Чисельно-аналітичне моделювання руху газу в трубопроводах та пористих середовищах

7

Размещено на http://www.allbest.ru/

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

“ПРИКАРПАТСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ВАСИЛЯ СТЕФАНИКА”

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РУХУ ГАЗУ В ТРУБОПРОВОДАХ ТА ПОРИСТИХ СЕРЕДОВИЩАХ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

ЛОПУХ Назарій Богданович

Івано-Франківськ - 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Центрі математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, ст.н.с. П'янило Ярослав Данилович, Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів,

завідувач відділу математичних методів обчислювального експерименту.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Костробій Петро Петрович, Національний університет "Львівська політехніка", завідувач кафедри прикладної математики;

доктор технічних наук, професор Лимарченко Олег Степанович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри механіки суцільних середовищ

Захист відбудеться "27" вересня 2011 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 20.051.09 у Прикарпатському національному університеті імені Василя Стефаника за адресою: 76018, м. Івано-Франківськ, вул. Шевченка, 57, ауд. 310.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника за адресою: 76018, м. Івано-Франківськ, вул. Шевченка, 57.

Автореферат розісланий "25" серпня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради С. В. Шарин

АНОТАЦІЯ

Лопух Н.Б. “Чисельно-аналітичне моделювання руху газу в трубопроводах та пористих середовищах”. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника, Івано-Франківськ, 2011.

В роботі розроблено чисельно-аналітичні моделі руху газу в трубо-проводах та масопереносу в природних пористих середовищах стосовно практичних проблем потокорозподілу та оптимізації процесів згідно до критеріїв споживання газу. Побудовано адаптивні алгоритми та гібридні аналітико-числові ітераційні методи для розв'язування типових нестаціонарних задач фільтрації газу у середовищах складної структури, фільтрації газу в пористих природних об'єктах, газової динаміки стосовно транспортування газу в трубопроводах. В основі методу лежить метод скінченних елементів.

Ефективність розроблених алгоритмів перевірено в ході обчислювальних експериментів на основі замірних даних. Приведено оцінку точності розроблених числових схем та досліджено збіжність побудованих ітераційних процедур. Запропоновані чисельно-аналітичні моделі згаданих процесів та схеми знаходження розв'язків дозволяють контролювати точність обчислень, виключати наростання машинної похибки та використовувати отримані результати для керування процесів масопереносу.

Ключові слова: нестаціонарні задачі, метод скінченних елементів, підземне сховище газу, газопровід, моделювання фізичних процесів, лінеаризація, числові методи.

АННОТАЦИЯ

Лопух Н. Б. "Численно-аналитическое моделирование движения газа в трубопроводах и пористых средах". - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Прикарпатский национальный университет имени Василия Стефаника, Ивано-Франковск, 2011.

В работе разработана аналитико-численные модели движения газа в трубопроводах и массопереноса в природных пористых средах относительно практических проблем потокораспределения и оптимизации процессов в соответствии с критериями потребления газа. Построены адаптивные алгоритмы и гибридные аналитико-числовые итерационные методы для решения типовых нестационарных задач фильтрации газа в средах сложной структуры, фильтрации газа в пористых природных объектах, газовой динамики относительно транспортировки газа в трубопроводах. В основе метода лежит метод конечных элементов. Приведена оценка точности разработанных числовых схем и исследованы сходимость построенных итерационных процедур. Предложенные аналитико-численные модели упомянутых процессов и схемы нахождения решений позволяют контролировать точность вычислений, исключать нарастания машинной погрешности и использовать полученные результаты для управления процессов массопереноса.

Полученные в работе результаты являются научно обоснованными, поскольку они получены на основе строгих постановок математических задач, применение апробированных математических методов и численных алгоритмов. Они апробированы в вычислительных экспериментах на модельных задачах, охватывающих рассматриваемые классы функций. Кроме того, получены решения сравнивались как с известными теоретическими результатами, так и с литературными и экспериментальными данными. Достигнуто совпадение расчетных и экспериментальных данных в пределах заданной точности.

Положительные результаты использования разработанного в диссертационной работе математического обеспечения также подтверждают их эффективность и достоверность.

Ключевые слова: нестационарные задачи, метод конечных элементов, подземное хранилище газа, газопровод, моделирование физических процессов, линеаризация, числовые методы.

ABSTRACT

Lopuh N.B. "Numerical and analytical modeling of gas moving in pipelines and porous media. - Manuscript.

The thesis is presented for the Candidate of Technical Science degree by specialty 01.05.02 - mathematical modeling and computational methods. - Vasyl Stefanyk Precarpathian National University, Ivano-Frankivsk, 2011.

In the work the analytical-numerical model of gas pipelines and mass transfer in natural porous media on the practical problems of feeding and optimization processes according to the criteria of gas consumption are made. The adaptive algorithms and hybrid analytical-numerical iterative methods for solving typical problems of unsteady gas filtration media in a complex structure are built, gas filtration in porous natural objects on the gas dynamics in gas transmission pipelines. The method is based on finite element method.

