Розвиток інтервальних методів та підвищення точності оцінки результатів вимірювань з використанням концепції невизначеності

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розвиток інтервальних методів та підвищення точності оцінки результатів вимірювань з використанням концепції невизначенності

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Без побудови ефективних міждержавних відносин у виробничій і невиробничій сферах не може бути здійснене прагнення України до європейської й світової інтеграції. Досягти таких відносин неможливо без погодженості в технічних питаннях, тобто без використання єдиних стандартів у таких питаннях як організація й проведення вимірювань, оцінка точності їхніх результатів. Єдність вимірювань і, як наслідок, взаємне визнання результатів досліджень і випробувань, отриманих у різних країнах може забезпечити гармонізація вітчизняної й закордонної нормативно-технічної документації. Перші кроки до цього були зроблені введенням у дію ДСТУ ISO/IEC 17025-2001 і підписанням Угоди про взаємне визнання національних еталонів одиниць і свідоцтв калібрувань і вимірювань, що послужило початком використання концепції невизначеності на законодавчому рівні.

На сьогоднішній день згідно із ДСТУ ISO/IEC 17025-2006 випробувальні і калібрувальні лабораторії зобов'язані мати й застосовувати процедури оцінки невизначеності вимірювань. Однак у Керівництві з вираження невизначеності (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, ISO), що рекомендується в ДСТУ ISO/IEC 17025-2006 для одержання більш докладної інформації з оцінки невизначеності, іноді наведеної інформації недостатньо для рішення всіх питань, що виникають у процесі роботи лабораторій, окрім того зміст Керівництва носить більш загально-ознайомлювальний, ніж методичний характер. Як наслідок відсутність чітких правил і інструкцій з оцінки невизначеностей результатів вимірювань ставить підвищені вимоги до компетентності персоналу іспитових і калібрувальних лабораторій і вносить додаткові складності в їхню роботу. Використання методик оцінки невизначеностей, представлених у спеціалізованій літературі, вимагає додаткових знань із областей теорії імовірності й математичної статистики. У підсумку стає можливим некоректне використання тих або інших методів, що приводить до грубих оцінок невизначеності.

Значну роль при оцінці невизначеності результатів вимірювань відіграють способи об'єднання складових невизначеностей, які на сьогоднішній день багато в чому базуються на спрощеннях, не враховуючих реальних законів розподілу вхідних величин і співвідношень між їхніми характеристиками розсіювання. Припущення про нормальний характер результуючого розподілу не справедливі у випадку не виконання умов центральної граничної теореми, тобто за наявності домінанти, малої кількості складових або наявності залежності між ними, що досить часто зустрічається на практиці. З іншого боку використання середнього арифметичного значення як найкращої оцінки результату вимірювань у випадку багаторазових спостережень не є найбільш ефективним для відмінних від нормальних законів розподілу. Найбільш точний підхід - використання операції згортання для розподілів вхідних величин відповідно до Керівництва по вираженню невизначеностей (Додаток G.1.6) на практиці рідко може бути здійснений. Причиною цьому є те, що параметри, котрі характеризують розподіли вхідних розподілів, усього лише оцінки й нереалістично очікувати, що рівень довіри, пов'язаний з отриманим у результаті інтервалом, може бути відомий з високою точністю. Крім того, ще одним негативним аргументом застосування згортання, незважаючи на розвинені засоби обчислювальної техніки, виступає трудомісткість виконання самої операції згортання.

В останнє десятиліття широке застосування у всіляких галузях сучасної науки й техніки одержала теорія нечітких множин, починаючи від автомобілебудування й автоматизації виробничих процесів і закінчуючи передбаченням землетрусів і керуванням ядерних реакторів. Дослідження проблем об'єднання складових невизначеності результатів вимірювань у нових ракурсах, що відкриваються теорією нечітких множин, представляється перспективним, особливо у світлі недостатнього розкриття можливостей цієї теорії стосовно вимірювальної практики у вітчизняній літературі. Дослідження можливостей нового підходу для оцінки невизначеності результатів вимірювань, що включає в себе позитивні сторони існуючих підходів, виходячи з постійно зростаючих вимог до точності вимірювань, є актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась на протязі 2003-2008 р.р. в процесі навчання заочної форми в аспірантурі Національного авіаційного університету за тематикою науково-дослідних робіт, що проводилися на кафедрі біокібернетики та аерокосмічної медицини. Вибраний напрямок дослідження пов'язаний з держбюджетною науково-дослідною роботою №2983-п (№ держ. Реєстрації №0106U000921) на тему «Розробка малогабаритних проблемно-орієнтованих інформаційно-вимірювальних систем на базі мікромеханічних акселерометрів», виконаною в ОКБ «Шторм» НТУУ «КПІ» в 2008 році. Результати роботи також були використані в науково-методичних розробках державного науково-дослідного інституту «Система» м. Львів.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження дисертаційної роботи є підвищення точності інтервальних оцінок результатів вимірювань випробувальних та калібрувальних лабораторій. Наукове завдання полягає у розробці та впровадженні нових статистичних підходів обробки даних, вирішення задачі спрощення процедури обчислення інтервальних оцінок результатів вимірювань за відсутності поточної статистичної інформації (у випадку прямих одноразових і опосередкованих вимірювань) шляхом корекції результатів інтервального аналізу.

