, то он не нуждается в управлении. Если же объект не обеспечивает выполнения условий нормальной работы, то для нейтрализации влияния возмущений на него налагают управляющее воздействие х_Р, изменяя с помощью исполнительного устройства материальные или тепловые потоки объекта. Таким образом, в процессе управления на объект наносятся воздействия, которые компенсируют возмущения и обеспечивают поддержание нормального режима его работы.

Регулированием называют поддержание выходных величин объекта вблизи требуемых постоянных или переменных значений с целью обеспечения нормального режима его работы посредством подачи на объект управляющих воздействий.

Автоматическое устройство, обеспечивающее поддержание выходных величин объекта вблизи требуемых значений, называют автоматическим регулятором.

По принципу регулирования АСР делят на действующие по отклонению, по возмущению и по комбинированному принципу.

По отклонению. В системах, работающих по отклонению регулируемой величины от заданного значения (рис. 1-2, а), возмущение z вызывает отклонение текущего значения регулируемой величины у от ее заданного значения и. Автоматический регулятор АР сравнивает значения у и и, при их рассогласовании вырабатывает регулирующее воздействие х соответствующего знака, которое через исполнительное устройство (на рис. не показано) подается на объект регулирования ОР, и устраняет это рассогласование. В системах регулирования по отклонению для формирования регулирующих воздействий необходимо рассогласование, в этом состоит их недостаток, поскольку задача регулятора состоит именно в том, чтобы не допускать рассогласование. Однако на практике такие системы получили преимущественное распространение, так как регулирующее воздействие в них осуществляется независимо от числа, вида и места появления возмущающих воздействий. Системы регулирования по отклонению являются замкнутыми.

По возмущению. При регулировании по возмущению (рис 1-2, б) регулятор АР_В получает информацию о текущем значении основного возмущающего воздействия z₁. При измерении его и несовпадении с номинальным значением и_В регулятор формирует регулирующее воздействие х, направляемое на объект. В системах, действующих по возмущению, сигнал регулирования проходит по контуру быстрее, чем в системах, построенных по принципу отклонения, вследствие чего возмущающее воздействие может быть устранено еще до появления рассогласования. Однако реализовать регулирование по возмущению для большинства объектов химической технологии практически не представляется, возможным, так как это требует учета влияния всех возмущений объекта (z₁, z₂, …) число которых, как правило, велико; кроме того, некоторые из них не могут быть оценены количественно. Например, измерение таких возмущений как изменение активности катализатора, гидродинамической обстановки в аппарате, условий теплопередачи через стенку теплообменника и многих других наталкивается на принципиальные трудности и часто неосуществимо. Обычно учитывают основное возмущение, например, по нагрузке объекта.

Кроме того, в контур регулирования системы по возмущению сигналы о текущем значении регулируемой величины у не поступают, поэтому с течением времени отклонение регулируемой величины от номинального значения может превысить допустимые пределы. Системы регулирования по возмущению являются разомкнутыми.

По комбинированному принципу. При таком регулировании, т. е. при совместном использовании принципов регулирования по отклонению, и по возмущению (рис. 1-6, в), удается получить высококачественные системы. В них влияние основного возмущения z₁ нейтрализуется регулятором АР_В, работающим по принципу возмущения, а влияние других возмущений (например, z₂ и др.)--регулятором АР, реагирующим на отклонение текущего значения реагируемой величины от заданного значения.

По числу регулируемых величин АСР делят на одномерные и многомерные. Одномерные системы имеют по одной регулируемой величине, вторые -- по несколько регулируемых величин.

В свою очередь многомерные системы могут быть разделены на системы несвязанного и связанного регулирования. В первых из них регуляторы непосредственно не связаны между собой и воздействуют на общий для них объект регулирования раздельно. Системы несвязанного регулирования обычно используются, когда взаимное влияние регулируемых величин объекта мало или практически отсутствует. В противном случае применяют системы связанного регулирования, в которых регуляторы различных величин одного технологического объекта связаны между собой внешними связями (вне объекта) с целью ослабления взаимного влияния регулируемых величин. Если при этом удается полностью исключить влияние регулируемых величин одна на другую, то такая система связанного регулирования называется автономной.

По числу контуров прохождения сигналов АСР делят на одноконтурные и многоконтурные. Одноконтурными называются системы, содержащие один замкнутый контур, а многоконтурными -- имеющие несколько замкнутых контуров

По назначению (характеру изменения задающего воздействия) АСР подразделяются на системы автоматической стабилизации, системы программного управления и следящие системы.

Системы автоматической стабилизации предназначены для поддержания регулируемой величины на заданном значении, которое устанавливается постоянным (u=const). Это наиболее распространенные системы.

Системы программного управления построены таким образом, что заданное значение регулируемой величины представляет собой известную заранее функцию времени u=f(t). Они снабжаются программными датчиками, формирующими величину и во времени. Такие системы используются при автоматизации химико-технологических процессов периодического действия или процессов, работающих по определенному циклу.