Adduced accuracy of numerical schemes is designed and built. The convergence of iterative procedures. The proposed analytical-numerical model of these processes and procedures to find solutions to monitor the accuracy of calculations exclude the growth of machine error and use the results to control the mass transfer processes. Obtained in the results are scientifically valid, because they are derived from rigorous mathematical permutations of tasks, applying proven mathematical methods and numerical algorithms. They tested in computational experiments on model problems, covering the examined class of functions. In addition, the obtained solutions as compared with known theoretical results and with literature and experimental data.

Positive results with dissertation work developed in mathematical software are also proving their efficiency and reliability.

Keywords: variable problem, finite element method, underground gas storage, gas pipeline, modeling of physical processes, linearization, numerical methods.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Математичні моделі теорії масопереносу, які використовуються для опису фізичних процесів у трубопроводах і пористих середовищах сприяють ефективному вирішенню ряду важливих прикладних задач, що пов'язані з рухом газу в газотранспортних системах (ГТС), його накопиченням і відбором з підземних сховищ газу (ПСГ).

Газодинамічні процеси, які проходять в таких системах, розгортаються у значних просторових і часових вимірах. Підхід до розрахунку їх параметрів полягає в побудові математичних моделей, які відносяться до класу нелінійних систем із розподіленими чи зосередженими параметрами, що залежать від багатьох чинників.

У процесі моделювання газотранспортних систем та підземних сховищ газу необхідно знати параметри, які характеризують стан об'єкту: в першу чергу це коефіцієнт гідравлічного опору, коефіцієнт теплообміну труби із зовнішнім середовищем, коефіцієнт проникності, тощо. Використання їх нормативних значень допустиме тільки при оціночних розрахунках, а оперативне ж планування режимів роботи повинно проводитися із врахуванням реальних значень параметрів. На практиці ці параметри значно відрізняються від нормативних.

В цей час для розрахунків гідравлічних параметрів газу в трубопроводі користуються відомими формулами. Не завжди користувач має змогу оцінити достовірність розрахованих параметрів, бо в рамках моделей, які допомогли отримати інженерні формули, не вдається розмежувати чинники впливу на характер руху газу. До таких чинників можна зачислити місцеві опори (зварні стики, повороти, відгалуження тощо), інші чинники - нехтування певними складовими чи параметрами математичної моделі, зокрема силою Коріоліса, силою тяжіння тощо, усереднення параметрів газу (температури, коефіцієнта стисливості, густини).

Розраховані параметри інколи важко оцінити тому, що заміри мають невисоку точність, протікання газу нестаціонарне і, як звичайно, немає переліку наявних місцевих опорів. У таких випадках намагаються розраховувати еквівалентовані гідравлічні опори, які допустимі для використання у певному діапазоні зміни параметрів течії газу. За межами цієї області визначений раніше параметр може вносити значні похибки в обчислення.

У диспетчерських розрахунках параметрів течії газу використовують, головно, квадратичну залежність тиску від об'ємного або масового перенесення газу. Для цього застосовують сталі усереднені значення таких параметрів, як температура, коефіцієнт стисливості та ін. Однак ці параметри змінюються вздовж труби (гідравлічний опір, коефіцієнт стисливості, інертність потоку тощо) і можуть значно впливати на розподіл тиску газу вздовж трубопроводу. Аналіз цього впливу в літературі висвітлений недостатньо повно. З огляду на це виникла необхідність як в отриманні формул для обчислення не тільки вихідного тиску, а й розподілу тиску за довжиною труби, які враховують відбори вздовж трубопроводу, інерційність потоку газу та залежність гідродинамічних параметрів від тиску, так і в аналізі впливу кожного з параметрів. Оскільки всі перераховані чинники роблять певний внесок у похибку обчислень відповідних параметрів, то важливим є питання розробки обґрунтованих формул для оперативних розрахунків.

Таким чином у даний час актуальною є загальна проблема розробки ефективних, простих в реалізації й достатньо універсальних аналітико-числових моделей фізичних процесів та адаптивних методів розв'язування задач математичної фізики і обробки експериментальних даних, які орієнтовані на використання апріорної інформації, зокрема моделювання фізичних процесів, що проходять в ГТС.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації проводилися відповідно до планових науково-дослідних робіт Центру математичного моделювання інституту прикладних проблем механіки і математики НАН України ім. Я.С. Підстригача, в яких автор виступав як виконавець.

