О фрактальной структуре нефтегазовых месторождений

Размещено на http://www.allbest.ru/

О фрактальной структуре нефтегазовых месторождений

А.М.Гачаев

В последнее время при изучении неупорядоченных систем весьма эффективно используются фрактально - геометрические методы [1] , [2] ,основным для аппарата фрактальной математики является понятие дробной размерности, впервые введенное Хаусдорфом. На языке фрактальной математики в 1980 г. были сформулированы основные положения теории протекания. В частности, установлена фрактальная природа так называемых вязких пальцев в пористых средах, где сильно вязкая жидкость ( нефть ) вытесняется слабо вязкой жидкостью водой [ 1 ].

В работе [ 1] дается анализ фрактально - геометрических показателей в моделировании нефтегазносности и проводимости паровых коллекторов. Отмечено, что поведение нефтегазностнных коллекторов, представленных пористыми средами, в существенной мере определяется стохастическими факторами, включая хаотическое распределение зерен породы коллекторов по форме и размерам. нефтегазносность коллектор порода

Электрическая проводимость пористых нефтегазосодержащих пластов, исследуемая при их электромагнитном каротаже, также имеет фрактальную структуру, характерную для перкуляционного кластера.

Фрактальные кластеры образуемые песчаными, имеют значении хаусдорфовой размерности, располагающиеся в интервале

D=2,57+2,87.

В данной работе приток жидкости к скважине в трещиноватом деформируемом пласте, производится с помощью интегродифференциальных уравнений дробного порядка. В практике разработки нефтяных залежей существуют различные зависимости дебита от перепада давления. Отклонение рассматриваемых зависимостей от линейной объясняется причинами, основными из которых являются деформация коллектора и инерционные силы сопротивления, изменение свойства пласта и жидкости.

В области больших скоростей фильтрации ( при забойной зоне пласта) нарушается линейный закон.

Существуют функциональная зависимость, учитывающая инерционные составляющего сопротивления движению жидкости [1].

(1)

где - градиент давления, - динамическая вязкость жидкости, - скорость фильтрации, модуль скорость фильтрации,- проницаемость среды, - скалярная величина, зависящая от модуля вектора скорости, - безразмерная функция, полученная согласно - теореме анализа размерности.

Теорема послужила основным толчком в применении фрактального анализа в данной области, поэтому подробно приведем здесь эту исключительно важную теорему и автору кажется, что это теорема будет в дальнейшем играть центральную роль при моделировании различных процессов.

Теорема (- теорема анализа размерности) [ 9].

Если дано физически значимое выражение: где-- это n различных физических переменных и они выражаются через k независимых физических величин, то это выражение может быть переписано в виде: где -- эти безразмерные параметры, полученные из при помощи выражений следующего вида: где показатели степеней-- эти рациональные числа.

Допуская возможность разложения функции в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим

(2)

Движение жидкости в чисто трещиноватом коллекторе гораздо точнее ( чем закон Дарси ) описывается двучленной зависимостью (2).

По формуле (2) первое слагаемое учитывает потери давления от трения между жидкостью и трещиноватой средой, второе - инерционную составляющую сопротивления жидкости, связанную с сужением и расширением элементарных стружек потока в трещинах, поворотами струей и т.д.

Из формулы (2) следует число при малых скоростях фильтрации квадратом модуля можно пренебречь и градиент давления будет зависеть только от первого слагаемого ( вязости жидкости, проницаемости трещин и скорости фильтрации ) т.е. движение будет безинерциональнным.

При больших скоростях фильтрации силы инерции будет преобладать над силами вязкости, поскольку в формуле (2) определяющим будет второе слагаемое. Может оказаться, что при достаточно больших скоростях фильтрации силы вязкости будут пренебрежимо малы по сравнению с силами инерции и следовательно, двучленная зависимость (2) будет зависеть в виде одночленного закона Краснопольского -Шеди, впервые установленное Краснопольским А.А. в 1912г.[ 4]

Формула (2) впервые был предложен Форхгеймером [4]. В этой работе показано, что (2) совпадает с первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора функции .