В следящих системах заданное значение регулируемой величины заранее не известно и является функцией внешней независимой технологической величины u=f(y₁). Эти системы служат для регулирования одной технологической величины (ведомой), находящейся в определенной зависимости от значений другой (ведущей) технологической величины. Разновидностью следящих систем являются системы регулирования соотношения двух величин, например, расходов двух продуктов. Такие системы воспроизводят на выходе изменение ведомой величины в определенном соотношении с изменением ведущей. Эти системы стремятся устранить рассогласование между значением ведущей величины, умноженным на постоянный коэффициент, и значением ведомой величины.

По характеру регулирующих воздействий различают непрерывные АСР, релейные и импульсные.

Непрерывные АСР построены так, что непрерывному изменению входной величины системы соответствует непрерывное изменение величины на выходе каждого звена.

Релейные (позиционные) ACP имеют в своем составе релейное звено, которое преобразует непрерывную входную величину в дискретную релейную, принимающую только два фиксированных значения: минимально и максимально возможное. Релейные звенья позволяют создавать системы с очень большими коэффициентами усиления. Однако в замкнутом контуре регулирования наличие релейных звеньев приводит к автоколебаниям регулируемой величины с определенными периодом и амплитудой. Системы с позиционными регуляторам являются релейными.

Импульсные АСР имеют в своем составе импульсное звено, которое преобразует непрерывную входную величину в дискретную импульсную, т. е. в последовательность импульсов с определенным периодом их чередования. Период появления импульсов задается принудительно. Входной величине пропорциональны амплитуда или длительность импульсов на выходе. Введение импульсного звена освобождает измерительное устройство системы от нагрузки и позволяет применять на выходе маломощное, но более чувствительное измерительное устройство, реагирующее на малые отклонения регулируемой величины, что приводит к повышению качества работы системы.

В импульсном режиме возможно построение многоканальных схем, при этом уменьшается расход энергии на приведение в действие исполнительного устройства.

Системы с цифровым вычислительным устройством в замкнутом контуре регулирования также работают в импульсном режиме, поскольку цифровое устройство выдает результат вычисления в виде импульсов, следующих через некоторые промежутки времени, необходимые для проведения вычислений. Это устройство применяют, когда отклонение регулируемой величины от заданного значения должно вычисляться по показаниям нескольких измерительных приборов или когда в соответствии с критериями наилучшего качества работы системы необходимо вычислять программу изменения регулируемой величины.

3. Статика и динамика систем. Уравнения статики и динамики. Линеаризация уравнений. Линейные системы. Основные понятия об устойчивости

Равновесные и неравновесные состояния систем. В промышленных условиях автоматические системы, а также их отдельные элементы, могут находиться в равновесных (статических) я неравновесных (динамических) состояниях. Равновесные состояния характеризуются постоянством во времени входных, промежуточных и выходных величин. При эксплуатации объектов химической технологии равновесные состояния систем нарушаются в результате действия различных возмущений, при этом входные, промежуточные и выходные величины систем изменяются во времени; такое их состояние называют неравновесным. При изучении автоматических систем основное внимание уделяют их поведению в этом режиме.

Исследование систем в равновесных и неравновесных состояниях проводят с помощью различных функциональных зависимостей, характеризующих поведение систем. При этом под входными и выходными величинами обычно понимаются относительные приращения, определяемые аналогично величинам, приведенным в табл. I.1.

Уравнения статики и динамики. Поведение системы в установившемся состоянии определяется уравнениями статики, или статическими характеристиками. Под статической характеристикой понимают зависимость между входной х_вх и выходной х_вых величинами системы в равновесном состоянии

х_вых =f(х_вх) (I,1)

Обычно уравнения статики являются алгебраическими.

Поведение системы в неравновесном состоянии или в переходном процессе описывается уравнениями динамики. В общем виде уравнение динамики или динамическая характеристика системы с входной х_вх и выходной х_вых величинами представляет собой зависимость типа

х_вых =f(х_вх,t) (I,2)

которая, как правило, представляет собой дифференциальное: уравнение. Прохождение сигнала по каналам системы характеризуется своими уравнениями статики и динамики.

Линеаризация уравнений. Поведение реальных систем обычно описывается нелинейными уравнениями. Решение таких уравнений довольно сложно, нахождение даже приближенного численного решения требует большого объема вычислений. Поэтому при инженерных методах анализа и расчета реальных систем применяют линеаризацию уравнений: нелинейные уравнения заменяют приближенными линейными, решать которые значительно проще.

Часто нелинейной бывает лишь статическая характеристика системы или ее элементов. Так, нелинейную характеристику имеет резервуар для газа, входной величиной которого является степень открытия вентиля на линии поступления газа, а выходной -- давление газа в аппарате.

Непрерывно дифференцируемую нелинейную статическую характеристику можно линеаризовать, например, по методу малых отклонений. Для этого функцию разлагают в ряд Тейлора в окрестности точки, соответствующей нормальному (заданному) режиму работы системы, в данном случае это точка А с координатами х_{вх 0} и х_{вых 0} (рис. I-3).

Отбрасывая члены ряда, содержащие бесконечно малые величины второго и более высоких порядков, получим

Эта зависимость представляет собой уравнение прямой линии, касательной к линеаризуемой функции при значении аргумента х_{вх 0}. Введя обозначения

Получим

Некоторые простые функции (произведение, частное от деления переменных х, у и др.) можно линеаризовать, подставив в них вместо переменных х, у выражения типа (x₀+Дx), (y₀+Дy). Выполнив математические операции, предписываемые линеаризуемыми функциями, и исключив из полученных зависимостей слагаемые, содержащие приращения второго и более высоких порядков, получают искомую линеаризованную функцию. Например, линеаризация произведения двух переменных проводится следующим образом:

Принимая во внимание, что x₀y₀=z₀ найдем

Аналогичным образом линеаризуют и уравнения динамики.

