Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

УДК 514.18

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Конструювання і перетворення поверхонь із збереженням ліній кривини

Спеціальність 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка

Дзюба Валерій Вікторович

Київ-2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному аграрному університеті Кабінету міністрів України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Пилипака Сергій Федорович, завідувач кафедри нарисної геометрії, комп'ютерної графіки та дизайну Національного аграрного університету України (м. Київ).

Офіційні опоненти:

- доктор технічних наук, професор Ковальов Сергій Миколайович, завідувач кафедри нарисної геометрії, інженерної та машинної графіки Київського національного університету будівництва і архітектури (м. Київ);

- кандидат технічних наук, доцент Сименко Олена Василівна, доцент кафедри теоретичної і прикладної механіки Красноармійського індустріального інституту Донецького національного технічного університету (м. Красноармійськ).

Захист відбудеться 19 березня 2008 р. о 13⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.06 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою: 03680, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31, ауд. 466.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03680, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31, КНУБА.

Автореферат розісланий 8 лютого 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.О. Плоский.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Одним із найбільш поширених математичних апаратів конструювання ліній та поверхонь є геометричні перетворення. Вони дозволяють одержувати нові образи, зберігаючи при цьому певні корисні властивості вихідних образів. Такими властивостями, зокрема, можуть бути ортогональні сітки та лінії кривини поверхні.

При аналітичному описі поверхонь сім'ями координатних ліній є довільні криві та прямолінійні твірні для лінійчатих поверхонь. В окремих випадках одна або обидві сім'ї цих ліній можуть бути сім'ями ліній кривини. За приклад можуть служити поверхні обертання, віднесені до сімей меридіанів і паралелей, які є лініями кривини. Якщо взяти лінійчаті поверхні, то для розгортних прямолінійні твірні є сім'єю ліній кривини, а для нерозгортних не є такими.

Клас поверхонь, які можна віднести до координатних ліній із сімей ліній кривини, досить обмежений. До них відносяться, зокрема, різьблені поверхні Монжа (поверхні обертання є частковим випадком), цикліди Дюпена, поверхні Іоахімсталя і вони, як правило, носять ім'я ученого, який запропонував спосіб утворення та аналітичного опису цих поверхонь.

В рівняннях деяких класів поверхонь тільки одна сім'я координатних ліній є сім'єю ліній кривини. Це зумовлено способом їх конструювання. Наприклад, поширений спосіб конструювання торсів за заданим ребром звороту в загальному випадку при аналітичному їх описі містить тільки одну сім'ю - прямолінійні твірні. Те ж само стосується каналових поверхонь, у яких однією сім'єю ліній кривини є циклічний каркас. В цьому випадку побудова другої сім'ї ліній кривини зводиться до розшукання множини ліній поверхні, перпендикулярних до першої сім'ї. Це призводить до розв'язування диференціальних рівнянь, які не завжди можуть мати розв'язок в елементарних функціях.

Може постати питання: а навіщо взагалі мати поверхню, віднесену до ліній кривини? Справа в тому, що в цьому випадку значно спрощуються вирази першої і другої квадратичних форм: їх середні члени дорівнюють нулю. Це, в свою чергу, спрощує розв'язок цілої низки задач, в яких потрібно оперувати квадратичними формами:

теорії розрахунку оболонок;

при складанні програм для обробки на обладнанні з числовим програмним керуванням виробів криволінійної форми ;

при дослідженні взаємодії певного середовища з поверхнею та руху матеріальної точки по поверхні;

при дослідженні руху тіла по поверхні;

при проектуванні технічних форм, виробів та споруд.

Перехід від довільної параметризації до спеціальної, при якій координатна сітка збігається з сіткою ліній кривини можливий лише для окремого числа поверхонь. Це пов'язано з тим, що знаходження ліній кривини на поверхні зводиться до розв'язання диференціальних рівнянь, які тільки в окремих випадках можуть бути проінтегровані. З огляду на це конструювання поверхонь та знаходження сімей ліній кривини на них привертало увагу багатьох дослідників.

В даній роботі конструювання поверхонь, віднесених до ліній кривини, ведеться поетапно:

- утворення плоских ортогональних сіток;

- перетворення їх у поверхні із збереженням ортогональних сімей координатних ліній;

- знаходження умов, за яких ці сім'ї є сім'ями ліній кривини;

- конформне перетворення одержаних поверхонь у нові поверхні із збереженням ліній кривини.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами, планами. Дисертаційна робота виконувалась у Національному аграрному університеті України у відповідності з планом наукових досліджень кафедри нарисної геометрії, комп'ютерної графіки та дизайну «Конструювання поверхонь технічних форм та їх автоматизоване проектування» у відповідності з галузевими НДР.

Мета і задачі дослідження. Метою досліджень є розробка методів та способів конструювання поверхонь, віднесених до сімей ортогональних координатних ліній та ліній кривини із наступним їх конформним перетворенням у нові поверхні.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати такі задачі:

виконати огляд існуючих методів конструювання поверхонь, віднесених до координатних ліній, які є сім'ями ліній кривини;

узагальнити існуючі способи побудови плоских ортогональних сіток;

розробити способи перетворення плоских ортогональних сіток у поверхні із переходом їх у ортогональні сім'ї координатних ліній;

знайти умови, за яких ортогональні сім'ї координатних ліній на утворених поверхнях будуть сім'ями ліній кривини;

здійснити конформне перетворення знайдених поверхонь і тим само розширити методи формоутворення поверхонь, віднесених до координатних сімей із ліній кривини;

впровадити результати виконаних досліджень у практику для побудови поверхонь технічних форм.

