Расчеты типовых конструкций на прочность, жесткость и устойчивость

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

ИРКУТСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра общеинженерной подготовки

Пояснительная записка к курсовой работе

По дисциплине: Сопротивление материалов

На тему: Расчеты типовых конструкций на прочность, жесткость и устойчивость

1,006,00,00 ПЗ

Выполнил студент группы УЭТБ-13 С.Д.Худовец

Усолье-Сибирское, 2015 г.

Содержание

Введение

Задача 1. Геометрические характеристики сложного сечения

Задача 2. Расчет стержня на прочность

Задача 3. Расчет вала на прочность и жесткость

Задача 4. Расчет балок на прочность

Задача 5. Определение перемещений балки

Задача 6. Расчет на прочность вала, находящегося в условиях сложного сопротивления

Задача 7. Проектный расчет на устойчивость сжатого стержня

Задача 8. Вычисление напряжений в материале балки при ударе

Задача 9. Усталостная прочность

Заключение

Список использованной литературы

Введение

При проектировании инженерных сооружений и машин вопрос о выборе размеров отдельных частей с позиции прочности играет весьма важную роль. Для решения этой задачи приходится, прежде всего, выяснить те внешние усилия, которые действуют на сооружения, затем по этим силам необходимо определить внутренние усилия, возникающие в частях сооружений и машин. Для обеспечения прочности и долговечности сооружения нужно выбрать размеры частей так, чтобы внутренние усилия не превосходили известных норм, устанавливаемых для различных материалов на основании опытного исследования их прочности.

В данной работе необходимо выполнить ряд таких расчетов:

1. Определение геометрических характеристик сечения балки, имеющей сложный профиль.

2. Проектный расчет на прочность стержня при его растяжении или сжатии и определение деформации конструкции.

3. Проектный расчет на прочность и жесткость вала, нагруженного несколькими крутящими моментами и определение угла его закручивания.

4. Проектный и проверочный расчеты на прочность двух балок, испытывающих прямой поперечный изгиб. Выбор оптимального сечения. Определение перемещений.

5. Определение перемещений балки энергетическим методом.

6. Проектный расчет на прочность вала, находящегося в условиях сложного сопротивления.

7. Проектный расчет на устойчивость сжатого стержня.

8. Вычисление нормальных напряжений в материале балки при разных способах ее закрепления, испытывающей действие ударной нагрузки.

9. Расчет вала на усталостную прочность.

стержень вал прочность жесткость

Задача 1

Задано сечение стального бруса, который состоит из листа и профильного проката - швеллера или двутавра. Одна ось (X или Y) является общей центральной осью составного сечения (рисунок 1, а).

Требуется:

1. Привести геометрические характеристики простых составляющих сечения относительно их собственных центральных осей.

2. Вычертить сечение в масштабе с указанием основных размеров в числах и обозначением центральных осей простых составляющих сечения, параллельных вспомогательным осям.

3. Определить координаты центра тяжести всего сечения и построить на чертеже главные центральные оси, параллельные вспомогательным осям.

4. Выполнить проверку правильности выполнения третьего пункта путём вычисления статического момента всего сечения относительно общих центральных осей.

5. Определить значения главных центральных моментов инерции сечения.

6. Определить значения осевых моментов сопротивления (W_X, W_Y).

Данные взять из таблицы 1.

Таблица 1

№ схемы	Швеллер №	Двутавр №	Размеры сечения листа, см
			h2	b2
VI	10	----	18	0,8

Решение.

Геометрические характеристики швеллера относительно его собственных центральных осей (рисунок 1, б) согласно ГОСТ 8240-72 следующие:

площадь A₁ =10,9 см²,

высота сечения h₁= 100 мм = 10см,

ширина сечения b₁= 46мм = 4,6 см,

моменты инерции , ,

расстояние от центра тяжести швеллера до внешней поверхности.