Линейные системы в статике и динамике описываются линейными уравнениями. Такие системы подчиняются принципу суперпозиции, или независимости возмущений. Он заключается в том, что реакция системы на сумму входных воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности, т. е. каждая входная величина системы создает свою составляющую выходной величины независимо от изменения других входных величин. Это позволяет рассматривать поведение системы отдельно по каждому каналу прохождения сигнала.

Уравнение статики линейной системы имеет вид

где k=const -- коэффициент усиления, или коэффициент передачи системы.

Расчет линейных систем в статике состоит в определении общего коэффициента усиления по значениям k отдельных ее элементов или в нахождении других конструктивных либо технологических параметров отдельных элементов системы, необходимых для ее расчета.

Уравнение динамики линейной системы n-го порядка с одной входной и одной выходной величинами это неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

где а₀, а₁,…, а_п-1, а_п; b₀,b₁,…, b_п-1, b_п; -- постоянные коэффициенты, зависящие от параметров входящих в систему элементов; i -- время.

В физически реализуемых системах порядок левой части этого уравнения выше или равен порядку правой части уравнения, т. е. п ? т. В левой части уравнения группируют слагаемые, содержащие выходную величину и ее производные, а в правой -- слагаемые с входной величиной и ее производными. При нескольких входных величинах все слагаемые, содержащие входные величины и их производные, записывают в правую часть уравнения. При наличии нескольких выходных величин поведение системы в переходном режиме описывают системой уравнений динамики, число которых равно числу выходных величин.

Решение уравнения динамики (I,6) представляет собой зависимость изменения выходной величины системы во времени при известном входном воздействии. По полученному решению определяют качество переходного процесса.

Уравнение динамики (I,6) при х_вх = 0 имеет вид:



Это однородное уравнение. Оно характеризует поведение системы, предоставленной самой себе, после снятия внешних возмущений. Его называют уравнением свободного движения системы.

Устойчивость. Под устойчивостью понимают свойство системы самостоятельно возвращаться к равновесному состоянию после устранения возмущения, нарушившего ее равновесие. Это означает, что свободная составляющая переходного процесса с течением времени должна стремиться к нулю, т. е.

Устойчивость является важным показателем работы системы. Не удовлетворяющие условию (I,11) системы неустойчивы. Работоспособными являются только устойчивые системы; для определения устойчивости исследуется уравнение (1,7).

При апериодическом или колебательном сходящемся переходном процессе в системе (см. рис. 1-4, а, б) она устойчива, при апериодическом или колебательном расходящемся (рис. 1-4, г, д) -- неустойчива. Гармонический колебательный процесс условно рассматривают как устойчивый при небольшой амплитуде колебаний, допустимой по условиям технологического процесса. При амплитуде же колебаний, превышающей допустимые отклонения, систему считают неустойчивой.

автоматизация регулирование устойчивость

4. Уравнение динамики линейной системы n-го порядка. Передаточные функции. Временные характеристики систем

Уравнение динамики линейной системы n-го порядка с одной входной и одной выходной величинами это неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:



где а₀, а₁,…, а_п-1, а_п; b₀,b₁,…, b_п-1, b_п; -- постоянные коэффициенты, зависящие от параметров входящих в систему элементов; i -- время.

В физически реализуемых системах порядок левой части этого уравнения выше или равен порядку правой части уравнения, т. е. п ? т. В левой части уравнения группируют слагаемые, содержащие выходную величину и ее производные, а в правой -- слагаемые с входной величиной и ее производными. При нескольких входных величинах все слагаемые, содержащие входные величины и их производные, записывают в правую часть уравнения. При наличии нескольких выходных величин поведение системы в переходном режиме описывают системой уравнений динамики, число которых равно числу выходных величин.

Решение уравнения динамики (I,6) представляет собой зависимость изменения выходной величины системы во времени при известном входном воздействии. По полученному решению определяют качество переходного процесса.

Уравнение динамики (I,6) при х_вх = 0 имеет вид:

Это однородное уравнение. Оно характеризует поведение системы, предоставленной самой себе, после снятия внешних возмущений. Его называют уравнением свободного движения системы.

Из уравнения динамики (I, 6) можно получить уравнение статики системы, приравняв в нем все производные нулю. Оно имеет вид уравнения (I,5), если k -- b_m/a_m.

Обычно, входные и выходные величины в уравнениях статики и динамики записывают в относительном виде. При этом постоянные коэффициенты уравнения динамики или безразмерны, или имеют размерность времени в степени, равной порядку производной соответствующего слагаемого.

Для упрощения записи уравнения динамики операцию дифференцирования обозначают символом р (здесь р -- алгебраическая величина):

Аналогично операцию интегрирования обозначают 1/p:

Таким образом

Используя эти соотношения, получим следующую запись уравнения динамики системы (I, 6):

Заменяя полином в левой части уравнения (1,8) через D(p) а в правой части через К(р), окончательно получим



где D(p) --полином, характеризующий свободные колебания системы; К(р) --полином, характеризующий внешнее возмущение.

