Погрешности измерений. Классы точности приборов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Примеры решения задач по теме «Погрешности измерений. Классы точности приборов».

Задача 1

Вольтметром со шкалой (0…100) В, имеющим абсолютную погрешность V=1 В, измерены значения напряжения 0, 10 В, 20 В, 40 В, 50 В, 60 В, 80 В, 100 В. Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и приведенной погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Решение

Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 1), в столбцы которой будем записывать измеренные значения V, абсолютные V, относительные V и приведенные V погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения напряжения: 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 В.

Значение абсолютной погрешности известно из условий задачи (V=1 В) и считается одинаковым для всех измеренных значений напряжения; это значение заносим во все ячейки второго столбца.

Значения относительной погрешности будем рассчитывать по формуле:

.

При V=0 В получаем: .

При V=10 В получаем: .

Значения относительной погрешности для остальных измеренных значений напряжения рассчитываются аналогично.

Полученные таким образом значения относительной погрешности заносим в третий столбец.

Для расчета значений приведенной погрешности будем использовать формулу: .

Предварительно определим нормирующее значение V_N.

Так как диапазон измерений вольтметра - (0…100) В, то шкала вольтметра содержит нулевую отметку, следовательно, за нормирующее значение принимаем размах шкалы прибора, т. е.

.

Так как величины V и V_N постоянны при любых измеренных значениях напряжения, то величина приведенной погрешности так же постоянна и составляет . Это значение заносим во все ячейки четвертого столбца.

По данным таблицы 1 строим графики зависимостей абсолютной V, относительной V и приведенной V погрешностей от результата измерений V (см. рис. 1).

В данном случае графики зависимостей абсолютной и приведенной погрешностей сливаются друг с другом и представляют собой горизонтальные прямые линии. График зависимости относительной погрешности представляет собой гиперболу.

Внимание: так как диапазон измерений прибора - (0…100) В, то за пределы этого диапазона построенные графики не должны выходить.

Задача 2

Амперметром класса точности 2.0 со шкалой (0…50) А измерены значения тока 0, 5, 10, 20, 25, 30, 40, 50 А. Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и приведенной основных погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Решение

Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 2), в столбцы которой будем записывать измеренные значения I, абсолютные I, относительные I и приведенные I погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения тока: 0, 5, 10, 20, 25, 30, 40, 50 А.

Класс точности амперметра задан числом без кружка, следовательно, приведенная погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы не должна превышать по модулю класса точности, т.е. |I|2%.

При решении задачи рассмотрим худший случай |I|=2%, когда приведенная погрешность принимает максимальное по абсолютной величине значение, что соответствует

I=+2% и I=-2%.

Данные значения приведенной погрешности заносим в четвертый столбец таблицы 2.

Рассчитаем значения абсолютной погрешности.

Из формулы выражаем абсолютную погрешность . За нормирующее значение I_N принимаем размах шкалы, т.к. шкала амперметра содержит нулевую отметку, т. е. I_N=|50 А - 0 А| = 50 А.

Абсолютная погрешность равна во всех точках шкалы прибора. Заносим данное значение во второй столбец таблицы.

Значения относительной погрешности будем рассчитывать по формуле

При I=0 A получаем: . При I=5 A получаем:

.

Значения относительной погрешности для остальных измеренных значений тока рассчитываются аналогично.

Полученные таким образом значения относительной погрешности заносим в третий столбец.

По данным таблицы 2, учитывая, что погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолютной I, относительной I и приведенной I погрешностей от результата измерений I (см. рис. 2).

Рис. 2 Графики зависимостей абсолютной, относительной и приведенной погрешностей от результата измерений для прибора с преобладающими аддитивными погрешностями

Задача 3

измерение погрешность аддитивный прибор

Вольтметром класса точности со шкалой (0…100) В измерены значения напряжения 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 В. Рассчитать зависимости абсолютной и относительной погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Решение

Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 3), в столбцы которой будем записывать измеренные значения V, абсолютные V и относительные V погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения тока: 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 В.

Класс точности вольтметра задан числом в кружке, следовательно, относительная погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы не должна превышать по модулю класса точности, т.е. |V|0,5%.

