Основы теории автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

ВИРУМААСКИЙ КОЛЛЕДЖ

ТАЛЛИНСКОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Основы теории автоматического управления

Учебное пособие

Краткий конспект лекций

Подготовил

Сергей Чекрыжов

Кохтла-Ярве 2008

Учебное пособие написано по материалам курса «Основы автоматики».

Данное учебное пособие разработано на основе конспектов лекций по курсам «Промышленная автоматика», «Автоматизация производств.

Особенностью является ориентация на студентов химической специальности. В пособии кратко излагаются методы и средства, наиболее широко используемые в топливно-энергетической и химической промышленностях.

Пособие рекомендуется для знакомства с основами теории управления и методами измерения..

- Теория автоматического управления - содержит основные понятия и математические основы проектирования систем регулирования;

Пособие содержит материалы, полезные при дипломном проектировании и при курсах переобучения.

Современные технологии управления производственными системами направлены на решение следующих главных задач:

Ш повышение технико-экономической эффективности производства за счёт улучшения процесса сбора, обработки информации и её использования для целей управления;

Ш эффективность решения задачи оценивается стоимостью проектирования и реализации задачи, удобством и обеспечением оперативным взаимодействием человека-оператора и программно-технической части системы ( человеко-машинного интерфейса и т.д.);

Ш обеспечение безопасности производства и его соответствия существующим европейским требованиям;

Ш показателями эффективности решения данной задачи являются: надежность, экологичность, безопасность производства, включающего как элемент систему управления и т.д.

Лекция 1. Основные термины и определения ТАУ

1.1 Основные понятия

Для поддержания качества выпускаемой продукции, все показатели технологического режима величины необходимо поддерживать постоянными или изменять по определенному закону. Данный процесс называется управлением. регулятор устойчивость автоматизация датчик

В общем случае управление - это динамический процесс перевода системы из текущего состояния в заданное.

Управление процессами вручную не всегда представляется возможным , поскольку в системах управления человек-операторов становится «слабым звеном» по быстродействию, силовым возможностям, информационной избыцточности или недостаточности и воообще потому что он - человек.. Автоматическое управление- это управление, осуществляемое без участия человека. Под разработкой автоматических систем регулирования понимается, во-первых, выбор соответствующих регуляторов, датчиков и исполнительных устройств, во-вторых, расчет параметров настроек этого оборудования. Теория автоматического управления (ТАУ) представляет собой математический инструмент для решения задач синтеза таких систем.

Определимся с основными понятиями.

Физические величины, определяющие ход технологического процесса, называются параметрами технологического процесса. Например, температура, давление, расход, напряжение, состав и т.д.

Параметр технологического процесса, который необходимо поддерживать постоянным или изменять по определенному закону, называется регулируемой величиной или регулируемым параметром.

Значение регулируемой величины в данный момент времени называется мгновенным значением.

Значение регулируемой величины, полученное в данный момент времени на основании измерений , называется ее измеренным значением.

Объект управления (объект регулирования) - система, требуемый режим выходных параметров которой должен изменяться или поддерживаться управляющими воздействиями.

Управление - формирование управляющих воздействий (чаще всего -энергетических потоков), обеспечивающих требуемый режим работы объекта управления (ОУ).

Регулирование - частный вид управления, когда задачей является обеспечение постоянства какой-либо выходной величины ОУ.

Автоматическое управление - управление, осуществляемое без непосредственного участия человека.

Входное воздействие (Х) - воздействие, подаваемое на вход системы или устройства.

Выходное воздействие (Y) - воздействие, выдаваемое на выходе системы или устройства.

Внешнее воздействие - воздействие внешней среды на систему.

Структурная схема системы регулирования температуры изображена на рисунке 1.2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Любая система управления (ручного, автоматического или автоматизированного) в обязательном порядке содержит четыре элемента (или четыре множества элементов), объединенных в замкнутый контур передачи воздействий (см. рисунок 1.6):

- объект управления,

- управляющая часть,

- датчик (датчики),

- исполнительное устройство (устройства).

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Рисунок 1.2

Датчик (Д) - устройство или комплекс устройств, преобразующих измеряемый параметр технологического процесса в вид, удобный для дальнейшей передачи и использования. Как правило, технологические параметры неудобно или невозможно контролировать (наблюдать, выводить на пульт оператора и т.д.) напрямую без дополнительных технических средств. Например, температуру нельзя наблюдать визуально, контроль температуры тела возможен только в сравнении со степенью нагретости какого-либо другого тела. Чтобы контроль параметров стал возможен, используют разного рода датчики, которые преобразуют измеряемые параметры в показания на шкале прибора (показывающие датчики, например, ртутный термометр), в разность потенциалов (например, термопары) в сопротивление (термометры сопротивления), в давление).

Датчик измеряет технологический параметр, преобразует его в другой вид энергии и передает управляющей части.

Управляющая часть реализует алгоритмы управления. В автоматических системах управления этой частью является регулятор, для систем ручного управления - человек-оператор. В управляющей части генерируются управляющие воздействия на объект управления (например, решения на включение/выключение, изменения напряжения и т.д.). Для реализации управляющих воздействий служат исполнительные устройства (ИУ).

