Выбор настроек ПИ-регулятора для инерционного объекта управления второго порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Цель курсовой работы

2. Постановка технической задачи и исходные данные

3. Порядок выполнения курсовой работы

3.1 Определение передаточной функции объекта управления

3.2 Расчет корней характеристического уравнения. Построение

кривой разгона

3.3 Теоретическая часть расчета КЧХ объекта

3.4 Построение КЧХ объекта

3.5 Теоретические сведения, требуемые для построения зоны устойчивости АСР

3.6 Построение зоны устойчивости АСР

3.7 Теоретические сведения, необходимые для аналитического расчета оптимальных настроек ПИ-регулятора

3.8 Построение линии m=0.48 и определение оптимальных

настроек ПИ-регулятора

3.9 Теоретические сведения, требуемые для построения КЧХ разомкнутой АСР

3.10 Построение КЧХ разомкнутой АСР. Определение запаса устойчивости по модулю и фазе

3.11 Выбор настроек ПИ-регулятора по методу Кона

3.12 Выбор настроек ПИ-регулятора по методу

3.13 Сравнение переходных процессов регулирования с оптимальными настройками ПИ-регулятора, полученными различными методами

Вывод

Список использованной литературы



1. Цель курсовой работы

- формирование знаний теории линейных одноконтурных автоматических систем регулирования (АСР);

- закрепление умений применять на практике инженерные способы выбора настроек регулятора и анализа переходных процессов регулирования с использованием цифровой и аналоговой вычислительной техники;

- приобретение профессиональных знаний путём моделирования на ЭВМ, графических построений и сравнительного анализа результатов.



2. Постановка технической задачи и исходные данные

1. Для объекта управления, который описан дифференциальным уравнением 2-го порядка с запаздыванием, выбрать регулятор, который способен обеспечить заданное качество переходных процессов регулирования.

2. С использованием ЭВМ вычислить настройки регулятора, проверить предусмотренный переходный процесс расчётом его координат и моделированием на ЭВМ.

3. Проверить наличие запасов устойчивости АСР по модулю и по фазе, а также исследовать влияние на них свойств объекта и настроек регулятора.

4. Оценить эффективность различных инженерных способов выбора настроек, таких как: метод Кона, метод Копеловича, а также расчётный метод.

Исходные данные для выполнения данной курсовой работы приведены в таблице 1.

Таблица 1 Исходные данные

№ варианта	Параметры уравнения динамики объекта регулирования	Показатель колебания
	ед.	с	с	с
6	1.6	4	30	10	0.48



3. Порядок выполнения курсовой работы

Способ, который применяется в данной работе для расчёта настроек регулятора, основанный на свойствах комплексно-частотной характеристики, расширенной по показателям колебания. Поэтому вычисления проводятся в частотной области, т.е. путём перехода от передаточных к частотным функциям. Конечный результат - , поэтому для сопоставления одного из показателей качества - первого динамического отклонения с конечным отклонением на неуправляемом объекте при одинаковом возбуждении необходимо иметь передаточную функцию объекта, которая может быть дана в виде кривой разгона.

3.1 Определение передаточной функции объекта управления

Результаты математического описания действующего объекта управления, который создаётся, наиболее часто представлены в виде дифференциального уравнения. Для теплоэнергетики характерны объекты, которые имеют инерционность и запаздывание, поэтому их дифференциальные уравнения могут иметь вид

(1)

где t- независимая переменная (время);

- выходная координата (регулируемая величина);

- входная координата (воздействие, которое вызывает возмущение);

- транспортное запаздывание (время);

a₀,a₁,a₂,b₀- параметры (коэффициенты) уравнения.

При рационализации записи (1) путём деления на коэффициент a₀получают

(2)

где - постоянная времени, характеризующая колебательные возможности объекта;

- постоянная времени, характеризующая демпфирирующие возможности объекта;

- коэффициент передачи объекта по каналу возмущения.

