Розв’язування прямих та обернених задач теорії пружності для прямокутних областей з використанням варіаційного підходу

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ

МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Розв'язування прямих та обернених задач теорії пружності для прямокутних областей з використанням варіаційного підходу

Постолакі Леся Іванівна

Львів - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник:доктор фізико-математичних наук, професор

Чекурін Василь Феодосійович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України,

завідувач відділу математичних проблем механіки неоднорідних тіл.

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник, Сенченков Ігор Костянтинович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

головний науковий співробітник відділу термопружності;

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник,

Ясінський Анатолій Васильович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України,

провідний науковий співробітник відділу механіки деформівного твердого тіла.

Захист відбудеться " 8 " липня 2010 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

Автореферат розіслано " 7 " червня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико - математичних наук, професорО.В. Максимук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Розвиток математичних методів для неруйнівного визначення напружено-деформованого стану кусково-однорідних елементів конструкцій є важливою науково-технічною проблемою. Можна виокремити три підходи до розв'язання цієї проблеми -- експериментальний, теоретичний та теоретично-експериментальний. Перший передбачає застосування фізичних методів вимірювань, другий реалізують шляхом розв'язування прямих задач, сформульованих в рамках теоретичних моделей механіки деформівного твердого тіла, а третій базується на використанні математичних моделей сумісно із даними фізичних вимірювань. Перший підхід дозволяє визначати, як правило, лише деякі інтегральні чи поверхневі характеристики напружено-деформованого стану складних об'єктів. Для реалізації другого підходу необхідні дані про зовнішні навантаження, які часто є апріорі невідомі при розгляді реальних технічних об'єктів. Теоретично-експериментальні методи, натомість, можна застосовувати і до об'єктів з апріорі невідомими властивостями та зовнішніми навантаженнями. Залежно від наявних даних вимірювань, застосування цих підходів може приводити як до прямих, так і до обернених задач теорії пружності. Тому розроблення ефективних методів розв'язування таких задач є актуальним завданням механіки деформівного твердого тіла, що має важливе практичне значення. Потреба у таких методах виникає, зокрема, при вирішенні проблем технічної діагностики, у геофізичних дослідженнях, медицині та інших галузях науки і техніки.

Визначний доробок у розв'язанні проблем визначення напружено-деформованого стану неоднорідних твердих тіл належить Я.М.Григоренку, В.Т. Грінченку, Д.В.Гриліцькому, О.М.Гузю, Ю.М.Коляну, В.Д.Кубенку, Р.М.Кушніру, В.О.Ломакіну, А.І.Лур'є, В.Новацькому, В.В.Новожилову, Я.С.Підстригачу, С.П.Тимошенку, А.Ф. Улітку, М.О.Шульзі та іншим вченим.

Розвиткові методів розв'язування прямих двовимірних задач теорії пружності для областей з кутовими точками та їх дослідженню присвячені праці Б.Л. Абрамяна, В.В.Васільєва та С.А.Лур'є, В.М.Вігака та Ю.В.Токового, О.М. Гомілка, Г.А.Грінберга, В.Т. Грінченка, К.А.Китовера, М.Д.Коваленка, О.С.Космодаміанського, Б.М. Кояловича, В.В.Мелешка, М.Н. Павловича, П.Ф.Папковича, В.К.Прокопова, С.П. Тимошенка, А.Ф. Улітка, Л.А.Фільштинського, В.Ф.Чекуріна, B.D.Bogy, J. Dougall, J. Fadle, L.N.G. Filon, H. Hencky, W. Koepcke, R. Mathys, D. Munz та Y.Y. Yang, L.S.D. Morley, W. Schleech, U. Wegner та інших. Розвиток теорій та методів розв'язування обернених задач для прямокутних областей присвячено праці В.Ф.Чекуріна, Р.М. Кушніра та А.В.Ясінського.