Об'єктом дослідження є плоскі ортогональні сітки та поверхні, віднесені до ортогональних координатних ліній та ліній кривини.

Предметом дослідження є способи конструювання і перетворення вказаних геометричних об'єктів із збереженням сімей ортогональних координатних ліній та ліній кривини.

Методи дослідження. Поставлені у роботі задачі розв'язувались на основі методів аналітичної та диференціальної геометрії, комп'ютерної графіки з використанням системи AutoCAD з вбудованим інтерпретатором VisualLisp, середовищ математичних процесорів MatLab та Mathematica, теорії кривих та поверхонь.

Теоретичною базою даних досліджень були наступні роботи вітчизняних вчених:

в галузі моделювання кривих ліній і поверхонь: Балюби І.Г., Ваніна В.В., Дорошенка Ю.О., Куценка Л.М., Ковальова С.М., Ковальова Ю.М., Михайленка В.Є., Найдиша В.М., Несвідоміна В.М., Обухової В.С., Павлова А.В., Підгорного О.Л., Пилипаки С.Ф., Скідана І.А., Юрчука В.П. та ін.;

із застосування теорії функцій комплексного змінного в задачах прикладної геометрії: Гумена М.С., Мартина Є.В. та ін.

в галузі геометричного моделювання та комп'ютерної графіки: Бадаєва Ю.І., Дехтяря А.С., Найдиша А.В., Сазонова К.О. та ін.

При роботі над дисертацією використовувались фундаментальні роботи закордонних вчених: К. Гауса, Д. Гільберта, Г. Дарбу, Л. Ейлера, Ж. Серре, С. Фінікова, Ж. Френе та ін.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

розроблено спосіб утворення плоских ортогональних сіток, однією сім'єю яких є конгруентні криві або криві змінної форми;

запропоновано спосіб перетворення плоских ортогональних сіток у поверхню, віднесену до ортогональних координатних ліній;

- сформульовано твердження щодо перетворення плоскої ортогональної сітки, утвореної двома сім'ями ліній, із яких одна сім'я - прямі, друга - криві, у різьблену поверхню Монжа, частковим випадком якої є торс однакового нахилу твірних;

виведено в загальному вигляді параметричні рівняння ребра звороту торса однакового нахилу твірних, отриманого перетворенням плоскої ортогональної сітки;

вперше здійснено і досліджено інверсію розгортного гелікоїда та його ребра звороту:

· віднесеного до координатних ліній, однією сім'єю яких є прямолінійні твірні (лінії кривини), а другою - гвинтові лінії;

· віднесеного до координатних ліній, однією сім'єю яких є плоскі криві (лінії кривини), а другою - гвинтові лінії;

· віднесеного до координатних ліній, у якого обидві сім'ї координатних ліній є сім'ями ліній кривини;

- розширено клас каналових поверхонь, віднесених до ліній кривини, інверсією циліндрів і поверхонь обертання;

- поширено перетворення інверсією на клас каналових поверхонь, у яких циклічний каркас ліній кривини має спільну точку;

- перетворенням інверсією отримано поверхні, віднесені до ізотермічних координат із сімей ліній кривини та здійснено конформне відображення кривих в цих координатах.

Обґрунтованість і достовірність результатів. Всі наукові положення представлені у аналітичному вигляді. Їх достовірність забезпечується перевіркою виразів коефіцієнтів першої та другої квадратичних форм і візуалізацією одержаних поверхонь засобами комп'ютерної графіки.

Наукове значення роботи полягає в розвитку способів конструювання поверхонь, віднесених до координатних сімей із ліній кривини.

Практичне значення одержаних результатів полягає в конструюванні за розробленими алгоритмами поверхонь технічних форм, що знайшли своє застосування в шнекових пристроях. Впровадження результатів роботи здійснено:

- в навчальний процес Національного аграрного університету України;

- методику моделювання поверхонь технічних форм впроваджено на підприємстві „Века Україна” для удосконалення насоса живильника комплексу для змішування компонентів екструзійного компаунду для виготовлення профілів із полівінілхлориду.

Особистий внесок здобувача в співавторських публікаціях полягає у розробці наступних питань:

- метод побудови ортогональної сітки за заданою кривою, яка є однією із еквідистант [2];

- перетворення інверсією розгортного гелікоїда у відсік каналової поверхні [3];

- конструювання коноїда із конічним кожухом за умови, що обмежуюча лінія - периферія поверхні - є лінією сталого підйому [5];

- утворення і дослідження властивостей ортогональних сіток [6];

- конформне відображення кола в різних ізотермічних сітках [8];

- знаходження аналітичного виразу зміни кроку шнекового колеса за умови нестискання рідини при його роботі [9].

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційних досліджень доповідались на:

- VII і VШ міжнародних конференціях „Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Мелітополь, 2003, 2004 р.р.);

- VI міжнародній конференції „Сучасні проблеми землеробської механіки” (м. Київ, 2005 р.);

- міжнародній науково-практичній конференції „Сучасні проблеми геометричного моделювання” у м. Дніпропетровську (2006 р.);

- щорічних наукових семінарах кафедри нарисної геометрії, комп'ютерної графіки та дизайну Національного аграрного університету (2001 - 2006 р.р.).

