О непараметрической идентификации технологических процессов производственного цикла

Размещено на http://www.allbest.ru/

неопределенность непараметрический объект запаздывание

Введение

В последние годы значительно возросла роль моделирования в различных областях науки и техники. Особенно велика роль математического моделирования при решении задачи управления сложными многомерными технологическими процессами во многих отраслях промышленности. Типичными схемами производства для большинства отраслей являются последовательная, параллельная или последовательно-параллельная схема производства. Таким образом, речь идет не о каком-то локально объекте, а о группе объектов. Система групповой идентификации естественно соответствует более высокому уровню иерархии, чем система идентификации локальным объектом. Следует отметить, что важным вопросом при постановке задачи идентификации является объем априорной информации о различных каналах объектов. В настоящей статье, задача идентификации решается в условиях непараметрической неопределенности, то есть в условиях, когда априорной информации недостаточно для выбора параметрической структуры модели. Ранее, в работе [1] была дана алгоритмическая основа для моделирования и управления группой производственных объектов в рамках технологического регламента. В данной статье сделан акцент на рассмотрение задачи идентификации последовательности технологических процессов в условиях недостатка априорной информации о последних, а также на случай практического применения непараметрических алгоритмов идентификации в задаче прогнозирования технологических характеристик процесса.

1. Постановка задачи

Рассматривается производственный цикл, представляющий собой цепочку технологических объектов, соединённых последовательно. На рисунке 1 представлена блок-схема рассматриваемого технологического процесса:

Рисунок 1 - Общая схема технологического процесса

На рисунке 1 приняты следующие обозначения: Oi, - технологические объекты; x=- это характеристики, определяющие состав исходного продукта и полуфабрикатов , поступающих на вход технологических объектов; µ=- всевозможные добавки, поступающие на входы объектов; u= - управляющие воздействия, о=- внешние помехи, действующие на объекты технологической цепочки. Как видно из рисунка, технологический процесс представляет собой последовательность локальных объектов.

В общем случае все описанные переменные представляют собой векторы. Для простоты рассмотрим скалярный случай. Характеристики выходных переменных x могут быть представлены в виде следующей зависимости:

, (1)

где f(.) неизвестный функционал, - запаздывание, которое по разным каналам связи может отличаться, но из соображений простоты в тексте мы приняли единое обозначение запаздывания.

Рассматриваемый процесс относится к классу дискретно-непрерывных, то есть по своей природе процесс является непрерывным, однако «входные-выходные» переменные процесса контролируются через дискретные моменты времени. Контроль переменных осуществляется через интервал времени . Таким образом, можно получить исходную выборку наблюдений «входных-выходных» переменных , где - объем выборки.

2. Идентификация объектов технологической цепочки

Современная теория идентификации, в значительной степени, относится к разряду параметрических. Это означает, что на этапе формулировки задачи предполагается каким-то образом выбранная параметрическая структура модели, описывающая процесс, или некоторое уравнение, известное с точностью до параметров [2]. Данный подход получил значительное развитие в рамках теории адаптивных систем [3], которая предполагает предварительную параметризацию объекта. Но часто априорной информации бывает недостаточно для обоснованного выбора параметрического класса моделей, так как исследователю часто приходится сталкиваться с малоизученными процессами и объектами, структура моделей которых неизвестна. Влияние случайных помех с неизвестными законами распределения, неопределенность, неполнота данных еще более усложняют решение поставленных задач. В случае, когда априорной информации недостаточно, чтобы выбрать параметрическую структуру модели исследуемого процесса, естественно использовать теорию непараметрических систем идентификации [4, 5]. Непараметрическая теория, в отличие от предыдущей, предполагает, что известны только качественные характеристики системы. Это означает, что использование данной теории позволяет полностью уйти от вопроса определения параметрической структуры модели объекта.

В условиях непараметрической неопределенности описание объекта с точностью до параметров оказывается неизвестным. В этом случае, в качестве оценки модели объекта может быть принято условное математическое ожидание вида:

(2)

В качестве модели локального объекта O2 может быть принята следующая непараметрическая оценка функции регрессии (Надарая-Ватсона [6]) по наблюдениям в дискретном виде:

, (3)

где - ядерная колоколообразная функция, - коэффициент размытости ядра, соответствующий каждой переменной объекта, s - объем выборки наблюдений. Ядерная функция и коэффициент размытости ядра удовлетворяют некоторым условиям сходимости [7].

В общем виде модель (3) можно переписать в виде:

(4)

Параметр размытости определяется путем решения задачи минимизации квадратичного показателя соответствия выхода объекта и выхода модели, основанного на «методе скользящего экзамена»

(5)

когда в модели (4) исключается i-я переменная из формулы (4), предъявляемая для экзамена:

3. Численное исследование

Для исследования предлагаемого непараметрического алгоритма идентификации проводились вычислительные эксперименты на основании ряда модельных задач.