Разом із тим, проведений аналіз літературних джерел засвідчує, що для підвищення ефективності неруйнівних систем визначення напружено-деформованого стану кусково-однорідних елементів необхідно створити нові методики розв'язування двовимірних задач теорії пружності й розробити уніфіковані швидкі алгоритми, які б дозволяли здійснювати чисельну реалізацію як прямих, так і обернених задач, розглядати скінченні й півбезмежні прямокутні області, а також кусково-однорідні тіла прямокутної форми, оперувати з вхідними даними стохастичної природи, отриманими шляхом фізичних вимірювань різними методами. Крім того, необхідно також сформулювати та дослідити специфічні прямі й обернені задачі теорії пружності, до яких приходять, реалізуючи неруйнівні методи, що використовують дані вимірювання компонент переміщень або напружень на доступній поверхні тіла, зокрема, -- задачі неруйнівного визначення напружено-деформованого стану плоского з'єднання.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження за темою дисертації виконувалось в рамках держбюджетних наукових тем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України „Побудова числових моделей та алгоритмів на базі методів граничних та скінчених елементів, скінчених різниць та Т-матриць для аналізу стаціонарних і нестаціонарних полів у неоднорідних тілах стосовно задач концентрації напружень та неруйнівного контролю” (№ д/р 0107U000359, 2007 - 2011 рр.) та „Математичні моделі, аналітико-числові та теоретико-експериментальні методи для дослідження термодинамічного стану, структури й властивостей твердих тіл із залишковими напруженнями з використанням взаємодії полів різної фізичної природи” (№ д/р 0106U000594, 2006 - 2009 рр.), „Розроблення неруйнівного методу оцінки ступеня наводнення металу елементів газотранспортної системи з використанням магніторелаксаційного ефекту” (№ д/р 0107U005522, 2007 - 2009 рр.).

Метою дисертації є розроблення аналітично-чисельної методики розв'язування двовимірних прямих і обернених задач теорії пружності для півбезмежної та скінченної прямокутних областей, а також для кусково-однорідної плоскої смуги з використанням варіаційного методу однорідних розв'язків; формулювання задач, які виникають за реалізації методів неруйнівного визначення напружено-деформованого стану плоского з'єднання різнорідних матеріалів на основі даних про поверхневі розподіли компонент переміщень та напружень; чисельне розв'язування сформульованих задач з використанням розробленої методики.

Досягнення цієї мети передбачає:

розвиток варіаційного методу однорідних розв'язків з використанням представлення функції напружень у вигляді розвинення в ряд за системами комплексних однорідних розв'язків;

реалізацію цієї методики для задач теорії пружності для півбезмежної смуги, скінченної прямокутної області та кусково-однорідної прямокутної смуги;

отримання аналітичних представлень для коефіцієнтів безмежної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, до якої приводить реалізація варіаційного методу однорідних розв'язків, та їх аналіз;

створення алгоритмів для реалізації розроблених методик і чисельне дослідження їх ефективності; обернений задача пружність варіаційний

формулювання та розв'язування прямих задач дослідження концентрації напружень у плоскому з'єднанні різнорідних матеріалів за нормального навантаження та однорідного нагрівання;

дослідження коефіцієнтів інтенсивності напружень в околі кутових точок плоского з'єднання на основі отриманих розв'язків задач;

формулювання та розв'язування обернених задач визначення залишкових напружень у з'єднанні різнорідних матеріалів за даними про поверхневі розподіли компонент напружень чи переміщень.

Об'єктом дослідження є двовимірний напружено-деформований стан однорідних та кусково-однорідних тіл.

Предметом дослідження є прямі й обернені задачі теорії пружності для півбезмежної смуги, скінченної прямокутної області, а також для кусково-однорідної плоскої смуги та методики їх розв'язування з використанням варіаційного методу однорідних розв'язків.

Методи досліджень. Для досягнення поставленої мети використані загальні співвідношення теорії пружності, варіаційний метод однорідних розв'язків, метод редукції для розв'язування безмежних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, методики числового експерименту.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

реалізовано варіаційний метод однорідних розв'язків для півбезмежної смуги, скінченної прямокутної області та кусково-однорідної плоскої смуги із використанням подання функції напружень у вигляді розвинення за системами комплексних бігармонічних функцій;

отримано асимптотичні представлення для коренів трансцендентних рівнянь, які виникають в реалізації варіаційного методу однорідних розв'язків;

отримано нові варіанти співвідношень узагальненої ортогональності для комплексних однорідних розв'язків;

отримано та досліджено аналітичні представлення для коефіцієнтів безмежних систем алгебраїчних рівнянь, до яких приводить реалізація варіаційного методу однорідних розв'язків для півбезмежної смуги, скінченної прямокутної області та кусково-однорідної плоскої смуги;

чисельно досліджено збіжність розв'язків задач за застосування методу редукції;

сформульовано та чисельно досліджено задачі визначення концентрації напружень в ідеальному контакті різнорідних матеріалів за нормального розтягу та однорідного нагрівання;

з використанням варіаційного методу однорідних розв'язків досліджено коефіцієнт інтенсивності напружень в околах кутових точок плоского з'єднання різнорідних матеріалів;

сформульовано та розв'язано обернену задачу визначення розподілу по товщині гартувальних напружень в плоскому листі за даними вимірювання розподілу різниці головних напружень на його поверхні;

сформульовано та розв'язано обернену задачу визначення змін залишкових напружень у плоскому з'єднанні за циклічного навантаження на основі даних щодо компонент переміщень на поверхні об'єкта.

