Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Луцький державний технічний університет

Теорія автоматичного управління

конспект лекцій (частина 1) для студентів технологічного та заочного факультетів із спеціальності “Aвтоматизоване управління технологічними процесами “ (6.092501)

Луцьк 2004

УДК 621.658

ББК 30.5

Викладено основи теорії лінійних систем автоматичного керування, розглянуто загальні питання автоматизації, методи математичного описання. Наведено приклади.

Теорія автоматичного управління. Конспект лекцій (частина 1) для студентів технологічного та заочного факультетів із спеціальності “Автоматизоване управління технологічними процесами” (6.092501)/ Т.П. Маркова - Луцьк: ЛДТУ, 2004 - 40с.

Укладач: Т.П. Маркова

Рецензенти: Л.В. Скиртюк, Головний механік ВАТ ЛПЗ

В.М. Подоляк, доцент, к.т.н.

Відповідальний за випуск: В.В. Лотиш

Затверджено науково-методичною радою ЛДТУ,

протокол №_________від _________________ 2004 р.

Рекомендовано до друку методичною радою технологічного факультету ЛДТУ. Протокол № 3 від 11.11.2004 р.

Розглянуто на засіданні кафедри автоматизованого управління технологічними процесами. Протокол № 2 від 9.10.2004р

Зміст

1. Загальні поняття

1.1 Система автоматичного керування та її елементи

1.2 Загальні відомості про зворотні зв'язки

1.3 Принципи автоматичного керування. Комбіновані системи автоматичного керування

1.4 Види систем автоматичного керування

1.5 Основні загальні характеристики елементів САК

1.6 Зворотні зв'язки в САР

2. Основні завдання і особливості теорії автоматичного керування

2.1 Статика САР. Умови статичної рівноваги і статичні характеристики ланок

2.2 Статична похибка і коефіцієнт передачі (підсилення)

2.3 Форми запису рівнянь статики

2.4 Динаміка систем автоматичного регулювання

2.5 Лінеаризація нелінійних рівнянь

2.6 Форми запису рівнянь динаміки. Приклади складання рівнянь ланок

2.7 Коефіцієнт самовирівнювання і його вплив на характер перехідних процесів

система автоматичний керування самовирівнювання

1. Загальні поняття

Під автоматизацією розуміють проведення тих чи інших операцій без участі людини або з обмеженою її участю. У першому випадку процеси називають автоматичним, а в другому - автоматизованим.

Автоматизований процес може бути досить простим (наприклад, забезпечення сталого рівня рідини в деяких посудинах) і досить складним (забезпечення потрібного режиму роботи літака за допомогою автопілоту, тощо).

При автоматизованому режимі роботи установки, які в загальному випадку називають об'єктом автоматизації, роль людини зводиться до вмикання об'єкта автоматизації або до виконання окремих ручних операцій.

Основні переваги автоматизації:

· зростання продуктивності та поліпшення умов праці;

· виконання робіт у важкодоступних місцях, чи взагалі недоступних для людини сферах (наприклад, радіоактивні зони, космос та ін.)

· підвищення точності, якості технологічних процесів та відповідних виробів;

· зростання надійності.

Автоматизація виробництва проводиться за допомогою автоматичних пристроїв, які можна класифікувати за різними ознаками. Під „пристроєм” розуміють закінчену конструкцію, яка може діяти самостійно.

За функціональним призначенням виділяють такі автоматичні пристрої: автоматичного контролю та сигналізації, автоматичного захисту, обчислювально - лічильні, автоматичного керування.

Пристрої автоматичного контролю та сигналізації забезпечують контроль за перебігом технологічних процесів, станом приміщень та відповідну сигналізацію: оптичну, акустичну, чи ту та іншу разом.

Пристрої автоматичного захисту забезпечують захист об'єктів при появі загрози для обладнання, продукції та обслуговуючого персоналу.

Обчислювально - лічильні машини виконують самостійно (без участі людини) складні розрахунки орбіт супутників, ракет, найвигідніших технологічних режимів роботи та інші.

Блокуючі пристрої мають призначення не допускати виконання хибних команд. Наприклад, команд на виконання „зустрічних” маршрутів на одноколійних шляхах залізничного транспорту.

1.1 Система автоматичного керування та її елементи

Під системою автоматичного керування (САК) розуміють сукупність об'єкта керування (робочої машини, механізму) та з'єднаних певним чином елементів, взаємодією яких забезпечується розв'язання поставленого завдання керування об'єктом.

Основними елементами САК є: об'єкт керування; вимірювальний, або чутливий елемент; керуючий елемент (орган); виконуючий елемент (орган).

Вимірювальний елемент фіксує зміни вихідної (регульованої) величини об'єкта і визначається функцією f(t). Як чутливий елемент САК часто використовують датчики, що перетворюють неелектричні величини (швидкість, тиск, зусилля та ін.) на електричні (опір, напругу, струм).

Керуючий елемент дістає інформацію від чутливого елемента і формує потрібний сигнал для виконуючого елемента. Часто він виконує і функції підсилювача. Основними видами підсилювачів є напівпровідникові, електромашинні, магнітні, електронні та іонні. Із неелектронних найбільш поширені гідравлічні та пневматичні підсилювачі.

Виконуючий елемент забезпечує потрібний режим роботи керуючих органів об'єкта.