Матеріали дослідження використовувались у розробці науково-дослідних тем: “Нестаціонарні задачі фільтрації газу в неоднорідних пористих середовищах в газовому і водонапірному режимах із зосередженими джерелами і стоками” (№ ДР 0107U000356), “Розроблення математичних моделей, методів та алгоритмів для прогнозування і оптимального керування режимами експлуатації підземних сховищ газу. Побудова методів та алгоритмів для прогнозування і оптимального керування процесами відбору-закачування газу в підземні сховища” (№ ДР 0107U005812), “Розроблення підсистеми оператив-ного планування динамічних режимів роботи магістральних газопроводів для автоматизованого диспетчерського керування потоками газу в газотранспортній системі України” (№ ДР 0110U004141), “Фізико-математичне моделювання та дослідження механічних і фільтраційно-дифузійних процесів у дрібно-дисперсних середовищах з врахуванням хімічних перетворень і електро-магнітних процесів” (№ ДР 0104U000202).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка та аналіз чисельно-аналітичних моделей руху газу в трубопроводах та в природних пористих середовищах, побудова методів та алгоритмів розрахунку гідродинамічних параметрів руху газу для створення розрахункових схем газотранспортних мереж.

Для досягнення цієї мети у дисертації були поставлені та вирішені такі основні завдання:

- дослідити математичні моделі масопереносу в газопроводах та пористих середовищах стосовно їх адаптивності та меж застосування;

- сформулювати задачі математичної фізики стосовно знаходження розподілу тиску, температури та масової швидкості газу в трубопроводах та вивчити вплив гідродинамічних параметрів газу та геометричних параметрів трубопроводів на цей процес;

- розробити алгоритми і побудувати ітераційні схеми розв'язування нелінійних задач масопереносу та дифузії газу в пористих середовищах із зосередженими джерелами;

- оцінити точність розроблених числових схем та дослідити збіжність побудованих ітераційних процедур;

- дослідити ефективність побудованих алгоритмів шляхом апробації результатів у практичних розрахунках на реальних даних;

- зробити програмне забезпечення для комп'ютерної реалізації числових моделей.

Об'єктом дослідження є математичне моделювання та числовий аналіз процесів поширення газу в трубопроводах та фільтрації газу в пористих середовищах.

Предметом дослідження є математичні моделі поширення газу в трубопроводах, фільтрації газу в пористих середовищах складної структури та розвиток підходів до побудови аналітико-числових методів розв'язування нелінійних задач математичної фізики в умовах значної невизначеності.

Методи дослідження. Рух газу в складних системах трубопровідного транспорту описується, як правило, нелінійними системами диференціальних рівнянь та нелінійними емпіричними співвідношеннями. Загальна методика досліджень полягає у застосуванні варіаційних та ітераційних методів математичної фізики в побудові та розв'язуванні поставлених крайових задач. Використано теорію функціонального аналізу для обгрунтування єдиності розв'язку задач, оцінки точності апроксимацій, встановлення збіжності числових схем. Застосовано об'єктно-орієнтований підхід до програмної реалізації алгоритмів.

Наукова новизна результатів роботи:

- вперше сформульовано уточнені математичні моделі фільтрації газу в підземних сховищах, які враховують неканонічність геометрії пласту, задання вхідної інформації в нееквідистантних точках всередині пласту;

- на базі методу скінченних елементів побудовано нову числову модель фільтрації газу в пласті з урахуванням впливу геометричних та гідродинамічних параметрів досліджуваного об'єкта;

- створені нові гібридні чисельно-аналітичні ітераційні методи для розв'язування задач газової динаміки в трубопроводах з метою його використання для розрахунку режимних параметрів роботи газотранспортних систем;

- розроблений новий алгоритм автоматизованого керування процесом відбирання-закачування газу, досліджено можливість оцінювати колекторські властивості пластів підземних сховищах газу;

- за об'єктно-орієнтованим підходом розроблено новий програмний комплекс для числового дослідження задач газової динаміки. Обґрунтовано ефективність розвинених алгоритмів та розроблених комп'ютерних програм для моделювання процесів масопереносу в реальних системах.

Практичне значення одержаних результатів. В роботі запропоновано чисельно-аналітичні моделі процесів масопереносу в трубопроводах та фільтрації газу у підземних сховищах, а також методи їх дослідження. Це дало можливість побудувати розрахункові схеми газотранспортних мереж, сформулювати рекомендації щодо керування основними гідродинамічними параметрами потокорозподілу в газотранспортних системах. Одержані в дисертаційній роботі результати дозволили:

- формувати прогнозні режими роботи та приймати рішення в умовах оперативної роботи системи пласт підземного сховища газу _ газозбірний пункт, прогнозувати параметри процесів відбору_закачування газу. (Використано в ДК “Укртрансгаз”);

- створити алгоритми для розрахунку параметрів потокорозподілу газу в газотранспортній системі, на цій основі розробити комплекс програм для прийняття адекватних управлінських рішень при зміні режимів руху газу в газотранспортній системі або деякій її підсистемі. (Використано в ТОВ “Математичний центр”);

Частина результатів теоретичного і практичного характеру використано для розроблення програми курсу “Комп'ютерне моделювання” для студентів Львівського національного університету ім.І.Франка.