Работа датчиков и исполнительных устройств в отличие от управляющей части заключается лишь в преобразовании энергии, изменения информации в них практически не происходит (если не считать погрешности). Поэтому при анализе и синтезе систем управления чаще эти части СУ опускают, считая их коэффициенты усиления равными «1». Наиболее часто в ТАУ при расчетах пользуются общей схемой одноконтурной АСР (см. рисунок 1.3).

На схеме приняты обозначения: x - задающее воздействие (задание), e = х - у - ошибка регулирования, u - управляющее воздействие, f - возмущающее воздействие (возмущение).

Элемент называется сумматором. Его действие заключается в суммировании поступающих к нему сигналов. Если какой-либо сектор сумматора зачернен, то сигнал, поступающий в данный сектор, берется со знаком «минус». Поэтому в данной схеме ошибка е определяется как разность между х и у.

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Рисунок 1.3

Определения:

Выходное значение, параметр - технологические параметры, которые характеризует состояние обекта управления.

Задающее воздействие (то же, что входное воздействие х) - воздействие, определяющее желаемый закон изменения регулируемой величины.

Управляющее воздействие (u) - воздействие управляющего устройства на объект управления.

Управляющее устройство (Р) - устройство, осуществляющее расчёт управляющего воздействия на объект управления с целью обеспечения требуемого режима работы.

Возмущающее воздействие (f) - ненаблюдаемое и неизмеряемое случайное воздействие,которое изменяет состояние объекта управления и приводит к изменеию выходных парамеитров .

Отклонение , рассогласование (е = х - у) - разность между заданным (х) и действительным (у) значениями регулируемой величины.

Регулятор (Р) - комплекс устройств, присоединяемых к регулируемому объекту и обеспечивающих автоматическое поддержание заданного значения его регулируемой величины или автоматическое изменение ее по определенному закону.

Автоматическая система регулирования (АСР) (система автоматического регулирования САР) - автоматическая система с замкнутой цепью воздействия, в котором управление (u) вырабатывается в результате сравнения истинного значения у с заданным значением х.

Дополнительная связь в структурной схеме АСР, направленная от выхода к входу рассматриваемого участка цепи воздействий, называется обратной связью (ОС).

Обратная связь может быть отрицательной или положительной.

Принцип функционирования одноконтурной АСР: регулятор производит постоянное сравнение текущего значения регулируемой величины у с заданным значением х, определяя ошибку е = х - у. Если текущее значение равно заданному, то регулятор не изменяет управляющее воздействие (АСР работает в установившемся режиме), в противном случае управляющее воздействие на объект u изменяется в соответствии с величиной ошибки. Чем больше ошибка регулирования (и дольше она наблюдается), тем больше изменение управляющего воздействия.

Данная схема справедлива как для автоматического, так и для ручного управления. При ручном регулировании человек-оператор, наблюдая за показаниями датчиков, мысленно сравнивает их с заданными значениями, т.е. определяет величину ошибки регулирования и, исходя из этого, решает, какие действия предпринимать.

1.2 Классификация АСР

1 По назначению (по характеру изменения задания):

стабилизирующая АСР - система, алгоритм функционирования которой содержит предписание поддерживать регулируемую величину на постоянном значении (x = const);

программная АСР - система, алгоритм функционирования которой содержит предписание изменять регулируемую величину в соответствии с заранее заданной функцией (x изменяется программно, например, как функция времени);

следящая АСР - система, алгоритм функционирования которой содержит предписание изменять регулируемую величину в зависимости от заранее неизвестной величины на входе АСР (x изменяется произвольно).

2 По количеству контуров:

одноконтурные - содержащие один контур регулирования (одну обратную связь по регулируемому параметру),

многоконтурные - содержащие несколько контуров регулирования (несколько обратных связей, например, по нескольким параметрам, по скорости/ускорению изменения параметра и т.д.).

3 По числу регулируемых величин:

одномерные - системы с одной регулируемой величиной,

многомерные - системы с несколькими регулируемыми величинами.

Многомерные АСР в свою очередь подразделяются на системы:

а) несвязанного регулирования, в которых регуляторы непосредственно не связаны и могут взаимодействовать только через общий для них объект управления;

б) связанного регулирования, в которых регуляторы различных параметров одного и того же технологического процесса связаны между собой вне объекта регулирования.

4 По функциональному назначению:

АСР температуры, давления, расхода, уровня, напряжения и т.д.

5 По характеру используемых для управления сигналов:

непрерывные,

дискретные (релейные, импульсные, цифровые).

6 По характеру математических соотношений:

линейные, для которых справедлив принцип суперпозиции;

нелинейные.

Примечание - Если на вход объекта подается несколько входных воздействий, то реакция объекта на сумму входных воздействий равна сумме реакций объекта на каждое воздействие в отдельности:

(х₁ + х₂) = (х₁) + (х₂),

где - линейная функция (интегрирование, дифференцирование и т.д.).

Данный принцип называется принципом суперпозиции (наложения).

7 По виду используемой для регулирования энергии:

пневматические,

гидравлические,

электрические,

механические и др.