Геометрические характеристики прямоугольника относительно его собственных центральных осей (рисунок 1, в) следующие:

площадь A₂ = h₂ · b₂ =18*0,8 = 14,4 см²,

моменты инерции относительно собственных центральных осей (для горизонтально расположенного прямоугольника):

18*0,8^3/12 = 0,77см⁴,

0,8*18^3/12= 388,8 см⁴.

Построение сечения в масштабе (см. рисунок 1, а).

Определение координаты центра тяжести сечения.

Строим вспомогательную систему координат. В качестве вспомогательной системы координат выбираем центральные оси швеллера и .

Определяем координаты центра тяжести сечения относительно вспомогательной системы координат. В этом примере общей центральной осью составного сечения является ось У₁(см. рисунок 1, а). На ней лежат центры тяжести прямоугольника С₁швеллера С₂.

Если общей центральной осью является ось Х₁, то во всех последующих расчетах необходимо поменять местами буквы х и у.

Для рассматриваемого сечения необходимо вычислить только одну координату , так как другая координата известна. Поскольку центр тяжести всего сечения должен лежать на прямой, соединяющей центры тяжести простых составляющих (это правило действительно для сечений, состоящих их двух частей), то в нашем случае центр тяжести лежит на оси (см. рисунок 1, а), а значит координата .

Рис. 1

Координата центра тяжести сечения определяется по формуле:

,

гдеА - площадь всего сечения; - статический момент всего сечения относительно оси Y. Для рассматриваемого примера статический момент сечения следует обозначить, как , так как определяется относительно оси .

Рассматриваемое сечение сложное. Для определения статического момента сложного сечения существует формула

,

где n - число простых составляющих сложного сечения; - статический момент i -й составляющей сложного сечения; , - координата центра тяжести и площадь i -й составляющей сложного сечения. Применительно к нашей задаче формула примет следующий вид:

.

Так как координата y в прямоугольной системе координат представляет собой кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от центра тяжести соответствующей фигуры до оси Y, то:

, =h2/2 + S - Z₀ = 18/2 + 4,5 - 1,44= 12,1см.

и определены в пункте I. Подставим в формулу полученные значения:

=0*10,9 + 12,1*14,4 =174,24см ³.

Площадь сложного сечения . Тогда для рассматриваемого случая:

10,9 + 14,4 =25,3см².

Следовательно, 174,24/25,3 = 6,89см.

Показываем на чертеже центральные оси всего сечения и . Причём эти оси строим параллельно вспомогательным осям, как показано на рисунке 1, а.

Проводим проверку правильности определения центра тяжести сечения.

В основе проверки лежит положение о том, что статические моменты сечения относительно центральных осей равны нулю. Координаты ц. т. простых составляющих сечения относительно этих осей:

0 - 6,89=- 6,89см,

3,46 + 6,89= 11,35 см,

0 - 0= 0 см,

0 - 0= 0 см.

Статические моменты сечения относительно осей и :

0*10,9 + 0*14,4 = 0см³,

- 6,89*10,9 + (11,35)*14,4= 283,54 см³

Координаты ц. т. всего сечения вычислены правильно, если получим нулевые значения.

Определяем главные центральные моменты инерции сечения.

Находим главные оси всего сечения.

Так как центробежные моменты составляющих сечений относительно собственных главных осей равны нулю, причем 2 из них совпадают, то и центробежный момент инерции всего сечения относительно этих главных осей равен нулю, и оси и - главные оси инерции всего сечения.

Вычисляем главные центральные моменты инерции всего сечения.

Поскольку главными центральными моментами инерции являются моменты инерции относительно главных центральных осей, то вычисления моментов инерции будем производить относительно осей и .

Воспользовавшись формулой определения осевых моментов инерции сложного сечения и формулой перехода между параллельными осями для осевых моментов инерции, получим

=

(20,4 + (- 6,89)²*10,9) + (3,88 + (-3,43)²*14,4) =711,1см⁴.

пределяем значения осевых моментов сопротивления.

Расстояния от соответствующих осей до наиболее удалённых точек сечения (см. рисунок 1, а):

18/2=9см,

y_max =h₁/2=5см.

