Регулятор в теории управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Регулятор в теории управления

Регулятор или управляющее устройство -- в теории управления устройство, которое следит за состоянием объекта управления как системы и вырабатывает для неё управляющие сигналы. Регуляторы следят за изменением некоторых параметров объекта управления (непосредственно, либо с помощью наблюдателей) и реагируют на их изменение с помощью некоторых алгоритмов управления в соответствии с заданным качеством управления.

Основные принципы

Регуляторы в подавляющем большинстве работают по принципу отрицательной обратной связи с целью компенсировать внешние возмущения, действующие на объект управления и отработать заданный извне или заложенный в системе закон управления (программу). Примером может служить регулятор скорости двигателя.

Реже используется прямая связь.

Критерии оценки качества регулирования:

· скорость регулирования (время уменьшения ошибки регулирования до заданной величины);

· точность, как установившаяся ошибка и как величина перерегулирования;

· запас устойчивости и отсутствие колебаний, в том числе затухающих.

Наиболее распространённым в силу своей универсальности является ПИД-регулятор. Пример сложного и эффективного регулятора -- регулятор на основе фильтра Калмана.

Типы

Регуляторы разделяют по нескольким признакам:

· По виду закона управления (для линейных регуляторов): П-регуляторы, ПИ-регуляторы, ПИД-регуляторы, ПД-регуляторы, И-регуляторы, Д-регулятор.

регулятор управление модальный

· По линейности закона управления: линейные и нелинейные регуляторы.

· По общему принципу функционирования: адаптивные, модальные, робастные регуляторы и т. д.

Для использующихся в промышленности электроприводов наиболее важной задачей является регулирование их координат. Одним из возможных способов для решения этой задачи является применение модальных регуляторов.

Основой метода модального регулирования является применение многоконтурных систем параллельной коррекции. Суть их работы заключается в том, что отрицательная обратная связь по какой-либо координате объекта управления стабилизирует эту координату и в той или иной мере поддерживает ее постоянной при неизменном задании и наличии возмущений внутри контура.

Если замкнуть объект управления по всем координатам, характеризующим его состояние в любой момент времени (эти координаты называются переменными состояния), то при соответствующем подборе коэффициентов обратных связей можно получить желаемые характеристики объекта управления относительно выходных координат. Данный метод широко применяется при настройке систем электропривода с общим суммирующим усилителем, функциональная схема которого показана на рис. 1.

Задача настройки модального регулятора состоит в нахождении линейных стационарных коэффициентов обратных связей, обеспечивающих замкнутой системе требуемые корни характеристического уравнения, значение которых для линейных систем полностью определяет показатели качества регулирования. Процедура выполнения синтеза модального регулятора осуществляется в несколько этапов:

1. Определение порядка объекта управления и выбор переменных состояния.

2. Составление относительно выходной координаты характеристического уравнения для объекта управления.

3. Выбор по желаемым показателям качества нормированного уравнения, порядок которого равен порядку уравнения объекта управления.

4. Определение параметров модального регулятора из системы уравнений, составленных на основании характеристических уравнений для замкнутого объекта управления и выбранного нормированного уравнения.

Рис. 1 Электропривод с общим суммирующим усилителем

К достоинствам модальных регуляторов с точки зрения электропривода можно отнести:

ь возможность получения любого коэффициента демпфирования и быстродействия «в малом» для линейного электропривода любой сложности;

ь достижимость любой жесткости механической характеристики при заданном демпфировании;

ь робастность системы управления;

ь простоту синтеза для сложных линейных систем с высоким порядком.

Недостатки модальных регуляторов:

ь желаемая динамика достижима «в малом»;

ь отсутствует токоограничение;

ь большое число измеряемых координат, следовательно, повышенная потребность в датчиках.

Составление характеристического уравнения разомкнутой системы управления

Характеристическое уравнение разомкнутой системы управления составляется на основе математической модели объекта управления, которая может быть представлена в различных формах. Среди существующих форм представления наиболее удобной является представление дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, которое дополняется алгебраическими уравнениями выхода:

(1)

где x₁,…x_n - переменные состояния объекта управления; п - порядок объекта управления; u₁,…u_m - управляющие воздействия; m - число входов; y₁,…y_k - выходные переменные, которые необходимо регулировать; k - число выходов, k ? m.

