Построение линейной модели объекта с помощью экспериментов на физической модели калориферной установки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Некоммерческое акционерное общество

«АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ»

Кафедра Инженерной кибернетики

Курсовая работа

По дисциплине: «Теория и техника инженерного эксперимента»

На тему: «Построение линейной модели объекта с помощью экспериментов на физической модели калориферной установки»

Специальность:6М070200-Автоматизация и управление

Выполнила: Туленбаева А.Е. Группа:МАУнп-15

Принял: профессор, к.т.н. Ибраева Л.К.

Алматы 2015



Содержание

• Введение
• 1. Описание лабораторного стенда и эксперимента
• 2. Постановка задачи
• 3. Архивные данные эксперимента
• 4. Составление систем нормальных уравнений Фишера для нахождения коэффициентов моделей

5. Результаты повторных экспериментов

6. Составление систем нормальных уравнений Фишера для нахождения коэффициентов регрессионных моделей при усредненных значениях откликов

7. Cравнительные графики значений давления и температуры воздуха на выходе установки в исходном и повторном экспериментах

8. Проверка адекватности полученных регрессионных моделей

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Регрессионный анализ заключается в определении аналитической формы связи, в которой изменение результативного признака обусловлено влиянием одного или нескольких факторных признаков, а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на результативный признак, принимается за постоянные и средние значения.

Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у и х: , где y - зависимая переменная (результативный признак); x - независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия: y = a + bx + е

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

-Полиномы разных степеней ;

-равносторонняя гипербола .

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

-Степенная ;

-показательная ;

-экспоненциальная .

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, Используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических минимальна.

Цель работы: приобретение навыков проведения экспериментов на физической модели объекта с целью получения экспериментальных данных, используемых в дальнейшем для построения регрессионных моделей.



1. Описание лабораторного стенда и эксперимента

В курсовой работе для проведения экспериментов используется лабораторный стенд "Управление тепловыми процессами в калориферной установке". Он представляет собой комплекс, состоящий из физического макета реальной установки калорифера с блоком микропроцессорного управления, реальными измерительными устройствами и компьютерным блоком управления, оснащенным специальным программным обеспечением визуализации и управления МСА.

В калорифер нагнетается воздух с температурой, равной температуре окружающей среды. Степень открытия регулирующего клапана задает расход воздуха; вентилятор и ТЭН могут быть в одном из двух положений: «включен» (1) или «выключен» (0). В зависимости от этих факторов изменяются значения температуры и давления воздуха на выходе установки.

В курсовой работе комплекс используется только для получения экспериментальных данных (назначение его шире) [1].

Программное обеспечение МСА

Специализированное программное обеспечение визуализации и управления макетом калориферного агрегата МСА помимо решения различных задач управления позволяет отразить в реальном масштабе времени графики изменения во времени температуры на входе и выходе калорифера, давления на выходе, расхода воздуха, а также записать данные в архив табличного процессора [3].

Вид окна специализированного программного обеспечения визуализации и управления макетом калориферного агрегата МСА приведен на рисунке 1.

Рисунок 1- Окно программы МСА

Описание эксперимента

Включили питание кнопкой на левой боковой панели пульта управления калориферной установки.

Включили компьютер и запустили программное обеспечение MPLAB:

- в заставке Open Previous Project на предложение «Open msa.pjt?» нажали Yes;

- появилось окно программы управления калориферной установкой;

- запустили ее. Для этого на панели MPLAB-ICD нажали <Program>;

- наблюдали процесс программирования до тех пор пока не появилось сообщение <Waiting for user command> - Ожидание команды пользователя.

Выбрали из верхнего меню MPLAB команду Debug-Run-Run. В результате действий включилась установка.

Она должна быть включена до тех пор, пока не установятся исходные параметры.

Свернули окно программного обеспечения MPLAB, открыли папку МСА12 и файл МСА12.exe.

Из открывшегося окна установили связь посредством меню Измерение - Соединить. На пульте микропроцессорного блока нажали клавишу Enter.

Включили регулирующий клапан, установили степень его открытия.