С ростом градиента давления изменяется фильтрационная способность коллектора.

Это может быть связанно с изменением действующей толщины пласта, которая для каждого конкретного коллектора при различных градиентах давления ( до критического значения) различна. С ростом градиента давления до критического значения в процессе фильтрация вовлекаются все более мелкие поры.

При этом одновременно увеличивается проницаемостьтрещин, пористых блоков и общая мощность трещиновато - пористого пласта.

При достижении действующая толщина пласта достигает максимального значения и остается неизменной при дальнейшем увеличении градиента давления.

Последующие изменения могут привести к сужению некоторых фильтрационных каналов и к уменьшению действующей толщины пласта.

При расширении движения жидкости в деформируемом пласте будет считать, что толщина пласта изменяется плавно, колеблясь около среднего значения [4]. За срединную поверхность приведенного пластового давления примем горизонтальную плоскость, находящуюся на одинаковом расстоянии от кровли и подошвы. Выбирая в этой плоскости направление координатных осей Ox,Oy,Oz проинтегрировав уравнение неразрывности по мощности пласта , получим

(3)

Дифференцируя интеграл по параметру, преобразуем первое слагаемое уравнения (3)

При оси ассиметрической фильтрации течение жидкости на кровле и подошве практически отсутствует, следовательно последними двумя членами в полученном равенстве можно пренебречь, т.е.

(4)

Применяя теорему о среднем к интервалу с учетом получим:

(5)

Аналогично преобразуем второй интеграл в уравнении (3) т.е.

Третий интеграл в (3) равен нулю. Докажем это следующим образом.

Оценивая третий интеграл, имеем

.

Так как то и

С учетом приведенных преобразований из уравнения (3) получим усредненное уравнение неразрывности:

(7)

Уравнение (7) описывает установившиеся течение жидкости в пласте с изменяющейся толщиной.

При выводе уравнения (7) операции индекс «ср.» правильность такой операции допустима. Далее, выразив из (2), имеем

(8)

Подставим в уравнение (7) значение скорости фильтрации (8) при ниже критического, т.е. при изменяющейся толщине пласта. В случае ассимитрической фильтрации в полярных координатах уравнение неразрывности запишем в виде [4].

.

Постоянную интегрирования при условии и учитывая, что W дебит скважины радиусом взрывший пласт толщиной находим

(9)

В промысловой практике принято считать

(10)

где - толщина пласта при, - эмпирический коэффициент, характеризующий изменение действующей толщины пласта от градиента давления. В [ 8] было предложено (10) заменить, учитывая, что фильтрация идет в одном направлении.

Здесь - оператор дробного интегродифференцирования порядка в смысле Римана - Лиувилля. Из (8) и (9) следует, что

(11)

Очевидно, что

После несложных преобразований из (11) получим

(12)

Уравнение (12) впервые предложено в работе

В начале решим уравнение (12) с помощью степенных рядов специального вида.

Представим (12) в виде

(13)

(14)

Решение уравнения 13 будем искать в виде ряда

Продифференцировав это уравнение, получаем

(15)

Поэтому наше уравнение (13) запишем в виде

Последнее уравнение перепишем следующим образом

(16).

то

.

Уравнение (16) примет вид

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим:

Литература

1. Баренблатт Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. - М.: Наука, 1972 - 287с.

2. Шаймуратов Р.С. Гидродинамика нефтяного трещинного пласта. - М.: Недра, 1980 - 223с.

3. Hausdovff F., “ Math. Ann.” 1918, Bd 79, S. 157-179.

4. Krivonosov I.V. , Balakirev V.A. Development, research and expenation ofa multilayerchinks/ Nedra, Russia 1975.

5. Bulygin B.Y., Hydrdynamics of an oil eayer, Neclva, Pussia, 1974.

6. Podlubny I, Tractional differential equations, Academic press, New York 1999.

7. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. - М.: Наука. 1966. - 677 с.

8. Алероев Т.С. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дроб ными производными. Докторская диссертация. М.: МГУ, 2000.

9. Buckingham, E. (1914). «On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations». Phys. Rev. 4: 345--376.

Размещено на Allbest.ru