Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Тульский государственный университет

Кафедра автоматики и телемеханики

Электрогидравлическая следящая система

Пояснительная записка к курсовой работе по курсу

“Моделирование систем”

Выполнил: ст. гр. 220171

Сусак У.М.

Проверил:

Ермаков А.С.

Тула 2009

Содержание

Введение

1. Принцип действия исследуемой САУ электрогидравлической следящей системы

2. Сигнальный граф САУ электрогидравлической следящей системы

3. Система дифференциальных уравнений

4. Линеаризация системы дифференциальных уравнений

5. Взвешенный сигнальный граф и структурная схема линейной математической модели САУ электрогидравлической следящей системы

6. Передаточные функции САУ электрогидравлической следящей системы

Заключение

Список использованных источников

Введение

Представленная курсовая работа представляет собой исследование САУ электрогидравлической следящей системы. Система автоматического управления представляет собой систему с обратной связью, или замкнутую систему, в которой отклонения регулируемой величины преобразуется управляющим устройством в воздействия на управляющий орган. Обратная связь, осуществляемая регулятором, существенно изменяет свойства САУ по сравнению со свойствами самих объектов. Наличие обратной связи лежит в основе работы всякой автоматической системы, работающей, как говорят, по принципу отклонения.

Данная САР используется в системах управления электрогидроприводами с нелинейностью и нестационарностью параметров в условиях действия внешних возмущений. Она применяется также для повышения производительности труда в отраслях промышленности. При минимальных затратах ресурсов и энергии с помощью данной САУ можно получить нужный результат. Как правило, она используется в качестве усилителя, например, для перемещения тяжелых установок.

Выполнения курсовой работы состоит из нескольких этапов:

· В первую очередь в курсовой работе рассматривается принцип действия САР, ее назначение, ее тип (статическая или астатическая), определяется ее устойчивость в состоянии равновесия, строится функциональная схема.

· Построение математической модели САР через составление ее сигнального графа по принципиальной схеме.

· После построения сигнального графа САР составляется система дифференциальных уравнений, общее число уравнений которой равно общему числу внутренних вершин сигнального графа. Дифференциальные уравнения составляются исходя из законов математики и физики.

· Линеаризация дифференциальных уравнений, полученных в предыдущем пункте. Осуществляется для облегчения решения системы уравнений и исследования системы в целом.

· Переход к операторной форме записи дифференциальных уравнений и определение их передаточных функций. По полученным данным строится взвешенный сигнальный граф и структурная схема САР.

· По данным, полученным в ходе выполнения работы, определяются контурная и сквозная передаточные функции, сквозная передаточная функция от главного возмущающего воздействия.

1. Принцип действия исследуемой САУ электрогидравлической следящей системы

На рисунке 1 изображена принципиальная схема САУ электрогидравлической следящей системы. Рассмотрим её принцип действия.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1 - Принципиальная схема САУ электрогидравлической следящей системы

Предназначение САР электрогидравлической следящей системы

Электрогидравлическая следящая система используется, как правило, в качестве усилителя, например, при перемещении тяжелых установок.

Данная САР используется в системах управления электрогидроприводами с нелинейностью и нестационарностью параметров в условиях действия внешних возмущений. Она применяется также для повышения производительности труда в отраслях промышленности. При минимальных затратах ресурсов и энергии с помощью данной САУ можно получить нужный результат.

Функциональное назначение отдельных элементов САР электрогидравлической следящей системы

Данная электрогидравлическая следящая система состоит из следующих элементов:

1. Элемент 1 представляет собой мост сопротивлений (см. рис.1). Он состоит из 2-х резисторов и и 2-х источников питания. Разность напряжений, создаваемых на резисторах и перемещением поршня и движка реостата соответственно, будет сигналом рассогласования. Из этого следует, что мост является сравнивающим устройством.

2. Элемент 2 - усилитель, который усиливает сигнал рассогласования и подает уже усиленный сигнал на электромагнит. Соответственно, усилитель является устройством усиления.

3. Элемент 3 - электромагнит, служит для регулировки положения общего поршня золотника (элемент 4) и демпфера (элемент 5). Значит, электромагнит представляет собой исполнительное устройство.