Если порядок объекта управления невысок, характеристическое уравнение может быть получено посредством решения системы уравнений (1) относительно какой-либо выходной переменной с заменой производных d/dt оператором дифференцирования р. Однако при высоких порядках объекта управления его математическую модель целесообразно представить в пространстве состояния.

Для этого уравнения (1) записываются векторно-матричной форме следующим образом:

(2)

где A, B, C и D - матрицы коэффициентов размерности (nЧn), (nЧm), (kЧn), (kЧm) соответственно; u - вектор-функция управляющих воздействий размерности m; x - вектор-функция переменных состояния размерности n; y - вектор-функция выходных переменных размерности k.

Матрица А характеризует динамические свойства системы, матрицу В называют матрицей управления, она определяет характер воздействия входных переменных u на переменные состояния x. Алгебраическое уравнение связывает выходные переменные y с переменными состояния x через матрицу связи С. Обычно в системах автоматического управления матрица D = 0, она характеризует непосредственное воздействие входов на выходы.

Получить матрицы A, B, C и D можно, проделав определенную последовательность операций.

Шаг 1. Определяются размерности и состав векторов:

; ;.

Шаг 2. Записывают дифференциальные уравнения в таком же порядке, чтобы порядок самих уравнений соответствовал порядку переменных состояния в векторе x.

Шаг 3. В правых частях уравнений производят перегруппировку:

ь Записывают составляющие, содержащие переменные состояния. Важно, чтобы они слева направо были в том же порядке, что и переменные в векторе x, независимо от того, первое это уравнение или последующие. Если составляющая с какой-либо из переменных состояния отсутствует, это значит, что коэффициент при ней равен нулю.

ь Записывают составляющие, содержащие выходные воздействия. Они слева направо должны быть в том же порядке, что и переменные в векторе u.

Шаг 4. Размечают квадратную матрицу А, в ячейки которой последовательно заносят коэффициенты при переменных состояния в том же порядке, что и в перегруппированных уравнениях.

Шаг 5. Размечают прямоугольную матрицу В, в ячейки которой заносят коэффициенты при управляющих воздействиях.

Шаг 6. Аналогично шагам 2-5 формируют матрицы С и D.

Зачастую математическое описание в форме уравнений Коши для электроприводов уже известно. Однако могут возникнуть случаи, когда модальный регулятор применяется во внешних контурах для коррекции динамических свойств системы, которая частично уже настроена и имеет математическое описание в виде системы с одним входом и одним выходом.

Для такой системы переход от ее передаточной функции W(p) к описанию в пространстве состояний в форме (2) осуществляется следующим образом:

Шаг 1. Передаточную функцию приводят к виду:

Шаг 2. Преобразованную передаточную функцию изображают в виде структурной схемы рис. 2, которая представляет собой n последовательно соединенных интеграторов.

Шаг 3. Переходят от структурной схемы к системе дифференциальных уравнений, по которым составляются матрицы коэффициентов:

; ;

.

Получив математическую модель объекта управления, записанную в пространстве состояния (2) можно составить его матричную передаточную функцию:

,

где 1 - единичная матрица.

Таким образом, определитель F(p) = det(p1-А) и будет являться характеристическим уравнением объекта управления.

Рис. 2 Структурная схема объекта, представленная в виде последовательно соединенных интеграторов

Для синтеза модального регулятора объект управления, описываемый уравнениями (2), должен быть полностью управляемым и наблюдаемым.

Полная управляемость - это возможность перевода объекта из начального состояния x₀ в любое наперед заданное состояние x при ограниченном управляющем воздействии. Критерием полной управляемости по вектору x является равенство ранга его матрицы управляемости вида:

;

порядку системы n:

rank Q_y = n.

Наблюдаемость - возможность по выходному вектору y определить вектор состояния x. Критерий наблюдаемости: система, описываемая уравнениями (2), наблюдаема, если ранг ее матрицы наблюдаемости вида:

;

равен порядку системы n:

rank Q_н = n.

Если объект управления не обладает свойствами управляемости или наблюдаемости для него модальный регулятор неприменим.

Составление характеристического уравнения замкнутой системы управления

Замкнутая система в пространстве состояний показана на рис. 3 и представляет собой систему с параллельной коррекцией, где K - матрица коэффициентов модального регулятора размерности mЧn.