Осевые моменты сопротивления

711,1/9= 79,01 см³.

Wxc = Ixc/y max = 174,77/5 = 34,954

Задача 2

Абсолютно жёсткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору А и прикреплён к стальному стержню ДС длиной L с помощью шарнира С (рисунок 2). Требуется:

1.Определить реакцию в стержне.

2.Определить продольную силу N в стальном стержне.

3.Определить площадь поперечного сечения стержня.

4.Определить удлинение стержня и величину вертикального перемещения точки С.

Данные взять из таблицы 2. Общие данные:

предел текучести материала (Ст.З) у_т =240 МПа = 240 Н/мм²;

коэффициент запаса прочности n_т =1,5;

модуль упругости (модуль Юнга) Е = 200 ГПа = 2·10⁵ Н/мм².

Таблица 2

№ схемы	а,м	в,м	L,м	F,кН
VI	2,0	2,0	2,5	28

Решение.

Изобразим реакции опор балки и составим уравнения равновесия моментов ?M_A= 0:

Плечо силы Rнайдем из равенства

откуда

d=AC•sin60⁰= 4*0,866 =3,464м.

?M_A=±Rd ± F·AB= 0 .B- точка приложения силы F.

Решим уравнение:

R = F·AB/d =28*2/3,464=16,1663кH.

Рассечем стержень и составим уравнение равновесия одной из частей:

?F_z=R - N = 0,

Продольная сила

N = R =16,1663кН =16166,3Н.

Площадь поперечного сечения найдем из условия прочности:

,

где допускаемое напряжение

.



Рисунок 2

Удлинение стержня найдем из формулы:

Дl= 16166,3*2,5/2*10⁵*1010,4=19,9*10^-5м =0,00019мм.

Перемещение точки С

= 2,3 мм.

Задача 3

К стальному валу приложены три вращающих момента (рисунок 3).

Требуется:

Построить эпюру крутящих моментов.

Определить диаметр вала (расчёты произвести из условия прочности и условия жёсткости) .

Найти угол поворота сечения стержня на свободном конце.

Данные взять из таблицы 3. Общие данные:

допускаемое касательное напряжение [ф] = 50 МПа = 50·10⁶ Па;

допускаемый относительный угол закручивания [ц₀]=0,05 м^-1;

модуль сдвига G= 80ГПа = 800·10⁸ Па.

Таблица 3

Схема	а,м	в, м	с, м	М1, кН·м	М2, кН·м	М3, кН·м
VI	2	2	1,4	10	11	6

Эпюра крутящих моментов. Вычислим крутящие моменты на отдельных участках, начиная со свободного конца

1уч. М_КР1 = М₃ =6кН•м = 6·10³Нм,

2уч. М_КР2 = М₃ - М₂=6 - 11=- 5кН•м = - 5·10³Нм,

3уч. М_КР3 = М₃-М₂+М₁=6 - 11 + 10=5кН•м = 5·10³Нм.

Построим эпюру крутящего момента.

Максимальный модуль крутящего момента возьмем с эпюры:

6 кНм = 6 ·10³Нм.

Рисунок 3

Найдем сначала диаметр вала из условия прочности , откуда полярный момент сопротивления сечения

= 6*10³ / 50*10⁶=0,00012 м³.

Момент сопротивления для круга , откуда диаметр:

 0,08434 м.

Найдем диаметр из условия жесткости:

, откуда полярный момент инерции сечения

6*10³/0,05*800*10⁸= 0,0000015 м⁴.

Полярный момент инерции для круга J_Р ? 0,1•d⁴ , отсюда диаметр

d=0,06223м.

Из двух значений диаметра примем наибольшее: d =0,0843м = 84,34мм.d

Полярный момент инерции сечения для принятого диаметра d =0,08434м

J_Р = 0,1•d⁴ = 0,1*0,08434⁴=0,0000015м⁴.

Углы закручивания на отдельных участках найдем по формуле

,

где l - длина участка.