Публікації. Результати досліджень висвітлено у 9 наукових працях, з них 7 опубліковані у фахових виданнях, затверджених ВАК України, 3 праці одноосібні. За результатами досліджень отримано патент України на корисну модель.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел із 127 найменувань та додатків. Робота містить 141 сторінку машинописного тексту, 78 рисунків.

Основний зміст роботи

Вступ містить загальну характеристику роботи. В ньому обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та задачі досліджень, показано наукову новизну та практичне значення результатів дисертації. Наведено відомості про апробацію та публікації результатів досліджень.

У першому розділі розглянуто й проаналізовано утворення і перетворення поверхонь, віднесених до ортогональних сімей координатних ліній та ліній кривини. Показано, що при проекціюванні поверхні на площину її ортогональна сітка координатних ліній може перетворюватися як в косокутну, так і в ортогональну. Отже, і в зворотному порядку плоску ортогональну сітку можна перетворити в поверхню, віднесену до сімей ортогональних координатних ліній і, зокрема, ліній кривини. В зв'язку із цим було розглянуто способи утворення плоских ортогональних сіток.

Для поверхні, заданої параметричними рівняннями у функції змінних u і v

(1)

кут ц між координатними лініями знаходять із виразу:

(2)

де E, F, G - коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні (1). Вони визначаються через частинні похідні рівнянь поверхні (1):

(3)

Згідно (2) умовою ортогональності сімей координатних ліній є рівність нулю коефіцієнта F: F=0. Це справедливо як для поверхні, так і для плоскої сітки при Z=0 (при цьму відповідні частинні похідні теж дорівнюють нулю). Якщо нулю дорівнює і середній коефіцієнт другої квадратичної форми, то ортогональна сім'я координатних ліній є сім'єю ліній кривини. Прямокутна сітка координатних ліній називається ізотермічною, якщо елемент цієї сітки є нескінченно малим квадратом. У цьому випадку вирази крайніх коефіцієнтів першої квадратичної форми поверхні однакові: E=G.

Чи не найдавнішою задачею перетворення просторової ортогональної сітки в плоску була задача відображення земної поверхні на площину, що є предметом розгляду окремої науки - картографії. Відомі різні картографічні проекції, в основу яких покладена незмінність кутів між лініями, в тому числі ортогональність паралелей і меридіанів земної кулі. На рис. 1 показана конічна картографічна проекція із нанесеними на неї вздовж меридіана еліпсами спотворень. Один із масштабів дорівнює одиниці - одній осі еліпса спотворень. Друга вісь еліпса дорівнює масштабу карти в перпендикулярному напрямі. На поверхні кулі ці масштаби однакові і еліпсу спотворень на карті відповідає коло на кулі.

В розділі проаналізовано відомі способи утворення плоских ортогональних сіток. Не беручи до уваги декартову систему координат, плоскі ортогональні сітки можна розділити на дві групи: сітки, у яких однією сім'єю координатних ліній є прямі, а іншою криві лінії і сітки, у яких обидві сім'ї координатних ліній є кривими. Перша група базується на властивостях еволют-евольвент, згідно яких множина прямолінійних твірних до еволюти перпендикулярна до множини евольвент цієї ж еволюти.

Рис. 1. Конічна картографічна проекція

Друга група утворюється з допомогою аналітичної функції комплексного змінного. Не всяка функція w=w(z), де z= u+iv - комплексна змінна є аналітичною. Для того, щоб функція x+iy=f(u+iv) була аналітичною, необхідною і достатньою умовою є виконання умов Коші-Рімана: ортогональний технічний конструювання

(4)

Наприклад, функція w=1/z може бути розписана наступним чином:

(5)

(6)

Перевірка показує, що рівняння (6) відповідають умові (4), тобто функція w=1/z є аналітичною. Самі ж рівняння (6) описують плоску ортогональну ізотермічну сітку. Перетворення у площині, яке здійснюється за формулами (6), носить назву інверсії. При введені координати z вона дозволяє здійснювати конформне перетворення поверхонь із збереженням ліній кривини. В такому випадку формули для перетворення інверсією об'єктів у просторі приймають вигляд:

(7)

де r² - ступінь інверсії (в подальшому він прийнятий рівним одиниці).

В формули (7) можна підставляти як координати окремої точки В і отримувати прообраз - координати точки А як результат перетворення, так і параметричні рівняння ліній та поверхонь для їх перетворення інверсією.

В другому розділі розглянуто способи побудови плоских ортогональних сіток, які в першому розділі не розглянуті або розглянуті неповно. Показано, зокрема, перехід від довільної косокутної сітки до ортогональної. Тут можливі два варіанти: взяти одну сім'ю координатних ліній без змін і відшукати другу сім'ю ортогональних траєкторій до цієї сім'ї. Аналогічно можна взяти другу сім'ю без змін і шукати до неї ортогональні траєкторії. Такий пошук зводиться до розв'язування одного із двох диференціальних рівнянь:

або (8)

Рівняння (8) не завжди можуть бути розв'язані аналітично, тому можливість конструювання ортогональних сіток таким способом є обмеженою.

Розглянуто варіанти конструювання плоских ортогональних сіток шляхом побудови сім'ї ортогональних траєкторій до однопараметричної множини конгруентних кривих або кривих змінної форми. Однопараметричну множину конгруентних кривих можна отримати, рухаючи по певному закону задану криву у площині. В роботі це показано на прикладі циклоїди. При русі циклоїди вздовж осі Ох по лінійному закону прямо пропорціонально змінному параметру u. їх однопараметрична множина запишеться параметричними рівняннями у функції двох змінних v і u:

(9)

де а, b - сталі величини.