На некоторое время включили вентилятор, затем ТЭН, а затем отключили их.

Сохранили результаты экспериментов в архиве в формате xls. Файл - Сохранить - имя.xls.

Открыли этот файл из редактора Microsoft Excel, указав тип файла «Все типы файлов».

Поставили маркер в поле «С разделителями» и выбрали в качестве разделителя знак «Пробел».

В результирующем файле имеются данные об измеренных величинах с шагом 0,4 секунды. Выделили те столбцы и строки таблицы, которые отражают проводимый эксперимент.

Перенесли выбранную информацию на новый лист электронной таблицы.

По окончании работы с установкой выполнили следующие действия:

- выбрали меню Измерения - Разъединить;

- Файл - Выход;

- в основном меню Debug-Run-Reset.

2. Постановка задачи

Исследуемыми переменными являются давление и температура воздуха на выходе. Входные переменные - время, на которое включается ТЭН с вентилятором, и степень открытия регулирующего клапана (расход).

Требуется получить регрессионные модели вида

y=a₀+a₁x₁+a₂x₂,

описывающие зависимости выходных переменных (откликов -давления и температуры воздуха на выходе) от входных переменных ( факторов)-времени и степени открытия регулирующего клапана.



3. Архивные данные эксперимента

Таблица 1-Архивные данные эксперимента

T	F	P	T
0,8	0,3289	292,96	24,6
1,2	0,4567	570,31	24,2
1,6	0,3278	667,96	25,1
2	0,1645	703,12	25,3
2,4	0,7777	707,03	24,9
2,8	0,1238	714,84	24,9
3,2	0,8902	710,93	25,4
3,6	0,3425	722,65	25,1
4	0,4090	718,75	25,1
4,4	0,5673	726,56	25,1
4,8	0,2344	722,65	25,3
5,2	0,9901	714,84	25,3
5,6	0,9864	718,75	25,8
6	0,5634	710,93	25,3
6,4	0,8577	730,46	25,3
6,8	0,6078	726,56	25,4

4. Составление систем нормальных уравнений Фишера для нахождения коэффициентов моделей

Для начала найдем модель, описывающую зависимость давления от входных переменных - времени и степени открытия регулирующего клапана.

Cоставим систему нормальных уравнений по методу наименьших квадратов. Значения коэффициентов модели находятся из условия минимума суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика от полученных с помощью моделей, то есть путем минимизации функционала невязки:

S=



Найдем производные по неизвестным параметрам:

Подставим в полученную систему нормальных уравнений Фишера данные из таблицы 1 и получим следующую систему:

Найдем решение полученной системы в Matlab

Рисунок 2-Решение системы с применением Matlab методом обратной матрицы

Получили следующие коэффициенты

a₀=555,1939

a₁=36,3984

a₂=-27,4161

Уравнение модели примет вид:

Y₁=555,1939+36,3984x₁-27,4161x₂

Теперь найдем модель, описывающую зависимость температуры на выходе калориферной установки от входных переменных -времени и степени открытия регулирующего клапана.

Cоставим систему нормальных уравнений по методу наименьших квадратов. Значения коэффициентов модели находятся из условия минимума суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика от полученных с помощью моделей, то есть путем минимизации функционала невязки

S=

Найдем производные по неизвестным параметрам:

Подставим в полученную систему нормальных уравнений Фишера данные из таблицы 1 и получим следующую систему:

Найдем решение полученной системы в Matlab

Рисунок 3 - Решение системы с применением Matlab методом обратной матрицы

Получили следующие коэффициенты модели

a₀= 24,5840

a₁=0,1261

a₂=0,1259

Уравнение модели примет вид:

Y₂=24,5840+0,1261x₁+0,1259x₂

5. Результаты повторных экспериментов

Были проведены повторные эксперименты на калориферной установке при увеличении постоянной времени в 2 раза