Достовірність отриманих результатів і висновків забезпечується строгістю та коректністю математичних викладок і постановок крайових задач теорії пружності, коректним використанням аналітичних та числових методів їх розв'язування, чисельним дослідженням збіжності розв'язків прямих задач із застосуванням методу редукції, застосуванням методу числового експерименту для оцінки збіжності і точності розв'язування обернених задач, узгодженістю поведінки отриманих числових розв'язків в околі кутових точок з відомими асимптотичними розв'язками відповідних задач теорії пружності, співпадінням отриманих часткових результатів із відомими в літературі розв'язками.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблені методики розв'язування прямих і обернених задач теорії пружності можна використовувати як теоретичну основу для розроблення неруйнівних методів визначення напружено-деформованого стану кусково-однорідних елементів за даними вимірювання компонент переміщень або напружень на поверхні об'єкта. Зокрема, їх можна застосувати для створення засобів неруйнівного визначення залишкових напружень в феромагнітних матеріалах з використанням п'єзомагнітного методу, а також для моніторингу напружено-деформованого стану плоского з'єднання за циклічного навантаження на основі даних вимірювання переміщень на поверхні об'єкта оптичними методами.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 10 наукових праць, серед яких: 4 статті [1-4] у наукових журналах, які входять до переліку фахових видань ВАК України, 6 тез доповідей на міжнародних та всеукраїнських наукових конференціях [6-10].

Основні наукові результати, викладені у дисертації, автором отримані самостійно. У роботі [1] дисертанткою проведено числовий аналіз систем трансцендентних рівнянь для симетричного і антисиметричного випадків, які виникають при розв'язуванні задачі для прямокутної області з однорідними умовами на бічних сторонах та отримано асимптотичні подання для коренів цих систем; отримано нові варіанти співвідношень узагальненої ортогональності для бігармонічних функцій П.Ф.Папковича. У працях [2-4] науковому керівнику В.Ф.Чекуріну належать постановки й основні ідеї методик розв'язування прямих та обернених задач теорії пружності з використанням варіаційного методу однорідних розв'язків, а дисертантці - аналітичні представлення для коефіцієнтів нескінченої системи рівнянь, отримані аналітичні та числові результати проаналізовані спільно. Дисертантка брала участь у формулюванні задач, обговоренні результатів, провела всі аналітичні викладки при розв'язуванні задач теорії пружності з використанням варіаційного підходу та чисельно дослідила збіжність методу редукції розв'язування нескінченої системи рівнянь.

Апробація результатів. Окремі результати досліджень дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”(Львів, 2006), Міжнародному симпозіумі “Питання оптимізації обчислень” (Крим, 2007), II Міжнародній конференції “Сучасні проблеми механіки та математики” (Львів, 2008), XV Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2008), VII відкритій науковій конференції професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук (Львів, 2008), конференції молодих вчених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (Львів, 2009).

У повному обсязі робота доповідалась на науковому семінарі відділу математичних проблем механіки неоднорідних тіл, загальноінститутському науковому семінарі “Механіка взаємозв'язаних полів” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України та науковому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. Івана Франка.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, додатків та списку літератури із 117 найменувань. Повний обсяг дисертації становить 156 с., з яких 137 с. основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовані мета роботи й основні наукові результати, що виносяться на захист; наведена коротка анотація роботи та її зв'язок з науковими програмами, планами, темами; охарактеризовані наукова новизна, вірогідність та практична значимість отриманих результатів, подано відомості про публікації за темою дисертації та апробацію результатів досліджень; викладено основний зміст роботи.

У першому розділі наведено огляд наукових праць близьких за напрямком до теми дисертації. Розглянуто задачі двовимірної теорії пружності для прямокутних областей та основні підходи, які застосовують для їх розв'язування.