Частинні похідні і коефіцієнти першої квадратичної форми рівнянь (9) запишуться:

(10)

Диференціальне рівняння (8) зліва після підстановки в нього коефіцієнтів (10) набуває вигляду:

(11)

де t - постійна інтегрування.

При довільному значенні постійної інтегрування t маємо нову координатну лінію, перпендикулярну до одно параметричної сім'ї циклоїд (9). При іншому значенні t буде інша крива, теж перпендикулярна до цієї сім'ї. Таким чином, постійну інтегрування t ми можемо прийняти за новий незалежний параметр замість

Підставивши вираз v із (11) в (9), одержимо параметричні рівняння ортогональної сітки:

(12)

На рис. 2 за рівняннями (9) і (12) побудовані косокутна і ортогональна сітки.

Рис. 2. Сітки, утворені однопараметричною множиною лінійного переміщення циклоїди вздовж осі Ох: а) косокутна сітка, побудована за рівняннями (9) при а=b=1; б) ортогональна сітка, побудована за рівняннями (12) при а=b=1

При русі циклоїди вздовж осі Oy рівняння однопараметричної множини кривих має вигляд:

(13)

Диференціальне рівняння (8) зліва після підстановки в нього відповідних коефіцієнтів і розділення змінних приймає вигляд:

(14)

Після переходу від змінної v до нової змінної t згідно останнього виразу (14) у рівняннях (13) одержимо рівняння ортогональної сітки:

(15)

Рис. 3. Сітки, утворені однопараметричною множиною лінійного переміщення частини циклоїди вздовж осі Оy: а) косокутна сітка, побудована за рівняннями (13) при а=b=1; б) ортогональна сітка, побудована за рівняннями (15) при а=b=1

На рис. 3 за рівняннями (13) і (15) побудовані косокутна і ортогональна сітки при переміщенні частини дуги циклоїди.

Розглянуто також побудову ортогональних кривих до однопараметричної множини кривих змінної форми. Для цього сталу а в рівняннях циклоїди заміняють змінною u. Параметричні рівняння косокутної сітки, однією сім'єю якої є множина циклоїд змінної форми, запишуться:

(16)

Після складання і розв'язання диференціального рівняння і переходу від змінної v до змінної t в (16) одержимо параметричні рівняння ортогональної плоскої сітки:

(17)

Сітки, побудовані за рівняннями (16) і (17) показані на рис. 4.

Рис. 4. Сітки, утворені множиною циклоїд змінної форми: а) косокутна сітка, побудована за рівняннями (16); б) ортогональна сітка, побудована за рівняннями (17)

Виведено параметричні рівняння плоскої ортогональної сітки, в основі яких лежить задана плоска крива: v - незалежна змінна.

В одному випадку задана крива є вихідною для побудови однопараметричної множини еквідистант та нормалей до них. Параметричні рівняння ортогональної сітки мають вигляд:

, , (18)

де u - друга незалежна змінна - довжина нормалі до сім'ї еквідистант.

В іншому випадку задана крива є носієм однопараметричної множини прямих, дотичних до неї. Ортогональна сітка будується як сім'я ортогональних траєкторій до множини прямих, тобто як сім'я евольвент до до заданої кривої. Параметричні рівняння ортогональної сітки мають вигляд:

(19)

В рівняннях (19) t - друга незалежна змінна. Оскільки побудова сім'ї евольвент зв'язана із визначенням довжини дуги заданої кривої (еволюти), то до складу рівнянь (19) входить відповідний інтеграл, що обмежує практичне застосування цих рівнянь тільки кривими, довжина яких має аналітичний вираз.

Третій розділ присвячено перетворенню плоских ортогональних сіток в поверхню, віднесену до ортогональних сімей координатних ліній та ліній кривини.

Рис. 5. До проекціювання прямого кута, коли однією стороною його є горизонтальна пряма

Одне із таких перетворень грунтується на відомій властивості проекцій прямого кута (рис. 5): якщо одна із сторін прямого кута є горизонтальною прямою, то прямий кут не спотворюється при його проекціюванні на горизонтальну площину проекцій. До плоскої горизонтальної кривої k (рис. 5) в точках А і В проведено дотичні, а також прямі, перпендикулярні цим дотичним. Ця перпендикулярність між прямими і кривою k у всіх її точках зберігається як на горизонтальній площині, так і у просторі. Отже, щоб із плоскої ортогональної сітки утворити поверхню, віднесену до сімей ортогональних координатних ліній, потрібно одну сім'ю плоскої сітки розподілити по висоті по будь-якому закону. З математичної точки зору це означає, що рівняння Z=Z(u,v) має бути залежне тільки від однієї змінної: Z=Z(u) або ж Z= Z (v). Тоді частинна похідна по одній із змінних для Z буде рівна нулю і коефіцієнт F при переході від плоскої ортогональної сітки до просторової не зміниться, тобто буде рівний нулю, отже поверхня буде віднесена до сімей ортогональних координатних ліній. Це стосується сіток, у яких однією сім'єю ортогональних ліній є криві, а другою криві, так і сіток з двома сім'ями кривих ліній.