Таблица 2 - Результаты повторных экспериментов на калориферной установке

T	F	P	T
0,8	0,3289	289,06	24,1
1,2	0,4567	568,34	24,1
1,6	0,3278	644,53	24,8
2	0,1645	691,4	24,9
2,4	0,7777	707,03	24,6
2,8	0,1238	714,84	24,2
3,2	0,8902	714,84	24,4
3,6	0,3425	722,65	25,4
4	0,4090	722,65	24,6
4,4	0,5673	718,75	25,3
4,8	0,2344	718,75	24,8
5,2	0,9901	714,84	25,1
5,6	0,9864	722,65	24,6
6	0,5634	722,65	24,9
6,4	0,8577	714,84	24,9
6,8	0,6078	718,75	25,1

Рисунок 4 -Графики значений давления воздуха на выходе установки по построенной модели и по повторным экспериментам



Рисунок 5 -Графики значений температуры воздуха на выходе установки по построенной модели и по повторным экспериментам

Как видно из рисунков, первая модель является неадекватной, вторая модель является адекватной.

Таблица 3- Усредненные значения отклика (значение давления) в каждой точке факторного пространства

№ опыта	Y11	Y12	Ycp1
1	292,96	289,06	291,01
2	570,31	568,34	569,325
3	667,96	644,53	656,245
4	703,12	691,4	697,26
5	707,03	707,03	707,03
6	714,84	714,84	714,84
7	710,93	714,84	712,885
8	722,65	722,65	722,65
9	718,75	722,65	720,7
10	726,56	718,75	722,655
11	722,65	718,75	720,7
12	714,84	714,84	714,84
13	718,75	722,65	720,7
14	710,93	722,65	716,79
15	730,46	714,84	722,65
16	726,56	718,75	722,655



Таблица 4- Усредненные значения отклика (значение температуры на выходе установки) в каждой точке факторного пространства

№ опыта	Y21	Y22	Ycp2
1	24,6	24,1	24,35
2	24,2	24,1	24,15
3	25,1	24,8	24,95
4	25,3	24,9	25,1
5	24,9	24,6	24,75
6	24,9	24,2	24,55
7	25,4	24,4	24,9
8	25,1	25,4	25,25
9	25,1	24,6	24,85
10	25,1	25,3	25,2
11	25,3	24,8	25,05
12	25,3	25,1	25,2
13	25,8	24,6	25,2
14	25,3	24,9	25,1
15	25,3	24,9	25,1
16	25,4	25,1	25,25

6. Составление систем нормальных уравнений Фишера для нахождения коэффициентов регрессионных моделей при усредненных значениях откликов

Для начала найдем регрессионную модель, описывающую зависимость давления от входных переменных - времени и степени открытия регулирующего клапана.

Cоставим систему нормальных уравнений по методу наименьших квадратов. Значения коэффициентов модели находятся из условия минимума суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика от полученных с помощью моделей, то есть путем минимизации функционала невязки



S=

Найдем производные по неизвестным параметрам:

Подставим в полученную систему нормальных уравнений Фишера данные из таблицы 3 и получим следующую систему:

Найдем решение полученной системы в Matlab

Рисунок 6-Решение системы с применением Matlab методом обратной матрицы

Получили следующие коэффициенты

a₀=551,1720

a₁=36,6394

a₂=-24,7195

Регрессионное уравнение первой модели примет вид:

Y₁=551,1720+36,6394x₁-24,7195x₂

Теперь найдем регрессионную модель, описывающую зависимость температуры на выходе калориферной установки от входных переменных - времени и степени открытия регулирующего клапана.