Якщо всі елементи САК позначити прямокутниками, розмістивши їх у послідовності, що відповідає їх взаємодії а напрямок цієї взаємодії позначити стрілками, то дістанемо функціональну схему САК. Якщо на функціональній схемі відобразити характеристики (рівняння, криві залежностей вихідних параметрів від часу), що визначають динамічні властивості елементів системи, то отримаємо так звану структурну схему САК. Елементи відповідних схем називають ланками.

1.2 Загальні відомості про зворотні зв'язки

Розглянемо робочу машину, яка є об'єктом автоматичного керування. Навантаження її Р необхідно підтримувати на однаковому рівні, забезпечуючи рівність його заданому навантаженню Р₃.

Р = Р₃

Нехай навантаження об'єкта можна змінити за рахунок відповідного зменшення (або збільшення) швидкості руху об'єкта. Якщо поставлене завдання вирішується при ручному керуванні, то оператор повинен виконати такі елементарні операції:

· визначити за допомогою вимірювального приладу дійсне значення навантаження Pg;

· обчислити відхилення дійсного значення від заданого та його знак (величину розузгодження)

?Р = Pg - Р₃;

· залежно від значення і знаку ?Р подіяти на органи керування швидкості робочої машини в напрямку зменшення ?Р;

· визначити нове значення Pgґ. Якщо Pgґ ? Р₃ то цикл керування повторюється.

При вирішенні поставленого завдання за допомогою автоматичного керування окремі операції повинні виконуватись окремими елементами системи:

вимірювальним - ВЕ;

керуючим - КЕ;

виконуючим - ВикЕ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Позначивши робочу машину - об'єкт керування - буквою „О”, а збурення, що діють на неї - f₁(t), f₂(t), … f_n(t), побудуємо відповідну функціональну схему САК:

На рисунку керуючий елемент показано у вигляді двох складових - вузла порівняння і підсилювача „П”. В технічній та навчальній літературі вузол порівняння може бути позначений так:

Особливістю даної системи САК є замкнута функціональна схема. Такі САК називають системами автоматичного регулювання (САР), або системами зі зворотним зв'язком. Всі елементи замкнутої САК, крім об'єкта, об'єднуються єдиним поняттям - регулятор (Р). Спрощену функціональну схему САК можна зобразити у вигляді двох елементів об'єкт і регулятора.

Замикання САК має виконуватися таким чином, щоб вихідна величина об'єкта х_вих, що змінюється під впливом збурень f₁(t)…f_n(t), на виході регулятора була перетворена регулятором так, щоб вихідна величина об'єкта х_вх діяла на об'єкт у напрямку, протилежному дії збурень. Даний зворотній зв'язок називають головним від'ємним зворотнім зв'язком системи САР.

1.3 Принципи автоматичного керування. Комбіновані системи автоматичного керування

Головним принципом АК є принцип керування за збуренням (принцип Понселе - Чиколева) і принцип керування за відхиленням (принцип Ползунова - Уатта).

Суть керування за збуренням полягає в тому, що залежно від зміни збурення f(t), контрольованого вимірювальним елементом ВЕ, на вхід об'єкта „О” надходить величина х_вх, яка повинна діяти на об'єкт таким чином, щоб викликати зміну режиму його роботи, що компенсує дію збурення відносно вихідної величини об'єкта.

Особливістю принципу керування за збуренням є використання замкнутих схем керування. У цих схемах немає автоматичного контролю вихідної величини об'єкта х_вих і команда керування формується лише залежно від збурення.

Перевагою керування за збуренням є простота та надійність САК при наявності одного збурення, якщо іншими можна знехтувати.

До недоліків цього принципу керування слід віднести труднощі контролю збурень у деяких технологічних об'єктах та дещо меншу точність.

Принцип керування за відхиленням дійсного значення вихідної величини об'єкта від його заданого значення було запропоновано І.І. Ползуновим в 1765р.

Для реалізації принципу керування за відхиленням, САК має бути замкнутою. Основною перевагою цього принципу є те, що САК реагує на відхилення дійсного значення регульованої величини від заданого незалежно від причин, що зумовили це відхилення.

На практиці використовуються системи з комбінованим принципом керування. Вона має два канали керування.

Один з них діє за принципом керування за збуренням

(ВЕ2 - КЕ - ВикЕ - 0)

і має розімкнутий контур.

А другий - за принципом керування за відхиленням вихідної величини х_вих від заданого значення g(t) і має замкнутий контур

(ВЕ1 - ВП - КЕ - ВикЕ - 0).

Основною перевагою комбінованого керування є висока точність.

1.4 Види систем автоматичного керування

Основні принципи класифікації.

САК можна класифікувати за такими ознаками: принципом керування, кількістю регульованих параметрів і контурів; виглядом статичних і динамічних характеристик.

Коротко розглянемо основні особливості окремих САК.

Системи з повною початковою інформацією.

Такі системи ще називають звичайними. Вони мають початкову інформацію, достатню для розв'язання поставленого завдання на період всього часу роботи системи.

Замкнуті САК також називають системами із зворотнім зв'язком (або САР)

В свою чергу САР поділяють на три групи:

1. Стабілізації. Повинні забезпечити стабільність вихідної величини об'єкта.

х_вих = const

2. Програмного регулювання. Повинні забезпечити зміну регульованої величини за деякою заздалегідь відомою програмою.

х_вих = vаr = g(t).