= 1,4*6*10³/0,0000015*800*10⁸=0,07рад,

= 2*(-5)*10³/0,0000015*800*10⁸ = - 0,0833 рад,

= 2*5*10³/0,0000015*800*800*10⁸ = 0,0833 рад.

Угол поворота сечения на свободном конце стержня

0,07+(-0,0833)+0,0833 = 0,07 рад,

в градусах: = 0,07/3,14*180 = 4,012 .

Задача 4

Дана схема стальной балки (рисунок 4)

Требуется:

1. Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M.

2. Подобрать сечения следующей формы: прямоугольное (h/b = k); круглое; кольцевое (б = d/D); двутавровое.

3. Оценить эффективность формы сечения.

Для всех вариантов принять:

допускаемое напряжение = 240 МПа = 240·10⁶ Па,

модуль упругости (модуль Юнга) E= 2•10⁵ МПа.

Остальные данные взять из таблицы 4.

Таблица 4

Схема №	а1, м	а2, м	q, кН/м	F, кН	М, кН·м	k	б
VI	1,2	1,0	28	10	15	2,0	0,9

Рисунок 4

Решение.

Определяем опорные реакции балки на двух опорах. Заданная балка зафиксирована в двух сечениях с помощью шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной опор. Конец балки удерживается опорой А. Характер прикладываемой нагрузки обуславливает необходимость определения только вертикальных реакций опор и , так как горизонтальная составляющая реакции в опоре А равна нулю ().

R_A+R_B-F-ga₁= 0

R_B*a₁-F*(a₂+a₁)-g*a²₁/2= 0,

Решим уравнения:

R_В == = 32,333кН,

R_А = - R_B+F+g*a₁= -32,333+10+28*1,2 = 75,933кН.

Эпюра поперечной силы:

Для консольной балки строится, начиная со свободного конца С.

Сеч. C: Q = F= 10кН,

сеч. В (справа): Q = F = 10кН,

сеч. B (слева): Q = 10-32,333 =10+32,333= 42,333кН,

сеч. А: Q = R_A=75,933кН.

Нарисуем эпюру (рисунок 4).

Эпюра изгибающего момента.

Сеч. C: М_и = 0=0 кН,

сеч. B: М_и = -F*BC=-10*1= -10 кНм,

сеч. А: М_и = 0кНм.

z = Q/g = 11/28 = 0,39 м.

сеч. D: М_и = R_A*z-g*z²/2 = 11*0,39-28*0,39²/2=2,16кНм.

Нарисуем эпюру (рисунок 4).

Определение размеров сечений. Максимальный (по модулю) изгибающий момент найдем на эпюре:

|M_и|_max= 10кНм =10•10³Нм.

Момент сопротивления сечения изгибу из условия прочности

0,042·10^-3 м³.

Подбираем прямоугольное сечение.Соотношение сторон .

Так как для прямоугольного сечения момент сопротивления относительно оси X : и по условию , то:



, откуда

= 0,079 м = 7,9см,

7,9/2 = 3,95см.

Подбираем круглое сечение.

Для круглого сечения осевой момент сопротивления ; тогда

0,8·10^-1 м = 8 см.

Подбираем кольцевое сечение. Отношение диаметров

Для кольцевого сечения осевой момент сопротивления . Тогда

= 1,24*10^-1 м = 12,4 см,

12,4*0,9= 11,16см.

Подбираем двутавровое сечение.

Момент сопротивления двутавра должен быть не менее требуемого W_Х =42см³.

По ГОСТ 8239-89 принимаем двутавровую балку № 12 сближайшим бульшим значением момента сопротивления, значение которого отвечает условию проектировочной задачи:

58,4см³. Рисунок 4а

3. Оцениваем эффективность формы сечения.

Для чего сравниваем площади всех подобранных сечений.

7,9*3,9 = 30,81см²,

3,14*8²/4 = 50,24 см²,

3,14*8²*(1-0,9²)/4= 9,5см²,

4,8см².