8 По наличию внутреннего источника энергии

· системы прямого действия,

· системы с вспомогательным источником энергии.

9 По принципу регулирования:

по отклонению:

Подавляющее большинство систем построено по принципу обратной связи - регулирования по отклонению (см. рисунок 1.5). Принцип действия такой системы рассмотрен выше.

по возмущению.

Данные системы могут быть использованы в том случае, если есть возможность измерения возмущающего воздействия (см. рисунок 1.6).

На схеме обозначено К - корректирующее звено.

комбинированные - сочетают в себе особенности предыдущих АСР.

Данный способ (см. рисунок 1.7) достигает высокого качества управления, поскольку идет коррекция управляющего воздействия не только по величине ошибки, но и по возмущающему воздействию

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

1.3 Классификация элементов систем

Системы управления строятся из элементов (устройств, к числу которых можно отнести регуляторы, датчики, исполнительные устройства, а также элементы объекта управления). Элементы СУ также можно классифицировать по нескольким признакам.

1 По функциональному назначению:

измерительные,

усилительно-преобразовательные,

исполнительные,

корректирующие.

2 По виду энергии, используемой для работы:

электрические,

гидравлические,

пневматические,

механические,

комбинированные.

3 По наличию или отсутствию вспомогательного источника энергии:

активные (с источником энергии),

пассивные (без источника).

4 По характеру математических соотношений:

линейные - для которых справедлив принцип суперпозиции,

нелинейные.

5 По поведению в статическом режиме:

статические, у которых имеется однозначная зависимость между входным и выходным воздействиями (состояние статики). Примером является любой тепловой объект. Например, если на вход электрического нагревателя подать некоторое напряжение, то с течением времени его температура установится на соответствующем значении При этом установившаяся температура будет зависеть от величины поданного напряжения.

астатические - у которых эта зависимость отсутствует. То есть, при постоянном входном воздействии амплитуда сигнала на выходе непрерывно растет с постоянной скоростью, ускорением и т.д. Пример: Зависимость угла поворота ротора электродвигателя от приложенного напряжения. При подаче напряжения угол поворота будет постоянно возрастать, поэтому однозначной зависимости у него нет (пример см. на рисунке 1.8, б).

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

а)б)

Рисунок 1.8

Лекция 2. Характеристики и модели элементов и систем

2.1 Основные модели

Работу системы управления можно описать словесно. Словесное описание помогает понять принцип действия системы, ее назначение, особенности функционирования и т.д. Однако, что самое главное, оно не дает количественных оценок качества управления, поэтому не пригодно для изучения характеристик систем и построения систем автоматизированного управления. В ТАУ используются формализованные математические методы описания свойств систем:

статические характеристики,

временные характеристики,

дифференциальные уравнения,

передаточные функции,

частотные характеристики и др.

В любой из этих моделей система может быть представлена в виде звена, имеющего входные воздействия Х, возмущения F и выходные воздействия Y (см. рисунок 2.1). Под влиянием входных воздействий выходная величина может изменяться.

Установившийся режим - это режим, при котором расхождение между истинным значением регулируемой величины и ее заданным значением будет постоянным во времени.

2.2 Статические характеристики

Статической характеристикой элемента называется зависимость установившихся значений выходной величины от значения величины на входе системы, т.е.

y_уст = (х).

Статическую характеристику (см. рис. 2.2) часто изображают графически в виде кривой у(х).

Линейным статическим элементом называется безынерционный элемент, обладающий линейной статической характеристикой:

у_уст = К*х + а₀.

Как видно, статическая характеристика элемента в данном случае имеет вид прямой с коэффициентом наклона К.

Линейные статические характеристики, в отличие от нелинейных, более удобны для изучения благодаря своей простоте. Если модель объекта нелинейна, то обычно ее преобразуют к линейному виду путем линеаризации.

САУ называется статической, если при постоянном входном воздействии ошибка управления е стремится к постоянному значению, зависящему от величины воздействия.

САУ называется астатической, если при постоянном входном воздействии ошибка управления стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия.

2.3 Временные характеристики

Переход системы от одного установившегося режима к другому при каких-либо входных воздействиях называется переходным процессом. Переходные процессы могут изображаться графически в виде кривой y(t).

Например, процесс нагрева сушильного шкафа до установившегося значения может иметь вид, представленный на рисунке 2.3.

То есть переходный процесс характеризует динамические свойства системы, ее поведение.

Следует различать динамические и статические характеристики, поскольку они строятся в разных координатах и характеризуют различные свойства системы. Зная набор динамических характеристик при различных входных воздействиях, можно построить статическую характеристику, но по статической характеристике восстановить динамику невозможно.

Поскольку входные воздействия могут изменяться во времени, то и переходные характеристики будут каждый раз разные. Для простоты анализа систем входные воздействия приводят к одному из типовых видов сигналов (см. рисунок 2.4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

В зависимости от вида входного воздействия функция у(t) может иметь разное обозначение:

Переходной характеристикой h(t) называется реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие (сигнал) при нулевых начальных условиях, т.е. при х(0) = 0 и у(0) = 0.