Cоставим систему нормальных уравнений по методу наименьших квадратов. Значения коэффициентов модели находятся из условия минимума суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика от полученных с помощью моделей, то есть путем минимизации функционала невязки

S=

Найдем производные по неизвестным параметрам:



Подставим в полученную систему нормальных уравнений Фишера данные из таблицы 4 и получим следующую систему:

Найдем решение полученной системы в Matlab

Рисунок 7-Решение системы с применением Matlab методом обратной матрицы

Получили следующие коэффициенты

a₀= 24.4668

a₁=0,1316

a₂=-0,06

Регрессионное уравнение второй модели примет вид:

Y₂=24,4668+0,1316x₁-0,06x₂



7. Сравнительные графики значений давления и температуры воздуха на выходе установки в исходном и повторном экспериментах

Рисунок 8 - Значения давления воздуха на выходе установки

Рисунок 9- Значения температуры воздуха на выходе установки

8. Проверка адекватности полученных регрессионных моделей

Проверка адекватности построенной первой модели

Проверка воспроизводимости эксперимента

Вычислить оценки дисперсии по формуле



S_g²=

Таблица 5 -Вычисленные оценки дисперсии

G	Y1I	Y1II	Ycp1	Sg2
1	292,96	289,06	291,01	7,605
2	570,31	568,34	569,325	1,94045
3	667,96	644,53	656,245	274,4825
4	703,12	691,4	697,26	68,6792
5	707,03	707,03	707,03	0
6	714,84	714,84	714,84	0
7	710,93	714,84	712,885	7,64405
8	722,65	722,65	722,65	0
9	718,75	722,65	720,7	7,605
10	726,56	718,75	722,655	30,49805
11	722,65	718,75	720,7	7,605
12	714,84	714,84	714,84	0
13	718,75	722,65	720,7	7,605
14	710,93	722,65	716,79	68,6792
15	730,46	714,84	722,65	121,9922
16	726,56	718,75	722,655	30,49805
	634,83365

Для проверки дисперсии об однородности оценок дисперсии S_g² используем критерий Кохрена. [4]

G=;

G_расч===0,432

->G_табл=0,471



Так как значение критерия G_расч, вычисленное по данным эксперимента меньше критического значения, полученного по таблице G_табл, то эксперимент воспроизводим. Гипотеза об однородности отвечает результатам эксперимента и наилучшая оценка генеральной дисперсии воспроизводимости равна: калориферный тепловой фишер

=39,677

Дисперсии оценок коэффициентов

N-число точек факторного пространства, в которых проводится эксперимент, m-число дублирующих опытов в этих точках.

Проверка гипотезы о значимости оценок коэффициентов регрессии с помощью критерия Стьюдента

Если найденная величина параметра t_j превышает значение t_кр, определенное из таблицы t-распределения для числа степеней свободы при заданном уровне значимости q %, то нуль-гипотеза отвергается и соответствующую оценку b_j коэффициента признают статистически значимой, коэффициент должен быть сохранен.В противном случае нулевую гипотезу не отвергают и оценку b_j считают статистически незначимой.

Т.к. найденные величины параметров t₀ t₁ t₂ превышают значение t_кр=2,12, определенное из таблицы t - распределения для числа степеней свободы , при заданном уровне значимости q- 0,95, то нуль-гипотеза отвергается и соответствующую оценку b_j коэффициента признают статистически значимой; коэффициенты должны быть сохранены.

Адекватность-способность построенной модели соответствовать результатам эксперимента [2].

Проверка адекватности полученного математического описания с помощью дисперсии адекватности

Y₁^{^}=551,1720+36,6394x₁-24,7195x₂

d- число членов аппроксимирующего полинома. Дисперсия адекватности определяется числом степеней свободы .

N=16

d=3

m=2

Рисунок 10 - Вычисление дисперсии адекватности

17815,04

Проверка гипотезы об адекватности проводится с использованием F-критерия Фишера:

F=

F=449

Если вычисленное значение критерия F меньше критического (F?F_кр), найденного по таблицами критерия Фишера, для соответствующих степеней свободы , при заданном уровне значимости q_ад , то нуль-гипотеза принимается. В противном случае гипотезу отвергают, и математическое описание признается неадекватным.

Т.к. вычисленное значение критерия F=449 больше Fкр=2,4, найденного по таблицам и критерия Фишера, для соответствующих степеней свободы при заданном уровне значимости q_ад, то нуль-гипотеза отвергается и математическое описание признается неадекватным.