Наиболее эффективной формой сечения балки (балка с наименьшим весом) является двутавровое сечение, наименее эффективной - круглое сплошное сечение.

Задача 5

Задана консольная балка постоянной жесткости (EJ = const), рисунок 5.

Требуется:

Определить по правилу Верещагина вертикальное перемещение точки В

Данные взять из таблицы 5.

Таблица 5

Схема №	q, кН/м	F, кН	M, кН·м	l, м
I	16	14	5	1,6

Рисунок 5

Обозначим на схеме балки:

т. А - жесткая заделка,

т. В - свободный конец балки,

С - точка приложения силы или момента либо граница участка действия распределенной нагрузки, расположенные между концами балки.

5.1 Эпюры изгибающего момента от отдельных видов нагрузки (грузовые).

а) от распределенной нагрузки:

Сеч. В: М_и = 0 кН,

сеч. С: М_и = - g*e*e/2= -16*1,6*1,6/2= -20,5 кНм,

сеч. А: М_и = -g*e*1,5e= -16*1,6*1,5*1,6= -61,4кНм.

б) приложим в т. В единичную нагрузку, направленную вверх, и построим эпюру изгибающего момента и от нее:

сеч. В: М_и = 0 кН,

сеч. А: М_и = 1*2e = 3,2 м.

Построим эпюру.

Перемещение т. В от распределенной нагрузки. Вычислим площадь эпюры изгибающего момента, применяя готовые формулы (h - высота криволинейного треугольника,a - длина основания:

S₁ = a*h = -20,5*1,6 = -32,8

z₁ = e/2 = 1,6/2 = 0,8

S₂ = (-61,4+20,5)*1,6 = -65,44

z₂ = e/3 = 1,6/3 = 0,53

S₃ = ah/3=-20,5*1,6/3 = -109,4кНм²,

координата ее центра тяжести

z₃ = a/4+l= -20,5/4+1,6= -3,525 м,

Общее

S = S₁+S₂+S₃ = -32,8 + (-65,4+(-10,9)) = -109,4

z = S₁ z₁ + S₂ z₂ + S₃ z₃ /S = -32,8*0,8+(-65,44*0,53)+(-10,9*(-3,525)/(-109,4) = 0,21

ордината (высота графика) эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести грузовой эпюры

М⁰_с=2l - z= 3,2 - 0,21= 2,99м,

перемещение т. В равно

у₁ = м.

Задача 6

Вал трансмиссии (рисунок 6.1) делает n оборотов в минуту и передаёт мощность N кВт.

Требуется:

1.Определить моменты, приложенные к шкивам 1 и 2.

2.Построить эпюру крутящих моментов Мкр.

3.Определить окружные усилия t₁и t₂, действующие на шкивы 1 и 2, по найденным моментам и заданным диаметрам D₁ и D₂.

4.Построить эпюру изгибающих моментов.

5.Найти опасное сечение и определить величину максимального расчётного момента по третьей теории прочности.

6.Подобрать диаметр вала d при [у_р] = 70 МПа =70·10⁶ Па.

Данные взять из таблицы 6.

Таблица 6

№ строки	Схема	N, кВт	п, об/мин	а, м	в, м	с, м	D1, м	D2, м	а1, градус	а2, градус
VI	II	60	1000	1,6	1,8	2,0	1,6	1,6	100	30

N=60 ·10³ Вт .

Угловая скорость вала:

=104,7 рад/с.

Моменты приложенные к шкивам:

= 573,07Нм.

Эпюра крутящих моментов (см. рисунок 6.1):

между шкивами M_к = М₁ Нм,

на остальных участках вала M_к = 0.

Окружные усилия. Из уравнения равновесия моментов, приложенных к шкиву:

следует

= 716,34 Н,

= 716,34 Н,

T₁ = 2t₁ =2*716,34= 1432,68 H,

T₂ = 2t₂ =2*716,34= 1432,68H.



Рисунок 6.1

Решение.

