Самарин О.Д., доцент, канд. техн. наук (МГСУ)

Как известно, при определении расходов воды в системах холодного и горячего водоснабжения с целью их гидравлического расчета и подбора основного оборудования, в первую очередь повысительных и циркуляционных насосов, а также водоподогревателей, пользуются вероятностно-статистическим подходом [1 - 3]. Это неизбежно, поскольку водопотребление, особенно в системах хозяйственно-питьевого водопровода, носит ярко выраженный стохастический характер со значительными колебаниями в течение суток и по дням недели. В документе [1] имеется Приложение 4, в котором приведены таблицы значений коэффициента б к секундному или часовому расходу воды для диктующего прибора в зависимости от числа водоразборных устройств N, установленных на рассчитываемом участке водопроводной сети, и вероятности их действия Р. В большинстве случаев значения Р оказываются меньше 0.1, поэтому необходимо использовать Таблицу 2 этого приложения, где в качестве основного параметра для определения б принято произведение NP.

С точки зрения теории вероятности это представляется наиболее обоснованным, поскольку по своему смыслу величина NP представляет собой не что иное, как математическое ожидание числа одновременно включенных приборов, т.е. его среднее значение [4]. В этом случае обеспеченность расхода воды, соответствующего такому количеству включений, т.е. вероятность того, что фактический расход не превысит произведения расхода воды одним прибором на параметр NP, равна 0.5. В то же время коэффициент б показывает число одновременно действующих водоразборных устройств m (деленное на 5) с обеспеченностью 0.9973 [3]. Ясно, что тогда m > NР, что и подтверждается при анализе Приложения 4 [1].

Однако использование справочных таблиц и номограмм как источника данных достаточно удобно лишь при ручных расчетах. В настоящее же время в связи с все большим распространением вычислительной техники становится целесообразным получение формул, позволяющих определять необходимые параметры аналитически. Особенно это касается расчетов, выполняемых в табличной форме, к которым как раз и относится гидравлический расчет водопроводных сетей. В этом случае при применении, например, электронных таблиц Excel удается одновременно обработать массив данных, размещенных в целой колонке таблицы. Это было бы весьма полезно, как в практике проектирования, так и с точки зрения упрощения учебного процесса. Дело в том, что, как показывает практика преподавания, в современных условиях с учетом имеющегося у студентов опыта пользования ЭВМ именно расчет по формулам оказывается более доступным для понимания и реализации в курсовых и дипломных проектах, нежели обращение к таблицам из нормативных и справочных документов.

Структуру аналитического выражения для б в зависимости от NP можно получить из следующих соображений. В самом деле, поскольку на процесс включения и выключения водоразборных приборов влияет множество разнообразных независимых факторов, по центральной предельной теореме теории вероятности [4] число одновременно действующих устройств, по крайней мере, при большом их количестве, должно иметь распределение, близкое к нормальному. Это будет действительно так, даже несмотря на то, что сама вероятность включения отдельного прибора Р, как мы уже отмечали, обычно достаточно мала - менее 0.1. Однако произведение NP в принципе может быть сколь угодно большим, поэтому пуассоновское приближение в данном случае не соответствует наблюдаемому характеру распределения искомой случайной величины m, т.к. оно справедливо только при NP < 10.

В действительности, хотя число приборов в системе и велико, все же оно остается конечным. Поэтому на самом деле в рассматриваемом случае имеет место биномиальная схема. Тем не менее, в соответствии с локальной теоремой Муавра-Лапласа [4], такая схема в предельном случае будет давать распределение, эквивалентное нормальному с математическим ожиданием NP и среднеквадратическим отклонением . Поскольку мы рассматриваем случай, когда P < 0.1, практически без потери точности, но с существенным упрощением вычислений можно положить (1 - P) -> 1, откуда . Для такой случайной величины обеспеченность 0.9973 достигается при превышении ее математического ожидания на величину 3у. Поэтому, принимая во внимание, что m = 5б, получаем следующее выражение:

водоснабжение холодный горячий оборудование

(1)

Данное равенство должно выполняться тем точнее, чем больше значение NP. Сопоставление результатов вычислений по формуле (1) с данными Таблицы 2 [1] показывает, что относительная погрешность (1) в области NP > 100 не превышает 0.5%, что заведомо лежит в пределах точности инженерного расчета. Если NP < 100, начинает сказываться влияние фактической конечности числа испытаний, приводящее к отклонению вероятности, рассчитываемой для биномиальной схемы, от ее предельного уровня, соответствующего нормальному распределению. Точный учет такого отклонения связан с использованием очень сложных формул, включающих, в частности, специальную гамма-функцию от нецелочисленного аргумента, возникающую в биномиальном распределении при попытке придать ему непрерывность. Последнее необходимо, поскольку по своему физическому смыслу расход воды в трубопроводах не может быть полностью дискретным: он способен непрерывно меняться от нуля до некоторой максимальной величины, связанной с параметром NP, который так же, в принципе, может иметь любое значение. Поэтому это отклонение проще всего учесть, если ввести в соотношение (1) дополнительный поправочный множитель А. Значение А получается делением данных Таблицы 2 [1] на величину, вычисляемую с помощью (1) при том же произведении NP. Если теперь построить график зависимости А = f(NP), можно заметить, что ее аналитическое выражение должно наилучшим образом описываться функцией вида . Коэффициенты В и С определяются методом наименьших квадратов с некоторой последующей коррекцией, необходимой для того, чтобы при NP = 100 получить А = 1, т.е. чтобы обеспечить в этой точке стыковку результатов, даваемых формулой (1) с учетом и без учета поправки А. При этом погрешность аппроксимации несколько возрастает, но все же она не превышает ±2%, что так же заведомо соответствует точности инженерного расчета. В этом случае зависимость для А будет иметь следующий вид:

(2)

О том, насколько достоверно соотношение (2) описывает отклонение данных Таблицы 2 [1] от формулы (1), можно судить по Рис.1. Соответствие этих данных результатам расчетов по выражению (1) с учетом поправки А показано на графике Рис.2.

Таким образом, мы получили достаточно простые и точные соотношения для коэффициента б, необходимого при определении секундных и часовых расходов воды на участках систем холодного и горячего водоснабжения. Соответствующие формулы обоснованы с точки зрения теории вероятности и пригодны для инженерных расчетов, а также удобны для применения в учебном процессе, особенно с использованием электронных таблиц Excel.