Передаточные функции систем.

Передаточные функции, как и уравнения динамики, характеризуют изменение сигнала при прохождении через систему.

Отношение Лапласовых изображений выходной и входной величин системы при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией системы W(p)

где x_вх(p) и x_вых(p)-- изображения по Лапласу входной и выходной величин системы.

По передаточной функции системы W(p) и изображению ее входной величины можно найти изображение выходной величины

При наличии одной входной и одной выходной величины система или звено имеют только один канал прохождения сигнала, а следовательно, и одну передаточную функцию. Если же система или звено имеют несколько каналов прохождения сигнала, что возможно при нескольких входных и выходных величинах, то прохождение сигнала в каждом канале характеризуется своей передаточной функцией.

Временные характеристики систем.

Временная характеристика системы представляет собой изменение выходной величины во времени при подаче на ее вход типового апериодического воздействия. В качестве последнего используют единичное ступенчатое воздействие, или единичный импульс. При единичном ступенчатом воздействии (рис. 1-5, а) входная величина мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменной. Единичное ступенчатое воздействие, или единичная ступенчатая функция 1(t) описывается выражением:

Импульс, величина которого равна бесконечности, длительность -- нулю, а площадь -- единице (рис. 1-5,б) называется единичным импульсом. Его аналитическое выражение называют единичной импульсной функцией, или дельта-функцией, и обозначают через д(t).

Дельта-функцию при условии, что

записывают так:



Переходная характеристика -- это частный случай временной характеристики при подаче на вход элемента или системы единичного ступенчатого возмущения. Ее обозначают через h(t). Таким образом, если x_вх(t)=1(t), то x_вых(t)=h(t).

Импульсная переходная характеристика -- это временная характеристика при подаче на вход элемента или системы единичного импульса. Ее аналитическим выражением является импульсная переходная функция, или весовая функция (функция веса) w(t). Следовательно, x_вых(t)= w(t) при x_вх(t)= д(t). Между переходной и весовой функциями линейных звеньев наблюдается зависимость, аналогичная вышеприведенной:

5. Частотные характеристики систем. Частота среза. Вычисление частотной передаточной функции

Частотные характеристики систем.

Частотные характеристики определяют динамические свойства АСР и широко используются в инженерной практике для их расчета.

Если на вход системы подать гармонические колебания х_вх (частота w_i, амплитуда A_вх), которые в комплексной форме имеют вид

(здесь e^iw1t = cosw₁t+isinw₁t) то на выходе этой системы через достаточно большой промежуток времени установятся вынужденные колебания х_вых с той же частотой w₁, но с другой амплитудой А_вых1 и со сдвигом по фазе ц₁ (рис. I-12)



Отношение выходных колебаний системы х_вых к входным х_вх, выраженное в комплексном виде, называют комплексным коэффициентом передачи системы при частоте w₁

С изменением частоты колебаний на входе (при постоянной амплитуде А_вх) амплитуда выходных колебаний А_вых и фазовый сдвиг ц будут меняться, что вызовет изменение комплексного коэффициента передачи системы.

Совокупность всех значений комплексного коэффициента передачи при изменении ц от 0 до +? называют комплексной частотной характеристикой системы или амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) системы и обозначают через W(iw).

Зависимость отношения амплитуд выходных и входных колебаний А_вых/А_вх от частоты колебаний w называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и обозначают через А(w). Зависимость фазового сдвига выходных колебаний относительно входных ц от частоты колебаний w называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) и обозначают через ц(w). Эти частотные характеристики связаны между собой уравнением

Графически АФХ представляет собой кривую, описываемую на комплексной плоскости концом вектора, модуль которого равен значениями A(w), а аргумент -- ц(w) при изменении w от 0 до +?.

Проекцию АФХ на действительную ось комплексной плоскости называют вещественной частотной характеристикой (ВЧХ) и обозначают через U(w), а проекцию на мнимую ось -- мнимой частотной характеристикой (МЧХ) и обозначают через V(w).

Частотные характеристики могут быть определены одна через другую с помощью следующих зависимостей:

6. Устойчивость систем. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Устойчивость автоматических систем регулирования химико-технологических объектов.

Устойчивость системы определяется характером ее свободного движения, которое описывается однородным дифференциальным уравнением динамики. Для системы n-ого порядка оно имеет вид:

где у-- выходная величина; а₁, а₂,…, а_п -- постоянные коэффициенты; t -- время.

Исследование системы на устойчивость требует решения этого уравнения, которое может быть представлено в следующем виде:

где А_к -- постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; р_к -- корни характеристического уравнения вида:

Однако достаточно просто решаются дифференциальные уравнения только 1-го и 2-го порядков. Решение уравнений более высокого порядка требует преодоления определенных трудностей, возрастающих c повышением порядка уравнения. Значительно проще можно найти корни характеристических уравнений. Поэтому целесообразно выяснить зависимость между устойчивостью системы и значением корней ее характеристического уравнения.

Устойчивость системы и корни характеристического уравнения. Расположение корней характеристического уравнения позволяет судить об устойчивости системы. Если характеристическое уравнение имеет только вещественные и разные корни, то характер изменения каждой составляющей

зависит от знака корня характеристического уравнения р_к.