Разложим силы натяжения ремней на составляющие:

1432,68*(- 0,17)=-243,56H,

1432,68*0,98= 1404,03H,

716,34*(-0,17)= -121,7778H,

716,34*0,98= 702,0123H,

1432,68*0,87= 1246,4316 H,

1432,68*0,5= 716,34H,

716,34*0,87= 623,216H,

716,34*0,5= 358,2H.

Покажем действующие силы на рисунке 6.1.

Рисунок (6.2,6.3)

Нарисуем силы, которые видны, если смотреть по направлению оси ОХ (рисунок 6.2).

Составим уравнения равновесия для вертикальных сил:

.R_A+R_B+T_1,y +t_1,y+ T_2,y +t_2,y= 0,

(Т_2,y+t_2,y)*a+R_B,y(a+b)+(T_1,y +t_1,y)*(a+b+c) = 0,

Решим уравнения:

R_Ву =(T_2,y+t_2,y)*a - (T_1,y+t_1,y)*(a+b+c) = (702,01+623,216)*1,6+243,56(-121,7778)*(1,6+1,8+2)= 817,05 Н,

R_Ау =-R_B-T_1,y -t_1,y- T_2,y -t_2,y= -702,01 - 623,216 - 817,05 - 243,56 + 121,7778 = - 2264,05 Н.

Эпюра изгибающего момента. На концах вала он равен нулю.

От левого конца сеч. C:

М_х = a*R_Ay= 1,6*(- 2264,05)= - 3622,48Нм,

от правого конца сеч.B:

М_х = C*(T_1,y+t_1,y)= 2*(- 243,56+(-121,7778))= - 730,6756Нм.

Нарисуем эпюру.

Нарисуем силы, которые видны, если смотреть навстречу (сверху) оси ОУ (рисунок 6.3).

Составим уравнения равновесия для горизонтальных сил:

УX = R_A+R_B+T_1,x +t_1,x+ T_2,x +t_2,x= 0

(T_2,X+t_2,X)*a+R_B,X(a+b)+(T_1,X+t_1,X)= 0,

Решим уравнения:

R_Вх =(T_2,X+t_2,X)*a-(T_1,X+t_1,X)*(a+b+c) = (1246,4316+358,2)*1,6-(1404,03+702,01)*(1,6+1,8+2)= 8805,22Н,

R_Ау =-R_B-T_1,x -t_1,x- T_2,x-t_2,x= 1246,4316-358,2+8805-1404,03-702,01 = 7587,2 Н.

Эпюра изгибающего момента. На концах вала он равен нулю.

От левого конца сеч.C:

М_у = a*R_A,X= 1,6*7587,2= 12139,50Нм,

от правого конца сеч. B:

М_у = c*(T_1,X+t_1,X)=2*(1404,03+702,01) = 4212,1Нм.

Нарисуем эпюру.

Опасные сечения: в т. B

Вычислим расчетные моменты в этих сечениях по третьей теории прочности:

в т. B

= 4313,216Нм.

Диаметр вала подберем из условия прочности:

, где =70МПа=70•10⁶Па

.

Для круга:,

отсюда

8,509·10^-2 м = 85,09мм.

Задача 7

Стальной стержень длиной l сжимается силой F (рисунок 7).

Требуется:

1. Найти размеры поперечного сечения стержня при допускаемом напряжении =160 Мпа = 160 ·10⁶ Па , пользуясь методом последовательных приближений.

2. Определить величину критической силы, если предельная гибкость равна .

3. Вычислить коэффициент запаса устойчивости.

4. Модуль упругости материала Е = 2·10¹¹ Па.

Данные взять из таблицы 7.

Таблица 7

Схема №	Форма сечения №	F, кН	l, м
II	VI	600	3,0

F = 600·10³ Н.



Рисунок 7

м =0,7- коэффициент приведенной длины стержня, зависящий от характера закрепления его концов.

Решение.

1. Размеры поперечного сечения стержня определим исходя из условия устойчивости

,

где - коэффициент снижения расчетного сопротивления материала при продольном изгибе.