Рис. 3 Структурная схема замкнутой системы в пространстве состояний

Матричная передаточная функция замкнутой системы:

.

Таким образом, характеристическим уравнением замкнутой системы управления будет являться определитель

D(p) = det(p1-А+BK).

Чтобы упростить процедуру настройки модального регулятора, для его синтеза используются стандартные нормированные уравнения, для которых известно распределение корней на комплексной плоскости, а следовательно заранее известны обеспечиваемые показатели качества регулирования. Некоторые нормированные уравнения, применимые для электропривода представлены в табл. 1, где ф_пп - относительное время переходного процесса; у - перерегулирование.

Для получения нормированной формы исходное характеристическое уравнение п-ого порядка

приводится к виду

, (3)

для которого вводят понятие базовой частоты и относительного времени.

Относительное время соотносится с реальным временем как

, (4)

где щ_б - это базовая частота,

.

Таким образом, учитывая что

,

получим

,

где S - относительный оператор дифференцирования.

Эти преобразования приводят уравнение (3) к нормированному виду

, (5)

.

Таким образом, уравнение (5) становится сопоставимым по структуре со стандартными нормированными уравнениями, приведенными в табл. 1.

Таблица 1

Определение коэффициентов модального регулятора

Коэффициенты нормированного характеристического уравнения замкнутой системы управления (5) будут зависеть от коэффициентов матрицы K. Сопоставляя их со стандартными нормированными уравнениями, приведенными в табл. 1, можно составить систему уравнений, предназначенную для определения искомых коэффициентов модального регулятора.

Данная процедура является необходимой, но не достаточной для определения всех коэффициентов матрицы K, поскольку количество коэффициентов уравнения (5) равно п-1, а матрица K даже при одном управляющем воздействии имеет п элементов.

Для составления недостающего уравнения необходимо выбрать дополнительный критерий настройки. В качестве такого критерия может выступать желаемое время переходного процесса t_пп^* либо желаемая точность регулирования выходной переменной.

Реальное время переходного процесса будет соотноситься с относительным временем переходного процесса ф_пп, приведенным в табл. 1, по формуле (4). Таким образом, задавшись t_пп^* определяется базовая частота, на основании которой формируется недостающее уравнение для определения коэффициентов матрицы K.

С другой стороны, зная параметры модального регулятора, может быть определена жесткость механической характеристики электропривода в, которая напрямую влияет на точность регулирования. Выражения для жесткости некоторых электроприводов приведены в табл. 2. Таким образом, задавшись в^* формируется недостающее уравнение для определения коэффициентов матрицы K.

Следует отметить, что, выбрав в качестве критерия настройки модального регулятора желаемое время переходного процесса, значение жесткости может быть недопустимо низким, т.е. в < в^*. И наоборот, выбрав в качестве критерия желаемую точность регулирования, переходный процесс может быть чрезмерно затянутым, т.е. t_пп > t_пп^*. Таким образом, в синтезе модального регулятора динамические и статические показатели взаимосвязаны. Обеспечивая желаемые динамические показатели, получаем подчиненный им статический показатель, и наоборот.

При определении коэффициентов матрицы K желательно выполнять условие k_i > 0, что соответствует отрицательным обратным связям, которые обеспечивают определенную робастность системы, т. е. пониженную чувствительность к изменениям параметров и возмущающих воздействий внутри контуров.

Таблица 2

Рис. 4 Структурная схема линеаризованного электропривода с инерционным электрическим преобразователем и двухмассовой механической частью

Рис. 5 Структурная схема линеаризованного электропривода с инерционным электрическим преобразователем и одномассовой механической частью

Рис. 6 Структурная схема линеаризованного электропривода с безынерционным электрическим преобразователем

В случае если для электропривода, в силу особенностей модального регулятора, невозможно выполнить требования, предъявляемые со стороны технологического процесса, для повышения точности регулирования организуются дополнительные обратные связи по возмущающим воздействиям.

Чтобы ограничивать токи двигателя в переходных процессах дополнительно также вводятся задатчики интенсивности, ограничивающие скорость изменения управляющего воздействия и, следовательно, момент двигателя и его ток.

Размещено на Allbest.ru