До дисертаційної роботи додані акти про використання результатів роботи на виробництві та в навчальному процесі.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується строгістю постановок задач, застосуванням апробованих математичних методів і чисельних алгоритмів. Отримані теоретичні результати апробовані в обчислювальних експериментах на модельних задачах. Оцінки точності та збіжності запропонованих методів і алгоритмів обґрунтовані як теоретично, так і в процесі проведення числових експериментів на реальних даних.

Апробація роботи. Основні результати досліджень доповідалися на міжнародних конференціях: ХIII Всеукраїнська наукова конференція "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (Львів, 2006); 4-та міжнародна студентська наукова конференція з прикладної математики та інформатики (Львів, 2006); Всеукраїнська наукова конференція "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (Львів, 2007); 3-я Международная науч.-техн. конференция “Компьютерные технологии поддержки принятия решений в диспетчерском управлении газотранспортными и газодобывающими системами” (DISCOM 2007) (Москва, 2007); Міжнародна наукова конференція «Сучасні проблеми механіки та математики», присвячена 80-річчю від дня народження академіка Ярослава Степановича Підстригача (Львів, 2008); 3-я Міжнародна науково-технічна конференція „Комп'ютерні науки та інформаційні технології” (CSIT 2008) (Львів, 2008); Конференція молодих учених «Підстригачівські читання» (Львів, 2010).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась і обговорювалась на семінарах Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка, кафедри математичного та функціонального аналізу Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника.

Публікації. Основні результати досліджень, що відображені у дисертації, опубліковані у 13 наукових роботах, у тому числі в 4 публікаціях у наукових журналах та збірниках наукових праць, які входять до Переліку фахових видань ВАК України по технічних науках, 2 статтях по фізико-математичних науках, у 7 матеріалах міжнародних та всеукраїнських конференцій.

Особистий внесок здобувача. У роботах, опублікованих у співавторстві, дисертанту належать: розробка, теоретичне обгрунтування та чисельна реалізація схем МСЕ для розрахунку гідродинамічних параметрів течії газу в трубопроводах [1, 5, 8], розробка гібридних чисельно-аналітичних ітераційних схем та комп'ютерна реалізація процесів фільтрації газу в пористих середовищах [2, 4, 6], розробка моделі процесу руху газу в трубах для розрахунку режимних параметрів роботи ГТС [10-12]. У всіх опублікованих у співавторстві працях автору належать участь у постановці задач, створенні алгоритмів та в аналізі отриманих результатів.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, які містять 47 рисунків і 24 таблиці, висновків та списку літератури, що налічує 150 найменувань. Повний обсяг дисертації - 134 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації; відзначено зв'язок роботи з науково-дослідними темами, сформульовано мету та завдання досліджень; висвітлено наукову новизну, достовірність, теоретичне і практичне значення отриманих результатів; надано відомості про публікації за темою дисертації та особистий внесок автора в них, апробацію результатів дисертації, її структуру та обсяг; коротко викладено зміст роботи.

У першому розділі наведено огляд літератури за темою дисертації, висвітлено стан досліджень числового моделювання процесів масопереносу, вказано на невирішені та частково вирішені проблеми.

Фізико-математичні моделі руху рідини і газу в трубопроводах та природних пористих середовищах сформульовані в роботах І.А. Чарного, А.В. Александрова, Є.І. Яковлєва, С.А. Бобровского М.Г. Сударєва та багатьох інших. Стосовно методів розв'язування рівнянь газової динаміки доцільно відзначити роботи М.А. Жідкової Є.І. Яковлєва, Ф.Г. Темпеля, М.Г. Сухарєва, Я.Д. П'янила, А.Д. Тевяшева, А.Я. Бомби, О.С. Лимарченка та інших.

Значну увагу числовому моделюванню тепло- і масопереносу в природних середовищах приділено в працях Н.М. Беляєва, А.П. Власюка, В.С. Дейнеки, М.3. Згуровського, І.І. Ляшка, С.І. Ляшка, Г.І. Марчука, І.В. Сергієнка, В.В.Ско- пецького, В.К. Хруща, П.П. Костробія та ін.

Числові методи для розв'язування задач математичної фізики розвивали Я.М. Григоренко, Н.Д. Панкратова, Ж. Деклу, О. Зенкевич, Р. Галлагер, К. Мор-тон, Ж. Міллер, Д. Норрі, Р.В. Хеммінг, Г.І. Марчук, Я.Г. Савула та інші вчені.

У другому розділі розглянуто числово-аналітичні моделі руху газу в трубопроводах.

У п.2.1 здійснено формулювання задачі руху газу в трубопроводі та аналіз вихідних співвідношень.