Тогда

,

В расчётной формуле имеются две неизвестные величины - коэффициент и искомая площадь A. Поэтому при подборе сечения необходимо использовать метод последовательных приближений.

Для упрощения расчётов выразим геометрические характеристики сечения через размер d.

Площадь поперечного сечения:

А= 2d*2d - Пd²/4=2d²(4 - П/4) = 6,43d²

(7.1)

Минимальный момент инерции (потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жёсткости) определяется следующим образом:

2d*(2d)³/12-Пd⁴/64 =d⁴(16 - П/64) = 15,95d⁴.(7.2)

Минимальный радиус инерции:

== 1,575d.(7.3)

Приближение 1. В первом приближении коэффициент продольного изгиба обычно принимают , тогда

= 0,0075м²,

Пользуясь выражениями (7.1), получим

d₁ = =0,0346м,

Из(7.3) следует

1,575*0,0346 = 0,0545 м.

Расчётная гибкость колонны:

= 38,5321

По таблице 7а определяем значение коэффициента , соответствующего этой гибкости. Найденное значение л₁расположено между л^-и л⁺, которым соответствуют значения коэффициента ц^-и ц⁺.

Таблица 7а

Путём линейной интерполяции:

0,92+* (38,5-50) = 0,8945.

Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении. Напряжение

= 80000000 Па.

Отличие от допускаемого составляет:

*100? = 44,103% > 5%,

что недопустимо. Следовательно, необходимо уточнение требуемых размеров сечения.

Приближение 2. За новое значение коэффициента принимаем среднее арифметическое первых двух

Повторяем расчеты

= 0,00396м²,

Пользуясь выражениями (1), получим

d₂ = =0,0248м,

Из(3) следует

i_{min 2} = 1,575*0,0248 =0,03906 м.

Расчётная гибкость колонны:

= 50,56344

Проверим выполнение условия устойчивости. Рабочее напряжение

= 151515151,515 Па.

Отличие от допускаемого составляет:

 = *100? = 4,9% < 5%,

Окончательно принимаем:

d₂ = 0,0248м,

A₂ = 0,00396м²,

Из (7.2) находим

I_min = I_{min 2} = 15,95*0,0248 = 0,39556 м⁴,

i_min = i_{min 2} =0,03906м,

50,56

Находим величину критической силы.

Так как = 100, то используем формулу Эйлера для определения критической силы:

= 1,7688Н.

Если 40 <л< 100, применяется формула Ясинского

,

где а = 310 МПа, b= 1,14 Мпа:

F_кр = 310 - 1,14*50,56 = 252,3616 МПа = 252,3616*10⁶Па

F_кр=кр*А₂ = 252,3616*10⁶*0,00396 = 999351,936 Н.

Коэффициент запаса устойчивости.

= 1,6656> 1.

Запас устойчивости достаточный.

Задача 8

На балку, закрепленную на двух жёстких опорах (рисунок 8), с высоты h падает груз F.

Требуется:

1. Найти наибольшее нормальное напряжение в балке.

2. Решить аналогичную задачу при условии, что правая опора заменена пружиной, податливость которой равна б.

3. Сравнить полученные результаты.

4. Модуль упругости Е = 2·10¹¹ Па.

Данные взять из таблицы 8.

Таблица 8

Схема №	№ двутавра	l, м	F, Н	h, м	б, м/Н
VI	36	3,0	500	0,6	26*10- 6

Рисунок 8

Обозначим точки: А - неподвижная шарнирная опора, В - подвижная шарнирная опора, С - точка приложения силы.

Найдем напряжение при статической нагрузке.

Реакции опор. Составим уравнения равновесия:

?M_A=R_В•АВ - F·AС= 0 .

R_A+R_B -F = 0

Решим уравнения:

R_B = F·АС/AB = 500*3*3/4/3*3/4+3/4 = 375Н,

R_А = F - R_B= 500 - 375= 125 Н.

Эпюра изгибающего момента. На концах балки он равен нулю.