Для досягнення мети сформульовано та вирішено наступні задачі:

1. Провести аналіз існуючих підходів і можливості перспективних до вирішення завдання оцінки розширеної невизначеності результатів вимірювань, за підсумками якого вибрати напрямок дослідження й визначити можливі шляхи досягнення поставленої мети. Розробити загальну методику (алгоритм) дослідження.

2. Розробити, виходячи з властивостей ймовірнісно-нечіткого переходу, алгоритми побудови функцій приналежності як для експериментальних даних, так і для аналітично заданих розподілів щільності ймовірності, на підставі яких програмно реалізувати й проаналізувати функції приналежності для найбільш широко використовуваних у метрологічній практиці законів розподілу щільності ймовірності.

3. Реалізувати об'єднання функцій приналежності згідно із принципом узагальнення Заде. Оцінити ефективність використання цього принципу, як способу одержання оцінки розширеної невизначеності результатів вимірювань. Дослідити апарат оцінки розширеної невизначеності з використанням апроксимацій функцій приналежності псевдо-трикутним розподілом.

4. Провести дослідження в напрямку використання ймовірнісно-нечіткого переходу для вибірок малого обсягу, що дозволить для цього випадку підвищити точність оцінки розширеної невизначеності типу А.

5. Розробити підхід до оцінювання розширеної невизначеності по типу В, що дозволяє без зменшення вірогідності підвищити точність результатів використання інтервального аналізу при обробці результатів вимірювань.

Об'єкт дослідження - Процедура оцінки розширеної невизначеності результатів вимірювань.

Предмет дослідження - Оцінка розширеної невизначеності з використанням інтервального аналізу.

Методи дослідження. Розв'язання поставлених задач виконано з використанням методів лінійної алгебри та математичного аналізу, теорії ймовірності і математичної статистики, теорії нечітких множин, метрології, теорії похибки результатів вимірів, концепції невизначеності. Для одержання дослідницьких результатів використовувалися математичне й статистичне моделювання на базі програмного комплексу MatLab R2007b з можливостями розподіленої обробки даних. 3D моделювання виконувалось в графічній системі 3D Studio MAX.

Наукова новизна отриманих у роботі результатів:

1. Визначено межі використання інтервальних та ймовірнісних підходів при оцінці розширеної невизначеності результатів вимірювань, виходячи з кількості складових.

2. Розвинені інтервальні методи обчислення статистичних оцінок шляхом запропонованого способу корекції результатів інтервального аналізу при оцінці розширеної невизначеності результатів вимірювань по типу В, що дозволяє на практиці спростити обчислення оцінки у випадку об'єднання трьох складових невизначеності.

3. Вперше запропонована статистика, на підставі якої розроблено метод оцінки розширеної невизначеності по типу А для рівномірно розподілених експериментальних даних, що дозволяє одержувати більш точні оцінки. Отримано аналітичні вирази для оцінки ефективності запропонованого методу та для пошуку квантильних множників нової статистики.

4. Показано, що використання принципу узагальнення Заде приводить до тих же результатів, що й застосування інтервального аналізу до -зрізів функцій приналежності. Із цього витікає, що принцип узагальнення Заде не забезпечує результатів, що займають проміжних по точності значень між інтервальними і ймовірнісними методами оцінки.

5. Показано, що використання принципу максимальної визначеності при побудові кусочно-лінійної апроксимації функцій приналежності, на відміну від існуючої думки, може приводити до незадовільної апроксимації результуючої функції приналежності при відсутності узгодження параметрів апроксимуючого розподілу, що необхідно врахувати в практичній діяльності.