У другому розділі реалізовано варіаційний метод однорідних розв'язків для півбезмежної смуги, скінченної прямокутної області та кусково-однорідної смуги з використанням представлення дійсної функції напружень через повні системи комплексних однорідних розв'язків.

П.Ф. Папкович запропонував ітераційний алгоритм розв'язування задачі I, використовуючи представлення дійсної функції напружень у вигляді розвинення за функціями . В.К Прокопов використав комплексну функцію напружень і отримав аналітичні представлення для комплексних коефіцієнтів розвинення розв'язку задачі за функціями (1) для задач III, IV.

і запропонував для нього варіаційний метод однорідних розв'язків, за яким підпорядкування розв'язку заданим неоднорідним умовам (11) - (14) здійснюється не поточково, а за нормою . Це зводить задачі I - IV до знаходження коефіцієнтів розвинення з умов мінімуму відповідного квадратичного функціоналу, який забезпечує задоволення відповідної пари умов (11) -- (14) за квадратичною нормою. Це істотно знизило вимоги до гладкості заданих функцій,. Запропонований підхід приводить до безмежної СЛАР стосовно коефіцієнтів,. Він дозволяє здійснювати реалізацію прямих задач I -- IV, а також деяких обернених задач за єдиним алгоритмом. Проте представлення розв'язку у вигляді (15) приводить до доволі громіздких виразів для коефіцієнтів СЛАР, що не дозволило отримати їх аналітичні представлення.

СЛАР розв'язували методом редукції. Для задачі здійснили порівняння збіжності розв'язку отриманого варіаційним методом однорідних розв'язків та методом перехресної суперпозиції з використанням покращеної редукції. Розглядали відому задачу (С.П. Тимошенко) про розтяг квадратної області нормальними параболічно розподіленими на відрізку силами, прикладеними до двох протилежних сторін. Отримані для різних розв'язки порівнювали із заданим навантаженням у шести точках колокації. На основі проведеного числового експерименту можна стверджувати, що швидкість збіжності цих двох методів практично однакова. Так, отриманий числовий розв'язок збігається із заданим зовнішнім навантаженням у третьому знакові для варіаційного методу однорідних розв'язків при, а для методу покращеної редукції при.

Використовуючи співвідношення узагальненої ортогональності (8) - (10), для коефіцієнтів отримано аналітичні представлення. Збіжність методу редукції чисельно досліджували на задачі визначення напружень, зумовлених стрибком дотичних переміщень. Середньоквадратичну похибку обчислень визначали за значення функціоналу. Встановлено, що зі зростанням кількості членів у розвиненні похибка обчислення спадає, що свідчить про збіжність методу редукції. Так при середньоквадратична похибка обчислень складає.

У третьому розділі реалізовано варіаційний метод однорідних розв'язків розв'язування двовимірних обернених задач теорії пружності для півбезмежної смуги, скінченної прямокутної області та кусково-однорідної смуги з використанням представлення дійсної функції напружень через повні системи комплексних бігармонічних функцій.

До обернених задач теорії пружності приходять, коли зовнішні сили чи переміщення, що спричиняють напружено-деформований стан, є апріорі невідомі або задані лише частково, внаслідок чого коректна постановка прямих задач є неможлива. Натомість задані деякі параметри шуканих полів переміщень, напружень чи деформації. Здебільш ці дані про шуканий напружено-деформований стан отримують за допомогою фізичних вимірювань.

У роботі розглянуто обернені задачі, в яких зовнішні поверхневі навантаження чи переміщення відомі лише частково. Як додаткову апостеріорну інформацію розглядали дані про компоненти переміщень чи напружень на бічних ненавантажених сторонах. Цю інформацію можна отримати, використовуючи оптичні чи п'єзомагнітний методи вимірювань.

Для півсмуги, на бічних сторонах якої діють умови (3), можливі п'ять різних формулювань обернених задач, в яких: умови навантаження на торці є невідомі або задана лише одна нормальна чи тангенціальна компонента напружень чи переміщень. В роботі розглянуто дві з них.