4. Гидравлический двигатель - элемент 6. Он включает в себя золотник (4) с демпфером(5) и силовой поршень. Гидравлический двигатель осуществляет регулировку перемещения силового поршня на нужное расстояние х. Т.е гидравлический двигатель - объект управления.

Принцип действия САР и анализ состояния равновесия

Регулируемой величиной является положение поршня гидравлического двигателя, т. е. его перемещение . Задающим воздействием является перемещение движка реостата . Разность напряжений, создаваемых на резисторах и перемещением поршня и движка реостата соответственно, будет сигналом рассогласования, который подается на усилитель. Возмущающим воздействием является внешняя сила, действующая на поршень, также атмосферное давление, действующее на демпфер, а также давления в золотнике.

Предположим, что поршень золотника сдвинут на некоторую величину X₁, тогда поток масла будет поступать в силовой поршень. Если поршень золотника сдвинуть вниз, то масло будет поступать по верхней трубе, если вверх, то по нижней. Масло, поступающее в силовой поршень по верхней трубе, будет сдвигать его вниз на некоторую величину X. Силовой поршень соединен с движком реостата, включенного в одно из плеч моста. В другое плечо моста включен резистор, на котором устанавливается задающая величина X_0..Напряжение на выходе моста будет равно разности задающего напряжения и напряжения регулируемой величины. Напряжение с выхода моста U подается на усилитель и усиливается. С выхода усилителя уже усиленное напряжение ? U_у подается на электромагнит. В зависимости от того, какое напряжение поступает с выхода моста, положительное или отрицательное, напряжение с усилителя будет подаваться на верхнюю или нижнюю обмотку электромагнита. Соответственно электромагнит будет передвигать поршень золотника вверх или вниз на величину X_{1 .}

Процесс будет повторяться до тех пор, пока не установится состояние равновесия, при котором.

Система, в которой регулируемая величина в установившемся режиме зависит от возмущения, называется статической, а отклонения регулируемой величины от заданного значения - статической ошибкой.

Система, в которой установившееся значение управляемой величины постоянно и не зависит от величины нагрузки (или возмущения) называется астатической. автоматический управление граф электрогидравлический

Данная система будет являться астатической, так ошибки рассогласования в установившемся режиме не будет.

Процесс отработки скачкообразного изменения главного возмущающего воздействия

В данной САР главным возмущающим воздействием является величина F_вн. Если она скачкообразно измениться, то изменится и напряжение U, снимаемое с выхода моста. Следовательно, измениться напряжение, которое поступает с выхода усилителя на электромагнит (?U_у). Отсюда, в зависимости от этого напряжения ?U_у, электромагнит будет сдвигать поршень золотника вверх или вниз. Соответственно поток масла в силовой поршень будет поступать по верхней или по нижней трубе. Тогда он будет перемещаться вниз или вверх, и движок реостата тоже будет перемещаться, соответственно вниз или вверх до тех пор, пока не установится состояние равновесия, т.е. .

Функциональная схема САР электрогидравлической следящей системы

Ниже на рисунке 2 приведена функциональная схема САУ электрогидравлической следящей системы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2 - Функциональная схема САУ электрогидравлической следящей системы

2. Сигнальный граф САУ электрогидравлической следящей системы

Вид математической модели САУ (системы её дифференциальных уравнений) зависит, прежде всего, от того, совместное изменение во времени каких переменных отражает данная модель, и какова качественная структура взаимосвязи этих переменных. Структуру взаимосвязи переменных в системе отражает сигнальный граф САУ.

Сигнальный граф является направленным графом и как таковой представляет собой совокупность некоторого множества элементов (множество вершин) и некоторого множества упорядоченных пар этих элементов (множества направленных рёбер). В сигнальном графе роль множества вершин играет множества сигналов в САУ, совместное изменение которых во времени описывается данной математической моделью.

Рёбра сигнального графа, входящие в некоторую вершину, указывают совокупность значений или законов изменения во времени каких сигналов полностью определяют значение или закон изменения во времени данного сигнала, соответствующего данной вершине.

На рисунке 3 приведен сигнальный граф САУ электрогидравлической следящей системы.