Решение дифференциального уравнения (1) удобно выполнять с применением способа операторного преобразования Лапласа. Соответственно передаточная функция объекта по каналу возмущения будет иметь вид

, (3)

где S - оператор преобразования Лапласа;

- передаточная функция звена чистого запаздывания.

Передаточная функция объекта по каналу регулирования может и по инерционным свойствам, и по коэффициенту передачи отличаться от канала возмущения. Однако часто различие заключается только в разных коэффициентах передачи , тогда

(4)

Изображение по Лапласу выходной функции объекта можно получить, если «пропустить» через объект входное воздействие

(5)

(6)

(7)

и записать изображение выходной функции в виде дроби

(8)

Для перехода от изображения выходной функции к её оригиналу можно применять метод Хевисайда. Метод заключается в формальном получении оригинала путём нахождения корней знаменателя дроби (4) как характеристического уравнения. Корни подставляют в формулу Хевисайда

, (9)

где А(0), А(р_i) - числитель дроби (4);

-значение преобразованного характеристического уравнения при нулевом корне и первой производной этого же уравнения при i-м корне;

p_i - корни преобразованного характеристического уравнения;

n - общее число корней.

(10)



Если корни характеристического уравнения , - вещественные и отрицательные, решение (1) следующее:

(11)

(12)

3.2 Расчёт корней характеристического уравнения. Построение кривой разгона

Вычисление корней характеристического уравнения р₂ и р₃ при р₁=0, а также построение кривой разгона объекта 2-го порядка осуществляется при помощи соответствующих инженерных пакетов программ.

Рисунок 1. Кривая разгона объекта 2-го порядка с запаздыванием.



3.3 Теоретическая часть расчёта комплексно-частотной характеристики объекта

Перевод задачи в частотную область совершается путём формальной замены полной комплексной независимой s её чисто комплексной частью

(13)

С учётом того, что , а , запишем

(14)

График КЧХ можно построить на плоскости в полярных или прямоугольных координатах. В первом случае запись выражения КЧХ представляется в виде модуля и аргумента комплексного числа

где М_об- модуль;

- аргумент.

В другом - в виде действительной и мнимой его частей. Далее (для сокращения) будем писать

Поэтому действительную и мнимую чисти КЧХ объекта по каналу регулирования можно определить по формулам



(15)

(16)

Действительная и фиктивная части КЧХ являются проекциями модуля на действительную и фиктивную оси комплексной плоскости. Модуль и аргумент КЧХ можно найти по формулам

(17)

(18)

3.4 Построение комплексно-частотной характеристики объекта

При расчёте координат для вектора КЧХ необходимы выходные данные - параметры уравнения объекта . По результатам вычислений построить график КЧХ при помощи соответствующего инженерного пакета программ.



Рисунок 2. КЧХ объекта.

3.5 Теоретические сведения, требуемые для построения зоны устойчивости АСР

При анализе устойчивости одноконтурной АСР (рисунок 3), которая включает в себя объект и ПИ-регулятор, в первую очередь необходимо выяснить, в каких пределах можно варьировать параметры его настроек K_p иT_u для каждой из возможных частот без риска получить переходный процесс регулирования, который расходится.

То есть в плоскости параметров K_p иT_u (удобнее -и ) определяется область, внутри которой все комбинации настроек дадут устойчивые затухающие переходные процессы (ПП).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3. Схема одноконтурной АСР, которая включает в себя объект 2-го порядка с запаздыванием и ПИ-регулятор.

Передаточная функция ПИ-регулятора имеет вид:

(19)

Эквивалентная передаточная функция замкнутой АСР по каналу регулирования

(20)

Характеристическое уравнение замкнутой АСР

(21)

Если оценивать устойчивость замкнутой АСР с применением критерия Найквиста-Михайлова, то задачу необходимо перевести в частотную область. Тогда получим

(22)

где - действительная часть КЧХ ПИ-регулятора;

- мнимая часть КЧХ ПИ-регулятора.