3. Слідкуючі. х_вих = vаr = g(t), але принципова їх відмінність від програмних САР полягає в тому, що потрібний для виконання закон зміни регульованої величини заздалегідь невідомий, а формується в ході роботи системи.

Розімкнуті САК бувають двох видів: компенсаційні і програмного вони діють за принципом керування за збуренням.

Компенсаційні системи забезпечують формування таких сигналів керування на вході об'єкта, які компенсують дію на нього відповідного збурення f(t). Системи програмного керування мають розімкнуту схему. Згідно заданої програми вони змінюють режим роботи об'єкта. (Ліфт, кінцеві вимикачі забезпечують необхідний режим роботи електропривода.)

Комбіновані САК були розглянуті раніше.

Системи з неповною початковою інформацією.

Кібернетичні САК - це системи, які для розв'язання поставлених завдань повинні в процесі роботи діставати додаткову інформацію, аналіз якої дає змогу сформувати потрібні команди керування.

Кібернетичні системи існують двох видів: самонастроювальні та ігрові.

Самонастроювальні системи (СНС).

У загальному випадку, команда на керування об'єктом формується, як результат взаємозалежностей між характеристиками об'єкта, елементів та збурення.

Основною її особливістю є додатковий регулятор ДР., на вхід 1-4 якого надходить інформація:

· про зміни збурення;

· про зміни завдання;

· про зміни вихідної величини;

· про зміни роботи об'єкта.

Додатковий регулятор аналізує здобуту інформацію і формує коректуючи дію, яка надходить на вхід основного регулятора (ОР) і забезпечує самонастроювання (адаптацію) системи. Це ЕОМ, яка забезпечує виконання логічних операцій і прийняття рішень. Прикладом СНС є автопілот.

Екстремальні СНС.

На практиці необхідно забезпечити керування на екстремумі деякої функції У, яка є функцією двох величин. Нехай:

у = f(л,ц), де

ц - регулюючий параметр;

л - параметр, що характеризує стан об'єкта.

При деякому степені об'єкта л = л₁ для забезпечення роботи на екстремумі функції у_1мах необхідно мати в системі значення регулюючого параметра ц = ц₁. Якщо стан об'єкта зміниться і при цьому л = л₂, то для роботи на відповідному екстремумі нової характеристики у = у_2мах. Система повинна забезпечити нове значення регулюючого параметра у = у₂.

Існують 2 види екстремальних СНС: з автоматичним пошуком і без пошукові.

Основними методами автоматичного пошуку екстремуму функції є метод послідовних кроків, метод знаходження похідних, спосіб запам'ятовування екстремуму, метод накладання вимушених коливань на вхід об'єкта.

Метод послідовних кроків.

В системі встановлюють деяке довільне значення у = у₁. Після чого змінюють відповідне значення у = у_1, дають приріст ?у та вимірюють у = у₂. Якщо у₂ > у₁, то дають новий приріст ?у і отримують у₃. Якщо у₃ < у₂, то роблять зворотній крок. Внаслідок даної методики в системі виникають коливання навколо точки фактичного екстремуму у = у_мах. І забезпечується режим роботи з настроюванням, близьким до максимального значення функції у_мах.

Метод знаходження похідних.

При цьому методі визначають знак похідної . Екстремум функції у цьому випадку знаходиться в інтервалі:

Спосіб запам'ятовування екстремуму.

В цьому разі система знаходить екстремум функції у і запам'ятовує його, після чого відповідним чином реагує на відхилення у від екстремального значення.

Метод накладання вимушених коливань на вхід об'єкта.

Якщо при роботі в точці а₀ на зростаючій частині характеристики на вхід об'єкта подати гармонічні коливання (рис.в.), то на виході об'єкта виникнуть періодичні коливання (рис.б.). Якщо буде пройдено екстремум функції у = f(t) і гармонічні коливання надходитимуть на вхід об'єкта при його роботі в точці в₀ вихідної характеристики, що відповідає „спадаючій” гілці графіка, то фаза коливань на виході об'єкта зміниться на 180⁰ (крива 2).

Така зміна фази коливань є ознакою проходження точки екстремуму. За допомогою фільтрів, що встановлюються на виході об'єкта, можна виділити змінну складову вихідного сигналу і використати її для керування виконавчим двигуном настроювання системи.

Недоліком є наявність пошукових коливань.

СНС з самонастроюванням керуючих ланок.

Основною особливістю даних систем є те, що перехідний процес самонастроювання в контурі додаткового регулятора ДР (див. Рис.6) більш тривалий порівняно з процесом у контурі основного регулятора (ОР). У зв'язку з цим результат самонастроювання можна використовувати лише на наступних циклах роботи об'єкта.

Самооптимізуючі СНС.

Характерною особливістю таких систем є можливість використання результатів самонастроювання системи в даному циклі її роботи. Це досягається завдяки тому, що тривалість перехідного процесу в контурі додаткового регулятора менша, ніж в контурі основного регулятора.

Ігрові системи автоматичного керування ІСАК.

Ігрові системи мають такі основні особливості:

· процес керування виконується в деякій системі з багатьма взаємозв'язаними об'єктами (велика система).

· Інтереси сторін (об'єктів) є протилежними;

· дії сторін і збурень в системі можуть відбуватись за відомими правилами (алгоритмами), а також мати випадковий характер.