Рух газу в трубопроводі в нестаціонарному неізотермічному режимі опи-сує взаємопов'язана система диференціальних рівнянь у частинних похідних



Де - відповідно, густина, швидкість руху і тиск газу; - коефіцієнт гідравлічного опору; - прискорення вільного падіння; - коефіцієнт теплопередачі від труби до ґрунту; - температура ґрунту; - температура газу; - внутрішній діаметр труби; - функція, яка описує трасу залягання труби; - час; - біжуча координата, ; - довжина трубопроводу.

В ізотермічному випадку поширеною моделлю руху газу в трубопроводі з достатньою на цей час для практики достовірністю описується системою взаємопов'язаних диференціальних рівнянь у частинних похідних

(1)

Рівняння руху є виразом збере-ження енергії для газового потоку в трубопроводі. Воно побудоване на основі принципу д'Аламбера - суперпозиції сил, що діють на елемент речовини в газовому потоці. Розглянемо одномірний рух (рис.1).



Рис. 1. Розподіл основних сил, що діють на елемент газового потоку в трубопроводі

Згідно принципу д'Аламбера векторна сума сил , яка діє на елементарний об'єм, рівна нулю. Тут - сила гравітації, - сила інерції, - сила тертя, - сила тиску.

У п.2.2 зроблено постановку задач математичної фізики.

Граничні умови на краях трубопроводу диктуються, як правило, роботою компресорних станцій. Тому для їх побудови необхідно проводити аналіз параметрів роботи КС на вході і виході і на базі цього будувати граничні умови. Оскільки КС і трубопроводи взаємопов'язані, то і параметри роботи КС і трубопроводів взаємопов'язані. В такому випадку отримується некласична постановка задач математичної фізики, коли граничні умови залежать від самого розв'язку.

За початкові умови вибрано розподіл тиску у вихідному усталеному режимі, який визначається співвідношенням

, (2)

де - значення тиску на початку газопроводу, - густина газу в нормальних умовах, - початкова об'ємна витрата.

При цьому необхідно, щоб формула (2) випливала з розв'язку системи (1) при стаціонарному русі газу. Як правило, досліджується трубопровід, який міститься між послідовними компресорними станціями. Оскільки на компресорних станціях є витратоміри, то природно граничні умови задавати на об'ємні витрати на вході в трубопровід та - на виході у вигляді

Тут , - параметри, що характеризують швидкість переходу із одного стаціонарного стану в інший на початку та в кінці трубопроводу відповідно.

У п.2.4 побудовано алгоритм розв'язування нелінійних систем диференціальних рівнянь в частинних похідних на основі ітераційної процедури з використанням методу скінченних елементів.

Відзначимо, що початкове наближення вибирається з лінеаризованої вихідної системи за сталих коефіцієнтів рівнянь. Її розв'язок можна знаходити аналітичним методом із використанням інтегрального перетворення Лапласа за часовою змінною або методом скінченних елементів. Якщо ж початкові або граничні умови задані в дискретному вигляді, а параметри систем диферен-ціальних рівнянь не є сталими, то доцільніше застосовувати метод скінченних елементів.

Ітераційна процедура розв'язування поставленої задачі з використанням методу скінчених елементів полягає в наступному (рис. 2) :

· На першому етапі знаходимо аналітичний розв'язок лінеаризованої системи рівнянь. Отриманий розв'язок приймаємо за початкове наближення в ітераційній процедурі.

· На кожному етапі ітераційної процедури шукаємо розв'язок лінеаризованої системи за допомогою методу скінченних елементів (МСЕ), знайдений розв'язок використовуємо для визначення нев'язки й уточнення параметрів системи.

· Процес ітерацій продовжуємо до того часу, поки різниця між двома послідовними наближеннями буде менша від заданої точності.

Така ітераційна процедура дозволяє знаходити розв'язок на кожному часовому підінтервалі за умови кусково - лінійної апроксимації за часом.

Рис. 2. Загальна схема алгоритму

Однією з переваг МСЕ є те, що він дозволяє досліджувати фізичні процеси, які описуються диференціальними рівняннями із розподіленими параметрами. Для спрощення записів і більшої ілюстративності у випадку розв'язування задач математичної фізики досить часто використовують векторні та матричні подання величин. В розглядуваному випадку шукані функції та зручно подати як вектор . Тоді в матрично-векторній формі система (1) записується у виді

, (3)

де

У пп. 2.4.2 та 2.4.3 показано застосування методу скінченних елементів та методу Петрова-Гальоркіна до розв'язування поставлених задач.

У п.2.5 приведено приклад розрахунку параметрів руху газу в трубопроводі. Зроблено порівняльний аналіз та досліджено ефективність застосування різних апроксимацій у методі скінченних елементів.

У третьому розділі розглянуто побудову числової моделі розрахунку газодинамічних параметрів пористого середовища.

У п.3.1 показано виведення рівняння, яке описує фільтрацію газу в пористому середовищі, для двовимірного випадку.

У п.3.2 постановлена задача фільтрації газу в пористому середовищі, зокрема у підземному сховищі газу.