Импульсной характеристикой (t) называется реакция объекта на -функцию при нулевых начальных условиях.

При подаче на вход объекта синусоидального сигнала на выходе, как правило, в установившемся режиме получается также синусоидальный сигнал, но с другой амплитудой и фазой: y = A_вых*sin(*t + ), где A_вых - амплитуда, - частота сигнала, - фаза.

Частотной характеристикой (ЧХ, АФХ и др.) называется зависимость амплитуды и фазы выходного сигнала системы в установившемся режиме при приложении на входе гармонического воздействия.

2.4 Дифференциальные уравнения

Известно, что любое движение, процессы математически можно описать в виде дифференциальных уравнений . Любые процессы в АСР также можно описать дифференциальными уравнениями, которые определяют сущность происходящих в системе процессов независимо от ее конструкции и т.д. Решив эти уравнеия , можно найти характер изменения регулируемой переменной в переходных и установившихся режимах при различных воздействиях на систему.

Для упрощения задачи решения дифференциальных уравнений , описывающего работу АСР в целом, систему разбивают на ее отдельные элементы, переходные процессы в которых описываются достаточно простыми дифуравнениями.

Для каждого элемента структурной схемы необходимо составить дифуравнение , определяющее зависимость изменения выходной величины от входной.

Так как выходная величина предыдущего элемента является входной для последующего, то, определив дифуравнения отдельных элементов, можно найти дифуравнение системы.

Однако такой метод применим только в частных случаях.

В большинстве случаев в реальных элементах системы связь между входной и выходной величинами является нелинейной и часто задается в графической форме. Поэтому, даже если ДУ системы и будет получено, оно будет нелинейным. А аналитическое решение нелинейных ДУ возможно далеко не всегда.

Для решения этой проблемы учитывают, что в процессе регулирования отклонения всех изменяющихся величин от их установившихся значений малы, и поэтому возможна замена нелинейных ДУ приближенными линейными ДУ, то есть возможна линеаризация дифференциальных уравнений.

Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления, поскольку позволяет от решения ДУ перейти к решению алгебраических уравнений.

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (3.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторы sⁿ, знаков интегралов на множители , а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

Таблица 3.1 - Преобразования Лапласа

Оригинал x(t)	Изображение X(s)
-функция	1
1
t
t2
tn
e-t
.x(t)	.X(s)
x(t - )	X(s).e-s
	sn.X(s)

Таблица 3.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)

Изображение X(s)	Оригинал x(t)
	a R, M R (a и М - действительные числа)	M.e-t
	a = + j. M = C + j.D (a и М - комплексные числа)	2.e*t.[C.cos(.t) - D.sin(.t)] для пары комплексных корней

Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.

Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при нулевых начальных условиях.

(4.1)

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к определению ее передаточной функции.

2.5 Примеры типовых звеньев

Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую природу (электрические, пневматические, механические и др. звенья), но описываться одинаковыми ДУ, а соотношение входных и выходных сигналов в звеньях описываться одинаковыми передаточными функциями.

В ТАУ выделяют группу простейших звеньев, которые принято называть типовыми. Статические и динамические характеристики типовых звеньев изучены достаточно полно. Типовые звенья широко используются при определении динамических характеристик объектов управления. Например, зная переходную характеристику, построенную с помощью самопишущего прибора, часто можно определить, к какому типу звеньев относится объект управления, а следовательно, его передаточную функцию, дифференциальное уравнение и т.д., т.е. модель объекта. Типовые звенья Любое сложное звено может быть представлено как соединение простейших звеньев.

К простейшим типовым звеньям относятся:

· усилительное,

· инерционное (апериодическое 1-го порядка),

· интегрирующие (реальное и идеальное),

· дифференцирующие (реальное и идеальное),

· апериодическое 2-го порядка,

· колебательное,

· запаздывающее.

1) Усилительное звено.

Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функция W(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления.

Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (см. рисунок 4.1).

у = K^.x.

При ступенчатом воздействии h(t) = K.

Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и др.

2) Интегрирующее.

2.1) Идеальное интегрирующее.

Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины:

;W(s) =

При подаче на вход звена ступенчатого воздействия x(t) = 1 выходной сигнал постоянно возрастает (см. рисунок 4.2):

h(t) = K^.t.

Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.

Примером такого звена может служить емкость, наполняемая жидкостью. Входной параметр - расход поступающей жидкости, выходной - уровень. Изначально емкость пуста и при отсутствии расхода уровень равен нулю, но если включить подачу жидкости, уровень начинает равномерно увеличиваться.

2.2) Реальное интегрирующее.

Передаточная функция этого звена имеет вид

W(s) = .

Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой (см. рис. 4.2):

h(t) = K^.(t - T) + K^.T^.e ^-t/T.

Примером интегрирующего звена является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, если в качестве входного воздействия принять напряжение питания статора, а выходного - угол поворота ротора. Если напряжение на двигатель не подается, то ротор не двигается и угол его поворота можно принять равным нулю. При подаче напряжения ротор начинает раскручиваться, а угол его поворота сначала медленно вследствие инерции, а затем быстрее увеличиваться до достижения определенной скорости вращения.