Стосовно першої сітки в роботі показано, що при довільному законі розподілу сім'ї прямолінійних твірних по висоті одержимо лінійчату нерозгортну поверхню. Щодо закономірності розподілу сім'ї кривих ліній по висоті можливі два варіанти, в одному з яких утвореною поверхнею буде різьблена поверхня Монжа, в іншому - розгортна лінійчата поверхня однакового нахилу твірних. В обох випадках поверхні будуть віднесені до ортогональних сімей ліній кривини. Це можна пояснити за допомогою рис. 6, на якому зображені горизонтально-проекціювальні площини, що огинають певний циліндр. Перпендикулярно до площин проходить сім'я плоских кривих ліній на різній висоті. На вигляді зверху сім'я площин зображатиметься сім'єю прямолінійних твірних, дотичних до певної кривої, а сім'я плоских кривих - евольвентами до цієї кривої, тобто буде плоска ортогнальна сітка.

Рис. 6. До утворення різьбленої поверхні Монжа

Криві, що розташовані в горизонтально-проекціювальних площинах, є конгруентними. Їх форма залежить від закономірності розподілу кривих ліній (евольвент на вигляді зверху) по висоті.

Виходить, що поверхня буде утворена кривою, яка розміщена в площині, що котиться без ковзання по деякій циліндричній поверхні - обвідній даної сім'ї дотичних площин. Така кінематична поверхня, утворена рухом ортогональних траєкторій точок плоскої кривої незмінної форми до сім'ї площин, дотичних до деякої розгортної поверхні буде різьбленою поверхнею Монжа.

Зокрема, при лінійному розподілі кривих по висоті крива в горизонтально-проекціювальній площині перетвориться в пряму лінію, а сама поверхня Монжа - в розгортну поверхню однакового нахилу твірних. Це доведено також аналітично.

Твердження. Якщо сім'ю еквідистант, ортогональних однопараметричній сім'ї прямих, що лежать у площині, розподілити по висоті за будь-якою залежністю, то утвориться різьблена поверхня Монжа. В частковому випадку - при лінійній залежності - утвореною поверхнею буде торс однакового нахилу твірних.

Виходячи із рівнянь плоскої ортогональної сітки (18) параметричні рівняння різьбленої поверхні Монжа запишуться:

, ,. (20)

Якщо останній вираз рівнянь (20) замінити залежністю Z=f(v), то одержимо параметричні рівняння нерозгортної лінійчатої поверхні.

Для випадку розгортної поверхні однакового нахилу твірних її параметричні рівняння приймають вигляд:

; ; , (21)

де - кут нахилу твірних торса до горизонтальної площини проекцій.

Для поверхні (21) виведено параметричні рівняння ребра звороту в загальному вигляді.

Якщо рівняння (21) записати у вигляді:

; ; , (22)

де b - стала величина, то прямолінійна твірна здійснюватиме спіроїдальний рух по відношенню до певного циліндра і утворить лінійчату нерозгортну поверхню. В роботі показано, що її завжди можна описати сім'ями ортогональних координатних ліній, однією сім'єю яких є прямолінійні твірні:

;

; (23)

,

де t - нова змінна замість u.

Досліджено також поверхні із ортогональними сім'ями координатних ліній, одержані перетворенням плоскої ортогональної сітки із двома сім'ями кривих ліній. Показано, що при будь-якій залежності розподілу по висоті плоских кривих однієї сім'ї, криві другої сім'ї перетворюються в просторові лінії найбільшого нахилу поверхні.

Розглянуто інверсію плоских ортогональних сіток. Прикладом може слугувати перетворення плоскої сітки, утвореної двома сім'ями конгруентних логарифмічних спіралей (рис. 7):

Рис. 7. Сферичний відсік, віднесений до координатних ліній із сімей ліній кривини, отриманий інверсією плоскої ортогональної сітки: а) вихідна сітка та її рівняння;б) прямокутні проекції відсіку

Інверсію виконано за формулами (7), причому сітку взято в горизонтальній площині на висоті Z=1 від початку координат, оскільки при Z=0 сітка перетворюється інверсією сама в себе.

Четвертий розділ присвячено дослідженню інверсії поверхонь, віднесених до однієї або двох сімей координатних ліній кривини та конформному перетворенню кривих на них. При інверсії поверхонь лінії кривини перетворюються в лінії кривини нової поверхні. Це означає, що можна здійснювати подальше перетворення одержаних поверхонь із координатними лініями кривини за допомогою інверсії і одержувати нові поверхні із збереженням цих властивостей. Особливий інтерес в цьому відношенні представляють розгортні поверхні, у яких прямолінійні твірні є лініями кривини. Отже при інверсії вони мають перетворитися в кола або дуги кіл, які теж будуть лініями кривини циклічної поверхні. В класичній літературі добре вивчена інверсія кругових конуса і циліндра.

Розглянуто інверсію циліндра, ортогональним перерізом якого є еліпс. На відміну від кругового циліндра, у якого сім'ї ліній кривини (прямі і кола) після інверсії перетворюються в дві сім'ї ортогональних кіл, у розглянутого циліндра тільки одна сім'я ліній кривини (прямих) після інверсії перетворюється в кола. Еліпси перетворюються в сім'ю просторових замкнених кривих - ліній кривини (рис. 8).

Рис. 8. Поверхні, одержані інверсією циліндра, ортогональним перерізом якого є еліпс: а) центр інверсії знаходиться в початку координат; б) центр інверсії зміщено на 7 одиниць по осі Oу

Якщо ортогональним перерізом циліндра є крива, задана параметричними рівняннями у функції довжини її дуги, то можна задавати на його розгортці іншу криву і здійснювати комформне перетворення інверсією циліндра із цією кривою на його поверхні. Таке перетворення розглянуто на прикладі циліндра із ланцюговою лінією в основі:

(24)

де а - постійна величиа; s і u - незалежні змінні поверхні.