Отсюда можно получить выражения для определения настроек, соответствующих пределам устойчивости АСР

(23)

Каждому значению круговой частоты отвечает пара значений параметров настроек и.

3.6 Построение зоны устойчивости АСР

Для данной АСР предел области устойчивости должен размещаться в верхней полуплоскости параметров. При увеличении запаздывания плоскость области устойчивости должна резко сокращаться. Построение зоны устойчивости осуществляется при помощи соответствующего инженерного пакета программ.



Рисунок 4. Графическое изображение зоны устойчивости АСР.

3.7 Теоретические сведения, необходимые для аналитического расчёта оптимальных настроек ПИ-регулятора

Определению подлежат настройки, которые лучше обеспечивают заданную степень колебания (степень затухания) для ПП

где и -соответственно 1-е 3-е динамические отклонения регулированной величины от значения, которое установилось. Эти отклонения определяются непосредственно по графику ПП, но степень затухания может быть определена и другим путём

, (24)

Корневой показатель колебания, в свою очередь, связана с комплексной плоскостью корней характеристического уравнения АСР; буквально означает модуль отношения действительной части комплексного корня к мнимой. Комплексная плоскость корней уравнения показана на рис.3. С теории автоматического управления известно, что если сопряженные корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости корней, то ПП имеет затухающую колебательную составляющую. Характеристическое уравнение 3-го порядка может иметь, кроме этого, действительный корень, который тоже должен находиться в левой полуплоскости. Он обуславливает наличие монотонной составляющей в результирующем ПП. Уравнения более высоких порядков могут иметь несколько пар корней, однако значение, которое определяет для результирующего ПП, имеет та пара корней, которая характеризуется н6аименьшим (по модулю) отношением действительной координаты к мнимой

, (25)

Все другие корни должны находиться внутри мнимого сектора, образованного началом координат, «опасной», близкой к фиктивной, оси, парой корней (рис.3). С изложенного видно, что настройки регулятора на значение коэффициента затухания ПП, который требуется, можно найти, определив для характеристического уравнения АСР граничную пару корней.

Это требование равносильно построению расширенной КЧХ, которая

(26)

должна быть получена из (3) путём заменыSна ( потому, что корень должен находиться в левой полуплоскости).

С учётом (31) можно заменить на . Для унификации вида ПП значение m условно нормированы, обычно применяются значения 0.22; 0.30; 0.37; 0.48.

Таким образом для заданного объекта расширенная по m КЧХ;

- корневой показатель колебательности

p₂, p₃ - «опасная» пара корней характеристического уравнения 5-го порядка.

Рисунок 5. Размещение корней характеристического уравнения АСР на комплексной плоскости.

Связь корневой показатель колебательности с корнями уравнения

(27)



После выполнения преобразований получим для построения расширенной КЧХ:

- по модулю и аргументу

(28)

- по действительной частью и мнимой

(29)

Легко заметить, что при m=0 выражения (28) и (29) сводятся к выражениям для обычной КЧХ данного объекта.

Формулы для определения пар настроек на всём диапазоне частот, которые обеспечивают заданное значение степени колебательности, могут быть получены из характеристического уравнения замкнутой АСР (22). Однако вместо составляющих необходимо подставить в неё соответственно

Эти настройки будут найдены из условия сечения графиком расширенной КЧХ замкнутой системы критической (в смысле критерия Найквиста-Михайлова) точки с координатами (-1,j), т.е. из условия

, (30)

(31)

Формулы (31) выражаются из формулы (23) при m=0. Необходимые данные (кроме тех, которые применялись на 1-м этапе вычислений) - построение области устойчивости АСР при m=0. Частота, при которой достигается оптимальная настройка регулятора, определяется по виду граничной кривой.