Як класичний приклад побудови і дії ігрової системи можна навести гру в карти, яка об'єднує кількох гравців з різними інтересами. Надходження карт до гравців має випадковий характер, гра йде при неповній інформації, кожен гравець хоче виграти тощо.

Критерієм для порівняння окремих виборів є функція вигоди, яка визначається заздалегідь на основі аналізу керованої операції в даній системі за допомогою методів теорії дослідження операцій.

Розв'язок, що відповідає найбільшому значенню функції вигоди, називається оптимальним.

Основним елементом ІСАК є керуюча машина (КМ), яка має забезпечувати на основі робочої та наявної початкової інформації формування найбільш вигідного (оптимального) в даних умовах процесу керування.

Початкова інформація про першу сторону повинна мати необхідні відомості про властивості керованого процесу і бути достатньою для знаходження виборів і функції вигоди.

Інформація про другу сторону, як правило мінімальна. Робоча інформація має поточні відомості про стан і дії сторін.

ІСАК бувають двох видів:

1. З набором шаблонних розв'язків. Знаходження оптимального розв'язку забезпечується перебором відомих розв'язків, які зберігаються в пам'яті КМ.

2. З автоматичним пошуком оптимального розв'язку. Особливість: тривалий пошук знаходження розв'язку.

На основі принципів дії ІСАК розроблено автоматизовані системи керування (АСК) найрізноманітнішого призначення (АСК ТП), для виробництва (АСК В).

Системи прямої та непрямої дії.

Схема САК прямої дії швидкості об'єкта.

У системах прямої дії вимірювальний елемент самостійно діє на регулюючий орган. На рис. показано систему прямої дії регулювання швидкості.

Вимірювальний елемент, який контролює швидкість обертів об'єкта, самостійно діє на керуючий орган, який змінює кількість енергоносія Q. Якщо швидкість обертання щ збільшується, то кулі К₁ і К₂ під дією відцентрової сили переміщуються вгору, що приводить до переміщення муфти М, та регулюючого органу РО.

Перевага: простота і надійність.

Схема САК непрямої дії швидкості об'єкта.

В системах непрямої дії вихідний сигнал вимірювального елемента підсилюється за допомогою підсилювача.

В цій системі муфта М вимірювального елемента діє на золотник (3) гідропідсилювача. Золотник, виходячи з нейтрального положення, забезпечує подачу масла в верхню порожнину циліндра гідро підсилювача, поршень П рухається вниз і зменшує подачу енергоносія Q.

Перевага: більша точність і кращі динамічні властивості.

Статичні та астатичні САК.

Основною із ознак даних систем є вигляд регулювальної характеристики, що показує залежність регульованої величини в статичному положенні від витрат робочого середовища.

Статичною САК називають систему, в якій регульована величина при зміні зовнішніх збурень на об'єкті, змінюється в деяких допустимих межах, після закінчення перехідного процесу залежно від зовнішнього збурення має різні значення.

Регулювальна характеристика в загальному випадку має вигляд

У = С + Д(Х), де

С - середнє значення регульованої величини Х;

Д(Х) - функція збурення.

Необхідна умова якісного регулювання C>> Д(Х).

Астатичною САК називають систему, в якій регульована величина при зміні зовнішніх збурень після завершення перехідного процесу набуває строго сталого значення при різних величинах зовнішніх збурень.

Як приклад, розглянемо астатичну і статичну САР рівня Н деякого середовища Q

Завданням статичної і астатичної системи є підтримання сталого рівня Н в резервуарі при зміні величини Q₁.

Якщо при астатичній САР витрати Q₁ збільшиться, то зменшиться рівень Н, поплавок П переміститься вниз, що приведе до відповідного переміщення потенціометра ПТ відносно його початкового положення „0”. При цьому на якірному колі двигуна Д виникне напруга „u” відповідної полярності. Завдяки цьому двигун переміщуватиме регулюючий орган системи РО і збільшує кількість рідини Q і рівня Н. Регулюючий орган переміщується доти, доки напруга на якірному колі не буде дорівнювати нулю, а отже Н = Н₃, і Q = Q₁ = Q₂.

В астатичній системі можливе лише одне положення рівноваги при значення регульованої величини Н = Н₃.

Регулювальна характеристика Н = f(Q) астатичної системи є горизонтальна пряма. У статичній САР при збільшенні витрат (Q₁ > Q₂) рівень Н і поплавок буде переміщуватись вниз. Завдяки цьому регулюючий орган РО забезпечить збільшення робочого середовища Q₂. Нового стану рівноваги буде досягнуто при Q₁ = Q₂ =Q для нового рівня Н, менше від початкового. Таким чином, статичні САР не можуть забезпечувати підтримку регульованої величини на строго сталому рівні. Отже, можливі відхилення регульованої величини від заданого рівня Н, залежно від витрат робочого середовища.

Регулювальна характеристика статичної САР після завершення перехідного процесу є похила пряма.

Точність підтримання заданого значення регульованої величини в статичних системах визначається коефіцієнтом нерівномірності, або статизмом д. У такому випадку

Величину статизму іноді визначають як відношення відхилення регульованої величини до її максимального значення.

Системи неперервної і перервної дії.

Неперервною САР є система, в якій структура всіх зв'язків у процесі роботи не змінюється і величина на виході кожного елемента є неперервною функцією збурення і часу.

В перервних САР при роботі системи можливі зміни структури зв'язків, через що сигнал на виході (об'єкта) є перервною функцією часу t, а також вхідної величини х_вх.