Практичне значення отриманих результатів. Проведені в роботі дослідження дозволили, використовуючи запропоновану методику обробки для рівномірно розподілених статистичних даних, одержувати більш точні оцінки інтервальних характеристик результатів вимірювань, що проводяться в калібрувальних й іспитових лабораторіях. Результати досліджень щодо оцінки невизначеності по типу В були використані в ОКБ «Шторм» НТУУ «КПІ» в рамках держбюджетної науково-дослідної роботи №2983-п (№ держ. Реєстрації №0106U000921) на тему «Розробка малогабаритних проблемно-орієнтованих інформаційно-вимірювальних систем на базі мікромеханічних акселерометрів» при розробці методики оцінки невизначеності координат рухомого складу на базі комплексированої системи вимірювання напружено-деформованого стану та географічних координат. Результати роботи також були використані в науково-методичних розробках державного науково-дослідного інституту «Система» при розробці методики оцінки метрологічних характеристик вимірювального каналу автоматизованої системи комерційного обліку електричної енергії. Впровадження результатів дослідження підтверджується відповідними актами, приведеними в додатках.

Особистий внесок здобувача. Основні наукові положення й результати, які представлені в дисертації й публікаціях, отримані автором самостійно, а окремі теоретичні розрахунки й результати експериментальних досліджень досягнуті в співавторстві з науковим керівником. У публікаціях, які написані в співавторстві, дисертантові належить аналіз існуючих підходів до оцінки невизначеності результатів вимірів, аналіз принципів побудови функцій приналежності на основі розподілів імовірності й дослідженні апроксимуючих псевдо-трикутних розподілів, пропозиція та дослідження ефективності використання нової статистики для оцінки розширеної невизначеності по типу А для випадку рівномірно розподілених складових.

Апробація результатів дослідження.

1. VIII Міжнародна наукова конференція студентів і молодих вчених «ПОЛІТ-2008», що проводилася в Національному Авіаційному Університеті (м. Київ) 10-12 квітня 2008 року.

2. V Міжнародний науково-технічний семінар «Невизначеність вимірювань: наукові, прикладні, нормативні й методичні аспекти» 26-28 травня 2008 року в м. Судак.

3. III Науково-технічний семінар «Невизначеність вимірювань: наукові, прикладні, нормативні й методичні аспекти» 18-19 травня 2006 року в м. Харків.

4. Х Конгрес світової федерації українських лікарських співтовариств Київ-Чернівці-Чикаго 26-28 серпня 2004 року в м. Чернівці.

Публікації. Основний зміст роботи опублікований в 7 друкованих виданнях, у тому числі 5 статей у фахових виданнях (з них без співавторів), які входять у перелік ВАК України, 2 статті в збірниках матеріалів і тезах доповідей науково-технічних конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, 4 розділів, висновків, переліку використаних джерел з 53 найменувань і 4 додатків, що включають акти впровадження. Загальний обсяг дисертації складає 208 сторінок, з яких основний текст викладено на 140 сторінках друкованого тексту, містить 73 малюнки, 19 таблиць.

Основний зміст роботи

приналежність невизначеність апроксимація

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, вказано зв'язок роботи з науковими програмами, темами та планами, сформульовано мету, задачі, об'єкт та предмет досліджень, наведено методи виконання досліджень, описано наукову новизну та практичне значення отриманих в дисертації результатів дослідження, вказаний особистий внесок здобувача, наведено дані про впровадження результатів роботи, їх апробацію та публікації, представлено структуру та обсяг дисертації.

У першому розділі проведено порівняльний аналіз теорії похибок вимірювання та концепції невизначеності вимірювань, приведені їх суттєві відмінності та визначення. Розглянуто та проаналізовано шляхи вирішення задачі об'єднання складових невизначеності по типу В, коли для оцінювання складових використовуються дані, отримані на попередніх етапах вимірювання, або взяті з літературних джерел, нормативних документів, довідкових даних і т. п.

Одним із підходів є використання операції згортання стосовно розподілів щільності ймовірності складових невизначеності, як базового інструмента теорії ймовірності (О.С. Вентцель, Б.В. Гнеденко, І.В. Дунін-Барковський, М.В. Смірнов). Показано, що на практиці одним з недоліків використання цього підходу є його трудомісткість та необхідність спеціальної підготовки для персоналу випробувальних та калібрувальних лабораторій. Окрім цього, посилаючись на Керівництво з вираження невизначеності (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, ISO), що рекомендується в ДСТУ ISO/IEC 17025-2006 для обчислення оцінок невизначеності, приведемо цитату з додатку G.1.6: «На практиці, коли повинні бути розраховані інтервали, що визначають рівні довіри, такі згортання рідко можуть бути здійснені через те, що, по-перше, параметри, що характеризують розподіл ймовірностей вхідних величин, звичайно є оцінками, по-друге, нереалістично очікувати, що рівень довіри, пов'язаний з даним інтервалом, може бути відомий з високою точністю, і, по-третє, через складність згортання розподілів ймовірностей. Замість цього, як наближення можна скористатися центральною граничною теоремою теорії ймовірностей.»

