Теоретическое аналитическое решение задачи процесса вакуумного замораживания жидкости в спокойном состоянии относительно толщины слоя намораживания

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский авиационный институт ведущий научный сотрудник

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПРОЦЕССА ВАКУУМНОГО ЗАМОРАЖИВАНИЯ ЖИДКОСТИ В СПОКОЙНОМ СОСТОЯНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЛЩИНЫ СЛОЯ НАМОРАЖИВАНИЯ

Лобанов И.Е.

В современной холодильной технике применяются парокомпрессорные холодильные установки. В этих установках в качестве холодильных агентов могут применяться аммиак, хладоны. Термические свойства этих хладагентов позволяют реализовывать рабочих процесс при довольно низких температурах, но в подаляющем числе случаев при рабочих давлениях, которые выше атмосферного [1--3].

При относительно низких давлениях, приблизительно атмосферного, может иметь место генерирование нерасчётных режимов работы испарителя холодильника, что может быть для всей холодильной установки опасно, поскольку в холодильную систему может проникнуть воздух из атмосферы.

Следует отметить, что снижение давления на линии всасывания практически до атмосферной отметки приводит к необходимости автоматического отключения компрессора. Последнее приводит к ощутимому снижению общей эффективности (энергетической) и коэффициента подачи компрессора, когда холодильная установка работает в вакуумном режиме.

Можно сказать, что в полной мере выполнить современные требования -- экологических, токсикологических, санитарных, экономических и т.п. -- существующие на данном этапе хладагенты не в состоянии.

В холодильных парокомпрессорных установках низкого давления могут применяться альтернативные рабочие вещества для низких давлений, например: спирты, эфиры, рассолы, вода и т.п.

Если использовать воду в качестве хладагента, то это приводит к тому, что рабочее давление будет ниже атмосферного. Это можно реализовать в холодильных установках пароэжекторного типа, оборудованных пароструйными вакуумными насосами, которые не являются компактными, мобильными и т.д., особенно при небольшой производительности. Таким образом, если использовать в холодильных установках вакуммные насосы, принцип действия которых отличается от струйных, то можно сделать холодильную установку на водяном паре или на воде. С аналитическим обзором средств вакумной откачки в полной мере можно ознакомиться в [1--3].

Следовательно, имеет место обоснование актуальности теоретического математического моделирования реализуемых процессов вакуумного замораживания жидкости в спокойном состоянии.

Задача исследования может быть поставлена нижеследующим образом.

Представляется к расмотрению герметичная замкнутая полость, внутри которой расположена жидкость, в частном случае вода, находящаяся в спокойном состоянии, температура которой близка к 0°С. Постулируется, что при подачи жидкости (воды) в вакуумируемую полость, её расход таков, что капли подлетают к днищу полости, охлаждаясь приблизительно до 0°С.

Замкнутая герметичная полость вакуумируется со скоростью вакуумирования S, остающейся практически постоянной в том диапазоне давлений, при котором образуется лёд. Вышесказанное обосновано физически при специальном подборе средства вакуумной откачки для наперёд заданных теплофизических свойств жидкости, подвергаемой замораживанию.

На границе "лёд--паровая полость" имеет место следующее граничное условие:

где S* -- эффективная скорость откачки на единицу площади сечения вакуумируемой полости; Т -- температура; л -- коэффициент теплопроводности льда в состоянии таяния; L -- теплота замерзания; с" -- плотность насыщенных паров воды; m -- масса; r -- теплота испарения; х -- координата, отсчитываемая от внешней поверхности ледяного массива, имеющего глубину промерзания о, в сторону замораживаемой жидкости; ф -- время. На границе "лёд--вода" имеет место следующее граничное условие:

сл -- плотность льда жидкости.

Теоретическое моделирование процесса вакуумного квазистационарного замораживания в мелкодисперсном состоянии основывается на методе Лейбензона, небезуспешно применённый в т.ч. автором статьи для получения аналитических решений задач намораживания на поверхностях с различным радиусом кривизны, включая переменный [4--20]. Основываясь на этом методе, распределение температур в плоском слое льда постулируется как стационарное.

В полом шаре изо льда стационарное распределение температур следующее:

где T0 -- температура поверхности льда на границе раздела "лёд--паровая полость"; T1 -- температура замерзания.