Рисунок 11 -Графики давления воздуха по регрессионной модели и по результатам эксперимента

Проверка адекватности построенной второй модели

Проверка воспроизводимости эксперимента

Вычислить оценки дисперсии по формуле

S_g²=

Таблица 6 -Вычисленные оценки дисперсии

G	Y2I	Y2II	Ycp2	Sg2
1	24,6	24,1	24,35	0,125
2	24,2	24,1	24,15	0,005
3	25,1	24,8	24,95	0,045
4	25,3	24,9	25,1	0,08
5	24,9	24,6	24,75	0,045
6	24,9	24,2	24,55	0,245
7	25,4	24,4	24,9	0,5
8	25,1	25,4	25,25	0,045
9	25,1	24,6	24,85	0,125
10	25,1	25,3	25,2	0,02
11	25,3	24,8	25,05	0,125
12	25,3	25,1	25,2	0,02
13	25,8	24,6	25,2	0,72
14	25,3	24,9	25,1	0,08
15	25,3	24,9	25,1	0,08
16	25,4	25,1	25,25	0,045
	2,305

Для проверки дисперсии об однородности оценок дисперсии S_g² используем критерий Кохрена

G=;

G_расч===0,312

->G_табл=0,471

Так как значение критерия G_расч, вычисленное по данным эксперимента меньше критического значения, полученного по таблице G_табл [4], то эксперимент воспроизводим. Гипотеза об однородности отвечает результатам эксперимента и наилучшая оценка генеральной дисперсии воспроизводимости равна

=0,144

Дисперсии оценок коэффициентов

N-число точек факторного пространства, в которых проводится эксперимент, m-число дублирующих опытов в этих точках.

проверка гипотезы о значимости оценок коэффициентов регрессии с помощью критерия Стьюдента

Если найденная величина параметра t_j превышает значение t_кр, определенное из таблицы t-распределения для числа степеней свободы при заданном уровне значимости q %, то нуль-гипотеза отвергается и соответствующую оценку a_j коэффициента признают статистически значимой, коэффициент должен быть сохранен.В противном случае нулевую гипотезу не отвергают и оценку a_j считают статистически незначимой.

Т.к. найденные величины параметров t₀ t₁ t₂ превышают значение t_кр=2,12, определенное из таблицы t - распределения для числа степеней свободы , при заданном уровне значимости q- 0,95, то нуль-гипотеза отвергается и соответствующую оценку a_j коэффициента признают статистически значимой; коэффициенты должны быть сохранены.

Адекватность-способность построенной модели соответствовать результатам эксперимента.

Проверка адекватности полученного математического описания с помощью дисперсии адекватности

где =24,4668+0,1316x₁-0,06x₂

d- число членов аппроксимирующего полинома. Дисперсия адекватности определяется числом степеней свободы .

N=16

d=3

m=2

Рисунок 12 -Вычисление дисперсии адекватности



Проверка гипотезы об адекватности проводится с использованием F-критерия Фишера:

F=

F=0,825

Если вычисленное значение критерия F меньше критического (F?F_кр), найденного по таблицами критерия Фишера, для соответствующих степеней свободы , при заданном уровне значимости q_ад , то нуль-гипотеза принимается. В противном случае гипотезу отвергают, и математическое описание признается неадекватным.

Т.к. вычисленное значение критерия F=0,825 меньше Fкр=2,4, найденного по таблицам и критерия Фишера, для соответствующих степеней свободы при заданном уровне значимости q_ад, то нуль-гипотеза принимается и математическое описание признается адекватным.

Рисунок 13 -Графики температуры воздуха по регрессионной модели и по результатам эксперимента



Заключение

В результате выполнения данной курсовой работы были проведены эксперименты на калориферной установке, были сняты значения откликов давления и температуры воздуха на выходе калориферной установки. Были получены 2 регрессионные модели, описывающие зависимости выходных переменных - давления и температуры воздуха от входных переменных (факторов)- степени открытия регулирующего клапана и времени.