Рисунок 3 - Сигнальный граф САУ электрогидравлической следящей системы

Связи вершин в сигнальном графе как следствие различных законов

Задающее воздействие Х₀ прямо пропорционально сопротивлению плеча моста. По закону Ома в этом плече будет равна произведению на ток, протекающий в этом плече . Соответственно, во втором плече моста происходят аналогичные процессы, только здесь сопротивление этого плечапрямо пропорционально регулируемой величине X, и напряжение в этом плече равно произведению тока I на сопротивление . Разность этих напряжений будет определять напряжение снимаемое с выхода моста ?U_у. Это напряжение, умноженное на коэффициент усиления будет равно . Напряжение с усилителя будет подаваться на электромагнит. Это напряжение будет создавать ток в обмотке электромагнита, который в свою очередь будет создавать магнитную силу. На силу магнита будет влиять также перемещение поршня золотника. От равнодействующей силы , которая складывается из силы демпфера, силы натяжения пружины и силы электромагнита, зависит перемещение поршня золотника. Соответственно от перемещения поршня золотника зависит площадь открывания заслонки, далее давления в поршне гидравлического двигателя, соответственно и поток масла, а также гидравлическая сила, которая и определяет перемещение поршня, т.е. регулируемой величины.

В данной САУ внешними вершинами являются:

- атмосферное давление, Па;

- внешняя сила, воздействующая на шток гидравлического двигателя со стороны нагрузки, Н;

, - давления в золотнике, Па;

- входное воздействие.

К внутренним вершинам относятся:

- напряжение, равное разности напряжений на мосте, В;

- напряжение на выходе электронного усилителя, В;

-ток, проходящий через обмотку электромагнита, А;

- сила, создаваемая электромагнитом, Н;

- сила, действующая со стороны демпфера на шток золотника, Н;

- давление воздуха, создаваемое внутри демпфера, Па;

- масса воздуха, находящегося внутри демпфера, кг;

- объем воздуха, находящегося внутри демпфера, Па;

- сила, действующая со стороны пружины на шток золотника, Н;

- перемещение штока золотника, м;

- потоки, зависящие от давлений в верхней и нижней частях поршня гидравлического двигателя, ;

- давления, создаваемое насосом в гидравлическом двигателе, Па;

- сила, действующая со стороны двигателя на нагрузку, Н;

- регулируемая величина.

3. Система дифференциальных уравнений

Для того чтобы проанализировать данную систему необходимо составить ее математическую модель. Каждый элемент системы описывается некоторым уравнением. Это уравнение характеризует работу данного элемента. Точность математического описания системы определяется требуемой точностью регулирования. Чем точнее мы будем описывать элементы системы, тем сложнее получится математическая модель. Поэтому, необходимо найти разумный компромисс между точностью описания системы и сложностью ее математической модели.

Под структурой системы дифференциальных уравнений будем понимать, во-первых, множество функций времени, задаваемых извне, во-вторых, множество искомых функций времени, относительно которых составляется система дифференциальных уравнений и, в-третьих, список дифференциальных уравнений с указанием для каждого уравнения, какие функции времени являются для него заданными, а какая функция - искомой.

Система дифференциальных уравнений описывает процессы, происходящие в САУ с помощью законов физики и уравнений математики.

1. Напряжение U на выходе моста пропорционально разности напряжений на и на, выраженных через перемещение задания X₀ и перемещения регулируемой величины X. Составим данные уравнения:

;

, где; ;

2. Напряжение на выходе электронного усилителя пропорционально напряжению на входе:

где - коэффициент усиления, безразмерная величина.

3. Напряжение, подающееся на вход электромагнита, зависящее от тока электромагнита:

, где

сопротивление электромагнита, - его индуктивность.

1. Объем воздуха в демпфере:

;

,

где - объем воздуха в демпфере в установившемся режиме, - площадь поршня демпфера.

5. Давление в демпфере:

;

, где - постоянный коэффициент.

6. Изменение массы воздуха в демпфере:

, где - постоянный коэффициент.

7. Сила, с которой демпфер действует на шток золотника:

;

, где - площадь поршня демпфера.

8. Сила натяжения пружины :

,

где - коэффициент жесткости пружины.

9. Сила, с которой электромагнит действует на золотник:

,

где - постоянный коэффициент.