От левого конца сеч.C:

М_и = R_A*3e/4= 125*2,25 = 281,25 Нм,

Нарисуем эпюру.

Опасное сечение в т. C|M_и|_max= 281,25Нм.

Для двутавра № 36 момент сопротивления сечения равен:

Момент инерции сечения

J_x =13380 cм⁴ = 13380·10^-8 м⁴.

Модуль максимального нормального напряжения при статическом нагружении:

= 281,25/743*10⁶=0,3785*10⁶Па.

Статическую деформацию (прогиб) точки приложения силы найдем с помощью универсального уравнения:

,

где прогиб балки на левой опоре y₀ = 0.

В нашем случае уравнение примет вид

,

где координата точки приложения силы b =АС =2,25.

Для отыскания угла поворота сечения балки на левой опоре используем условие:

у_В= 0, z = z_B= l.

Подставим в уравнение:

Подставим значения:

0 = 2*10¹¹*13380*10^-8*3a_o+125*3³/6 - 500*(3 - 2,25)³/6

- 0,00002 рад.

Прогиб балки под силой F:

=АС =2,25

Выразим отсюда

2,25*(- 0,00002)+125*2,25/6*2*10¹¹*1338*10^-8= - 0,00018м.

Напряжение при ударе

Коэффициент динамичности:

1 + = 82,6557

Максимальное напряжение при ударе:

_{= 82,6557*0,3785*10}⁶_{= 31,285*10}⁶Па.

Правая опора заменена пружиной податливостью а:

Т.к. жесткость пружины, то деформация пружины

= 375*26*10^-6 = 9750*10^-6

Перемещение точки приложения силы (без учета изгиба балки) найдется из пропорции:

,

отсюда

9750*10^-6*2,25/3 = 7312,5*10^-6м

Коэффициент динамичности:

1+=2,003

Напряжение

2,003*0,3785*10⁶ = 0,75814*10⁶Па.

.

Таким образом, при повышении податливости конструкции напряжения при ударе уменьшаются.

Задача 9

Проверить прочность ступенчатого вала круглого сечения (рисунок 9) с диаметрами D и d из углеродистой стали 45 с характеристиками: у_в = 700 МПа, ф_т = 220 МПа, ф_-1 = 160 МПа. Коэффициент запаса прочности [n] = 1,6. В галтели и коэффициент упрочнения от обдувки дробью Вал испытывает переменное кручение при М_max, М_min.

Данные взять из таблицы 9.

Таблица 9

D, мм	d, мм	Мmax, Нм	Мmin,Нм
64	32	415	-300

Рисунок 9

Решение. Допускаемое касательное напряжение

Для стали с при с/d = 0,1 эффективный коэффициент концентрации

Коэффициент влияния на выносливость всех факторов

Допускаемое напряжение при симметричном цикле

Характеристика заданного цикла

-300/415 = -0,723

Допускаемое напряжение

2*138*86/(1+0,723)*138+(1+(-0,723))*86=90,734Мпа

Полярный момент сопротивления сечения для круга

W_p? 0,2d³ = 0,2*0,032³= 0,00001 м³.

Максимальное рабочее напряжение

415/0,00001 =41500000/1000000Па =41,5МПа <90,734 Мпа

Условие прочности выполнено.

Заключение

Для обеспечения надежности конструкции проведены проектные и проверочные расчеты на прочность, жёсткость и устойчивость типовых элементов инженерных конструкций: балок, валов, стержней и рам, находящихся в разных условиях нагружения.

Список использованных источников

1. Павлов П.А. Сопротивление материалов: учеб. пособие / П.А. Павлов, Л.К. Паршин, Б.Е. Мельников и др. СПб: Лань, 2011. 560 с.

2. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов: Учеб. пособие для техн. вузов / И.Н. Миролюбов, С.А. Енгалычев, Н.Д. Сергиевский и др. СПб: Лань, 2011. 512 с.

3. Степин Т.А. Сопротивление материалов : учебное пособие. СПБ.: Лань, 2010. ?320 с.

Размещено на Allbest.ru

...