У першій оберненій задачі розглянуто випадок, коли умови на торці є невідомі. Як додаткові дані використовували залежності від координати нормальної та дотичної компоненти вектора переміщень на бічних сторонах

Для дослідження збіжності методу редукції використовували числовий експеримент. Задалися функціями, і розв'язували пряму задачу II, відтак за формулами обчислили функції, і за отриманими даними розв'язували відповідну обернену задачу. Точність розв'язку оцінювали за значенням функціоналів та за “істинною похибкою”, визначеною як середньоквадратичне відхилення розв'язку оберненої задачі на торці від крайових умов, які використано у прямій задачі. Встановлено, що зі зростанням кількості членів у розвиненні похибка обчислень за значенням функціоналу чи спадає значно швидше, ніж істинна похибка. Так при похибка обчислень за значенням складає, а істина похибка -.

Для скінченної прямокутної області за умов (3) можливі дев'ятнадцять різних формулювань обернених задач, а саме: невідомі обидві умови навантаження на обох сторонах, задані дві умови на одній зі сторін, задано по одній умові на кожній зі сторін і задана одна умова на одній зі сторін. В роботі розглянуто випадки, коли на одній торцевій поверхні задано нормальні та тангенціальні напруження а також коли задано по одній умові на торцевих поверхнях -- нормальні переміщення на одній і тангенціальні напруження на іншій:

У першій оберненій задачі розглядали умови (42) та залежності (35), у другій - умови (43) та (35), а для третьої задачі - умови (43) та залежності (37). Для знаходження коефіцієнтів розвинення розв'язку за функціями П.Ф. Папковича використовували квадратичні функціонали

Систему розв'язували методом редукції і досліджували залежність точності отриманого числового розв'язку від утримуваних в сумі кількості доданків. Так, при похибка обчислень за значенням функціоналу складає 0.001, а істина похибка - 0.06.

Для безмежної кусково-однорідної смуги з умовами (3) на бічних сторонах можливі одинадцять різних формулювань обернених задач, в яких: умови контакту є невідомі, задані одна або дві умови на межі поділу двох матеріалів. В роботі розглянуто дві обернені задачі у випадку, коли на межі поділу двох матеріалів задані нормальна і тангенціальна компонента напружень

У обох випадках як додаткові дані використовували функції та. Для задоволення коефіцієнтів розвинення за квадратичною нормою, використовували функціонали

Для отримання вхідних даних використовували числовий експеримент. Для цього розв'язували пряму задачу за заданими, ,. Відтак, за формулами та знаходили функції, та і за отриманими даними розв'язували відповідну обернену задачу. Систему розв'язували методом редукції. Збіжність розв'язку оцінювали за значенням функціоналів та. Для оцінки істинної похибки обчислювали значення функціонала за знайденим розв'язком оберненої задачі. Похибка обчислень за значенням функціоналу при складає 0.012, а істина похибка - 0.004.

У четвертому розділі сформульовано та чисельно досліджено прямі й обернені задачі неруйнівного визначення двовимірного напружено-деформованого стану тіла, складеного із двох різнорідних частин, з'єднаних плоскою поверхнею. Запропонована модель залишкових напружень у такому кусково-однорідному тілі, за якою з'єднання моделювали тонким неоднорідним прошарком, у якому діють несумісні деформації. Вважали, що термопружні властивості прошарку змінюються лише у напрямку товщинної координати і, до того ж, у нормальних перерізах реалізується двовимірний стан плоскої деформації. Беручи до уваги малу товщину прошарку та використовуючи відомий підхід (Я.С. Підстригач), його вплив на напружено-деформований стан враховано у моделі зосередженими на поверхні з'єднання стрибками нормальної та тангенціальної компонент переміщень і напружень. Встановлено співвідношення, які виражають функції стрибків через параметри напружено-деформованого стану прошарку та його пружні властивості.

Формулювання прямих задач в рамках моделі можливе за умови, що відомі залежності термопружних властивостей прошарку від товщинної координати та розподіл несумісних деформацій. Розглянуто дві задачі визначення концентрації напружень в околі плоского з'єднання за розтягу нормальними силами та однорідного нагріву для ідеального контакту. Ці задачі зведено до прямої задачі визначення залишкових напружень у кусково-однорідній прямокутній області з умовами виду. Чисельно досліджено випадки коли: а) пружні модулі матеріалів є істотно відмінні () і б) значення пружних характеристик є одного порядку. У першому випадку розглянуто задачі для тіла, розмір якого в напрямку, нормальному до поверхні поділу матеріалів (довжина), є сумірний з його шириною. В результаті прийшли до задачі для прямокутної області з умовами виду , в яких, (розтяг) та (нагрівання).