10. Равнодействующая силы действия электромагнита, демпфера и пружины :

;

11. Перемещение поршня золотника:

;

;

, где ;

12. Давление в нижней части поршня гидравлического двигателя:

;

13. Давление в верхней части поршня гидравлического двигателя:

;

14. Площадь открывания заслонки:

;

, где - ширина трубы.

15. Поток масла через нижнюю трубу:

;

, где

площадь поршня гидравлического двигателя.

16. Поток масла через верхнюю трубу:

, где

площадь поршня гидравлического двигателя.

17. Гидравлическая сила, действующая со стороны поршня на нагрузку:

;

,

где и - площадь поршня гидравлического двигателя.

18. Перемещение поршня двигателя:

;

, где - масса поршня.

4. Линеаризация системы дифференциальных уравнений

Если некоторые уравнения, входящие в систему дифференциальных уравнений САУ, нелинейны, то исследование и решение системы уравнений затрудняются. Поэтому обычно стремятся заменить нелинейные уравнения линейными так, чтобы получаемая при этом система линейных уравнений (линейная модель) приближенно отражала свойства САУ при выполнении некоторых условий. Такую приближенную замену нелинейных уравнений линейными называют линеаризацией системы дифференциальных уравнений.

Линеаризация дифференциального уравнения сводится к линеаризации входящих в него нелинейных функций.

Линейным является уравнение, если выполняется следующее условие:

Найдем среди полученных нами дифференциальных уравнений линейные и нелинейные, учитывая приведенное выше свойство:

Нелинейными являются следующие уравнения:

4. ;

5. ;

9. ;

12.;

13. ;

Все остальные уравнения системы являются линейными:

1.;

2. ;

3. ;

7. ;

8. ;

10. ;

11. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

Линеаризация системы дифференциальных уравнений.

Линеаризованная система дифференциальных уравнений:

1. , где ; ;

2. , где - коэффициент усиления, нет размерности;

3. ;

4. , ;

5. , где ,;

6. , где ;

7. , где ;

8. , где ;

9. , где , ;

10. ;

11. , где ;

12. , где , ;

13. , где, ;

14. , где ;

15. , где ;

16. , где ;

17. , где , ;

18. , где .

5. Взвешенный сигнальный граф и структурная схема линейной математической модели САУ электрогидравлической следящей системы

Взвешенный сигнальный граф и структурная схема являются эквивалентными формами наглядного графического представления системы линейных дифференциальных уравнений САУ. Как взвешенный сигнальный граф, так и структурная схема используют запись дифференциальных уравнений связей в виде передаточных функций.

Для получения передаточной функции необходимо в дифференциальных уравнениях произвести замену=. В дальнейшем с p будем работать как с сомножителем.

Запишем уравнения в операторной форме:

1. , где и ;

2. , где - безразмерная величина;

3. ;,

где ,постоянная времени.

4. , ;;

5. , где ,;

6. , где ;

7. , где ;

8. , где ;

9. , где , ;

10. ;

11. , где ;

12. , где , ;

13. , где , ;

14. , где ;

15. , где ;

16. , где ;

17. , где , ;

18. , где .

Взвешенный сигнальный граф и структурная схема линейной математической модели САУ

Построение взвешенного сигнального графа по исходному сигнальному графу и системы линейных дифференциальных уравнений, записанной в операторной форме, не составляет трудности.

Взвешенный сигнальный граф и структурная схема являются эквивалентными формами наглядного графического представления систем линейных ДУ САУ. Как взвешенный сигнальный граф, так и структурная схема используют запись дифференциальных уравнений связей в виде передаточных функций.

Взвешенный граф САР, рассматриваемой в работе представлен на рисунке 4.

Рисунок 4 - Взвешенный сигнальный граф САР электрогидравлической следящей системы

Структурная схема САР электрогидравлической следящей системы представлена на рисунке 5.

Рисунок 5 - Структурная схема САР электрогидравлической следящей системы

6. Передаточные функции САУ электрогидравлической следящей системы

Определение сквозной передаточной функции и главного оператора

Передаточная функция, соответствующая сквозному дифференциальному уравнению, называется сквозной передаточной функцией САУ от данного входа к данному выходу. Другое название сквозной передаточной функции -передаточная функция замкнутой системы от данного входа к данному выходу.

Передаточная функция, соответствующая сквозному дифференциальному уравнению, называется сквозной передаточной функцией САУ от данного входа к данному выходу.