Окончательно условие устойчивости систем может быть сформулировано следующим образом. Для устойчивости системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, необходимо и достаточно, чтобы все вещественные корни ее характеристического уравнения были отрицательными, а комплексные корни имели отрицательную вещественную часть. Если хотя бы один из вещественных корней характеристического уравнения системы положителен или одна пара сопряженных комплексных корней имеет положительную вещественную часть, то система неустойчива. Таким образом, исследование устойчивости линейной системы сводится к определению знаков вещественных частей корней характеристического уравнения.

Критерии устойчивости. С математической точки зрения критерии устойчивости представляют собой необходимые и достаточные условия, при соблюдении которых все корни характеристического уравнения системы имеют отрицательную вещественную часть.

Алгебраический критерий устойчивости, предложенный в 1895 году швейцарским математиком Гурвицем, формулирует условие устойчивости в виде определителей.

Для нахождения условий устойчивости системы n-го порядка по коэффициентам характеристического уравнения (IV,53) сначала составляют матрицу, действуя в следующем порядке. По главной диагонали матрицы (слева вниз направо) последовательно выписывают коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а₁. Столбцы матрицы, начиная с главной диагонали, заполняют коэффициентами характеристического уравнения вверх по возрастанию индексов до а_п, а вниз -- по их убыванию до а₀. Оставшиеся пустыми места заполняют нулями. Если система имеет n - ый порядок, то всего должно быть заполнено п строк и п столбцов матрицы, приведенной ниже. Затем из матрицы выделяют диагональные определители или определители Гурвица; для этого в ней отчеркивают одинаковое число строк и столбцов, начиная от левого верхнего угла матрицы. Определители Гурвица имеют вид:

Естественно, что определитель п-го порядка Д_п включает в себя всю матрицу.

По алгебраическому критерию линейная система п-го порядка устойчива, если коэффициент а₀ и все п диагональных определителей Гурвица положительны.

Положительность определителя n-го порядка обычно не выявляют, так как он может быть представлен произведением



и, следовательно, требование его положительности сводится к требованию одновременной положительности свободного члена характеристического уровня а_п и предпоследнего определителя Д_n-1.

Ниже приведены условия устойчивости для систем 3-го, 4-го и 5-го порядков:

для n = 3

для n = 4

для n = 5

7. Временные характеристики систем. Качество переходного процесса. Типовые переходные процессы. Переходные характеристики систем

Временные характеристики систем.

Временная характеристика системы представляет собой изменение выходной величины во времени при подаче на ее вход типового апериодического воздействия. В качестве последнего используют единичное ступенчатое воздействие, или единичный импульс. При единичном ступенчатом воздействии (рис. 1-5, а) входная величина мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменной. Единичное ступенчатое воздействие, или единичная ступенчатая функция 1(t) описывается выражением:

Импульс, величина которого равна бесконечности, длительность -- нулю, а площадь -- единице (рис. 1-5,б) называется единичным импульсом. Его аналитическое выражение называют единичной импульсной функцией, или дельта-функцией, и обозначают через д(t).

Дельта-функцию при условии, что записывают так:

Переходная характеристика -- это частный случай временной характеристики при подаче на вход элемента или системы единичного ступенчатого возмущения. Ее обозначают через h(t). Таким образом, если x_вх(t)=1(t), то x_вых(t)=h(t).

Импульсная переходная характеристика -- это временная характеристика при подаче на вход элемента или системы единичного импульса. Ее аналитическим выражением является импульсная переходная функция, или весовая функция (функция веса) w(t). Следовательно, x_вых(t)= w(t) при x_вх(t)= д(t). Между переходной и весовой функциями линейных звеньев наблюдается зависимость, аналогичная вышеприведенной:

Качество переходного процесса определяется по показателям, которые характеризуют отклонение реального процесса от желаемого; они показывают насколько точно и как быстро после нанесения единичного ступенчатого воздействия (при нулевых начальных условиях) в системе устанавливается равновесное состояние. Качество переходного процесса количественно оценивается следующими показателями (рис. 1-6).

Статическая ошибка регулирования у_ст есть рассогласование между установившимся значением регулируемой величины после переходного процесса и ее заданным значением

или в относительных единицах

Динамическая ошибка регулирования y_дин есть максимальное отклонение регулируемой величины в переходном процессе от ее заданного значения

или в относительных величинах

Время регулирования t_p есть отрезок, в течение которого регулируемая величина достигает нового установившегося значения с некоторой заранее установленной точностью ±е.

Перерегулирование представляет собой максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения, выраженное в процентах, от у_ст



При расчетах автоматических систем регулирования технологических процессов перерегулирование переходного процесса оценивают также выраженным в процентах отношением второй и первой амплитуд колебаний, направленных в противоположные стороны.

Интегральная квадратичная ошибка регулирования представляет собой квадрат площади между кривой переходного процесса и новым установившимся состоянием системы:

Чем меньше статическая и динамическая ошибки, время регулирования и т. д., тем выше качество переходного процесса.