Існує два види перервних систем - релейні та імпульсні.

Релейною називають систему, в складі якої є хоча б одна релейна ланка, тобто ланка, яка має релейну характеристику. Імпульсна система - імпульсна ланка. Основні види релейних характеристик

х_вих = f(х_вх).

Як видно із характеристики „а” при зростанні вхідної величини до певного значення х_вх =х_вх1 вихідна величина стрибком змінюється до значення х_вих1. При подальшому зростанні х_вх, х_вих релейного елемента не зміниться. При зменшенні х_вх, коли х_вх = х_вх1, виникає стрибкоподібна зміна вихідної величини до початкового рівня.

Значення вхідної величини при її зростанні, що відповідає стрибкоподібній зміні величини на виході ланки, називають величиною спрацювання (зрушення) реле, а відповідне значення вхідної величини при її зменшенні - величиною відпускання (повертання).

На рис. „б” показано релейну характеристику, в якій величина спрацювання х_вх1 не дорівнює величині відпускання х_вх2.

відношення х_вх1/х_вх2 називається коефіцієнтом повернення.

На рис. „в” показано характеристики реле, які реагують на полярність вхідного сигналу. Релейні елементи можуть базуватись на різних принципах дії, але вони застосовуються для фіксації відповідних значень вхідної величини. Їх використовують як пристрій захисту.

Імпульсна ланка перетворює неперервний сигнал в ряд короткодіючих імпульсів з періодом t₁.

Існують три види імпульсних ланок:

„б” з амплітудно - імпульсною модуляцією (АІМ), (амплітуда вихідного сигналу пропорційна значенню вхідної величини).

„в” з широтно - імпульсною модуляцією (ШІМ), (амплітуда вихідного сигналу залишається незмінною, а ширина імпульсів пропорційна значенню вхідної величини).

„г” з частотно - імпульсною модуляцією. (ЧІМ) (При зміні полярності вхідного сигналу змінюється тільки полярність вихідного сигналу.

Системи одно- і багатоконтурні, одно- і багатовимірні, зв'язані і незв'язані.

Одноконтурною системою називають систему з одним регулюючим органом. При наявності кількох регулюючих органів систему називають багатоконтурною.

Одновимірною називають систему з одним регульованим параметром, а багатовимірною - з кількома одночасно регульованими параметрами, що має відповідну кількість контурів на об'єкт. Канали керування функціонують незалежно один від одного. Таку систему називають системою незв'язаного регулювання.

Якщо існують компенсуючи зв'язки між керуючими елементами і регулюючими органами різних контурів, то таку систему називають системою зв'язаного регулювання.

Приклад (тиск і t⁰ парового котла, автопілот).

Системи із змінною та незмінною структурою називають систему, в якій у процесі роботи може змінюватись вид, кількість, характеристики, спосіб з'єднання ланок одна з однією. В протилежному разі система є системою з незмінною структурою.

Класифікація САК з технологічними ознаками.

Електромеханічні САК.

За використаною енергією САК поділяються на гідравлічні, електромеханічні, пневматичні. Основні - електромеханічні. Основними функціями ЕМ САК - є перетворення електричної енергії в механічну і автоматичне керування об'єктом, що приводиться за допомогою механічної енергії.

Функціональна схема розімкнутої ЕМ САК

О - об'єкт керування;

П - передаточний елемент;

ЕД - електродвигун;

ПЕ - перетворювальний елемент;

КЕ - керуючий елемент;

Ф - силовий потік електричної енергії;

М - потік механічної енергії;

З - завдання.

1.5 Основні загальні характеристики елементів САК

Передаточний коефіцієнт визначається із загальної характеристики.

х_вих = f(х_вх).

При цьому відношення

називають передаточним статичним коефіцієнтом, якщо х_вих і х_вх є встановлені значення величин.

Динамічним передаточним коефіцієнтом є похідна:

для датчиків - це коефіцієнт чутливості, а для підсилювачів - коефіцієнт підсилення.

Часова характеристика визначається залежністю х_вих = f(t). При надходженні на вхід елемента постійного сигналу.

Багато елементів з механічною інерцією мають часові характеристики у вигляді експоненти.

Перехідний процес у них визначається неоднорідним диференціальним рівнянням першого порядку, розв'язок якого має вигляд:

х_вих = х_0вих(1- е^-t/Т),

де Т - стала часу елемента.

Її можна знайти при умові t = Т. Тоді

х_вих = х_0вих(1- е^-1)= х_0вих(1 - 0,37) = 0,63х_0вих.

Особливості елементів визначається запізненням, інерційністю та зонами нечутливості.

Під запізненням розуміють зсув по часу між сигналами на вході і на виході елемента.

Кількісна оцінка запізнення визначається різницею ф = t₂ - t₁.

Сталу часу Т, що є мірою інерційності елементів, іноді називають інерційним запізненням.

Під зоною нечутливості розуміють діапазон зміни вхідної величини, в межах якого елемент не реагує на неї.

1.6 Зворотні зв'язки в САР

Під зворотним зв'язком розуміють таке виконання зв'язків у системі, при якому на вхід елемента Е надходить величина х_зв.з, пропорційна вихідній величині елемента. Формування сигналу зворотного зв'язку виконується пристроєм зворотного зв'язку - ЗЗ. Його дія визначається коефіцієнтом зворотного зв'язку, який показує відношення вихідної величини пристрою зворотного зв'язку х_зв.з до вихідної величини елемента х_вих:

.