У другому випадку прийшли до прямої задачі визначення залишкових напружень у безмежній кусково-однорідній смузі, в якій, у випадку нормального розтягу, а у випадку однорідного нагрівання, в обох випадках. Тут, - модулі Юнга та коефіцієнти Пуассона складових, ,- їх коефіцієнти теплового розширення.

Із чисельних розв'язків цих задач випливає, що характер зміни напружень в околах кутових точок якісно узгоджується з асимптотичною поведінкою розв'язків відповідних задач теорії пружності, отриманих аналітично

З цією метою отриманий чисельний розв'язок апроксимували в околі кутової точки залежністю, використовуючи метод найменших квадратів. У роботі наведені результати дослідження за цією методикою коефіцієнта інтенсивності напружень та показника степені в залежності від пружних властивостей та геометричних розмірів області.

До розв'язування обернених задач приходимо, коли термопружні властивості проміжного прошарку і розподіл несумісних деформацій у ньому є апріорі невідомі. У роботі розглянуто дві таких задачі. Перша задача виникає за неруйнівного визначення товщинного розподілу гартувальних напружень у феромагнітних листових матеріалах з використанням п'єзомагнітного методу. Цю задачу зведено до оберненої задачі визначення напружень у півсмузі з умовами виду та додатковими даними у вигляді

Друга задача призначена для моніторингу напружено-деформованого стану плоского з'єднання за даними вимірювання переміщень на поверхні об'єкта оптичними методами. Цю задачу звели до задачі визначення залишкових напружень у кусково-однорідній смузі з невідомими функціями стрибків і додатковими умовами. За числовим розв'язком цієї оберненої задачі визначали функції стрибків переміщень та напружень, що діють на поверхні з'єднання. Таким чином, розв'язуючи цю задачу для даних, отриманих у різні моменти часу впродовж експлуатації об'єкта, можна відстежувати незворотні зміни напружено-деформованого стану, що відбуваються в проміжковому шарі.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вирішене наукове завдання - розроблено аналітично-чисельну методику розв'язування двовимірних прямих і обернених задач теорії пружності для прямокутних областей та кусково-однорідної плоскої смуги з використанням варіаційного методу однорідних розв'язків; сформульовано та чисельно досліджено задачі, які виникають при реалізації методів неруйнівного визначення напружено-деформованого стану плоского з'єднання різнорідних матеріалів на основі даних щодо поверхневих розподілів компонент переміщень та напружень.

Основні наукові результати:

реалізовано варіаційний метод однорідних розв'язків для представлення функції напружень у вигляді розвинення в ряд за системами комплексних однорідних розв'язків;

в рамках цього методу розроблено методики для аналітично-чисельного розв'язування задач теорії пружності для півбезмежної смуги, скінченної прямокутної області та кусково-однорідної прямокутної смуги;

отримано аналітичні представлення для коефіцієнтів безмежної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, до якої приводить реалізація варіаційного методу однорідних розв'язків;

чисельно досліджено збіжність методу редукції розв'язування безмежних систем;

сформульовано та розв'язано задачі дослідження концентрації напружень в ідеальному контакті різнорідних матеріалів за нормального навантаження та однорідного нагрівання;

з використанням отриманих чисельних розв'язків досліджено коефіцієнти інтенсивності напружень в кутових точках плоского з'єднання різнорідних матеріалів;

сформульовано та розв'язано задачу неруйнівного визначення за товщиною розподілу гартувальних напружень в плоскому листі за даними вимірювання розподілу різниці головних напружень на його поверхні;

сформульовано та розв'язано задачу визначення необоротних змін напружено-деформованого стану плоского з'єднання в процесі його експлуатації за даними вимірювання переміщень на поверхні об'єкта.

Висновки:

розроблені методики дозволяють здійснювати чисельну реалізацію, як прямих, так і обернених задач за єдиним алгоритмом;

застосування варіаційного методу однорідних розв'язків дозволяє істотно знизити вимоги до гладкості функцій вхідних даних, які використовуються в прямих і обернених задачах і, зокрема, використовувати стохастичні дані, отримані шляхом фізичних вимірювань;

отримані аналітичні представлення для коефіцієнтів СЛАР, до яких приводять запропоновані методики, дозволяють знизити затрати машинного часу для числового розв'язування задач приблизно на півтора порядки, що важливо для створення програмно-апаратних систем реального часу, призначених для неруйнівного визначення напружено-деформованого стану об'єктів;