Типовые переходные процессы. Из устойчивых переходных процессов в качестве оптимального с точки зрения требований технологии выбирают один из трех типовых процессов:

- граничный апериодический процесс с минимальным временем регулирования t_{p, min} (рис. 1-7,а);

- процесс с 20%-ным перерегулированием (рис. 1-7,6);

- процесс с минимальной квадратичной площадью отклонения

Граничный апериодический процесс характеризуется отсутствием перерегулирования, минимальным общим временем регулирования и наименьшим по сравнению с другими типовыми переходными процессами воздействием регулятора на объект (это наименьшее воздействие вызывает наибольшее отклонение регулируемой величины от заданного значения). Такой переходный процесс используется в качестве оптимального при значительном влиянии регулирующего воздействия на другие технологические величины объекта при отклонении основной регулируемой величины для того, чтобы свести их отклонение к минимуму.

Процесс с 20%-ным перерегулированием характеризуется большей величиной регулирующего воздействия, чем в предыдущем случае, и меньшим отклонением регулируемой величины; при этом время регулирования несколько возрастает. Этот процесс выбирается в качестве оптимального в случаях, когда допустимо некоторое перерегулирование.

Процесс с минимальной квадратичной площадью отклонения регулируемой величины обладает значительным (до 40%) перерегулированием, большим временем регулирования и наименьшей величиной максимального динамического отклонения регулируемой величины. Он имеет место при большей по сравнению с описанными выше процессами величине регулирующего воздействия и применяется в качестве оптимального, если величина динамического отклонения параметра должна быть минимальной.

8. Операционный метод математического описания линейных систем. Типовые звенья: позиционные, дифференцирующие, интегрирующие и их характеристики

Структурные схемы систем и их типовые динамические звенья.

Для исследования различных по природе и конструкции систем регулирования с помощью единого математического аппарата их представляют в виде структурных схем. Такие схемы содержат узлы разветвления, узлы суммирования и динамические звенья (рис. I-10).

Узел разветвления. В таком узле входной сигнал х_вх разделяется, не меняя своего значения, и направляется далее по нескольким каналам

где x_вых1, x_вых2, …, x_{вых n} -- сигналы в выходных каналах узла разветвления.

Суммирующий узел, к которому подходит несколько сигналов x_вх1, x_вх2, …, x_{вх n} формирует на выходе только один сигнал x_вых, равный алгебраической сумме входных сигналов

Динамическое звено. Проходя такое звено, входной сигнал x_вх изменяет сигнал на выходе x_вых по форме и величине (в некоторых случаях только по величине).

В основу классификации звеньев положены соответствующие уравнения динамики. Переходные процессы систем регулирования (пневматических, электрических, механических и др.), имеющих разную физическую природу и различное конструктивное оформление, но обладающих одинаковыми динамическими свойствами, подобны. Поэтому каждая такая система описывается одним или несколькими одинаковыми звеньями.

Большинство звеньев обладает направленностью действия (детектирующее свойство). Сигнал проходит через них только в одном направлении -- с входа звена на его выход, в обратном направлении звено сигнал не пропускает. Например, изменение температуры рабочего спая термоэлектрического преобразователя приводит к изменению термоэлектродвижущей силы на его свободных концах.

Звенья систем могут быть статическими и астатическими. У статического звена при постоянном входном воздействии выходная величина со временем устанавливается на постоянном значении, отличном от первоначального, а у астатического звена в установившемся режиме выходная величина непрерывно изменяется с постоянной скоростью или ускорением.

Динамические звенья называют типовыми, если изменение проходящего через них сигнала описывается алгебраическим или дифференциальным уравнением не выше 2-го порядка. Они имеют одну входную и одну выходную величину. Титовыми звеньями являются: усилительное, интегрирующее, дифференцирующее, апериодическое, колебательное и запаздывающее. В табл. I.3 приведены уравнения динамики указанных звеньев, их переходные характеристики и графики.

Соединения звеньев. В реальных системах звенья объединяют последовательно, параллельно, а также в соединения с замкнутой обратной связью (рис I-11). При последовательном соединении звеньев (рис. I-11, а) выходная величина предыдущего звена без искажения поступает на вход последующего звена. При таком соединении звеньев входной величиной является входная величина первого по ходу сигнала звена, а выходной-- выходная величина последнего из них.

При параллельном соединении звеньев (рис I-11; б) входной сигнал через узел разветвления поступает на входы всех элементарных звеньев. Выходные сигналы этих звеньев суммируются и направляются на выход соединения.

При замкнутой обратной связи (рис. I-11, в) система состоит из двух цепочек звеньев, каждая из которых может представлять собой достаточно сложное соединение. По одной из этих цепочек сигнал проходит последовательно через звенья от входа соединения к его выходу, т.е. по прямой связи, а по другой -- от выхода соединения к входу, т.е. по обратной связи. При этом на вход первой цепочки звеньев подается сигнал x₀, равный сумме входной величины соединения х_вх и выходной величины второй цепочки звеньев х_п

Выходной величиной такого соединения х_вых является выход к-го звена; одновременно этот же сигнал подается на вход (к + 1)-го звена.

Если сигнал с выхода обратной связи и основной входной сигнал соединения действуют в одном направлении, то обратная связь называется положительной, а если эти сигналы действуют в противоположных направлениях -- отрицательной.

Комбинации этих соединений звеньев позволяют представить любую сложную АСР химико-технологического процесса.