Посредством универсальной газовой постоянной RГ, переменной температуры поверхности замораживания Т0 и давления насыщенных паров р выразим плотность паров влаги с":

где m -- молярна (молекулярная) масса газа.

Для постулированного распределение температуры (3) и выражения для плотности паров влаги с" (4) необходимо применить граничное условие на границе "лёд--паровая полость" (1):

После этого для постулированного распределения температуры (3) необходимо применить граничное условие на границе "лёд--вода" (2):

После разделения переменных в уравнении (6), интегрирования в соответствующих пределах, получим уравнение, связывающее время намораживания ф с толщиной слоя намораживания о:

Правые части уравнений (5) и (7) равны, поскольку равны их левые части:

Чтобы решить уравнение (8), следует в рассматриваемом диапазоне температур (-12...0)°С с допустимой точностью представить давление насыщенных паров надо льдом р:

где А=35 Па/К, В=8940 Па -- постоянные.

В уравнение (8) следует подставить давление насыщенных паров надо льдом р из выражения (9):

Расчётное уравнение, связывающее толщину слоя намораживания о и время намораживания ф получается подстановкой в уравнение (10) соотношения для Т0 из уравнения (7):

упрощая которое, приводится к финишной форме:

Решение уравнения (12) в аналитическом виде относительно толщины слоя намораживания о можно получить, решив относительно него кубическое уравнение, причём два его корня являются комплексно-сопряжёнными, не соответствующими физическим условиям процесса, а один -- действительным.

Чтобы окончательное решение уравнения (12) не было слишком громоздким, перепишем его в более простом виде:

где

Вещественный корень окончательного уравнения (13) будет следующим:

Формула (14) является замкнутым обобщённым аналитическим решением задачи о квазистационарном процессе вакуумного замораживания жидкости в спокойном состоянии относительно толщины слоя намораживания о.

Несомненным преимуществом точных аналитических решений перед существующими численными состоит в выявлении имманентной связи между определяющими и определяемыми параметрами, так же то, что их можно непосредственно использовать при расчёте, не прибегая к помощи диаграмм (номограмм) или вычислительной техники.

Выводы

В статье относительно толщины слоя намораживания о было получено замкнутое обобщённое аналитическое решение задачи квазистационарного процесса вакуумного замораживания жидкости в спокойном состоянии, а ранее были получены только численные решения этой задачи.
Несомненными преимуществами полученного аналитического решения о процессе вакуумного замораживания жидкости в спокойном состоянии перед имеющимися численными являются их непосредственное использование при расчёте, не прибегая к помощи вычислительной техники, диаграмм (номограмм) и выявляения имманентных связей между определяющими и определяемыми параметрами.

Библиографический список

1. Маринюк Б.Т. Теплообменные аппараты ТНТ. Конструктивные схемы и расчёт. -- М.: Энергоатомиздат, 2009. -- 200 с.

2. Маринюк Б.Т. Вакуумно-испарительные холодильные установки, теплообменники и газификаторы техники низких температур. -- М.: Энергоатомиздат, 2003. -- 208 с.

3. Маринюк Б.Т. Аппараты холодильных машин (теория и расчёт). -- М.: Энергоатомиздат, 1995. -- 160 с.

4. Моделирование эксплуатационных процессов в технических системах. / А.В.Абрамов, А.Ю.Албагачиев, С.М.Белобородов, С.А.Быков, В.П.Иванов, А.В.Киричек, И.Е.Лобанов, А.В.Морозова, М.В.Родичева; Под ред. А.В.Киричека. -- М.: Издательский дом "Спектр", 2014. -- 240 с.

5. Лобанов И.Е. Точное аналитическое решение квазистационарной задачи о намораживании на сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана) // Альманах современной науки и образования. -- Тамбов: Грамота, 2011. -- № 12 (55). -- C. 50--53.

6. Лобанов И.Е. Обобщенная аналитическая теория квазистационарного намораживания на сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внутренней поверхности с граничными условиями I рода на внешней поверхности // Московское научное обозрение. -- 2012. -- № 6. -- С. 10--14.

7. Лобанов И.Е. Точное аналитическое решение квазистационарной задачи о намораживании (задачи Стефана) на внешней и внутренней сферической поверхности // Московское научное обозрение. -- 2012. -- № 1. -- С. 8--13.