проведені чисельні дослідження збіжності методу редукції та порівняння з іншими відомим методиками (зокрема з методом перехресної суперпозиції) підтвердили високу обчислювальну ефективність запропонованих методик;

характер зміни напружень в околах кутових точок, розрахованих на основі чисельних розв'язків, отриманих за розробленими методиками, якісно узгоджується з асимптотичною поведінкою розв'язків відповідних задач теорії пружності. Це дозволило кількісно оцінити коефіцієнти інтенсивності напружень в кутових точках плоского з'єднання;

розроблені методики розв'язування прямих і обернених задач можна застосувати для створення засобів неруйнівного визначення залишкових напружень в феромагнітних матеріалах з використанням п'єзомагнітного методу, а також для моніторингу напружено-деформованого стану плоского з'єднання в процесі його експлуатації на основі даних вимірювання переміщень на доступній поверхні об'єкта оптичними методами.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ ВІДОБРАЖЕНО У ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Постолакі Л. І. Властивості однієї системи однорідних розв'язків бігармонічного рівняння/ Л. І. Постолакі, В. Ф. Чекурін // Прикладні проблеми механіки і математики. - 2007. - Вип. 5. - С. 156-162.

2. Чекурін В.Ф. Варіаційний метод розв'язування бігармонічних задач для прямокутної області/ В. Ф. Чекурін, Л. І. Постолакі // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2008. - 51, №1. - С. 88 - 98.

3. Чекурін В.Ф. Варіаційний метод розв'язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику/ В. Ф. Чекурін, Л. І. Постолакі // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. - 2009. - Вип. 9. - С. 145 - 159.

4. Чекурін В.Ф. Теоретично-експериментальне визначення залишкових напружень у плоских з'єднаннях/ В. Ф. Чекурін, Л. І. Постолакі // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2009. - 45, № 2. - С. 153 - 162.

5. Чекурін В.Ф. Залишкові напруження в півбезмежній смузі, обумовлені несумісними деформаціями/ В. Ф. Чекурін, Л. І. Постолакі // VII Міжнародна наукова конференція “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” у Львові, 20-23 вересня 2006 р.: тези доп. - Львів, 2006. - Т.1. - С. 255 - 257.

6. Чекурін В. Ф. Оцінка ефективності методів числової реалізації прямих та обернених задач для бігармонічного рівняння у прямокутній області/ В. Ф. Чекурін, Т. Б. Брич, Л. І. Постолакі // Міжнародний симпозіум „Питання оптимізації обчилень” присвячений 50-річчю створення Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України в смт.Кацивелі, 23-28 вересня 2007р.: тези доп. - Київ, 2007. - С. 300.

7. Постолакі Л. І. Властивості системи функцій П.Ф. Папковича та їх застосування до розв'язування бігармонічних задач у прямокутнику/ Л. І. Постолакі // VII відкрита наукова конференція професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук у Львові, 13-14 листопада 2008 р.: тези доп. - Львів, 2008. - С. 25.

8. Постолакі Л. І. Умови узагальненої ортогональності системи однорідних розв'язків бігармонічного рівняння/ Л. І. Постолакі //II Міжнародна наукова конференція “Сучасні проблеми механіки та математики” у Львові, 25-29 травня 2009 р. : тези доп. - Львів, 2008 . - Т.1. - С. 189 - 190.

9. Постолакі Л.І. Системи однорідних розв'язків та варіаційний метод розв'язування бігармонічних задач для прямокутної області/ В. Ф. Чекурін, Л. І. Постолакі // XV Всеукраїнська наукова конференція “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” у Львові, 23-25 вересня 2008 р.: тези доп. - Львів, 2008. - С. 92 - 93.

10. Постолакі Л.І. Варіаційний метод розв'язування бігармонічної задачі для прямокутної області/ Л. І. Постолакі // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С.Підстригача у Львові, 25 - 27 травня 2009 р.: тези доп. - Львів, 2009. - С. 23 - 25.

АНОТАЦІЯ

Постолакі Л.І. Розв'язування прямих та обернених задач теорії пружності для прямокутних областей з використанням варіаційного підходу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 _ механіка деформівного твердого тіла. _ Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2010.