По результатам вычислений в области параметров настроек строится линия m=const, она должна размещаться внутри пределов устойчивости. На ней размещена точка, которая соответствует оптимальным настройкам Kp^*, Tu^*.Важным дополнительным условием для выделения этой точки может служить квадратичный интегральный критерий качества ПП. Он позволяет устранить влияние знака отклонения на общую оценку качества. Расчёт критерия на ЭВМ выполняется по формуле

(32)

где I - квадратичный критерий качества, ПП;

- зависимость модуля КЧХ замкнутой АСР от частоты;

-приращение (шаг изменения) частоты.

Частота, соответствующая минимуму квадратичного критерия, является собственной частью колебаний ПП, а настройки регулятора - оптимальными для достижения заданного значения степени колебательности.



3.8 Построение линии m = 0.48 и определение оптимальных настроек ПИ-регулятора

Рисунок 6. Графическое изображение линии m = 0.48.

Следуя теории, максимум построенной кривой - оптимальные настройки ПИ-регулятора. При помощи трассировки находим следующие значения:

с



Для наглядности объединим графическое изображение зоны устойчивости и линии m = 0.48 (рисунок 7)

Рисунок 7. Графическое изображение зоны устойчивости (2) и линии m = 0.48 (1).



3.9 Теоретические сведения, требуемые для построения КЧХ разомкнутой АСР

Как и раньше, дана КЧХ - Wpc() рассчитывается и строится по действительной и мнимой составляющими.

(33)

Или с учётом КЧХ ПИ-регулятора

(34)

Отсюда получим

(35)

По результатам вычислений необходимо построить график КЧХ и, ориентируясь на критерий Найквиста-Михайлова, определить запас устойчивости АСР по модулю - С и по фазе - .Изменением значения Kp и Tu можно исследовать влияние настроек регулятора на запасы устойчивости АСР.



3.10. Построение КЧХ разомкнутой АСР. Определение запаса устойчивости по модулю и фазе

Рисунок 8. Графическое изображение КЧХ разомкнутой АСР

3.11 Выбор настроек ПИ-регулятора по методу Кона

Метод разработан в 60-е года профессором кафедры АТП Л.И. Коном. Он ориентирован на регулирование многоемкостных тепловых процессов, которые имеют запаздывание.

Отдельной особенностью метода является аппроксимация сложного объекта цепью простых инерционных звеньев 1-го порядка. Таким образом, объект управления идентифицируется моделью с передаточной функцией:

Была построена кривая разгона (см. пункт 3.2.) и обработана, в результате чего найдены величины:

с с

Определяем соотношение

Это даёт возможность применить таблицы приведенных настроек Кона. Таким образом, для ,, оптимально приведенные настройки и необходимо брать в строке, соответствующей минимальному значению линейного критерия качества ПП, , , . Отсюда определим оптимальные настройки ПИ-регулятора по методу Кона:

c

3.12 Выбор настроек ПИ-регулятора по методу Копеловича

В предложенном методе принято три типичных переходных процесса регулирования: апериодический (неколебательный), процесс с 20%-м регулированием и процесс с минимальной квадратичной ошибкой . Для установления соответствия с такими критериями качества ПП, как и, можно приблизительно вычислить

		Тип ПП регулирования
0,22	0,75
0,37	0,90	20%-е регулирование
0,48	0,96	апериодический процесс

Для принятого типичного процесса и ПИ-регулятора номограммы Копеловича позволяют определить по параметру настройки и .

Таким образом, для и при помощи одной из номограмм

А.П. Копеловича для апериодического процесса.

с.

3.13 Сравнение переходных процессов регулирования с оптимальными настройками ПИ-регулятора, полученными различными методами

Рассмотрим влияние оптимальных параметров ПИ-регулятора на переходный процесс регулирования, полученных следующими методами:

1. методом Копеловича: с.

2. расчетным (аналитическим) методом по линии m= 0.48: с

3. методом Кона: c.



Рисунок 9. Структурная схема АСР для инерционного объекта 2-го порядка с запаздыванием.