При решении задачи рассмотрим худший случай, т.е. |V|=0,5%, что соответствует значениям V=+0,5% и V=-0,5%.

Примем во внимание опыт решения задачи 2, из которого видно, что результаты вычисления, выполненные для положительных и отрицательных значений погрешностей, численно совпадают друг с другом и отличаются только знаками "+" или "-". Поэтому дальнейшие вычисления будем производить только для положительных значений относительной погрешности V=0,5%, но при этом будем помнить, что все значения второго и третьего столбцов таблицы 3 могут принимать и отрицательные значения.

Значение относительной погрешности V=0,5% заносим в третий столбец таблицы.

Рассчитаем значения абсолютной погрешности.

Из формулы выражаем абсолютную погрешность:

.

При V=0 В получаем:

.

При V=10 В получаем:

.

Значения абсолютной погрешности для остальных измеренных значений напряжения рассчитываются аналогично.

Полученные таким образом значения абсолютной погрешности заносим во второй столбец.

По данным таблицы 3, учитывая, что погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолют абсолютной V и относительной V погрешностей от результата измерений V (см. рис. 3).

Рис. 3 Графики зависимостей абсолютной и относительной погрешностей от результата измерений для прибора с преобладающими мультипликативными погрешностями

Задача 4

Цифровым омметром класса точности 1.0/0.5 со шкалой (0…1000) Ом измерены значения сопротивления 0, 100, 200, 400, 500, 600, 800, 1000 Ом. Рассчитать зависимости абсолютной и относительной основных погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Решение

Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 4), в столбцы которой будем записывать измеренные значения R, абсолютные R и относительные R погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения сопротивления: 0, 100, 200, 400, 500, 600, 800, 1000 Ом.

Класс точности вольтметра задан в виде двух чисел, разделенных косой чертой. Следовательно, относительная погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы должна удовлетворять следующему соотношению:

, %.

В данном случае, а=1,0; b=0,5; R_к=1000 Ом, причем параметры этой формулы а и b ответственны, соответственно, за мультипликативную и аддитивную составляющие суммарной погрешности.

Таким образом, получаем:

.

При решении задачи рассмотрим худший случай

,

что соответствует значениям

.

Примем во внимание опыт решения задачи 2, из которого видно, что результаты вычисления, выполненные для положительных и отрицательных значений погрешностей, численно совпадают друг с другом и отличаются только знаками "+" или "-". поэтому дальнейшие вычисления будем производить только для положительных значений относительной погрешности , но при этом будем помнить, что все значения второго и третьего столбцов таблицы 4 могут принимать и отрицательные значения.

Рассчитаем значения относительной погрешности.

При R=0 Ом получаем:

.

При R=100 Ом получаем:

.

Значения относительной погрешности для остальных измеренных значений сопротивления рассчитываются аналогично.

Полученные значения относительной погрешности заносим в третий столбец таблицы 4.

Рассчитаем значения абсолютной погрешности.

Из формулы выражаем абсолютную погрешность

.

При R=0 Ом получаем: - неопределенность. Искомое значение R можно определить следующим образом. Так как класс точности прибора задан в виде двух чисел, то у данного прибора аддитивные и мультипликативные погрешности соизмеримы. При R=0 Ом мультипликативная составляющая погрешность равна нулю, значит, общая погрешность в этой точке обусловлена только аддитивной составляющей. Аддитивную составляющую представляет второе из чисел, задающих класс точности, т.е. в данном случае число b=0,5. Это означает, что аддитивная погрешность составляет 0,5% от верхнего предела измерений прибора, т.е. от R_к=1000 Ом.

Рис. 4 Графики зависимостей абсолютной и относительной погрешностей от результата измерений для прибора с соизмеримыми аддитивными и мультипликативными погрешностями

Таким образом, при R=0 имеем .

При R=100 Ом получаем .

При R=200 Ом получаем .

Значения абсолютной погрешности для остальных измеренных значений сопротивления рассчитываются аналогично. Полученные таким образом значения абсолютной погрешности заносим во второй столбец таблицы 4.

По данным таблицы 4, учитывая, что погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолютной R и относительной R погрешностей от результата измерений R (см. рис. 4).

Размещено на Allbest.ru