У дисертаційній роботі розроблено аналітично-чисельну методику розв'язування двовимірних прямих і обернених задач теорії пружності для прямокутних областей та кусково-однорідної плоскої смуги з використанням варіаційного методу однорідних розв'язків. Запропонована модель залишкових напружень у кусково-однорідному тілі з тонким з'єднанням, яке моделювали тонким неоднорідним прошарком, у якому діють несумісні деформації. В рамках моделі сформульовано та чисельно досліджено задачі, які виникають при реалізації методів неруйнівного визначення напружено-деформованого стану з'єднання різнорідних матеріалів на основі даних щодо поверхневих розподілів компонент переміщень та напружень. Розроблені методики можна застосувати для створення засобів неруйнівного визначення залишкових напружень в феромагнітних матеріалах з використанням п'єзомагнітного методу, а також для моніторингу напружено-деформованого стану з'єднання в процесі його експлуатації на основі даних вимірювання переміщень на поверхні об'єкта оптичними методами.

Ключові слова: напружено-деформований стан, прямі та обернені задачі, варіаційний метод однорідних розв'язків, залишкові напруження, неруйнівні методи.

АННОТАЦИЯ

Постолаки Л.И. Решение прямых и обратных задач теории упругости для прямоугольных областей с использованием вариационного подхода - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2010.

В диссертационной работе разработано аналитически - численную методику решения двумерных прямых и обратных задач теории упругости для прямоугольных областей и кусочно-однородной плоской полосы с использованием вариационного метода однородных решений. В первом разделе приведено обзор научных трудов близких к теме диссертации. Рассмотрено задачи двумерной теории упругости для прямоугольных областей и основные подходы, применяемые для их решения: методы полиномов, двойных тригонометрических рядов, перекрестной суперпозиции, прямого интегрирования уравнений равновесия, однородных решений, вариационный метод однородных решений, а также методы обратных задач. Во втором и третьем разделах разработано вариационный метод решения прямых и обратных задач теории упругости для полубесконечной полосы, конечной прямоугольной области и кусочно-однородной полосы. В этих задачах действительная функция напряжений представляется в виде разложения по полным системам комплексных бигармонических функций, тождественно удовлетворяющих заданные однородные условия. Такое представление привело к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно одной (полубесконечная полоса) или двух (конечная прямоугольная область или кусочно-однородная полоса) последовательностей комплексных переменных и позволило получить достаточно простые аналитические выражения для комплексных коэффициентов. В четвертом разделе сформулировано и численно исследовано прямые и обратные задачи неразрушающего определения двумерного напряженно - деформированного состояния тела, составленного из двух разнородных частей, соединенных по плоской поверхности. Предложено модель остаточных напряжений в кусочно-однородном теле с плоским соединением. В рамках модели сформулировано и численно исследовано задачи, возникающие при реализации методов неразрушающего определения напряженно-деформированного состояния плоского соединения разнородных материалов на основании данных о поверхностном распределении компонент перемещений и напряжений. Разработанные методики можно применить для создания средств неразрушающего определения остаточных напряжений в ферромагнитных материалах с использованием пьезомагнитного метода, а также для мониторинга напряженно-деформированного состояния плоского соединения в процессе его эксплуатации на основании данных измерения перемещений на доступной поверхности объекта оптическими методами.

Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, прямые и обратные задачи, вариационный метод однородных решений, остаточные напряжения, неразрушающие методы.

ABSTRACT

Postolaki L.I. Solving direct and inverse elasticity problems for rectangular areas with the use of the variational approach. - Manuscript.

The thesis presented for Degree of the Candidate in Physics and Mathematics by speciality 01.02.04 _ Mechanics of Deformable Solids. _ Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv, 2010.

The analytically-numeral methods for solving 2-D direct and inverse elasticity problems for rectangular areas and piece-wise homogeneous strip with the use of the variational method of homogeneous solutions have been developed. The model of residual stresses in piece-wise homogeneous body with planar joint has been built. The joint has been modeled by a thin inhomogeneous layer with incompatible strain. Mathematical problems arising in methods for non-destructive determination of joint stress-strain state on the base of data about displacement and/or stress components distributions on a part of body's surface accessible for measurement have been formulated in the frame of the model and numerically studied. Developed mathematical tools can be applied to create new methods and facilities for non-destructive determination of residual stresses in ferromagnetic materials with the use of piezomagnetic effect. They can be applied also for monitoring of stress-strain state of heterogeneous materials joints in operational conditions using the data of measuring of elastic displacements on the body surface by optical methods.

Key words: stress-strain state, direct and inverse problems, variational method of homogenous solutions, residual stresses, nondestructive methods.

Размещено на Allbest.ru

...