Частіше в < 1, проте можливі випадки, коли в > 1.

Визначають такі зворотні зв'язки: додатні і від'ємні; жорсткі і гнучкі; головні і місцеві.

Додатні і від'ємні зв'язки та їх вплив на коефіцієнт передачі ланки.

Додатнім зворотнім зв'язком називають зв'язок, дія якого збігається за знаком з дією вхідної величини на даний елемент.

Якщо рівняння ланки до введення зворотного зв'язку має вигляд:

х_вих = kх_вх, то

при наявності зворотного зв'язку фактичне значення вхідної величини обчислюється за формулою

х?_вх = х_вх + х_зв.з = х_вх + вх_вих

У цьому випадку рівняння ланки, охопленої додатнім зворотним зв'язком, має вигляд

х_вих = к(х_вх + вх_вих).

Звідки

(1 - кв)х_вих = kх_вх,

і коефіцієнт при додатному зворотному зв'язку

.

Введення додатного зворотного зв'язку призводить до зростання коефіцієнта передачі.

При від'ємному зворотному зв'язку:

х_вх = х_вх - вх_вих.

І коефіцієнт ланки

буде зменшуватися, що позитивно впливає на затухання (стабілізацію) перехідних процесів.

Жорсткі і гнучкі зворотні зв'язки.

Жорсткий зворотний зв'язок - це такий зв'язок, дія якого залежить тільки від відхилення величини на його вході (відхилення вихідної величини ланки, що охоплюється цим зворотним зв'язком) і не є функцією часу.

Гнучкий зворотний зв'язок - це такий зв'язок, дія якого є функцією часу і проявляється лише в перехідних режимах. У статичних режимах такий зв'язок не діє, тому ці зв'язки іноді називають ”зникаючими”.

Перевага гнучких зворотних зв'язків полягає в тому, що вони не впливають на статичний коефіцієнт передачі, що веде до підвищення якості САК.

2. Основні завдання і особливості теорії автоматичного керування

2.1 Статика САР. Умови статичної рівноваги і статичні характеристики ланок

Як сказано раніше, завданням статики як розділу ТАК є вивчення САР у статичному стані, що виникає після завершення перехідних процесів. Для перебування системи в стані рівноваги мають одночасно виконуватись такі умови

1. Відхилення регульованої величини від заданого значення має дорівнювати нулю або деякій сталій величині.

2. Надходження регульованої величини Q₁ має дорівнювати її витратам Q₂.

3. Положення регулюючого органу системи і виконавчого двигуна має бути нерухомим.

4. Положення керуючого елемента (значення його вихідної величини) має відповідати нерухомому стану виконавчого двигуна.

Основною характеристикою статики окремої ланки системи є регулювальна характеристика, яка показує залежність регульованої величини х від витрат робочого середовища Q:

x = f(Q),

а основною характеристикою статики окремої ланки системи є характеристика вхід - вихід:

x_вих = f(х_вх).

Важливим показником ланки є статичний коефіцієнт передачі:

.

Результуюча статична характеристика паралельно з'єднаних ланок

Паралельним з'єднанням ланок у ТАР є таке з'єднання, при якому вхідна величина всіх ланок однакова, а результуюча вихідна величина є сумою вихідних величин цих ланок.

х_вх = х_1вх = х_2вх = х_3вх

х_вих = х_1вих + х_2вих + х_3вих

Результуюче рівняння послідовно з'єднаних ланок

Послідовне з'єднання ланок - це таке з'єднання, при якому вихідна величина попередньої ланки є вхідною для наступної.

У загальному випадку для „n” послідовно з'єднаних ланок маємо

х_{n вих} = f(х_1вх)

Якщо рівняння n ланок мають вигляд

х_{1 вих} = k₁х_1вх

х_{2 вих} = k₂х_2вх

...

х_{n вих} = k_nх_nвх.

то враховуючи, що

х_{1 вих} = х_2вх

х_{2 вих} = х_3вх

...

х_{n-1 вих} = х_nвх.

дістанемо рівняння ланок у вигляді:

х_{1 вих} = k₁х_1вх

х_{2 вих} = k₂х_1вих = k₁k₂х_1вх

...

х_{n-1 вих} = k₁ k₂... k_n-1 х_1вх

х_{n вих} = k₁ k₂... k_n х_1вх.

останнє рівняння є результуючим рівнянням послідовно з'єднаних ланок, який часто називають коефіцієнтом розімкнутої системи

k = k₁ k₂... k_n

Рівняння ланки зі зворотним зв'язком

Для ланки зі зворотним зв'язком фактичне значення вхідної величини можна записати у вигляді

хґ_вх = х_вх ± х_зв.з.

Якщо зворотний зв'язок додатний, то щоб дістати на виході ланки ту саму величину, що і без зворотного зв'язку, на вхід можна подати меншу величину

хґ_вх = х_1вх - х_зв.з.

При від'ємному зворотному зв'язку при тих самих умовах на вхід ланки слід подати більшу величину

хґ_вх = х_1вх + х_зв.з.

2.2 Статична похибка і коефіцієнт передачі (підсилення)

Статична похибка - це відхилення регульованої величини від заданого значення після закінчення перехідного процесу. Воно є одним із основних показників якості САР.