Досліджено використання підходу заснованого на ексцесах розподілів щільності ймовірності та ентропійних значеннях похибки (П.В. Новіцкий, І.А. Зограф). Показано, що у випадку трьох і більше складових невизначеності та при належності їх розподілів до різних класів виникає проблема пошуку ентропійного коефіцієнту, необхідного для визначення класової приналежності результуючого розподілу методом топографічної класифікації. Окрім обмежених можливостей застосування даного підходу на практиці виступають додаткові труднощі, які пов'язані зі складністю його використання.

Ще одним підходом до обчислення розширеної невизначеності типу В є використання центральної граничної теореми, як спрощеного підходу до оцінки розширеної невизначеності. В дисертаційній роботі досліджено похибки, що виникають внаслідок порушення умов використання теореми через малу кількість складових невизначеності та присутність серед складових домінантного розподілу. Показано, що в такому випадку використання центральної граничної теореми не допустиме через значні неточності в отримуваних оцінках.

В роботі досліджено ступінь збитковості, до якої призведе використання інтервального аналізу стосовно граничних інтервалів для оцінювання розширеної невизначеності з двома або трьома складовими, що є типовою в метрологічній практиці. В таблиці 1 показано, що 99-відсоткові довірчі інтервали у всіх випадках, окрім наявності рівномірно розподіленої домінанти, менші за граничні на більш ніж 20%. Таким чином, більш раціональним є втрата одного відсотку достовірності при суттєвому зменшенню невизначеності, тобто використання інтервального аналізу для випадків, відмінних від двох рівномірно розподілених складових, є недоцільним через значну збитковість.

Таблиця 1. Співвідношення між граничними інтервалами та інтервалами з довірчою ймовірністю 0.99 для композицій з двох та трьох складових при наявності домінанти

Таблиця 2. Класифікація підходів до обчислення розширеної невизначеності по типу В в залежності від кількості об'єднуваних складових

Розглянуті підходи систематизовані у вигляді таблиці 2 по можливості застосування в залежності від кількості складових розширеної невизначеності. В результаті зроблено висновок про слабкість розглянутих методів у випадку коли кількість складових більше 2 та менше 5, так як в таких умовах застосування інтервального аналізу та центральної граничної теореми не забезпечує необхідної точності результатів, методи засновані на використанні ексцесів, ентропійних коефіцієнтів та табличних значень квантильних множників мають суттєво обмежену область застосування, а про складність застосування операції згортання та інші причини відмічено раніше.

Таким чином встановлено, що при наявності двох складових невизначеності результату вимірювання, які розподілені за рівномірним законом, доцільно використовувати інтервальний підхід, а при кількості складових, більше ніж п'ять, кращі результати дає використання на базі центральної граничної теореми імовірнісного підходу. Відкритим залишається питання випадку, коли кількість складових лежить в межах від двох до п'яти. Для його вирішення, виходячи з широкого застосування в різних галузях сучасної науки та техніки теорії нечітких множин та перспективності дослідження задачі об'єднання складових невизначеності у нових ракурсах, досліджено перехід від розподілів щільності ймовірності до функцій приналежності. Основна ідея переходу полягає у можливості встановлення зв'язку між довірчим інтервалом з рівнем значущості та -зрізом функції приналежності (рис. 1). В результаті аналізу принципів побудови переходу отримано узагальнений аналітичний вираз, що описує вищезгаданий зв'язок:

де , - кількість інтервалів, на які розбивається півширина розподілу ймовірності, та ширини інтервалів, що дорівнюють відповідно: , , - середнє квадратичне відхилення, - розподіл щільності ймовірності, - функція приналежності. Рівень статистичної значимості та відповідний-зріз позначені через . На рис. 1 приведено приклад побудови функції приналежності для нормального розподілу щільності ймовірності.

В літературі вказано (G. Mauris, V. Lasserre, L. Foulloy «A Fuzzy approach for the expression of uncertainty in measurement»), що в результаті застосування принципу узагальнення Заде до отриманих функцій приналежності, оцінки розширеної невизначеності результатів вимірювань по точності займають проміжне місце між оцінками на основі інтервальних та ймовірністних методів.