3) Дифференцирующее.

3.1) Идеальное дифференцирующее.

Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:

;W(s) = K*s

При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (-функцию):h(t) = K^.(t).

3.2) Реальное дифференцирующее.

Идеальные дифференцирующие звенья физически не реализуемы. Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям, передаточные функции которых имеют вид

W(s) = .

Переходная характеристика: .

Пример звена: электрогенератор. Входной параметр - угол поворота ротора, выходной - напряжение. Если ротор повернуть на некоторый угол, то на клеммах появится напряжение, но если ротор далее не вращать, напряжение снизится до нуля. Резко упасть оно не может вследствие наличия индуктивности у обмотки.

4) Апериодическое (инерционное).

Этому звену соответствуют ДУ и ПФ вида

;W(s) = .

Определим характер изменения выходной величины этого звена при подаче на вход ступенчатого воздействия величины х₀.

Изображение ступенчатого воздействия: X(s) = . Тогда изображение выходной величины:

Y(s) = W(s) X(s) = = K x₀ .

Разложим дробь на простые:

= + = = - = -

Оригинал первой дроби по таблице: L^-1{} = 1, второй:

L^-1{} = .

Тогда окончательно получаем

y(t) = K x₀ (1 - ).

Постоянная Т называется постоянной времени.

Большинство тепловых объектов являются апериодическими звеньями. Например, при подаче на вход электрической печи напряжения ее температура будет изменяться по аналогичному закону (см. рисунок 4.4).

5) Звенья второго порядка

Звенья имеют ДУ и ПФ вида

,

W(s) = .

При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой х₀ переходная кривая будет иметь один из двух видов: апериодический (при Т₁ 2Т₂) или колебательный (при Т₁ < 2Т₂).

В связи с этим выделяют звенья второго порядка:

· апериодическое 2-го порядка (Т₁ 2Т₂),

· колебательный (Т₁ < 2Т₂),

· консервативное (Т₁ = 0).

6) Запаздывающее.

Если при подаче на вход объекта некоторого сигнала он реагирует на этот сигнал не моментально, а спустя некоторое время, то говорят, что объект обладает запаздыванием.

Запаздывание - это интервал времени от момента изменения входного сигнала до начала изменения выходного.

Запаздывающее звено - это звено, у которого выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием :

y(t) = x(t - ).

Передаточная функция звена:

W(s) = e^-s.

Примеры запаздываний: движение жидкости по трубопроводу (сколько жидкости было закачано в начале трубопровода, столько ее выйдет в конце, но через некоторое время, пока жидкость движется по трубе), движение груза по конвейеру (запаздывание определяется длиной конвейера и скоростью движения ленты) и т.д.

Соединения звеньев

Поскольку исследуемый объект в целях упрощения анализа функционирования разбит нами на звенья, то после определения передаточных функций для каждого звена встает задача объединения их в одну передаточную функцию объекта. Вид передаточной функции объекта зависит от последовательности соединения звеньев:

1) Последовательное соединение.

W_об = W₁^.W₂^.W₃…

При последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются.

2) Параллельное соединение.

W_об = W₁ + W₂ + W₃ + …

При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются.

3) Обратная связь

Передаточная функция по заданию (х):

«+» соответствует отрицательной ОС,

«-» - положительной.

Для определения передаточных функций объектов, имеющих более сложные соединения звеньев, используют либо последовательное укрупнение схемы, либо преобразуют по формуле Мезона [26].

Передаточные функции АСР

Для исследования и расчета структурную схему АСР путем эквивалентных преобразований приводят к простейшему стандартному виду «объект - регулятор» (см. рисунок 1.27). Практически все инженерные методы расчета и определения параметров настройки регуляторов применены для такой стандартной структуры.

В общем случае любая одномерная АСР с главной обратной связью путем постепенного укрупнения звеньев может быть приведена к такому виду.

Если выход системы у не подавать на ее вход, то получается разомкнутая система регулирования, передаточная функция которой определяется как произведение:

W = W_p^.W_y

(W_p - ПФ регулятора, W_y - ПФ объекта управления).

То есть последовательность звеньев W_p и W_y может быть заменена одним звеном с W. Передаточную функцию замкнутой системы принято обозначать как Ф(s). Она может быть выражена через W:

Ф_з(s) = = .

(далее будем рассматривать только системы с обратной отрицательной связью, поскольку они используются в подавляющем большинстве АСР).

Данная передаточная функция Ф_з(s) определяет зависимость у от х и называется передаточной функцией замкнутой системы по каналу задающего воздействия (по заданию).

Для АСР существуют также передаточные функции по другим каналам:

Ф_e(s) = = - по ошибке,

Ф_в(s) = = - по возмущению,

где W_у.в.(s) - передаточная функция объекта управления по каналу передачи возмущающего воздействия.

В отношении учета возмущения возможны два варианта:

- возмущение оказывает аддитивное влияние на управляющее воздействие (см. рисунок 1.29,а);

- возмущение влияет на измерения регулируемого параметра (см. рисунок 1.29,б).