Оскільки змінна u є довжиною прямолінійної твірної циліндра, s - довжина ланцюгової лінії - ортогонального перерізу, то рівняння s=s(t), u=u(t) зададуть плоску криву на розгортці циліндра. Нехай такою кривою буде еліпс:

(25)

де b і c - півосі еліпса.

Підставивши (25) в (24), одержимо рівняння кривої на поверхні циліндра у функції параметра t. Виконавши інверсію поверхні, а потім кривої за рівняннями (7), одержимо зображення їх конформного перетворення. На рис. 9 показано вихідну поверхню із еліпсами різних розмірів на її поверхні та їх перетворення із різних центрів інверсії.

Рис. 9. Інверсія циліндричної поверхні із кривими на ній: а) вихідна поверхня із лініями на ній; б) інверсія вихідної поверхні з кривими на ній відносно початку координат; в) інверсія вихідної поверхні з кривими на ній відносно центра, зміщеного на 7 одиниць по осі Oy

Досліджено інверсію конусів загального виду та розгортної поверхні із ребром звороту на прикладі торса-гелікоїда (рис.10).

Рис. 10. Перетворення інверсією торса-гелікоїда: а) інверсія циліндра із ребром звороту; б), в) поверхня до і після перетворення

Приділено увагу перетворенню інших поверхонь, що можуть бути віднесені до координатних ліній кривини. Зокрема, це мінімальні, каналові та поверхні обертання. На рис. 11 представлено перетворення інверсією каналової поверхні, у якої тільки одна сім'я ліній є лініями кривини - циклічний каркас.

Рис. 11. Каналова поверхня та її інверсія: а) вихідна поверхня; б) інверсія відносно центру з координатами x=-10; y=20; z=0; в) інверсія відносно центру з координатами x=-10; y=20; z=20

Здійснено конформне перетворення кривої із плоскої ізотермічної сітки на просторову і навпаки. Просторова ізотермічна сітка була розшукана на поверхні псевдосфери. За криві було взято геодезичні лінії псевдосфери та лінії, що утворюють на її поверхні сітку Чебишева (рис. 12).

Рис. 12. Псевдосфера, віднесена до ізотермічних координат, та лінії на ній: а) геодезичні лінії; б) сітка Чебишева; в) конформне відображення сітки Чебишева псевдосфери на плоску полярну ізотермічну систему координат

В п'ятому розділі зроблено розрахунок конічних шнекових поверхонь змінного кроку за заданими технічними умовами. При цьому використано теоретичні результати попередніх розділів конструювання і перетворення поверхонь, при яких зберігається сітка координатних ліній ортогональною. Однією із заданих умов є постійність кута підйому периферійної крайки поверхні. Цим забезпечується постійність кута защемлення матеріалів між транспортуючою поверхнею коноїда і конічним кожухом. Знайдено закономірність розподілу прямолінійних твірних гвинтового коноїда змінного кроку для виконання цієї умови. Іншою умовою розподілу прямолінійних твірних коноїда змінного кроку, розташованого між конічними кожухами, є умова нестискання рідини при його роботі. Закономірність зміни кроку та параметри внутрішньої та зовнішньої поверхонь, між якими розташовано шнек, розраховано так, щоб був постійним об'єм, який витісняється за один оберт шнека (рис. 13).

Рис. 13. Гвинтовий коноїд змінного кроку, обмежений конічними поверхнями: а) фронтальна проекція;б) аксонометрія

Висновки

Дисертаційну роботу присвячено конструюванню і перетворенню поверхонь із збереженням ортогональних сіток координатних ліній та ліній кривини. Розглянуто послідовність утворення плоских ортогональних сіток різними способами, перетворення їх у поверхні та подальше конформне перетворення одержаних поверхонь із збереженням ортогональних сіток координатних ліній та ліній кривини.

Значення для науки полягає в розширенні можливостей формоутворення поверхонь, віднесених до ортогональних сімей координатних ліній та ліній кривини.

Значення для практики полягає в проектуванні конічних шнекових поверхонь змінного кроку із конічними кожухами за заданими технічними умовами, якими є постійність кута защемлення матеріалу між гвинтовою поверхнею і поверхнею кожуха та витіснення постійного об'єму рідини за одиницю часу при роботі гвинтової поверхні.

При вирішенні поставлених задач отримані наступні теоретичні і практичні результати.

1. Показана можливість отримання поверхонь із спрощеною квадратичною формою за рахунок віднесення їх до ортогональних сімей координатних ліній, сімей ліній кривини або до ізотермічних координат.

2. Запропоновано способи аналітичного конструювання та побудову плоских ортогональних сіток, в тому числі ізотермічних для подальшого їх перетворення у поверхні із збереженням ортогональних сімей координатних ліній.

3. Розроблено алгоритм заміни довільної плоскої сітки на ортогональну засобами диференціальної геометрії. Заміна здійснюється виходячи із умови, що одна сім'я координатних ліній залишається незмінною, а замість другої розшукується множина ортогональних кривих.

4. В роботі наведено приклади побудови сімей ортогональних траєкторій до однопараметричної множини кривих змінної або постійної форми, до однопараметричної множини прямих та конструювання ізотермічних сіток з використанням аналітичних функцій комплексного змінного.

