Алгоритм решения плоской контактной задачи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алгоритм решения плоской контактной задачи

Периодически в расчетной практике возникает ситуация, когда необходимо более точно определить зону приложения нагрузки - решить контактную задачу [1,2]. Решение этих задач возможно в аналитическом [3,4] и численном варианте [5,6]. Известные программные комплексы имеющие возможность анализа контактного взаимодействия не всегда применимы ввиду имеющихся каких-либо особенностей. В данной статье авторами рассматривается численное решение плоской контактной задачи методом конечных элементов (МКЭ) взаимодействия пряди каната 15К7 с телом бетонной оболочки (далее основной конструкции) при выполнении преднапряжения конструкции без последующего инъецирования каналообразователя. Тип контактного взаимодействия - узел-поверхность, тип конечных элементов (далее КЭ) - линейный трехузловой [7,8].

Постановка задачи заключается в следующем: в результате натяжения преднапрягаемой арматуры (канат 15К7) происходит надавливание прядей на стенку каналообразователя. При этом в теле основной конструкции возникают вертикальные и горизонтальные перемещения, и, соответственно, деформации е_xx, е_yy, е_xy и напряжения у_x, у_y, ф_xy. Перемещения по нормали к поверхности контакта совпадают из условия непроникновения одного из контактирующих тел (далее домена) в другое [5,9], по касательной к поверхности зоны контакта - из условия равновесия действия сил трения между контактирующими поверхностями, тогда для контактирующих поверхностей:

(1)

где, u_cont , v_cont - горизонтальное и вертикальное перемещение штампа соответственно, u_targ , v_targ - соответственно горизонтальное и вертикальное перемещение тела основной конструкции. Т.е. при выполнении расчета с применением МКЭ необходимо связать перемещения соответствующих узлов обоих доменов, а так как расчет проводится итерационным способом, то, соответственно, необходимо выполнять обновление связей между узлами на каждой итерации в соответствии с перемещениями, полученными на предыдущей итерации.

Определение контактирующих узлов можно рассмотреть на примере рис. 1. В данном случае контактирующие узлы штампа имеют номера 2.1-2.5, ответной поверхности - 1.1-1.4. Первоначально, для каждого узла штампа на основе текущих координат узлов обоих доменов производится поиск элемента, с которым он, предположительно, может взаимодействовать. В рассматриваемом примере: для узла 2.1 - элемент с узлами 1.1 и 1.2, для 2.2 и 2.3 - элемент с узлами 1.2 и 1.3, для 2.4 и 2.5 - элемент с узлами 1.3 и 1.4. Далее определяется расстояние между узлом поверхности штампа и соответствующей точкой на ответном элементе (+Y₁…+Y₅ соответственно), при сравнении которого с допустимой величиной отклонения в расстояниях - c_toll, определяется статус контактного взаимодействия: узел поверхности штампа контактирует с ответной поверхностью или нет, а так же коэффициент линейной интерполяции. Одним из вариантов взаимного расположения узлов может быть ситуация, когда переместившись, узел контактной поверхности штампа попадает в пространство во внутреннее пространство основной конструкции на расстояние, превышающее c_toll, т.е. описанный выше алгоритм покажет в качестве результата отсутствие контактного взаимодействия (см. рис.1 узел 2.4). В этом случае существует два решения:

- поиск токи пересечения элементов, содержащих данный узел с соседними элементами ответной поверхности;

- сравнение знаков Y_i соседних узлов, в этом случае всем узлам контактирующей поверхности штампа, находящимся на расстоянии от ответной поверхности не превышающим c_toll, назначается фиксированное значение Y_i.

Второй вариант представляется более предпочтительным с точки зрения объемов вычислений.

Описанный выше алгоритм реализован в системе Mathcad [10] в виде функции, ее листинг приведен на рис.2. Было принято, что исходя из соразмерности размеров КЭ контактирующих поверхностей обоих доменов, каждый узел любой из рассматриваемых поверхностей связан с двумя узлами ответной, а так же, что величина значения c_toll = 0,001мала для внесения в результат расчета ощутимой погрешности. Возвращаемый функцией массив имеет число строк, равное числу узлов, и 4 столбца - это 2 пары значений: узел ответной поверхности - к-нт линейной интерполяции.

Рис. 1 - схема определения статуса контактного взаимодействия узлов штампа и ответной поверхности

Рис. 2 - листинг функции определения контактного взаимодействия

На основании данных, возвращаемых функцией c_cnt(), строится глобальная матрица жесткости. Листинг данной функции приведен на рис.3.

Рис. 3. - листинг функции формирования глобальной матрицы жесткости

Используемые массивы и переменные:

1. Ae - массив, содержащий площади КЭ;

2. В - массив, содержащий матрицы градиентов КЭ;

3. Е - вектор, содержащий значение модуля упругости КЭ

4. EL - массив с номерами узлов для элементов, участвующих в расчете;

5. н - вектор, содержащий значения к-нта Пуассона КЭ

6. S - вектор закреплений, значение 1 указывает на закрепление соответствующего номера узла по соответствующему направлению

7. ind_1 - переменная, указывающая на начало перечисления узлов в описании элемента (обычно равна 6).

Сетка КЭ рассматриваемой задачи представлена на рис.4.

Рис. 4. - Общий вид сетки КЭ рассматриваемого фрагмента конструкции.

Желтым цветом показан домен каната преднапряжения (штампа), зеленым - домен основной конструкции.

Имеет размеры 50х50мм, форма штампа, имитирующего канат преднапряжения упрощена с сохранением формы контактирующей поверхности. Характеристики материалов:

- Е_b = 30 ГПа, н = 0,2;

- E_s = 210 ГПа, н = 0,3.

Приложенное давление по верхней плоскости штампа 6,3 МПа. Граничные условия по наружным поверхностям рассматриваемого фрагмента - симметрия в направлении соответствующей оси. Расчет выполняется итерационно, состоит из 20 итераций.

Результаты расчета представлены ниже на рис.5 а, б. Данные результаты совпадают с аналогичным численным экспериментом, проведенном в программном комплексе Autodesk Simulation Mechanical 2013.

Рис. 5. - Результаты расчета: а - напряжения по Мизесу, б - относительные деформации по Мизесу

Литература

алгоритм mathcad матрица жесткость

1. Александров В. М., Чебаков М. И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит, 2004. 302 с.

2. Джонсон К., Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 509 с.

3. Fischer-Cripps, A.C., 2007. Introduction to Contact Mechanics. Springer-Verlag US, 248 p.

4. Wriggers, P. and T.A. Laursen, 2008. Computational Contact Mechanics. Springer, 248 p.

5. Сабоннадьер Ж.К., Кулон Ж.Л. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц.. М.: Мир, 1989. 190 с.

6. Singiresu, S.R., 2011. The Finite Element Method in Engineering. Elsevier UK, 726 p.

7. Александров В. М., Чебаков М. И. Введение в механику контактных взаимодействий. Ростов-на-Дону: ООО "ЦВВР", 2007. 116 с.

8. Очков В.Ф. Mathcad 14 для студентов и инженеров русская версия. СПб.: БВХ-Петербург, 2009. 512 с.

Размещено на Allbest.ru