В другому розділі запропоновано загальний алгоритм дослідження, метою якого поставлено кількісно оцінити рівень надлишковості по відношенню до ймовірністних підходів, що присутній в результатах використання принципу узагальнення Заде та пошук шляхів її зменшення.

БСО призначений для обробки розподілів щільності ймовірності традиційними способами, що відповідають теорії ймовірності, а одержувані в такий спосіб результати використовуються як еталонні для порівняння й оцінки ефективності досліджуваних підходів. Об'єднання розподілів виконується або за допомогою операції згортання, у випадку композиції апріорі відомих розподілів, або за допомогою статистичного моделювання по методу Монте-Карло, при необхідності виконання операцій множення або ділення над операндами. Таким чином, БСО забезпечує виконання найпростіших алгебраїчних операцій над розподілами щільності ймовірності. В завдання, покладені на БНО, входить реалізація арифметичних операцій над функціями приналежності з використанням принципу узагальнення Заде. БПФП відповідальний за порівняння результатів, отриманих ймовірнісними методами та нечіткими, і повертає на виході функцію , що є залежністю відносної методичної похибки, що виникає в результаті використання принципу узагальнення Заде, від -зрізу, тобто реалізує залежність , де - це ширина інтервалу з довірчою ймовірністю . Для різних комбінацій досліджуваних розподілів щільності ймовірності , ,…, одержуємо різні функції . Завданням БО є об'єднання функцій і за допомогою операцій максимуму й мінімуму пошук функції максимальної й мінімальної відносної методичної похибки застосування принципу узагальнення Заде. БРК реалізує пошук оптимального -зрізу, для якого різниця між і прямує до мінімуму, тобто мінімізує невизначеність відносної методичної похибки, а також оцінює для цього зрізу значення корекції .

В результаті аналізу доведено, що так званий принцип максимальної визначеності (maximum of specificity), який лежить в основі побудови ПТР та призводить до незалежності параметра від середніх квадратичних відхилень розподілів, полягає в забезпеченні умови мінімальності різниці площ ПТР та функцій приналежності (рис. 3). Простота використання ПТР полягає в розрахунку параметрів результуючого розподілу за допомогою алгебраїчних виразів, в основі яких лежить декомпозиція ПТР на трикутну й прямокутну складові. У роботі показано, що безпосереднє використання цього апарату, який є спрощенням реалізації принципу узагальнення Заде, приводить до значних неточностей, особливо при обробці функцій приналежності для рівномірно розподілених величин. Причина полягає у відмінності значення параметра для різних законів, що призводить до необхідності її узгодження для результуючого розподілу через операцію мінімуму . Тому зроблено висновок про недоцільність використання такої апроксимації в подальшому і необхідність більш детального дослідження можливості реалізації принципу узагальнення Заде.

Для досягнення поставленої мети в графічному комплексі 3D Studio Max змодельовані тривимірні (3D) інтерпретації реалізації принципу для функції однієї змінної та для арифметичних операцій у випадку з двома змінними.

При розробці алгоритму обробки функцій приналежності по принципу узагальнення Заде виникли значні похибки в отримуваних результатах через дискретність моделювання. Для різних розподілів щільності ймовірності було побудовано 3D моделі двовимірних функцій приналежності, на основі яких розроблено математичний апарат та алгоритмічна реалізація, що дозволили отримати результати без похибки від дискретності моделювання.

В результаті проведеного аналізу алгебраїчних виразів для обробки псевдо-трикутних розподілів висунуто гіпотезу про можливість отримання значень функції приналежності, внаслідок використання принципу узагальнення Заде, через застосування інтервального аналізу до -зрізів операндів. Використовуючи розроблений апарат отримано результати, з яких видно, що інтервали, отримані за допомогою інтервального аналізу збігаються зі зрізами функції приналежності по принципу Заде, тобто гіпотезу

Таким чином, отриманий результат дозволяє стверджувати, що використання принципу узагальнення Заде при оцінці розширеної невизначеності не може призвести до результатів, що посідають проміжне місце по точності між імовірнісними та інтервальними методами, як стверджувалось раніше, тому що уособлює нечітку реалізацію інтервального аналізу. Однак, позитивним у використанні функцій приналежності й принципу узагальнення Заде є те, що в такий спосіб можна застосувати інтервальний аналіз до довірчих інтервалів на всіх рівнях довірчої ймовірності.