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

а)б)

Рисунок 1.29

Пример. Определение передаточных функций АСР.

Структура АСР представлена на рисунке 1.30. Требуется определить передаточные функции регулятора, объекта, разомкнутой системы, замкнутой системы и характеристические выражения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Рисунок 1.30

Параметры K₀ = 1, K₁ = 3, K₂ = 1,5, K₄ = 2, K₅ = 0,5.

В структурной схеме АСР звенья, соответствующие регулирующему устройству, стоят перед звеньями объекта управления и генерируют управляющее воздействие на объект u. По схеме видно, что к схеме регулятора относятся звенья 1, 2 и 3, а к схеме объекта - звенья 4 и 5.

Учитывая, что звенья 1, 2 и 3 соединены параллельно, получаем передаточную функцию регулятора как сумму передаточных функций звеньев:

.

Звенья 4 и 5 соединены последовательно, поэтому передаточная функция объекта управления определяется как произведение передаточных функций звеньев:

.

Передаточная функция разомкнутой системы:

откуда видно, что числитель В(s) = 1,5^.s² + 3^.s + 1, знаменатель (он же характеристический полином разомкнутой системы) А(s) = 2^.s³ + 3^.s² + s. Тогда характеристический полином замкнутой системы равен:

D(s) = A(s) + B(s) = 2^.s³ + 3^.s² + s + 1,5^.s² + 3^.s + 1 = 2^.s³ + 4,5^.s² + 4^.s + 1.

Передаточные функции замкнутой системы:

по заданию ,

по ошибке .

При определении передаточной функции по возмущению принимается W_у.в. = W_оу. Тогда

.

2.6 Определение параметров передаточной функции объекта по переходной кривой

Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных о переходном процессе, называется идентификацией объекта.

Предположим, что при подаче на вход некоторого объекта ступенчатого воздействия была получена переходная характеристика (см. рисунок 1.31). Требуется определить вид и параметры передаточной функции.

Предположим, что передаточная функция имеет вид

(инерционное звено с запаздыванием).

Параметры передаточной функции: К - коэффициент усиления, Т - постоянная времени, - запаздывание.

Коэффициентом усиления называется величина, показывающая, во сколько раз данное звено усиливает входной сигнал (в установившемся режиме), и равная отношению выходной величины у в установившемся режиме ко входной величине х:

,

Установившееся значение выходной величины у_уст - это значение у при t .

Запаздыванием называется промежуток времени от момента изменения входной величины х до начала изменения выходной величины у.

Постоянная времени Т может быть определена несколькими методами в зависимости от вида передаточной функции. Для рассматриваемой передаточной функции 1-го порядка Т определяется наиболее просто: сначала проводится касательная к точке перегиба, затем находятся точки пересечения с осью времени и асимптотой y_уст; время Т определяется как интервал времени между этими точками.

В случае, если на графике между точкой перегиба имеется вогнутость, определяется дополнительное запаздывание _доп, которое прибавляется к основному: = + _доп.

Лекция 3.

3.1 Понятие устойчивости линейных систем

Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменении его по определенному закону. При отклонении регулируемого параметра от заданной величины (например, под действием возмущения или изменения задания) регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой.

Необходимое и достаточное условие устойчивости формулируется следующим образом: Звено или система называются устойчивыми, если переходная составляющая с течением времени стремится к нулю:

.

Если выходной сигнал звена или системы y(t) рассматривать как сумму двух составляющих

y(t) = y_уст + у_п(t),

где - установившееся значение y(t), у_п(t) - переходная составляющая, тоу_п(t) = y(t) - y_уст.

Если у_п(t) с течением времени стремится к бесконечности, звено или система называются неустойчивыми. Другими словами:

.

Примеры переходных процессов для каждого случая приведены на рисунке 5.2

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Рисунок 5.2

3.2 Качество процессов управления

3.2.1 Показатели качества

Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качество регулирования может быть определено визуально по графику переходной кривой, однако имеются точные методы, дающие конкретные числовые значения.

Показатели качества разбиты на 4 группы:

1) прямые - определяемые непосредственно по кривой переходного процесса;

2) корневые - определяемые по корням характеристического полинома;

3) частотные - по частотным характеристикам;

4) интегральные - получаемые путем интегрирования функций.

Корневые, частотные и интегральные критерии качества называют также косвенными, поскольку они в отличие от прямых определяют качество системы не непосредственно по переходной кривой, а по косвенным характеристикам (передаточным функциям, ЧХ и т.д.). В этом заключается достоинство данных критериев: они не требуют построения переходной кривой. Однако информация для косвенных критериев на практике не всегда доступна (не всегда известна, например, передаточная функция рассматриваемого объекта).

3.2.2 Прямые показатели качества

К ним относятся: степень затухания , перерегулирование , статическая ошибка е_ст, время регулирования t_p и др.

Предположим, переходная кривая, снятая на объекте, имеет колебательный вид (см. рисунок 1.47).

По ней определяется установившееся значение выходной величины

.

Степень затухания определяется по формуле

,

где А₁ и А₃ - соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой.

Перерегулирование = , где y_max - максимум переходной кривой.