9. Свойства объектов регулирования: ёмкость, самовыравнивание, запаздывание и их количественная оценка

Самовыравнивание объекта характеризует его устойчивость. Самовыравниванием называют свойство устойчивого объекта самостоятельно устанавливаться в равновесное состояние после изменения своей входной величины. В объектах с самовыравниванием ступенчатое изменение входной величины приводит к изменению выходной величины со скоростью, постепенно уменьшающейся до нуля, что связано с наличием внутренней отрицательной обратной связи. Количественно эта характеристика определяется степенью самовыравнивания с, под которой понимают отношение изменения входной величины объекта (Х, Z) к изменению выходной величины по достижении объектом равновесного состояния y_?

Чем больше степень самовыравнивания, тем меньше отклонение выходной величины от первоначального положения.

Емкость объекта является свойством, присущим всем динамическим объектам. Она характеризует их инерционность -- степень влияния входной величины на скорость изменения выходной. Даже ступенчатое изменение входной величины объекта приводит к изменению выходной величины с конечной скоростью. Под емкостью понимают такое изменение входной величины, которое приводит к изменению его выходной величины на единицу за единичный отрезок времени

Чем больше емкость, тем меньше скорость изменения выходной величины объекта, и наоборот.

Запаздывание объекта выражается в том, что его выходная величина начинает изменяться не сразу после нанесения возмущения, а только через некоторый промежуток времени т, называемый временем запаздывания. Все реальные объекты обладают запаздыванием, так как изменение потоков вещества или тепла распространяется в объектах с конечной скоростью и требуется время для прохождения сигнала от места нанесения возмущения до места, где фиксируется изменение выходной величины. Обозначив это расстояние через l, a скорость прохождения сигнала через s, выразим время запаздывания следующим образом:

Влияние свойств объекта на вид его переходного процесса будем изучать на примерах одномерных объектов с сосредоточенными параметрами.

В зависимости от вида дифференциального уравнения динамики реального объекта химической технологии целесообразно различать объекты первого, второго и высокого порядков.

По способности восстанавливать равновесное состояние при конечном изменении входных величин можно подразделять объекты на нейтральные, устойчивые и неустойчивые (рис. II-4)

10. Влияние свойств объекта на выбор канала управления

Влияние свойств объектов на их регулирование. Свойства объектов оказывают существенное влияние на выбор закона регулирования и качество переходного процесса АСР.

Емкость объектов влияет на выбор типа регулятора. Чем она меньше, т. е. чем больше скорость изменения выходной величины объекта при данном изменении нагрузки, тем большую степень воздействия на объект должен иметь регулятор.

Влияние самовыравнивания объекта аналогично действию автоматического регулятора. Так, нейтральные объекты, не обладающие самовыравниванием, самостоятельно не обеспечивают устойчивой работы и требуют обязательного применения автоматических регуляторов. Причем, не каждый регулятор может справиться с задачей управления такими объектами. Например, применение интегрального регулятора на нейтральном объекте не позволяет получить устойчивой работы системы. Таким образом, отсутствие самовыравнивания в объектах усложняет задачу регулирования, а его наличие облегчает задачу поддержания выходной величины объекта на заданном значении. Чем выше степень самовыравнивания, тем более простыми методами можно обеспечить требуемое качество регулирования.

В некоторых объектах самовыравнивание так велико, что для поддержания постоянного значения выходной величины объекта вообще не требуется установки регулятора.

Наличие запаздывания в АСР усложняет задачу регулирования технологической величины в объекте. Поэтому необходимо стремиться к его уменьшению: устанавливать чувствительный элемент и исполнительное устройство системы как можно ближе к объекту регулирования, применять малоинерционные измерительные преобразователи и т.д.

11. Математическая модель изменения уровня жидкости в резервуаре, из которого жидкость откачивается насосом. Переходные процессы

Производительность F_p постоянна.

Для нахождения зависимости уровня жидкости в аппарате L от входных величин F_пр и F_p (в м³/с) составим уравнение материального баланса аппарата:

где V -- объем жидкости в аппарате, м³; t -- время, с. Отсюда скорость изменения объема жидкости в аппарате:

Скорость изменения уровня жидкости L, если площадь горизонтального сечения аппарата А (в м²) неизменна по высоте

Таким образом, скорость изменения уровня в резервуаре пропорциональна разности потоков жидкости на входе и выходе. Уровень жидкости принимает постоянные значения во времени (скорость dL/dt=0) только при отсутствии рассогласования потоков F_пр и F_p.

Проинтегрируем уравнение (II,6) в пределах от 0 до t

Следовательно, выходная величина объекта пропорциональна интегралу от изменения его входных величин.

При ступенчатом изменении нагрузки объекта на величину ДF уровень жидкости L изменяется по зависимости (рис II-5):

Переходная характеристика нейтрального объекта первого порядка



Как следует из уравнения (II,8), скорость изменения выходной величины при ступенчатом возмущении ДF постоянна и равна

При расчетах систем автоматизации уравнение динамики объекта представляют в относительных величинах. Предполагая, что F_nр является возмущением, a F_p -- регулирующим воздействием (см. рис. II-1), имеем

где L₀ и F₀ -- значения соответствующих величин при равновесном состоянии объекта.