Були проведені дослідження по встановленню межі використання статистичного моделювання для забезпечення необхідної точності результатів. Показано, що для забезпечення рівня максимального відносного відхилення границь довірчих інтервалів не більше 5% від границь інтервалів, прийнятих за ідеальні, об'єм вибірки при використанні методу Монте-Карло повинен бути не менше ніж 20000 значень.

В третьому розділі досліджується застосування функцій приналежності, отриманої на основі ймовірнісно-нечіткого переходу, для оцінки розширеної невизначеності результатів вимірювань по типу А. Оцінка невизначеності по типу А, на відміну від оцінки по типу В, будується на аналізі статистичних даних, які отримується безпосередньо при проведенні експериментальних досліджень. В роботі отримано аналітичний вираз, що дозволяє розраховувати кількість інтервалів розбиття діапазону вибірки при побудові функції приналежності, що при мінімальному об'ємі вибірки забезпечує оптимальний рівень інформативності. Показано, що у випадку вибірки малого об'єму використання функцій приналежності призведе до неточностей через лінеаризацію на рівнях близьких до нуля. Дослідження розподілів границь -зрізів для різних законів розподілу показали, що СКВ границь зрізів для рівномірно розподілених вибірок при будь-яких значеннях завжди менше ніж СКВ середнього арифметичного, причому при СКВ границь зрізів мінімальне. Таким чином, було підтверджено, що при рівномірно розподілених вибірках більше ефективними оцінками результатів вимірювань є медіана та середина розмаху вибірки. В існуючій практиці при оцінці невизначеності по типу А використовується розподіл Стьюдента, що базується на відношенні відхилення середнього арифметичного вибірки від математичного очікування до його середнього квадратичного відхилення. Такий підхід цілком виправданий у випадку нормального закону розподілу вибірки, однак при рівномірно розподілених вибірках призводить до завищених результатів. Тому для даного випадку запропоновано використовувати випадкову величину:

де - середина розмаху, як статистику для оцінки розширеної невизначеності по типу А. У результаті дослідження співвідношення між СКВ вибірки й СКВ величини було встановлено, що в рамках однакового об'єму вибірки залежність між ними лінійна, так само як і для розподілу Стьюдента. Співвідношення змінюється тільки при зміні об'єму вибірки. За допомогою метода найменших квадратів було знайдено аналітичний вираз для розрахунку СКВ величини через СКВ вибірки:

де - результати прямих вимірювань, - виправлене експериментальне СКВ вибірки результатів, - оцінка СКВ середини розмаху, - об'єм вибірки. Отримана залежність є аналогом відношення при оцінюванні СКВ для середнього арифметичного. В результаті статистичного моделювання розподілу величини встановлено відсутність залежності розподілу від СКВ вибірки. Це вказує на те, що незалежно від того в якому діапазоні значень отримано результати вимірювань, розподіл запропонованої величини буде не змінним.

Для різних значень СКВ функція приналежності розподілу величини не змінна. На рис. 8 наведено, що у порівнянні з функцією приналежності розподілу Стьюдента, функція приналежності розподілу величини , при тому ж об'ємі вибірки , вужча на всіх рівнях . Такий результат вказує на те, що невизначеність оцінки результату вимірювання, знайденої через середину розмаху рівномірно розподіленої вибірки буде меншою за невизначеність оцінки через середнє арифметичне.

При проведенні дослідження розподілу для композицій з рівномірно розподілених величин було встановлено, що розподіл композиції завжди вужче, ніж розподіл для однієї рівномірної складової. Це дозволяє використати квантильні множники для розподілу однієї складової при розрахунку розширеної невизначеності для композиції з рівномірно розподілених складових, що забезпечить необхідний рівень вірогідності.

Запропоновано аналітичні залежності для розрахунку значень квантильных множників розподілу залежно від рівня довірчої ймовірності й об'єму вибірки, що дозволило відмовитись від використання таблиць при оцінюванні невизначеності результатів вимірювань (рис. 10):

(2)

Результати комплексного експерименту, при якому об'єднувалися рівномірно розподілені складові з різними співвідношеннями СКВ й об'ємами вибірок підтвердили вірогідність одержуваних оцінок, тому що відносні частоти потрапляння математичного очікування в інтервал розширеної невизначеності не виходять за задані межі довірчої ймовірності. Приведені на рис. 12 результати відповідають рівню довіри , для рівнів та отримано аналогічні результати.

Отримані результати дозволяють використовувати запропонований метод оцінки розширеної невизначеності по типі А як для прямих так і для опосередкованих багаторазових вимірювань з рівномірно розподіленими складовими.