Нехай - тривимірна область, яку займає пласт ПСГ (рис. 3). На задана множина точок (множина свердловин) з координатами , та значення тисків в цих точках у момент часу . Розподіл тиску газу в пласті в нестаціонарному випадку описується нелінійним диференціальним рівнянням в частинних похідних

(4)

де - проникність пласту в напрямі , - динамічна в'язкість газу, - коефіцієнт стисливості, - товщина пласту, - пористість пласту, - коефіцієнт газонасиченості, - густина відбору, - значення атмосферного тиску в стандартних умовах.

Необхідно знайти розв'язок рівняння (4) за відомими значеннями , а також необхідно, щоб виконувалась умова балансування маси газу в сховищі

,

де інтегрування проводиться по об'єму сховища , - маса газу в сховищі, - густина газу. Якщо врахувати подані вище зауваження щодо геометрії сховища і перейти від маси газу до об'єму в стандартних умовах , то останню рівність наближено можна записати наступним чином

.

Тут рискою зверху позначено усереднені значення відповідних величин, а _ площа пласту сховища.

Рис. 3. Мринське підземне сховище газу

Параметри рівняння (4) залежать як від координат, так і від часу. Однак функціональні залежності ці невідомі і для їх побудови необхідно розв'язувати обернені задачі математичної фізики. Розв'язок таких задач пов'язаний із значними труднощами. Разом з тим, як показує практика, зміна параметрів є незначною. Тому в певних просторово-часових межах їх можна вважати постійними. Якщо ввести позначення , і знехтувати градієнтом тиску за вертикальною координатою, то рівняння (4) запишеться так

. (5)

чисельний ітераційний фільтрація газ

Надалі просторова координата позначатиметься як .

Рівняння (5) на границі області (рис.4) задовольняє крайову умову Неймана:

, (6)

де ,

та умову на

. (7)

- зовнішня границя області ; - підмножина області , яка охоплює координати точок із відомими значеннями тисків , - часовий індекс; - зовнішня нормаль до області .



Рис. 4. Розбиття на трикутні елементи області пласту Мринського ПСГ

У п.3.4 подано побудову схеми МСЕ для числового моделювання фільтрації газу в пласті.

Аналітичний розв'язок нелінійних задач математичної фізики, можна отримати тільки в окремих часткових випадках. Тому при побудові числових і числово-аналітичних методів їх розв'язування необхідно використовувати певні наближення, які повинні бути узгоджені з вибраними модельними положеннями.

Область розбивається на скінченні трикутні елементи (рис. 4). Для розбиття області розроблений спеціальний алгоритм. Суть алгоритму - розбити область із довільною формою границі на трикутні скінченні елементи таким чином, щоб координати заміряних значень шуканого розв'язку, тобто координати свердловин газосховищ, співпадали з координатами вершин трикутників. Алгоритм дозволяє задавати необхідну кількість елементів розбиття.

На рис. 4 - координати точок, в яких відомі значення шуканого розв'язку в початковий момент часу, а - вузли вершин трикутників у МСЕ, значення в яких потрібно знайти.

Всі вершини сортуються за принципом північно-західного кута і завдяки списку ребер створюється послідовність трикутних елементів. Послідовність елементів із координатами дозволяє побудувати глобальну матрицю вузлів і локальні матриці для кожного елемента.

Знаходження узагальненого розв'язку задачі (5-7) полягає у мінімізації наступного функціонала:

. (8)

Для побудови числових моделей нестаціонарних задач фільтрації газу в пористому середовищі використовується ітераційна процедура застосування методу скінченних елементів в поєднанні з різницевою схемою дискретизації за часом. В ході обчислень на кожному часовому підінтервалі ітераційно розв'язується лінеаризований варіант рівняння (5).

Лінеаризація лівої частини рівняння (5) проводиться з використанням рівностей

а в правій частині рівняння (5) параметр виноситься з-під похідної як стала

.

Лінеаризований варіант рівняння (5) матиме вигляд:

 (9)

Схема МСЕ, що описана вище, застосовується ітераційно для лінеаризованого рівняння (9) на кожному часовому рівні із поправкою коефіцієнтів в'язкості, стисливості: проникності: , та уточненні наближеного розв'язку: .

У четвертому розділі проведено обчислювальні експерименти і досліджено границі застосування побудованих алгоритмів.

У п.4.1 приведений обчислювальний експеримент залежності середньо-пластового тиску від коефіцієнта проникності.

Результати обчислень подаються у вигляді рисунків та таблиць.

а б

Рис. 5. а) Залежність середньопластового тиску від часу при (крива 1) та при (крива 2); б) Значення тисків в середині (крива 1) та на границі області (крива 2)

На графіку рис. 5.а подано залежність середньопластового тиску від часу для різних значень коефіцієнта проникності. На графіку рис. 5.б показана залежність, що побудована на основі розрахованих змін тиску в центральній області та на границі газосховища.