5. Розглянуто способи перетворення плоских ортогональних сіток у поверхні, при яких зберігається ортогональна сім'я координатних ліній. Показано, що плоску ортогональну сітку із однією сім'єю прямолінійних твірних завжди можна перетворити в поверхню, віднесену до ліній кривини.

6. Сформульовано твердження про закономірність розподілу множини еквідистант плоскої ортогональної сітки по висоті для утворення поверхні, віднесеної до ліній кривини. Показано, що при довільній залежності утвореною поверхнею буде різьблена поверхня Монжа, а при лінійній - торс однакового нахилу твірних.

7. Показано можливість отримання поверхонь із ортогональними сім'ями координатних ліній при спіроїдальному русі плоскої криволінійної або прямолінійної твірної. Аналітично доведено, що у випадку спіроїдального руху прямолінійної твірної диференціальне рівняння на знаходження ортогональних сімей завжди матиме розв'язок.

8. Здійснено інверсію розгортних поверхонь, при якій множина прямолінійних твірних поверхні перетворюється в циклічний каркас ліній кривини. Розглянуто окремі випадки перетворення інверсією циліндрів і конусів загального виду та розгортних поверхонь із ребром звороту.

9. Досліджено інверсію різьбленої поверхні Монжа, віднесеної до плоских сімей ліній кривини та їх окремого випадку - поверхонь обертання, мінімальних та інших поверхонь, після перетворення яких нові поверхні теж будуть описані сім'ями ліній кривини.

10. Інверсію перерахованих груп поверхонь виконано відносно різних центрів. Це дало змогу значно розширити формоутворення поверхонь, віднесених до сімей координатних ліній кривини. Здійснено комп'ютерну візуалізацію одержаних нових поверхонь.

11. Показано можливість конформного відображення кривих на поверхні при перетворенні її інверсією. Розглянуто побудову однієї і тієї ж кривої на різних плоских ізотермічних сітках, в яких крива відображається конформно.

12. Зроблено розрахунок коноїдів змінного кроку, обмежених конічними поверхнями, за заданими технічними умовами. Такими умовами є постійність кута підйому периферійної крайки поверхні і кута защемлення між поверхнею і кожухом в одному випадку та нестискання рідини при її перекачуванні в іншому. При цьому використано теоретичні результати конструювання і перетворення поверхонь, при яких зберігається сітка координатних ліній ортогональною. На конічне шнекове колесо для перекачування рідини одержано патент України.

13. Результати досліджень впроваджено в товаристві з обмеженою відповідальністю «Века Україна» для вдосконалення насоса живильника комплексу, який змішує компоненти екструзійного ПВХ компаунду для виготовлення профілів із ПВХ, та в навчальний процес.

Подальший розвиток теми вбачається в більш широкому залученні аналітичних функцій комплексного змінного для конструювання і перетворення поверхонь, віднесених до ортогональних сіток координатних ліній.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Дзюба В.В. Заміна довільної сітки в площині на ортогональну // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - К.: КНУБА, 2003. - Вип. 72. - С. 194 -198.

2. Пилипака С.Ф., Дзюба В.В. Методи побудови ортогональних сіток за властивостями еволют і евольвент // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. - Вип. 4. - Т. 20. - Мелітополь: ТДАТА, 2003. - С. 19 - 23.

3. Пилипака С.Ф., Дзюба В.В. Побудова розгортних поверхонь і перетворення їх методом інверсії // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. - Вип. 4. - Т. 24. - Мелітополь: ТДАТА, 2004. - С. 32 - 36.

4. Дзюба В.В. Конструювання поверхонь на основі плоских ортогональних сіток, однією сім'єю яких є однопараметрична множина прямих // Геометричне та комп'ютерне моделювання. - Харків: ХДУХТ, 2004.- Вип.8.- С. 77-84.

5. Пилипака С.Ф., Дзюба В.В. Конструювання гвинтових коноїдів змінного кроку із конічним кожухом за заданими технічними умовами // Механізація сільськогосподарського виробництва. - К.: НАУ, 2005. -Том IXX. -С. 50-55.

6. Пилипака С.Ф., Дзюба В.В., Чернишова Е.О. Конструювання ортогональних сіток на основі конформних перетворень функції комплексної змінної // Агротехнічний науково-методичний збірник. Збірник наукових праць Ніжинського агротехнічного інституту. - Ніжин: НАТІ, 2005.- С. 69-72.

7. Дзюба В.В. Інверсія ортогональних плоских та просторових сіток // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник - Випуск 2 (43) - Дніпропетровськ, 2006.- С. 89-94.

8. Пилипака С.Ф., Дзюба В.В., Чернишова Е.О. Конформне відображення геометричних елементів поверхні, віднесеної до ізометричних координат // Науковий вісник Національного аграрного університету. - К.: НАУ, 2006. -Вип. 101. -С. 194.

9. Патент на корисну модель 19527, Україна, МПК F04D3/00. Конічне шнекове колесо із змінним кроком // Пилипака С.Ф., Дзюба В.В. - № 200607383;

Заявл. 03.07.2006; Опубл. 15.12.2006, Бюл. № 12. -2 с.

Анотації

Дзюба В.В. Конструювання і перетворення поверхонь із збереженням ліній кривини. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - прикладна геометрія, інженерна графіка. - Київський національний університет будівництва і архітектури, Київ, Україна, 2008.

Дисертацію присвячено конструюванню і перетворенню поверхонь із збереженням ортогональних сіток координатних ліній та ліній кривини. Розглянуто послідовність утворення плоских ортогональних сіток різними способами, перетворення їх у поверхні та подальше конформне перетворення одержаних поверхонь із збереженням ортогональних сіток координатних ліній та ліній кривини.