Вважатимемо, що головного зворотного зв'язку в системі немає (САК знаходиться в розімкнутому стані).

Тоді при початковому значенні збурення f₀(t) вихідна величина об'єкта х_0вих відповідатиме потрібному значенню регульованої величини. Зміна збурення до значення f₁(t) призведе до зміни вихідної величини об'єкта до значення х_1вих і появи відхилення при розімкнутому стані системи

Дх = х_0вих - х_1вих,

Якщо замкнути систему за допомогою ГЗЗ, то в замкнутій системі регулятор Р діятиме на зменшення відхилення Дх (в ідеальному випадку до нуля).

Проте регулятор не в змозі повністю ліквідувати Дх. Частина Дх, яка залишається в замкнутій системі, є статичною похибкою замкнутої системи.

Д = Дх - Дх_вих (*)

Величина Д знову надходить на вхід об'єкта, тому можна записати

Д = Дх_вх (**)

Розділивши всі члени рівняння (*) на величину Д і врахувавши (**), отримаємо

Оскільки Дх_вих / Дх_вх =К - коефіцієнт передачі(підсилення) розімкнутої системи, то статичну похибку замкнутої системи запишемо у вигляді:

З цієї формули можна зробити такі висновки:

1. Статична похибка замкнутої системи прямо пропорційна відхиленню регульованої величини при розімкнутому стані системи і обернено пропорційна коефіцієнту підсилення розімкнутої системи.

2. Оскільки величина Дх при розімкнутій системі є функцією збурення, що діє на об'єкт, то статична похибка замкнутої системи залежить від збурення.

2.3 Форми запису рівнянь статики

Існує три форми запису рівнянь статики в:

1. Абсолютних величинах.

2. Відхиленнях.

3. Відносних величинах.

1. Якщо залежність х_вих = f(х_вх) задано графічно, де по осях відкладемо абсолютні величини, то відповідну аналітичну залежність можна записати у вигляді

х_вих = а + kх_вх, (*)

де а - початкове значення вихідної величини;

k - коефіцієнт, що характеризує нахил характеристики рівняння статики.

Рівняння статики у відхиленнях.

Нехай початкові значення вхідної і вихідної величин х_{0 вх} х_{0 вих}. Якщо вони зміняться і набудуть значень х_вх і х_вих, то з врахуванням відхилень Дх_вх і Дх_вих можна записати:

х_вх = х_{0 вх} + Дх_вх

х_вих = х_{0 вих} + Дх_вих.

Підставляючи значення в рівняння з (*), дістаємо

х_{0 вих} + Дх_вих = а + k (х_{0 вх} + Дх_вх)

Виключаючи рівняння початкової рівноваги

х_{0 вих} = а + k х_{0 вх},

дістанемо рівняння статики у відхиленнях:

Дх_вих = k Дх_вх (**).

2. Рівняння статики у відносних величинах.

Введемо базові значення вхідної х_{д вх} і вихідної х_{д вих} величин (за базові значення можна прийняти будь-які величини, але найчастіше приймають номінальні значення).

Визначимо:

.

Звідки знаходимо відхилення:

Дх_вих = цх_{д вих}, Дх_вх = мх_{д вх}.

Підставляємо в рівняння (**), отримуємо:

х_{д вих} ц = k м х_{д вх}

Враховуючи, що

х_{д вих} = k х_{д вх},

Дістаємо рівняння статики у відносних величинах:

ц = м.

Суть якого полягає в тому, що в статиці відносне значення вихідної величини чисельно дорівнює відносному значенню вхідної величини.

2.4 Динаміка систем автоматичного регулювання

У загальному випадку динамічні властивості лінійної САР можуть бути детально вивчені на основі диференційного рівняння, яке називають рівнянням замкнутої САР. Рівняння замкнутої САР дістають на основі рівняння ланок, з яких складається дана система. Направленість дії ланок САР забезпечується наявністю в системі детектуючих ланок, які можуть передавати енергію лише в одному напрямку.

Методика знаходження рівнянь САР.

При складанні рівняння динаміки дотримуються такої послідовності:

1. Необхідно детально вивчити суть фізичних явищ у САР, знайти методи їх математичного опису.

2. Визначити ланки САР і скласти її функціональну схему.

3. Встановити початок відліку відхилень узагальнених координат і напрямок їх зміни. Як правило, за початок відліку приймають стан рівноваги системи.

4. При складанні рівнянь динаміки ланок і системи в цілому враховують вплив всіх діючих факторів.

2.5 Лінеаризація нелінійних рівнянь

Існує два основних напрямки лінеаризації: графоаналітичний і аналітичний.

Графоаналітичні або лінійно - кускові методи лінеаризації. Ці методи базуються на зміні окремих криволінійних частин характеристик відрізками прямої і формування відповідних аналітичних залежностей.

Аналітичні методи лінеаризації.

Найбільш поширеним є розклад нелінійної функції в ряд довкола деякої точки характеристики. На практиці застосовують ряди Паде, Фур'є та ін.

Найчастіше використовується ряд Тейлора, згідно з яким нелінійну функцію f(z) можна записати у вигляді нескінченного ряду

, (*)

де f(а) - початкове значення функції;

f ґ, f ґґ,…,f⁽ⁿ⁾ - похідні відповідного порядку;

(z - а) - відхилення змінної відносно її початкового значення в точці „а”.