Одним из входов математической модели САУ является задающее воздействие. Этот вход называется главным входом математической модели САУ.

Аналогично среди выходов математической модели САУ выделяют главный вход, под которым понимают регулируемую величину. Сквозную передаточную функцию, связывающую главный вход модели САУ с главным выходом, называют главным оператором САУ.

1. Обнулим все внешние воздействия, кроме входного.

- атмосферное давление;

- внешняя сила, воздействующая на шток гидравлического двигателя со стороны нагрузки;

, - давления в золотнике.

Структурная схема САР с обнуленными внешними воздействиями представлена на рисунке 6.

Схема довольно сложная, поэтому начнем преобразования с последовательных соединений, на первом этапе их еще мало. Структурная схема после данных преобразований будет иметь вид, представленный на рисунке 7.

Рисунок 7 - Структурная схема для нахождения главного оператора с преобразованными последовательными соединениями

Для лучшего восприятия и наглядности преобразуем структурную схему демпфера.

Результат преобразований представлен на рисунке 8.

Рисунок 8 - Структурная схема демпфера

Четко прослеживается ПОС. Преобразуем ее.

4. После проведенных преобразований имеем следующую структурную схему, которая представлена на рисунке 9.

Рисунок 9 - Структурная схема после проведенных преобразований

5.Продолжим преобразования. Сначала преобразуем первую половину схемы: от u к s.

Для начала преобразуем параллельную связь, потом 2 ООС, затем перемножим последовательные элементы связи. Описанные преобразования приводят схему к виду, показанному на рисунке 10.

Рисунок 10 - Преобразованная часть структурной схемы от сигнала u к сигналу s

6.Преобразуем гидравлический двигатель. Перенесем сумматоры и за сумматор и сделаем из них один. Далее преобразуем 2 параллельные связи и одну ООС. Умножим полученные последовательно соединенные коэффициенты. Результат на рисунке 11.

Рисунок 11 - Преобразованная часть структурной схемы гидравлического двигателя

7.Найдем главный оператор. Преобразуем последовательные соединения и главную ООС. Конечный результат всех преобразований представлен на рисунке 12.

Рисунок 12 - Главный оператор

Введем обозначения К для общего коэффициента передачи, для коэффициентов при в числителе, а в знаменателе - аналогично при

Или же:

Искомый главный оператор принимает следующий стандартный вид:

Главный оператор должен иметь размерность .

Это соответствует физическому смыслу системы.

Определение контурной передаточной функции

Исследование устойчивости САУ связано с анализом контурного дифференциального уравнения ее линейной математической модели и соответствующей этому уравнению контурной передаточной функции. Другое равносильное название - передаточная функция разомкнутой системы.

1. Разорвем цепь отрицательной обратной связи, а также обнулим все внешние воздействия:

- атмосферное давление;

- внешняя сила, воздействующая на шток гидравлического двигателя со стороны нагрузки;

, - давления в золотнике.

- возмущающее воздействие.

Преобразованная структурная схема представлена на рисунке 13.

Рисунок 13 - Структурная схема для определения контурной передаточной функции

2. Преобразуем все последовательные соединения данной структурной схемы. Результат преобразований представлен на схеме, изображенной на рисунке 14.

Рисунок 14 - Структурная схема для определения контурной функции с преобразованными последовательными соединениями

Далее преобразуем структурную схему демпфера.

Результат преобразований представлен на рисунке 15.

Рисунок 15 - Структурная схема демпфера

И теперь преобразуем как схему с ПОС.

4. Теперь наша структурная схема имеет вид, представленный на рисунке 16.

Рисунок 16 - Структурная схема после проведенных преобразований

5. 5.Продолжим преобразования. Сначала преобразуем первую половину схемы: от u к s.

Для начала преобразуем параллельную связь, потом 2 ООС, затем перемножим последовательные элементы связи. Описанные преобразования приводят схему к виду, показанному на рисунке 17.

Рисунок 17 - Преобразованная часть структурной схемы от сигнала u к сигналу s

6. Преобразуем гидравлический двигатель. Перенесем сумматоры и за сумматор и сделаем из них один. Далее преобразуем 2 параллельные связи и одну ООС. Умножим полученные последовательно соединенные коэффициенты. Результат на рисунке 18.