Статическая ошибка е_ст = х - у_уст, где х - входная величина.

Время достижения первого максимума t_м определяется по графику.

Время регулирования t_p определяется следующим образом: определяется допустимое отклонение и строится «коридор» шириной 2. Время t_p соответствует последней точке пересечения y(t) с данной границей. То есть время, когда колебания регулируемой величины перестают превышать допустимого отклонения от установившегося значения.

Обычно допустимое отклонение принимается равным 5 % от установившегося значения: = 5% у_уст. Однако оно может быть и другим. Например, если у_уст = 0, то допустимое отклонение принимается равным 5 % от амплитуды А₁.

Оптимальные значения времени регулирования, времени достижения первого максимума, перерегулирования и статической ошибки соответствуют минимальным значениям (чем меньше, тем лучше). Степень затухания, наоборот, должна быть максимально большой (максимум равен 1).

3.2.3 Интегральные показатели качества

Интегральные показатели качества определяются путем интегрирования (суммирования) некоторых функций (переходных процессов или других показателей качества). Разновидностью интегральных показателей качества является интегральный квадратичный критерий I₀.

Если рассмотреть два переходных процесса в некоторой АСР (см. рисунок 1.51), то визуально можно определить, что первый процесс обладает более высоким качеством.

Численно это можно охарактеризовать площадью между соответствующей кривой и прямой y = y_уст. Для первой кривой эта площадь (площадь S₁) меньше, чем для второй (площадь S₂), поэтому первый процесс лучше.

Данная площадь определяется как интеграл

и может быть использована как интегральный показатель качества.

Если учесть, что для АСР установившееся значение у_уст должно в идеале совпадать с заданным х, а выражение х - у(t) есть выражение ошибки регулирования e(t), то поиск S сводится к интегралу ошибки. Если в системе имеется статическая ошибка е_ст = х - у_уст 0, то площадь S получается бесконечной. Для учета этого фактора интегрируется не сама ошибка, а ее переходная составляющая

,

где е_п(t) = e(t) - e_уст - переходная составляющая ошибки.

Чаще используется интегральный квадратичный критерий

,

поскольку переходная составляющая на определенных интервалах времени может принимать отрицательные значения, а следовательно, вычитаться из интегральной величины, что приводит к неверному значению площади.

3.2.4 Связи между показателями качества

Описанные выше показатели качества связаны между собой примерными соотношениями, справедливыми только для систем не выше второго порядка:

;t_p = ;;M = .

Лекция 4. Настройка регуляторов

4.1 Типовые законы регулирования

Для регулирования объектами управления, как правило, используют типовые регуляторы, которые можно разделить на аналоговые и дискретные. К дискретным регуляторам относятся импульсные, релейные и цифровые. Аналоговые реализуют типовые законы регулирования, названия которых соответствуют названиям типовых звеньев.

Входным сигналом для аналоговых регуляторов является величина ошибки регулирования, которая определяется как разность между заданным и текущим значениями регулируемого параметра (e = х - у). Выходным сигналом является величина управляющего воздействия u, подаваемая на объект управления. Преобразование входного сигнала в выходной производится согласно типовым законам регулирования, рассматриваемым ниже.

1) П-закон (пропорциональное регулирование). Согласно закон пропорционального регулирования управляющее воздействие должно быть пропорционально величине ошибки. Например, если регулируемый параметр начинает отклоняться от заданного значения, то воздействие на объект следует увеличивать в соответствующую сторону. Коэффициент пропорциональности часто обозначают как K₁:

u = K₁^.e.

Тогда передаточная функция П-регулятора имеет вид

W_П(s) = K₁.

Если величина ошибки стала равна, например, единице, то управляющее воздействие станет равным K₁ (см. рисунок 1.52).

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Рисунок 1.52

Примером системы с П-регулятором может служить система автоматического наполнения емкости (сливной бачок). На рисунке обозначены:

Х- текущий уровень в емкости (регулируемая величина) и его заданная величина, U- расход жидкости, втекающей в ёмкость.В - возмущение.

Принцип действия понятен из рисунка: при опустошении емкости поплавок через кронштейн открывает задвижку подачи жидкости. Причем, чем больше разница уровней е = Х₀ - Х, тем ниже поплавок, тем больше открыта задвижка и, соответственно, больше поток жидкости U. По мере наполнения емкости ошибка уменьшается до нуля и, соответственно, уменьшается U до полного прекращения подачи. То есть U = K^.( Х₀ - Х).

Достоинство данного принципа регулирования в быстродействии. Недостаток - в наличии статической ошибки в системе. Например, если жидкость вытекает из емкости постоянно, то уровень всегда будет меньше заданного.

2) И-закон (интегральное регулирование). Управляющее воздействие пропорционально интегралу от ошибки. То есть чем дольше существует отклонение регулируемого параметра от заданного значения, тем больше управляющее воздействие:

.

Передаточная функция И-регулятора:

W_И(s) = .

При возникновении ошибки управляющее воздействие начинает увеличиваться со скоростью, пропорциональной величине ошибки. Например, при е = 1 скорость будет равна K₀ (см. рисунок 1.54).