8. Лобанов И.Е. Обобщённая аналитическая теория квазистационарного намораживания на сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внутренней поверхности с граничными условиями III рода на внешней поверхности // Московское научное обозрение. -- 2012. -- № 7. -- Том 1. -- С. 9--14.

9. Лобанов И.Е. Обобщённая аналитическая теория квазистационарного намораживанияна сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внешней поверхности с граничными условиями III рода на внутренней поверхности // Отраслевые аспекты технических наук. -- 2012. -- № 7. -- С. 10--15.

10. Лобанов И.Е. Обобщённая аналитическая теория квазистационарного намораживания на сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внешней поверхности с граничными условиями I рода на внутренней поверхности // Отраслевые аспекты технических наук. -- 2012. -- № 6. -- С. 9--13.

11. Лобанов И.Е., Айтикеев Б.Р. Теория квазистационарного намораживания на сферической поверхности применительно к аккумуляторам холода // Проблемы усовершенствования холодильной техники и технологии: сборник научных трудов V научно-практической конференции с международным участием / Отв. ред. Бабакин Б.С. -- М.: Издательский комплекс МГУПП, 2012. -- С. 111--117.

12. Лобанов И.Е. Точное аналитическое решение квазистационарной задачи о намораживании (задачи Стефана) на внешней цилиндрической поверхности при нулевой криоскопической температуре и граничных условиях I рода на внутренней поверхности и III рода на внешней поверхности // Mосковское научное обозрение. -- 2012. -- № 9. -- С. 14--20.

13. Лобанов И.Е. Точное аналитическое решение квазистационарной задачи о намораживании (задачи Стефана) на внутренней цилиндрической поверхности при нулевой криоскопической температуре и граничных условиях I рода на внешней поверхности и III рода на внутренней поверхности // Mосковское научное обозрение. -- 2012. -- № 10. -- Том 1. -- С. 20--26.

14. Лобанов И.Е., Низовитин А.А. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на плоской поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание с граничными условиями III рода на поверхности стенки и граничными условиями III рода на поверхности намораживания // Отраслевые аспекты технических наук. -- 2013. -- № 5. -- С. 9--14.

15. Лобанов И.Е. Обобщённая аналитическая теория квазистационарного намораживания на цилиндрической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внешней поверхности с граничными условиями I рода на внутренней поверхности и III рода на внешней поверхности // Отраслевые аспекты технических наук. -- 2013. -- № 2. -- С. 14--21.

16. Лобанов И.Е. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на цилиндрической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внутренней поверхности с граничными условиями I рода на внешней поверхности и III рода на внутренней поверхности // Отраслевые аспекты технических наук. -- 2012. -- № 12. -- С. 8--15.

17. Лобанов И.Е. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на цилиндрической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внутренней поверхности с граничными условиями III рода на внутренней поверхности и III рода на внешней поверхности // Mосковское научное обозрение. -- 2013. -- № 3. -- С. 19--26.

18. Лобанов И.Е. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на плоской поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание с граничными условиями I рода на поверхности стенки и граничными условиями III рода на поверхности намораживания // Mосковское научное обозрение. -- 2013. -- № 4. -- С. 12--16.

19. Лобанов И.Е. Обобщённая численная теория квазистационарного одномерного намораживания на поверхности переменной кривизны (квазистационарная задача Стефана) // Отраслевые аспекты технических наук. -- 2013. -- № 4. -- С. 5--11.

20. Лобанов И.Е. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на цилиндрической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внешней поверхности с граничными условиями III рода на внутренней поверхности и III рода на внешней поверхности // Отраслевые аспекты технических наук. -- 2013. -- № 3. -- С. 8--15.

Аннотация

В статье получено обобщённое точное аналитическое решение задачи процесса вакуумного замораживания жидкости в спокойном состоянии относительно толщины слоя намораживания. В статье рассмотрено решение задачи образования тонкого слоя водного льда в герметичной вакуумируемой полости. До сих пор имели место либо численные, либо приближённые решения задачи относительно толщины слоя намораживания.

Ключевые слова:

теплообмен; процесс; вакуумный; испарительный; охлаждение; замораживание; жидкость; аналитический; решение; состояние; толщина; слой; намораживание.

Размещено на Allbest.ru