Рисунок 18 - Преобразованная часть структурной схемы гидравлического двигателя

7. Преобразуем последовательные соединения. Получим контурную функцию, представленную на рисунке 19.



Рисунок 19 - Контурная функция.

Введем обозначения К для общего коэффициента передачи, b₁, b₂ для коэффициентов при р и р² в числителе, ₁, ₂, и ₃ для коэффициентов при р

Введем обозначения К для общего коэффициента передачи, для коэффициентов при в числителе , а в знаменателе - аналогично при

Искомая контурная функция:

Подставим полученные единицы измерения коэффициентов в контурную передаточную функцию связи:

Таким образом, контурная передаточная функция является безразмерной, что полностью совпадает с ее физическим смыслом.

Сквозная передаточная функция от возмущающего воздействия

Определим сквозную передаточную функцию САР от возмущающего воздействия, которым является сила fвн со стороны нагрузки на шток гидравлического насоса.

1. Пусть все воздействия, кроме внешнего, будут нулевыми (см. рис. 20):

- атмосферное давление;

, - давления в золотнике.

- возмущающее воздействие.

Схема, с которой будут проводиться преобразования в этом пункте представлена на рисунке 20.

Рисунок 20 - Структурная схема для определения сквозной передаточной функции от возмущающего воздействия к выходу х

2. Далее преобразуем все последовательные соединения структурной схемы. Результат преобразований представлен на рисунке 21.

Рисунок 21 - Структурная схема для нахождения сквозной передаточной функции от возмущающего воздействия к выходу х

Для лучшего восприятия и наглядности преобразуем структурную схему демпфера.

Результат преобразований представлен на рисунке 22.

Рисунок 22 - Структурная схема демпфера

4. Теперь наша структурная схема имеет вид, изображенный на рисунке 23.

Рисунок 23 - Структурная схема после проведенных преобразований

5. 5.Продолжим преобразования. Сначала преобразуем первую половину схемы: от u к s.

Для начала преобразуем параллельную связь, потом 2 ООС, затем перемножим последовательные элементы связи. Описанные преобразования приводят схему к виду, показанному на рисунке 24.

Рисунок 24 - Преобразованная часть структурной схемы от сигнала u к сигналу s

5. Преобразуем гидравлический двигатель. Перенесем сумматоры и за сумматор и сделаем из них один. Далее преобразуем 2 параллельные связи и одну ООС. Умножим полученные последовательно соединенные коэффициенты. Результат на рисунке 25.

Рисунок 25 - Структурная схема после преобразований

6. Преобразуем цепь отрицательной обратной связи и получим сквозную передаточную функцию от возмущающего воздействия к выходу х (см. рис. 26).

Рисунок 26 -Сквозная передаточная функция от возмущающего воздействия к выходу х

Введем обозначения К для общего коэффициента передачи, для коэффициентов при в числителе, а в знаменателе - аналогично при

Сквозная передаточная функция примет вид:

Сквозная передаточная функция должна иметь размерность .

Что и соответствует физическому смыслу.

Заключение

В ходе выполнения данной курсовой работы было проведено исследование САР электрогидравлической следящей системы и построена ее математическая модель. Был изучен принцип действия системы, определен ее тип, данная САР является астатической. Исследованы различные реакции системы на возмущающие воздействия. Была построена линейная математическая модель в виде системы линейных дифференциальных уравнений. Она представляет собой взвешенный сигнальный граф и структурную схему. Путем преобразования структурной схемы были найдены главный оператор САР и ее контурная передаточная функция, а также сквозная передаточная функция от возмущающего воздействия к выходу.

Данная САР используется в системах управления электрогидроприводами с нелинейностью и нестационарностью параметров в условиях действия внешних возмущений. Она применяется также для повышения производительности труда в отраслях промышленности. При минимальных затратах ресурсов и энергии с помощью данной САУ можно получить нужный результат. Как правило, она используется в качестве усилителя, например, для перемещения тяжелых установок.

Список использованных источников

1. Моттль В.В. Теоретические основы кибернетики. Методические указания. - Тула: ТулГУ, 1982.

2. Я.З.Цыпкин Основы теории автоматических систем. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука»,М.,1977,560стр.

3. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982.

Размещено на Allbest.ru

...