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Рисунок 1.54

Достоинство данного принципа регулирования в отсутствии статической ошибки, т.е. при возникновении ошибки регулятор будет увеличивать управляющее воздействие, пока не добьется заданного значения регулируемой величины. Недостаток - в низком быстродействии.

3) Д-закон (дифференциальное регулирование). Регулирование ведется по величине скорости изменения регулируемой величины:

.

То есть при быстром отклонении регулирующей величины управляющее воздействие по модулю будет больше. При медленном - меньше. Передаточная функция Д-регулятора:

W_Д(s) = K₂ s.

Регулятор генерирует управляющее воздействие только при изменении регулируемой величины. Например, если ошибка имеет вид ступенчатого сигнала е = 1, то на выходе такого регулятора будет наблюдаться один импульс (-функция). В этом заключается его недостаток, который обусловил отсутствие практического использования такого регулятора в чистом виде.

На практике типовые П-, И- и Д-законы регулирования редко используются в чистом виде. Чаще они комбинируются и реализуются в виде ПИ-регуляторов, ПД-регуляторов, ПИД-регуляторов и др.

ПИ-регулятор (пропорционально-интегральный регулятор) представляет собой два параллельно работающих регулятора: П- и И-регуляторы (см. рисунок 1.55). Данное соединение сочетает в себе достоинства обоих регуляторов: быстродействие и отсутствие статической ошибки.

ПИ-закон регулирования описывается уравнением

и передаточной функцией

W_ПИ(s) = K₁ + .

То есть регулятор имеет два независимых параметра (настройки): K₀ - коэффициент интегральной части и K₁ - коэффициент пропорциональной.

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

При возникновении ошибки е = 1 управляющее воздействие изменяется как показано на рисунке 1.56.

ПД-регулятор (пропорционально-дифференциальный регулятор) включает в себя П- и Д-регуляторы (см. рисунок 1.57). Данный закон регулирования описывается уравнением

и передаточной функцией:

W_ПД(s) = K₁ + K₂ s.

Данный регулятор обладает самым большим быстродействием, но также и статической ошибкой. Реакция регулятора на единичное ступенчатое изменение ошибки показана на рисунке 1.58.

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Рисунок 1.58

ПИД-регулятор (пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор) можно представить как соединение трех параллельно работающих регуляторов (см. рисунок 1.59). Закон ПИД-регулирования описывается уравнением:

и передаточной функцией

W_ПИД(s) = K₁ + + K₂ s.

ПИД-регулятор в отличие от других имеет три настройки: K₀, K₁ и K₂.

ПИД-регулятор используется достаточно часто, поскольку он сочетает в себе достоинства всех трех типовых регуляторов. Реакция регулятора на единичное ступенчатое изменение ошибки показана на рисунке 1.60.

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Рисунок 1.60

4.2 Определение оптимальных настроек регуляторов

Регулятор, включенный в АСР, может иметь несколько настроек, каждая из которых может изменяться в достаточно широких пределах. При этом при определенных значениях настроек система будет управлять объектом в соответствии с технологическими требованиями, при других может привести к неустойчивому состоянию.

Поэтому стоит задача, во-первых, определить настройки, соответствующие устойчивой системе, и, во-вторых, выбрать из них оптимальные.

Оптимальными настройками регулятора называются настройки, которые соответствуют минимуму (или максимуму) какого-либо показателя качества. Требования к показателям качества устанавливаются непосредственно, исходя из технологических. Чаще всего накладываются требования на время регулирования (минимум) и степень затухания ( _зад).

Однако, изменяя настройки таким образом, чтобы увеличить степень затухания, мы можем прийти к слишком большому времени регулирования, что нецелесообразно. И наоборот, стремясь уменьшить время регулирования, мы получаем более колебательные процессы с большим значением .

Зависимость от t_p в общем случае имеет вид, изображенный на графике (см. рисунок 1.61).

Поэтому для определения оптимальных настроек разработан ряд математических методов, среди которых можно выделить:

- метод сканирования плоскости настроек,

- формульный метод,

- метод D-разбиения.

Метод сканирования заключается в разбиении области допустимых настроек выбранного регулятора с равным шагом и определении показателей качества для каждого набора настроек в узлах получившейся сетки. После просмотра всех узлов выбираются наборы настроек, соответствующие наилучшим показателям качества. Настройки могут быть уточнены далее также путем сканирования окрестности выбранного узла с более мелким шагом.

Формульный метод определения настроек регуляторов используется для быстрой и приближенной оценки значений настроек регуляторов.

Если объект управления представляет собой инерционное звено с запаздыванием, т.е. описывается передаточной функцией

,

где K - коэффициент усиления, Т - постоянная времени, - запаздывание (см. п. 2.6.5), то настройки П-, И-, ПИ- и ПИД-регуляторов могут быть определены по приведенным в таблице 1.5 формулам в зависимости от того, какой вид переходного процесса требуется получить. Во второй колонке таблицы приведены формулы для апериодического процесса без перерегулирования, в третьей - с перерегулированием 20 %, в четвертой - для процесса с максимальным быстродействием (процесс может быть сильно колебательным).

...