Записав уравнение (II,6) в приращениях и введя относительные величины, получим уравнение динамики:

Из уравнения (II,11) видно, что отношение AL₀/F₀ имеет размерность времени. Его называют временем разгона объекта и обозначают через T_е. Под этим термином донимают время, в течение которого выходная величина объекта у, изменяясь с постоянной скоростью, достигает значения входной величины z. Время разгона T_е прямо пропорционально емкости объекта и характеризует его инерционные свойства.

Заменяя коэффициент в левой части уравнения (II,11) через T_е, получим уравнение динамики нейтрального объекта первого порядка в общем виде

Интегрируя уравнение (II,12), найдем

В нашем случае х=0. Величину, обратную T_е, часто называют скоростью разгона объекта е, под которой понимают скорость изменения выходной величины у при предварительном ступенчатом изменении входной величины z, равном единице. Действительно, при единичном ступенчатом возмущений z--x=1(t) изменение выходной величины у подчиняется зависимости:

Передаточная функция нейтрального объекта первого порядка:

В динамическом отношении такой объект представляет собой интегрирующее звено.

Нейтральным объектам первого порядка присущи только емкостные (инерционные) свойства, что выражается, например при регулировании уровня L, степенью влияния величины F_np--F_p на скорость dL/dt. Это влияние зависит от площади поперечного сечения аппарата. При большем значении А скорость изменения уровня меньше и наоборот (см. рис. II-5).

Для рассмотренного выше аппарата емкость равна



Из сравнения уравнений (II,6) и (II,16) следует, что емкость резервуара численно равна площади его горизонтального сечения. Единицей измерения емкости в данном случае является м².

Емкость объектов зависит от протекающих в них процессов. Так емкость тепловых объектов, в которых осуществляется теплообмен при регулировании в них температуры, находят по изменению теплового потока Дq, Вт, вызывающего приращение температуры T на 1 °С в течение 1 ч:

Емкость аппарата зависит от теплоемкости с_т, находящегося в нем продукта. Единицей измерения емкости теплового объекта является Дж/°С.

12. Математическая модель изменения уровня жидкости в резервуаре, из которого жидкость отводится самотёком. Переходные процессы в объекте

Устойчивые объекты 1-го порядка. Если жидкость из рассмотренного выше резервуара не откачивать насосом, а отводить самотеком по трубопроводу, на котором имеется дополнительное гидравлическое сопротивление, например вентиль, то при рассогласовании потоков на входе и выходе регулируемая величина (уровень) будет самостоятельно устанавливаться в новом равновесном состоянии.

При ступенчатом увеличении притока жидкости F_пр а величину ДF (рис. II-6) уровень L в аппарате в первый момент начнет изменяться, как и в случае нейтрального объекта (см. пунктир), со скоростью определяемой равенством (II,9). Но при повышении уровня возрастает гидростатический напор, что в свою очередь увеличит расход жидкости из аппарата F_p; его зависимость от уровня L:

где б -- коэффициент расхода вентиля; А -- площадь его проходного сечения; g -- ускорение свободного падения.

Графическое изменение F_пр и F_р в устойчивом объекте первого порядка (а) и его переходная характеристика (б)

С увеличением F_p величина возмущения ДF = F_пр--F_p, а, следовательно, и скорость изменения уровня уменьшаются. Со временем расход жидкости постепенно достигнет текущего значения притока, повышение ее уровня, изменяющегося по экспоненте, прекратится и наступит новое равновесное состояние объекта, но при более высоком значении уровня L_?. Аналогичным образом при ступенчатом уменьшении F_np уровень L начнет понижаться, что обусловит уменьшение расхода F_p, вследствие уменьшения гидростатического напора. Со временем между расходом и притоком жидкости восстанавливается равенство, но при более низком уровне.

Устойчивость объектов объясняется наличием в них отрицательной обратной связи. В частности, в рассматриваемом объекте обратная связь определяется равенством (II,18).

Для нахождения передаточной функции звена обратной связи линеаризуем зависимость (II,18), разлагая ее в ряд Тейлора в окрестности точки с координатами (L_o, F_po)

Откуда

Учитывая равенства (II,10) и (II,18), окончательно получим:

где k_oc= 1/2.

Таким образом, в данном случае обратная связь соответствует усилительному звену с коэффициентом усиления 1/2.

Структурная схема устойчивого объекта 1-го порядка приведена на рис. II-7. Интегрирующее звено с передаточной функцией 1/Т_ер охватывается звеном отрицательной обратной связи с передаточной функцией k_ос. Передаточная функция такого объекта имеет вид



где k=1/k_oc -- коэффициент усиления объекта; T₀ = T_е/k_ос - постоянная времени объекта, под которой понимают время, в течение которого выходная величина достигла бы своего нового установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости ее изменения в начальный момент времени. При t = T₀ выходная величина составляет 63% нового установившегося значения. Постоянная времени объекта определяется как проекция на ось времени отрезка касательной к экспоненте, заключенного между точкой касания и точкой пересечения касательной с линией установившегося значения выходной величины (см. рис. II-6,б). Длина этой проекции одинакова для касательных, проведенных к любой точке экспоненты.

Постоянная времени объекта Т_о определяет его динамические свойства. Чем она больше, тем медленнее протекает переходный процесс в объекте, и наоборот.

...