Числові експерименти показали, що розподіл середньопластового тиску істотно залежить від величини коефіцієнта проникності пласту. У разі його збільшення швидкість зміни пластового тиску збільшується. В нейтральний період (після припинення закачування газу в сховище) швидкість зміни пластового тиску на границі є дещо вищим ніж в області закачування газу. Маса газу в нейтральний період залишається постійною.

Також проведений експеримент дослідження впливу похибки вхідних даних на результат у задачі руху газу в трубопроводі. Дослідження впливу похибки вхідних даних на точність кінцевого результату проводилось в ході обчислювального експерименту на трубопроводі довжиною 100 км, діаметром 1.388 м за наступних значень параметрів системи рівнянь: , , , , .

Граничні умови задавались на поступлення (відбір) газу, які змінювались у часі від 1000 до 1200 за експоненціальним законом. Крок за часом , кількість елементів розбиття за координатою . За заданих граничних умов об'єм газу в трубопроводі не змінюється, оскільки кількість газу, що входить рівна кількості газу, що виходить.

Алгоритм дослідження впливу похибки вхідних даних зводився до виконання наступних кроків.

1. Обчислюються значення початково-граничних умов.

2. Після обчислення початкового розподілу тиску штучно вводиться збурення тисків на величину.

3. Розв'язується задача із новими початковими умовами.

Результати обчислень подані на рисунках 6 - 9.



Рис. 6. Залежність розподілу тиску від координати в момент часу t = 0 внаслідок відхилення тисків на випадкові величини, що не перевищують е (%) в усіх вузлах

Рис. 7. Значення тисків на вході труби внаслідок збурення граничної умови на вході (крива 1: е = 0, крива 2: е = 10)

Рис. 8. Значення тисків посередині труби внаслідок збурення граничної умови на вході (крива 1: е = 0, крива 2: е = 10)



Рис. 9. Значення тисків на виході труби внаслідок збурення граничної умови на вході (крива 1: е = 0, крива 2: е = 10)

З аналізу отриманих числових результатів випливає, що похибка вхідних даних по різному впливає на розподіл тиску в трубі. Аналіз результатів обчислень показує, що наявність випадкової похибки в початковому розподілі тиску веде до зміни запасу газу в трубопроводі, яка залежить від часу. Причому найбільша зміна є в початкові моменти часу, коли мають місце основні перехідні режими. Оскільки запас газу повинен бути постійним (в межах точності обчислень), то цей факт може служити, по-перше, для вибору кроку за часом в методі скінчених елементів і, по-друге, для вимог до точності вхідних даних у випадку розв'язування відповідних задач математичної фізики.

Проведено обчислювальний експеримент порівняння розрахованих і замірних даних на ділянці газопроводу “Союз” Новопсков - Кременчук.

В цьому екперименті обчислення проводились на основі реальних вхідних фізичних та геометричних параметрів трубопровідної мережі на ділянці Новопсков - Кременчук. Для задання граничних умов обчислювальних задач брались реальні замірні дані на кранах. Результати обчислень подані на рисунках 10 - 13.



У п.4.2 досліджено вплив кроків дискретизації на збіжність та точність обчислювальних процесів.

Основні результати РОБОТИ та ВИСНОВКИ

В роботі розв'язано актуальну науково-технічну задачу - розроблення нових чисельно-аналітичних моделей руху газу в трубопроводах та пористих середовищах. Побудовані методи розрахунку гідродинамічних параметрів руху газу та алгоритми їхньої комп'ютерної реалізації.

1. Показано необхідність побудови нових та уточнення існуючих математичних моделей процесів масопереносу, зокрема, поширення газу в трубопроводах, фільтрації газу в пористих середовищах, орієнтованих на використання апріорної інформації.

2. Побудовано чисельно-аналітичні моделі руху газу в трубопроводах. Запропоновано методику лінеаризації рівнянь, які входять в математичну модель руху газу та побудовано ітераційну схему розв'язування вихідних систем нелінійних диференціальних рівнянь, доведено її збіжність.

3. Реалізовано скінченно-елементну модель задачі із використанням методу Петрова-Гальоркіна.

4. Досліджено вплив гідродинамічних характеристик газу та геометричних параметрів трубопроводів на процес його руху. Вивчено вплив розрахунку параметрів руху газу, усереднення розподілених параметрів вздовж ділянки газопроводу (коефіцієнту стискуваності, температури, швидкості руху газу, коефіцієнту теплопровідності зовнішнього середовища газопроводу) на значення тиску на кінцях газопроводів.

5. Побудовано та досліджено числові моделі процесів фільтрації газу в пористих середовищах складної структури (підземних сховищах газу) за наявності зосереджених джерел та вивчено вплив гідродинамічних характеристик газу та геометричних параметрів середовища на розподіл тиску в пласті.

6. Проведено чисельні експерименти для ряду модельних задач, показано ефективність запропонованих у дисертації підходів до розв'язування задач газової динаміки.