Згідно з гіпотезою малих відхилень Вишеградського, яка стверджує, що в процес регулювання відхилення регульованої величини відносно її початкового значення незначне, відхиленням змінної величини (z - а) в другому, в третьому і далі степенях можна знехтувати. Тому в ТАК вираз (*) набуває вигляду:

.

2.6 Форми запису рівнянь динаміки. Приклади складання рівнянь ланок

Рівняння динаміки ланок і САК можуть бути складені так, як і рівняння статики, в абсолютних величинах, відхиленнях і відносних величинах.

При складанні рівнянь динаміки також широко застосовується операторна форма запису диференційних рівнянь, згідно якої вводяться символи похідних та інтегралів, що визначаються за допомогою оператора „Р”.

Записуємо похідні в операторній формі:

, , …, .

Тоді

, , …, .

записуємо інтеграли в операторній формі:

, , , і т. д.

При операторній формі запису оператор „p” розглядається, як деяка величина, на яку можуть поширюватись всі алгебраїчні дії.

Правомірність відокремлення функції від знака оператора можна показати на основі відомих положень математики.

Наприклад, на основі того, що похідна суми деяких величин x, y, z, є сума цих похідних:

.

В операційній формі можна записати:

рx + рy + рz = р(x + y + z).

Множення або ділення обох частин деякого рівняння на оператор „р” можливе, тому що, можливе почленне диференціювання або інтегрування обох сторін рівностей.

Так, наприклад,

,

а інтеграл похідної:

при операторній формі запису має вигляд:

.

Приклади складання рівнянь динаміки при використанні різних форм запису.

Як приклад розглянемо добре відомий елемент - активно-індукційний електричний опір „Z”. Вхідною величиною є напруга „u”, вихідною - струм „і”.

На практиці такими елементами є обмотки збудження електричних машин постійного струму, котушки електромагнітів, і т. д.

У цьому випадку необхідно встановити в динаміці залежність вхід - вихід

I = f(u), використовуючи відомі положення фізики і електротехніки.

Згідно з теорією електричних кіл еквівалентну схему ланки можна представити у вигляді двох послідовно з'єднаних електричних опорів - активного R та індуктивного X_L. Миттєві значення спаду напруги на активному та індуктивному опорах відповідно позначимо u_R u_L.

При послідовному з'єднанні опорів сума спадів напруг на них дорівнює миттєвому значенню напруги мережі:

u = u_R + u_L

Враховуючи що,

u_R = iR,

,

де e_L - ЕРС самоіндукції;

L - коефіцієнт самоіндукції, дістанемо:

.

Розділивши ліву і праву частини знайденої рівності на R, отримаємо:

.

Перенесемо вихідну величину в ліву частину рівняння дістанемо рівняння динаміки ланки активно-індуктивного опору в абсолютних величинах:

, (*)

де - стала часу; - передатний коефіцієнт ланки.

В операторній формі запису це рівняння матиме вигляд:

(Тр + 1)і = ku;

Для складання рівняння у відхиленнях введемо початкові значення U₀, І₀ та відповідні відхилення Дu і Ді. Підставляючи значення

u = U₀ + Дu,

і = I₀ + Ді,

у рівняння (*), дістанемо

.

Виключаючи з цієї рівності рівняння початкової рівноваги U₀ = І₀ R, отримаємо:

, (*)

в операторній формі запису:

(Тр + 1)Ді = kДu. (**)

Для складання рівняння у відносних величинах введемо як базові номінальні значення струму І_н і напруги U_н, позначивши:

, .

Підставляючи в рівняння (*) і (**) значення

Дu = м U_н, Ді = ц І_н,

запишемо рівняння динаміки у відносних величинах у вигляді

,

в операторній формі запису:

(Тр + 1)ц = м.

2.7 Коефіцієнт самовирівнювання і його вплив на характер перехідних процесів

Рівняння багатьох об'єктів автоматичного керування в загальному випадку можна записати у вигляді

. (*)

Розв'язок цього рівняння буде таким:

х_вих = kх_вх(1 - e-^t/T).

Розділивши ліву і праву частини рівняння на передатний коефіцієнт k і визначивши

, ,

дістанемо рівняння у вигляді, запропонованому професором Стодола:

. (*)ґ

Підставивши в розв'язок значення:

, ,

отримаємо:

,

k_c -коефіцієнт самовирівнювання.

Проаналізуємо (*) відносно коефіцієнта k_c. При

k_c > 0 i t > ?

.

Залежність х_вих = f(t) є експонента:

при k_c > 0 i t > ?, х_вих > ?

При k_с = 0 рівняння динаміки (*)ґ матиме вигляд:

, .

При х_вх = const:

.

У такому випадку при t > ?, х_вих > ?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Висновки

1. При k_c > 0 об'єкти мають стійкий перехідний процес і в принципі можуть працювати без регулятора (електродвигуни).

2. Об'єкти з k_c < 0 і k_c = 0 мають нестійкі перехідні процеси, не можуть працювати без регулятора (парові машини, асинхронні двигуни).

Список використаних джерел

1. Бесекервський В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. 3-е изд. исп. М: Физмат изд., 1975. 768 с.

2. Попович М.Г., Ковальчук О.В. Теорія автоматичного керування. К.: „Либідь”, 1997. 544 с.

3. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления /Под ред. В.А, Бесекерского./М.: Наука, 1978. 512 с.

Размещено на Allbest.ru

...