В четвертому розділі досліджується застосування функцій приналежності, отриманої на основі ймовірнісно-нечіткого переходу, для оцінки розширеної невизначеності результатів вимірювань по типу В. Як було зазначено, позитивним у використанні функцій приналежності й принципу узагальнення Заде є те, що в такий спосіб ми застосовуємо інтервальний аналіз до довірчих інтервалів на всіх рівнях довірчої ймовірності. Перевага використання інтервального аналізу для оцінки розширеної невизначеності - це простота розрахунків, недолік - це збитковість, тобто більші інтервали невизначеності. Для різних розглянутих комбінацій (усього 125) законів (рівномірного, нормального, Лапласа, Сімпсона, трапецевидного) були отримані сімейства функцій приналежностей, які наведені на рис. 13. На рисунку внутрішні функції приналежності отримані на підставі згортання розподілів щільності ймовірності і приймаються за ідеальні, зовнішні - отримані за принципом узагальнення Заде. З рис. 13 слідує, що існують деякі області, де функції приналежності для всіх можливих комбінацій з досліджуваних законів перетинаються в досить вузьких інтервалах, позначених як А и В. Таким чином, існує можливість корекції результатів інтервального аналізу для усунення збитковості. Для цього оцінено залежність рівнів і , для яких ширина інтервалів А и В мінімальна, від співвідношень СКВ складових. В результаті встановлено, що незалежно від співвідношень СКВ складових невизначеності, функції приналежності, отримані за принципом узагальнення Заде мають мінімальний інтервал перетинання на рівні , тобто для Р=0.90. Даний результат має теоретичне обґрунтування виходячи із властивості 95% квантилі (П.В. Новіцкий, І.А. Зограф). Сутність цієї властивості полягає в тому, що для широкого класу розподілів інтегральні криві на рівнях 95 і 5% квантилів перетинаються в дуже вузькому інтервалі, тобто інтервали з довірчою ймовірністю 0.9 незначно відрізняються один від одного, тоді як для інших довірчих ймовірностей інтервали мають значне розсіювання. Для функцій приналежності, побудованих на підставі згортання, встановлено, що залежно від співвідношення СКВ складових невизначеності мінімальне розсіювання границь зрізів відповідає рівню в діапазоні від 0.03 до 0.1. Дослідження кореляції між шириною інтервалів і показало, що максимальних значень коефіцієнт кореляції, в залежності від співвідношень СКВ складових, набуває в діапазоні від 0.02 до 0.09. Таким чином, найбільш раціональним рівнем для фіксації є значення 0.05. Отже, корекція може бути заснована на оцінці різниці або на оцінці частки . Так як інтервали і випадкові величини, то за найкращу оцінку частки або різниці можна взяти їх середнє арифметичне або середину розмаху, при цьому завжди зафіксовано на рівні 0.1, а може приймати значення з ряду .

Обчислення оцінки розширеної невизначеності по типу В з використання корекції результатів інтервального аналізу полягає у виконанні наступних операцій:

1. Обчислення інтервалу , як суми 90% довірчих інтервалів , де - квантильний множник для довірчої ймовірності 0.9 і відповідного закону розподілу -ой складової, - відповідне СКВ.

2. Вибір коефіцієнтів на основі співвідношення СКВ між двома найменшими складовими невизначеності.

3. Розрахунок значення корекції , де - відношення СКВ найбільшої і найменшої складової.

4. Обчислення оцінки розширеної невизначеності по типу В через корекцію згідно з виразами:

- при оцінці різниці і

- при оцінці частки і .

В результаті досліджень були отримані максимальні відхилення між інтервалами, отриманими за допомогою згортання, й інтервалами отриманими в результаті використання корекції, які представлені в наступній таблиці.

Таблиця 3. Максимальні відносні відхилення між інтервалами, отриманими за допомогою згортання, та інтервалами внаслідок корекції для композицій із трьох складових

З наведеної таблиці видно, що використання середини розмаху співвідношення інтервалів і , як оцінюваного параметру, а також корекції через операцію ділення приводить до більш точних результатів в порівнянні з корекцією на основі операції віднімання. Відзначимо, що у випадку об'єднання трьох складових на рівнях 0.90 і 0.95 отримані результати відхилень менші 5%, тобто не перевищують допустимого рівня похибки. До обмежень застосування запропонованого підходу відноситься наступне:

1. Обмеженість у законах розподілу складових невизначеності, так як в роботі розглядались рівномірний, нормальний, Лапласа, Сімпсона та трапецевидний закони розподілу.

2. Можливість використання підходу тільки у випадку лінійних функціональних залежностей для опосередкованих вимірювань, або з використанням лінеаризації через розкладення в ряд Тейлора.