7. Практична цінність дисертаційної роботи полягає у наступному: побудовано розрахункові схеми газотранспортних мереж; сформульовано рекомендації щодо керування основними гідродинамічними параметрами потокорозподілу в газотранспортних системах.

Результати досліджень використані для випадку розв'язання наступних практичних задач: побудова алгоритмів розрахунку газотранспортних мереж з метою оптимізації газових потоків; розрахунок розподілу тиску газу в трубопроводах із врахуванням зміни гідродинамічних параметрів газу; визначення розподілу тиску в пластах підземних сховищ газу при врахуванні зміни гідродинамічних параметрів газу та фізичних параметрів пласту; визначення акумулюючої здатності газоносних пластів підземних сховищ газу з метою розрахунку режимів роботи системи пласт підземного сховища газу -газозбірний пункт.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Лопух Н. Алгоритми розрахунку гідродинамічних параметрів течії газу в трубопроводах (2) / Н.Лопух, М.Притула, Я.П'янило, Я.Савула // Вісник Національного університету “Львівська політехніка”. Комп'ютерні науки та інформаційні технології. - 2008. - № 616. - С. 159-165.

Лопух Н. Розрахунок початково-граничних умов у задачах фільтрації газу в пористих середовищах / Н. Лопух, М. Притула, Н. Притула, Я. П'янило // Вісник Національного університету “Львівська політехніка”. Комп'ютерні науки та інформаційні технології. - 2009. - № 638. - С. 239-243.

Лопух Н. Вплив неусувної похибки на розрахунок газодинамічних параметрів руху газу в трубопроводі / Н.Лопух // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. - 2010. - Вип.11. - С. 97-104.

П'янило Я.Д. Числова модель пласту підземного сховища газу на базі методу скінченних елементів / Я.Д.П'янило, Н.Б.Лопух, П.П.Галій // Нафтова і газова промисловість. - 2011. - Вип.1. - С. 47-49.

Лопух Н. Алгоритми розрахунку гідродинамічних параметрів течії газу в трубопроводах (1) / Н.Лопух, М.Притула, Я.П'янило, Я.Савула // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. - 2007. - Вип.12. - С. 108-117.

П'янило Я.Д. Вплив тиску на швидкість фільтрації газу в пористих середовищах / Я.П'янило, П.Галій, Н.Лопух, Г.П'янило // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. - 2010. - Вип.12. - С. 144-151.

7. Лопух Н. Розрахунок параметрів неусталеного руху газу в трубах / Н. Лопух // ХШ Всеукр. наук. конференція "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики". - Львів, 2006. - С. 87-88.

8. П'янило Я. Розрахунок параметрів неусталеного руху газу в трубах / Я.П'янило, Н.Лопух, М.Притула // Міжнар. наук. конференція «Сучасні проблеми механіки та математики», присвячена 80-річчю від дня народж. акад. Я.С.Підстригача. - Львів, 2008.- С. 163-165.

9. Лопух Н. Дослідження задачі транспорту газу в трубі методом скінчених елементів / Н.Лопух // 4-та міжнар. студентська наук. конференція з прикладної математики та інформатики. - Львів, 2006. - С. 61-62.

10. Лопух Н. Числова модель процесу руху газу в трубах та підземних сховищах / Н.Лопух, Я.П'янило // Конф. молодих учених “Підстригачівські читання - 2010”. (Львів, 25-26 травня 2010 р.): [Електрон. ресурс]. - Режим доступу:

http://www.iapmm.lviv.ua/chyt2010/materials/pc2010-02-PL-27.pdf.

11. Химко М.П. Програмный комплекс для определения газодинамических параметров работы газотранспортных систем / М.П.Химко, А.В.Дацюк, В.А.Фролов, С.В.Гладун, Я.Д.Пяныло, М.Г.Притула, Н.М.Притула, Б.В.Землянский, Н.Б.Лопух // Тезисы докладов 3-й Междунар. науч.-техн. конференции “Компьютерные технологии поддержки принятия решений в диспетчерском управлении газотранспортными и газодобывающими системами”. - Москва, 2007. - C. 27-27.

12. Дацюк А.В. Програмний комплекс для моделювання і оптимізації роботи газотранспортних систем / А.В.Дацюк, В.А.Фролов, С.В.Гладун, О.М.Химко, Я.Д.Пянило, М.Г.Притула, Н.М.Притула, Б.В.Землянский, Н.Б.Лопух // 3-я Міжнар. наук.-техн. конференція „Комп'ютерні науки та інформаційні технології” (CSIT 2008). - Львів, 2008. - C. 330-333.

Лопух Н.Б. Побудова аналітико-числових схем для моделювання процесів фільтрації газу / Н.Б.Лопух // Наук.-техн. конференція “Обчислювальні методи і системи перетворення інформації ”. - Львів, 2010. - С. 56-59.

Размещено на Allbest.ru

...