Рисунок 10. Переходные процессы регулирования АСР с ПИ-регулятором и объектом 2-го порядка с запаздыванием:

1 - ПП регулирования с настройками ПИ-регулятора, рассчитанными по расширенной КЧХ;

2 - ПП регулирования с настройками ПИ-регулятора, рассчитанными по методу Копеловича;

3 - ПП регулирования с настройками ПИ-регулятора, рассчитанными по методу Кона.

При нахождении местоположения настроек ПИ-регулятора, полученных разными методами, на графике области устойчивости системы, можно увидеть, что все настройки находятся внутри области устойчивости системы (рисунок 11).

Рисунок 11. Сравнение настроек ПИ-регулятора.



Вывод

В данной курсовой работе для инерционного объекта управления второго порядка с запаздыванием был выбран ПИ-регулятор, который способен обеспечить заданное качество переходных процессов регулирования. Оптимальные настройки ПИ-регулятора были рассчитаны тремя способами: аналитическим методом (при помощи расширенной КЧХ), методом Л.И.Кона, методом А.П.Копеловича. Аналитический метод основан на построении расширенной КЧХ, на максимуме которого находятся оптимальные настройки ПИ-регулятора, т.е. по оси х находят значение К_р , а по оси у - отношение , из которого находят время изодрома . Методы Кона и Копеловича основаны на обработке кривой разгона объекта второго порядка с запаздыванием, т.е. нахождении полного запаздывания и времени разгона . По отношению по методу Кона выбираются оптимальные настройки ПИ-регулятора из таблиц приведенных настроек Кона, а по методу Копеловича при m = 0.48 - по номограмме Копеловича для апериодического процесса. Таким образом, получив три переходных процесса регулирования при помощи соответствующего инженерного пакета программ, можно провести сравнительный анализ трёх методов. При выборе настроек по методу Копеловича, получаем наименьшее первое максимальное отклонение Дx_1, но наибольшее время регулирования, кроме того существует большая вероятность погрешности при работе с номограммой. Аналитический метод хоть и даёт большое Дx₁, но даёт намного меньше время регулирования. В инженерной практике целесообразнее использовать метод Кона для выбора оптимальных настроек, т.к. он хоть и даёт больше первое отклонение, но даёт достаточно меньшее время регулирования, чем в двух остальных случаях, и проще осуществляется с точки зрения аналитики. Также была построена КЧХ разомкнутой АСР. В результате были сформированы знания теории линейных одноконтурных автоматических систем регулирования (АСР); закрепились умения применять на практике инженерные способы выбора настроек регулятора и анализа переходных процессов регулирования с использованием ЭВМ, а также приобретены профессиональные знания путём моделированияна ЭВМ, графических построений и сравнительного анализа результатов.



Список использованной литературы

1. Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теория автоматического управления» для студентов ТА /О.Н. Харабет - Одесса: ОДПУ, 2000

2. Методические указания и таблицы для выбора настроек ПИ- и П - регуляторов в одноконтурных системах регулирования тепловых объектов с запаздыванием. /Л.И.Кон. - Одесса: ОПИ, 1975

3. Климовицкий М.Д., КопеловичА.П.. Автоматический контроль и регулирование в чёрной металлургии: Справочник. - М.: Металлургия, 1967.-с.372-378; 417-425.

4. Иващенко Н.Н.. Автоматическое регулирование. - М.: Машиностроение, 1978. - с. 403-420.

5. Стефани Е.П. Основы расчёта настройки регуляторов теплоэнергетических процессов. - М.: Энергия, 1972.-с.198-211; 330-341.

6. Методические указания по методике моделирования на аналоговых вычислительных машинах / Ю.К.Тодорцев, А.Н.Гайдар, В.Г.Килимник - Одесса: ОПИ, 1982.

7. Попович М.Г., Ковальчук О.В..Теорія автоматичного керування: Підручник для вищих технічних закладів освіти. - К.: Либідь, 1997.

8. Головко Д.Б., Рего К.Т., Скрипник Ю.О.. Автоматика і автоматизація технологічних процесів. - К.: Либідь, 1997.

Размещено на Allbest.ru

...