Размещено на http://www.allbest.ru/

1. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА

Критерий устойчивости Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости системы автоматического управления. Рассмотрим замкнутую систему автоматического управления структурная схема которой приведена к расчетной и имеет вид:

где - передаточная функция разомкнутой системы автоматического управления. Пусть далее

,

где и - полиномы относительно переменной степеней и соответственно, причем . Получим передаточную функцию замкнутой системы управления

Выпишем характеристический полином замкнутой системы:

;

.

Расположение корней характеристического полинома на плоскости определяет устойчивость замкнутой системы.

Критерий устойчивости Гурвица позволяет выполнить исследование устойчивости замкнутой системы управления, не решая характеристического уравнения

.

Составим квадратную матрицу размера из коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы по следующему правилу:

1. По диагонали выписываем коэффициенты характеристического полинома, начиная с до в порядке возрастания индексов.

2. Каждая строка матрицы заполняется справа от диагонального элемента по убывающим индексам коэффициентов полинома.

3. Все элементы матрицы правее и левее заполняются нулями.

Иными словами столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического полинома с последовательно возрастающими индексами. Столбцы ниже главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического полинома с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше и меньше нуля - проставляют нули.

В результате чего получаем матрицу

.

Обозначим через , , … , - диагональные миноры матрицы

Формулировка критерия устойчивости Гурвица.

Для того, чтобы замкнутая система автоматического управления была асимптотически устойчива необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры матрицы были строго положительны, т.е. , , … , .

Для системы управления, характеристическое уравнение которых имеют низкую степень , условия устойчивости можно записать в общем виде.

Для имеем

,

,

, , .

, , необходимое условие устойчивости. Критерий устойчивости Гурвица определяет следующие условия устойчивости системы второго порядка , , . Следовательно, для систем второго порядка необходимые условия устойчивости являются и достаточными.

Для имеем

.

,

, ,

,

.

Т.к. должно быть больше нуля, то .

Окончательно: , , .

Алгоритм исследования устойчивости систем автоматического управления с помощью алгебраического критерия Гурвица.

Преобразовать структурную схему системы автоматического управления к расчетной структурной схеме

Первый график (рис. 9) соответствует случаю, когда устойчивость системы нарушается только с увеличением общего коэффициента усиления разомкнутой системы. Второй график (рис. 10) соответствует случаю, когда уменьшение к может привести к неустойчивости замкнутой системы (с уменьшением к меняются радиусы-векторы всех точек характеристики).

Годографы неустойчивых систем.

Имея в виду очертания амплитудно-фазовых характеристик, к сформулированному критерию устойчивости добавим разъяснения, что значит «не охватывает точки с координатами ».

Характеристика может пересекать отрицательную ось левее точки , но тогда число положительных (сверху вниз) переходов характеристики через ось абсцисс левее точки должно равняться числу отрицательных переходов (снизу вверх).

Случай 2. Система нейтральна в разомкнутом состоянии.

Характеристический полином разомкнутой системы имеет нулевые корни, а остальные все корни имеют отрицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

, .

Это соответствует системам с астатизмом порядка . Рассмотрим случай, когда , тогда . Плоскость корней имеет вид, примерно, как показано на рисунке.

Подстановка при означает перемещение вдоль оси от точки 0 вверх. При этом, чтобы все корни оставить слева, обойдем точку 0 по окружности малого радиуса , тогда ; . И при получим

;

,

где при .Следовательно, точки соответствует окружности бесконечно большого радиуса в плоскости корней . Поскольку при этом все корни остались слева, то формулировка критерия устойчивости осталась такой же как и для случая устойчивости разомкнутой системы (случай 1), т.е. годограф Найквиста не должен охватывать точку .

В случае аналогично получается та же формулировка критерия - не охват точки как показано на рисунках

Для сложных очертаний годографа Найквиста в число отрицательных переходов надо включать и переход пунктирной окружности бесконечно большого радиуса при .

Случай 3. Система неустойчива в разомкнутом состоянии.

Пусть характеристический многочлен разомкнутой системы имеет корней с положительной действительной частью. Тогда функция

при замене на , согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы должна иметь следующее изменение аргумента

при изменении частоты от 0 до . Это значит, что для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы амплитудно-фазо-частотная характеристика разомкнутой цепи охватила точку против часовой стрелки на угол , где - число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции неустойчивой разомкнутой системы. Другими словами, левее точки разность между положительными и отрицательными переходами годографа Найквиста через ось абсцисс должна равняться .

Пример. Годограф Найквиста ; система в замкнутом состоянии устойчива

Начальная точка характеристики левее точки считается за перехода (положительного). Левее точки - число положительных переходов

.

Число отрицательных переходов 0 их разность , система устойчива в замкнутом состоянии.

Определение устойчивости систем автоматического управления по логарифмическим частотным характеристикам с помощью критерия Найквиста.

Будем считать, что структурная схема системы приведена к расчётной схеме

- амплитудно-частотная характеристика, - фазочастотная характеристика

;

.

- запас устойчивости по фазе, - запас устойчивости по амплитуде (см. рис. 12). Величины и - являются количественной оценкой свойств устойчивости замкнутой системы. Чем больше - тем дальше система находится от границ устойчивости.

Анализируя рисунок, можно сформулировать критерий Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива необходимо и достаточно, чтобы фазочастотная характеристика разомкнутой системы должна пересекать прямую правее частоты среза (см. рис. 13, логарифмические частотные характеристики устойчивой системы)

В случае более сложной конфигурации графика функции следует пользоваться правилом переходов.

Как было показано, устойчивость системы автоматического управления связано с числом переходов амплитудно-фазо-частотной характеристики отрезка отрицательной вещественно полуоси.

Когда амплитудно-фазовая характеристика пересекает отрицательную вещественную полуось, логарифмическая фазо-частотная характеристика пересекает линию (см. рисунок 14). Переходы через эту линию не опасны с точки зрения устойчивости, если они совершаются справа от точки , т.е. если при этом модуль амплитудно-фазо-частотной характеристики меньше единицы . И, следовательно, если ординаты логарифмической амплитудно-частотной характеристики отрицательны, т.е.

.

Поэтому область отрицательных логарифмических характеристик при исследовании устойчивости интереса не представляют.

Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок характеристики соответствует пересечение логарифмических фазо-частотных характеристик при прямой снизу вверх (точка 2 на рисунке 14), а отрицательному переходу (сверху вниз - точка 1 на рисунке 14).

Критерий устойчивости Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам может быть сформулирован следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмических фазо-частотных характеристик прямой во всех областях, где логарифмическая амплитудно-частотная характеристика положительна была равна 0 или - где - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На рисунке приведены для примера амплитудно фазовая характеристика разомкнутой системы и соответствующая ей логарифмическая амплитудно-фазо-частотная характеристики. Из этих характеристик видно, что разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмической фазо-частотной характеристики прямой при равна 0. Таким образом, если разомкнутая система была устойчива (), то и замкнутая система будет устойчивой. При этом запасы устойчивости по амплитуде равны и , а запас устойчивости по фазе равны .

Иногда запас устойчивости по амплитуде определяют как .

Пример. С помощью логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик определить устойчивость замкнутой системы автоматического управления, структурная схема которой имеет вид

Передаточная функция разомкнутой системы

.

Значения параметров передаточной функции разомкнутой системы: , , .

Решение. Элементарные звенья системы (разомкнутой):

- усилительное звено;

- интегрирующее звено;

- апериодическое звено с постоянной времени ;

- апериодическое звено с постоянной времени .

Сопрягающие частоты

;

.

Коэффициент передачи разомкнутой системы при равен .

Размещено на Allbest.ru