Рассмотрим следующую схему цепочки объектов, представленную на рисунке 2.

Рисунок 2 - Последовательность технологических объектов

Пусть на вход объектов исследования подается управляющие воздействия , согласно рисунку 2. На выходе объектов измеряются переменные соответственно.

В качестве зависимостей, описывающих в рамках вычислительного эксперимента поведение исследуемых объектов, были выбраны следующие уравнения:

, где

, где

, где

где - помеха, приложенная к выходным переменным. Данные зависимости необходимы для генерации исходных выборок. В дальнейшем вид вышеуказанных зависимостей предполагается неизвестным.

Помеха приложена к выходной переменной объекта и имеет нулевое математическое ожидание и ограниченную дисперсию, для каждого такта измерений i генерируется по следующей формуле:

где - значение выходной переменной j-того объекта в -ый такт измерений, - коэффициент помехи измерения (к примеру, для 5-ти % помехи =0.05), - случайное число из интервала [-1; 1].

Входные переменные генерировались по формулам:

Полученные модели оценивались с использованием относительной ошибки моделирования:

Модели строились с использование непараметрической оценки функции регрессии (4). На рисунке 3 приставлены результаты моделирования выходной переменной объекта O1 при помехе в 7% (=0.05).

Рисунок 4 - Результаты моделирования выходной переменной объекта O1

Как можно заметить из рисунка 4 непараметрическая модель (4) успешно справляется с задачей идентификации. Результат эксперимента по моделированию выходной переменной объекта O2 при отсутствии помех показан на рисунке 5:

Рисунок 5 - Результаты моделирования выходной переменной объекта O2

Относительная ошибка моделирования для эксперимента, представленного на рисунке 4 равна 0,027, на рисунке 5 - 0.015. Результат эксперимента по моделированию выходной переменной при помехе в 3% (=0.05) представлен на рисунке 6:

Рисунок 6 - Результаты моделирования выходной переменной объекта O3

Результат эксперимента по моделированию выходной переменной , при помехе в 5% (=0.05) представлен на рисунке 7:

Рисунок 7 - Результаты моделирования выходной переменной объекта O1

Относительная ошибка моделирования для эксперимента, представленного на рисунке 6 равна 0,021, на рисунке 7 - 0.034. Как можно заметить из представленных выше экспериментов, помеха влияет на точность оценивания, но тенденция при этом сохраняется - непараметрическая модель (4) успешно справляется с задачей идентификации. Использование подобных моделей может оказаться полезным для управления динамическим процессом.

Заключение

Выше приведены непараметрические модели дискретно-непрерывных процессов, ориентированные на случай непараметрической неопределенности, т.е. на случай, когда априорные сведения об исследуемом объекте достаточно малы и не позволяют сколько-нибудь обоснованно выбрать параметрическую модель объекта. При этом рассматриваемый технологический процесс представляет собой цепочку локальных объектов. Подобный характер процессов имеет место в металлургии, энергетике, нефтепереработке и т.д. Приведенные методы сопровождаются подробной иллюстрацией практической апробации применяемого алгоритма идентификации на различных наборах сгенерированных начальных данных, в различных условиях помех. Таким образом, можно сделать вывод, что приведенные непараметрические алгоритмы идентификации достаточно эффективно могут быть использованы для моделирования группы безынерционных объектов с запаздыванием.

Список литературы

1. А. А. Корнеева, М.Е. Корнет, Н А. Сергеева, Е. А. Чжан. Об адаптивном управлении последовательностью технологических объектов // Вестник СибГАУ. - Краснорск: изд. СибГАУ, 2015. Т. 16, № 1. С. 72-78

2. E Asarin, A Donzй, O Maler, D Nickovic, Parametric identification of temporal properties // Lecture Notes in Computer Science. - Springer - Runtime Verification. 2012. pp 147-160

3. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968. 400с.

4. Медведев А. В. Теория непараметрических систем. Моделирование // Вестник СибГАУ.- Краснорск: изд. СибГАУ, 2013.- №2(48). С.57-63.

5. Медведев А. В. Основы теории адаптивных систем. Красноярск. Изд. СибГАУ. 2015. С.525

6. Надарая Э.А. Непараметрическое оценивание плотности вероятностей и кривой регрессии. Издательство Тбилисского университета, 1983. 194 с.

7. Кошкин Г.М., Пивен И.Г. Непараметрическая идентификация стохастических объектов. Хабаровск: РАН Дальневосточное отделение, 2009. 336с.

Размещено на Allbest.ru