3. Необхідність відсутності кореляції між складовими невизначеності.

4. Залежність знайдених коефіцієнтів поліномів для розрахунку значення корекції від кількості складових невизначеності.

Відомо, що у випадку значної нелінійності залежності результату опосередкованого вимірювання від аргументів, для оцінки значення вимірюваної величини й невизначеності використовується інтервальний аналіз (В.Д.Ціделко, Н.А. Яремчук «Невизначеність вимірювання»). В роботі запропоновано застосовувати корекцію інтервалів до проміжних результатів обчислення. В такому випадку функціональна залежність розкладається на пари елементарних арифметичних операцій, наприклад, залежність можна представити у вигляді . Таким чином для пар, що стоять в дужках, можливо застосувати корекцію. В роботі приведено вирази для обчислення границь інтервалів з урахуванням корекції для операцій додавання та віднімання.

Отримані у четвертому розділі результати підтвердили вірність та показали доцільність застосування розробленого підходу корекції результатів інтервального аналізу, що дозволив спростити процедуру оцінки розширеної невизначеності по типу В. Показано перспективні напрямки розвитку запронованого підходу.

У висновках сформульовано основні теоретичні та практичні результати проведених досліджень.

У додатках наведено матеріали, що не увійшли до основного тексту. Зокрема, акти впровадження основних результатів дисертаційної роботи, розширені основи теорії нечітких множин, тексти програм та алгоритми для проведення статистичного комп'ютерного моделювання.

Висновки

1. Проведено аналіз основних підходів до розв'язання задачі об'єднання складових розширеної невизначеності результатів вимірювань, який показав, що у випадку, коли кількість об'єднуваних складових більше двох та менше п'яти існуючі підходи складні для використання на практиці, мають обмеження у застосуванні або призводять до завищених оцінок.

2. Визначено межі використання інтервальних та ймовірнісних підходів при оцінці розширеної невизначеності результатів вимірювань, виходячи з кількості складових.

3. Розроблено, виходячи з властивостей ймовірнісно-нечіткого переходу, алгоритми побудови функцій приналежності як для експериментальних даних, так і для аналітично заданих розподілів щільності ймовірності, на підставі яких програмно реалізовані й проаналізовані функції приналежності для найбільш широко використовуваних у метрологічній практиці законів розподілу щільності ймовірності. Показано, що функції приналежності зберігають властивість 95% квантилі.

4. Запропонована статистика, на підставі якої розроблено метод оцінки розширеної невизначеності по типу А для рівномірно розподілених експериментальних даних, що дозволяє одержувати більш точні оцінки без втрати їх вірогідності. Отримано аналітичні вирази для оцінки ефективності запропонованого методу та для пошуку квантильних множників нової статистики.

5. Показано, що використання принципу узагальнення Заде приводить до тих же результатів, що й застосування інтервального аналізу до -зрізів функцій приналежності.

6. Розвинені інтервальні методи обчислення статистичних оцінок шляхом запропонованого способу корекції результатів інтервального аналізу при оцінці розширеної невизначеності результатів вимірювань по типу В, що дозволяє на практиці спростити обчислення оцінки у випадку об'єднання трьох складових невизначеності.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Володарский Е.Т. Взаимосвязь вероятностного подхода и нечеткой логики при оценке неопределенности измерений / Е.Т. Володарский, Л.А. Кошевая, А.Н. Карпенко // Системы обработки информации.-Харьков. - 2006. - №7 (56).-С. 19-22.

2. Володарский Е.Т. Неопределенности при замене результирующего распределения нормальным / Е.Т. Володарский, А.Н. Карпенко // Системы обработки информации. - 2008. - №4 (71).-С. 27-29.

Карпенко А.Н. Обзор и анализ существующих подходов для объединения трех составляющих погрешности результата измерения / А.Н. Карпенко // Техника АПК. - 2008.- №11-12. - С. 51-55.

Карпенко А.Н. Объединение погрешностей результатов измерений с использованием компенсации результатов интервального анализа / А.Н. Карпенко // Информационные технологии и компьютерная инженерия. - 2008. - №3 (13).-С. 70-75.

Володарский Е.Т Новый подход оценки расширенной неопределенности результатов многократных измерений при равномерно распределенных экспериментальных данных / Е.Т. Володарский, А.Н. Карпенко // Правовое, нормативное и метрологическое обеспечение систем защиты информации в Украине. - 2008. - №17.-С. 15-18.

Размещено на Allbest.ru