Уравнения моделей имеют вид:

Y₁=555,1939+36,3984x₁-27,4161x₂

Y₂=24,5840+0,1261x₁+0,1259x₂

Были проведены повторные эксперименты на калориферной установке в том же диапазоне изменения факторов, что и при исходном эксперименте. Построены сравнительные графики значений давления и температуры воздуха на выходе установки по построенным моделям и по результатам повторных экспериментов (рисунки 6 и 7). Из рисунков 6 и 7 видно, что построенная модель связывающая давление и входные переменные неадекватна, а модель, связывающая значения температуры и входные переменные - адекватна.

Также произвели усреднение значений откликов -значений давления и температуры, и получили уравнения моделей при усредненных значениях откликов.

По экспериментальным данным были вычислены неизвестные параметры первой регрессионной модели с использованием минимизации функционала невязки:a₀=551,1720, a₁=36,6394 и a₂=-24,7195. Был выполнен статистический анализ результатов.

При проверке воспроизводимости эксперимента гипотеза об однородности оценок дисперсий отвечает результатам эксперимента (значение критерия G=0,432 меньше Gкр=0,471) и наилучшая оценка генеральной дисперсии воспроизводимости равна .

Дисперсия оценок коэффициентов a₀ a₁ a₂ равна.

Проверка гипотезы о значимости оценок коэффициентов регрессии (проверка нуль-гипотезы) с помощью критерия Стьюдента показала, что найденные величины параметров t₀, t₁, t₂превышают значение t_кр=2,31, нуль-гипотеза отвергается и соответствующие оценки a_j коэффициентов признаются статистически значимыми; коэффициенты должны быть сохранены.

Окончательное уравнение регрессии:

У = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ = 551,1720+36,6394x₁-24,7195x₂

При проверки гипотезы об адекватности вычисленное значение критерия Фишера F=449 больше Fкр=2,4, следовательно, нуль-гипотеза отвергается и математическое описание признается неадекватным.

По экспериментальным данным были вычислены неизвестные параметры второй регрессионной модели a₀=24,4668;a₁=0,1316; a₂=-0,06.Был выполнен статистический анализ результатов.

При проверки воспроизводимости эксперимента гипотеза об однородности оценок дисперсий отвечает результатам эксперимента (значение критерия G=0,312 меньше Gкр=0,471) и наилучшая оценка генеральной дисперсии воспроизводимости равна .

Дисперсия оценок коэффициентов a₀ a₁ a₂ равна.

Проверка гипотезы о значимости оценок коэффициентов регрессии (проверка нуль-гипотезы) с помощью критерия Стьюдента показала, что найденные величины параметров t₀ t₁ t₂ t₃ превышают значение t_кр=2,12, определенное из таблицы t - распределения для числа степеней свободы , при заданном уровне значимости q %, нуль-гипотеза отвергается и соответствующие оценки a_j коэффициентов признаются статистически значимыми; коэффициенты должны быть сохранены.

Окончательное уравнение регрессии:

У =a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ = 24,4668+0,1316x₁-0,06x₂

При проверке гипотезы об адекватности вычисленное значение критерия Фишера F=0,825 меньше Fкр=2,4, нуль-гипотеза принимается, и математическое описание признается адекватным.



Список использованной литературы

1. Ибраева Л.К., Копесбаева А.А. Методические указания к расчетно-графическим работам по дисциплине «Теория и техника инженерного эксперимента» для магистрантов специальности 6М070200 - «Автоматизация и управление» - Алматы: АУЭС, 2011 - 18 с.

2. Ибраева Л.К. Теория и техника инженерного эксперимента. Конспект лекций для магистрантов специальности 6N0702 - Автоматизация и управление. - Алматы: АИЭС, 2010 - 36 с.

3. А.А.Копесбаева Программно-технические комплексы управления. Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов всех форм обучения специальностей 050702 - Автоматизация и управление - Алматы: АИЭС, 2009 - 45 с.

4. Статическая обработка результатов многофакторного эксперимента по определению момента инерции тела: методические указания к лабораторной работе/ Сост. И. П. Ефимов, Д. А. Солуянов.-- Ульяновск: УлГТУ, 2009г.-- 36 с.

Размещено на Allbest.ru

...