Відомі способи утворення плоских ортогональних сіток доповнено новими на основі побудови однопараметричної множини кривих сталої і змінної форми і розшукуванні ортогональних траєкторій до них. Перетворення плоских ортогональних сіток в поверхню, віднесену до ортогональних сімей координатних ліній та ліній кривини грунтується на відомій властивості проекцій прямого кута і полягає в певному розподілі ліній однієї сім'ї по висоті. Подальше перетворення поверхонь відбувається за допомогою інверсії.

Ключові слова: лінії кривини, ортогональна сітка, конформне перетворення, інверсія.

Дзюба В.В. Конструирование и преобразование поверхностей из сохранением линий кривизны. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - прикладная геометрия, инженерная графика. - Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, Украина, 2008.

Диссертация посвящена конструированию и преобразованию поверхностей из сохранением ортогональных сетей координатных линий и линий кривизны. Рассмотрена последовательность образования плоских ортогональных сетей разными способами, преобразование их у поверхности и дальнейшее конформное преобразование полученных поверхностей из сохранением ортогональных сетей координатных линий и линий кривизны.

Известные способы образования плоских ортогональных сетей дополнены новыми. В их основе лежит построение однопараметрического множества кривых постоянной и переменной формы и разыскание семейства ортогональных траекторий к ним. Рассмотрены плоские ортогональные сети, у которых одним семейством есть прямые линии, а другим - кривые. Получены аналитические зависимости для конструирования таких сетей. Исходными данными есть кривая, как носитель семейства прямых в одном случае и кривая, как носитель семейства эквидистант в другом. Рассмотрены также ортогональные сети из двумя семействами кривых линий, а также изотермические сети.

Преобразование плоских ортогональных сетей в поверхность, отнесенную к ортогональным семействам координатных линий и линий кривизны базируется на известных свойствах проекций прямого угла. Если линии одного семейства плоской ортогональной сети распределить по высоте по определенному закону, то в образованной поверхности ортогональность координатных линий сохраняется. В частности сформулировано утверждение о закономерности распределения множества эквидистант плоской ортогональной сети для образования поверхности, отнесенной к линиям кривизны. Аналитически доказано, что при произвольной закономерности образованной поверхностью будет резная поверхность Монжа, а при линейной - торс одинакового ската. Выведены параметрические уравнения его ребра возврата в общем виде. Исследованы поверхности из ортогональными семействами координатных линий, полученные преобразованием плоской ортогональной сети из двумя семействами кривых линий. Показано, что при любой зависимости распределения по высоте плоских кривых одного семейства кривые второго семейства превращаются в пространственные линии наибольшего уклона поверхности.

Показана возможность получения поверхностей из ортогональными семействами координатных линий двойным преобразованием плоской сети. Оно сводится к спироидальному движению плоской криволинейной или прямолинейной образующей поверхности. Аналитически доказано, что в случае спироидального движения прямолинейной образующей дифференциальное уравнение на нахождение ортогональных семейств всегда имеет решение.

Дальнейшее преобразование полученных поверхностей, отнесенных к семействам ортогональных координатных линий и линий кривизны осуществляется с помощью инверсии. Поскольку это преобразование конформно, то ортогональность линий сохраняется и линии кривизны исходной поверхности превращаются в линии кривизны новой поверхности. Исследовано преобразование групп поверхностей, которые допускают описание координатными линиями кривизны. Это резные поверхности Монжа, минимальные, поверхности вращения, каналовые, развертывающиеся поверхности. Особое внимание уделено последним, поскольку у развертывающихся поверхностей прямолинейные образующие есть линиями кривизны и при инверсии преобразуются в окружности - циклический каркас линий кривизны новой поверхности. Подробно исследованы цилиндрические и конические поверхности общего вида, а также развертывающиеся поверхности с ребром возврата на примере торса-геликоида.

Конструирование поверхностей, отнесенных к ортогональным семействам координатных линий нашло свое применение в создании шнековой поверхности переменного шага, заключенной между соосными коническими кожухами для перемещения жидкости без ее сжатия. Полученные результаты обоснованы теоретически и подтверждены внедрениями в учебный процесс и производство.

Ключевые слова: линии кривизны, ортогональная сеть, конформное преобразование, инверсия.

Dzuba V. Disign and transformation of surfaces from conservation of lines of curvature. - The Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of engineering science. on a speciality 05.01.01 - applied geometry, engineering graphics. - Kiev National University of Building and Architecture, Kyiv, Ukraine, 2008.

The dissertation is devoted to disign and transformation of surfaces from conservation of orthogonal webs of coordinate lines and lines of curvature. The sequence of formation of flat orthogonal webs by different modes, their transformation at a surface and the further conformal transformation of the obtained surfaces from conservation of orthogonal webs of coordinate lines and lines of curvature surveyed.

Known modes of formation of flat orthogonal webs are supplemented new on the basis of construction of an one-parameter set of curves of a constant both the variable form and searching of orthogonal trajectorieses to them. Transformation of flat orthogonal webs to a surface referred to orthogonal sets of coordinate lines and lines of curvature is founded on known property of projections of a right angle and will consist in the defined distribution of lines of one set on altitude. The further transformation of surfaces is carried out with the help of inversion.

Keywords: lines of curvature, an orthogonal web, conformal transformation, inversion.

Размещено на Allbest.ru

...