Решение задач в постановке нелинейной наследственности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение задач в постановке нелинейной наследственности

В одномерной нелинейной наследственной теории упругости используется представление нелинейного функционала в виде ряда кратных интегралов Фреше [1]. В соответствии с предложением Ю.Н. Работнова [2-4] в представлении нелинейного функционала Фреше каждое ядро определяется как произведение одинаковых функций от ”k” различных аргументов.

С учетом обозначений (1) уравнение записано как (2).

деформация упругий наследственность

(1)

(2)

В предложении о сходимости ряда (2) из его обращения следует (3).

(3)

В (3) е, б - деформации и напряжения одномерной теории наследственности; L* - интегральный оператор Вольтерры; операция L*б обозначает свертку двух функций L и у, где L - ядро ползучести. Зависимость (3) при t=0 совпадает с формой физического закона одномерной нелинейной теории упругости, поэтому ц(е) определяет мгновенную диаграмму деформирования. В частном случае одномерной вязкоупругости уравнение (3) описывает закон прямой пропорциональности . При L?0 имеем закон одномерной нелинейной теории упругости . Зависимость (3) можно переписать (4).

где (4)

Известна альтернативная форма записи закона наследственной упругопластичности [5,6]. При этом напряжения представлены в виде ряда Фреше (5).

(5)

Так же, как и ранее, предполагается выполнение гипотезы Ю.Н. Работнова - (6).

(6)

С учетом обозначений (7) физические соотношения записаны в виде (8); их обращение дает (9).

(7)

(8)

(9)

В (3) R - ядро релаксации, - модифицированная деформация, а f(у) определяет мгновенную диаграмму деформирования. В силу чего функции f и ц - взаимообратимы, т.к. при t=0 выполняются следующие равенства, определяющие одну и ту же мгновенную диаграмму деформирования: . Аналогично переходу от (3) к (4) выполним переход от (9) к (10).

где (10)

Итак, (3-4) определяют прямую Ю.Н. Работнова, а (9-10) альтернативную формы записи закона наследственной одномерной нелинейной теории упругости. Далее ядро L будем записывать с индексом единица (L1), чтобы подчеркнуть прямую форму закона, а ядро R с индексом два (R2) - альтернативная форма.

Установим взаимосвязь между ядрами ползучести и релаксации нелинейной наследственной теории упругости.

Обратим физическую зависимость в (9): . Умножив последнее равенство на (1+L₁^*) в операторном смысле, получим (11).

(11)

Из сопоставления (11) и (3) следует, что операторы (1+L₁^*) и (1-R₂^*) могут быть резольветными только в том случае, если функции ц и f линейны. Далее устанавливается связь между ядрами ползучести и релаксации в прямой и альтернативной формулировках.

Введем вспомогательные операторы [7]: R₁ и L₂ такие, что выполняется попарно взаимная резольвентность операторов (1+L₁^*) ? (1-R₁^*) и (1+L₂^*) ? (1-R₂^*). Тогда имеем две формы записи закона нелинейной наследственной одномерной упругости (12).

Проведем простейший опыт на ползучесть у = const. Рассматривая прямую и альтернативную форму уравнений (12), получим (13).

Аналогично из опыта на релаксацию (е = const) имеем (14).

(12)

(13)

(14)

Входящие в (13) и (14) секущий и касательный модули определяются согласно мгновенной диаграмме деформирования в зависимости от величины постоянного напряжения или деформации. Зависимости (13) и (14) позволяют по результатам одной серии экспериментов определить характеристики аппроксимаций, применяемых в экспериментах другого типа. Пусть, например, из опыта на ползучесть определено ядро L₂. Тогда три других ядра определятся через L₂ согласно. Так, , а ядра R₁ и R₂ определяются решением операторных уравнений, определяющих условие резольвентности ядер ползучести и релаксации: R₁ ~ L₁, R₂ ~ L₂. Очевидно, что в линейных задачах секущий и касательный модуль равны начальному, и тогда L₁ = L₂, R₁ = R₂.

На основе приведенных зависимостей для одномерного случая можно построить определяющие уравнения нелинейной ползучести для сложного напряженного состояния. В работе рассмотрен частный случай построения теории малых упругопластических деформаций наследственного типа.

Приняты следующие гипотезы (запись ведется в прямой и альтернативной формулировках):

1) среда изотропна

2) материал вязкопластически несжимаем, т.е. объемная деформация является чисто упругой

(15)

3) девиаторы деформаций и наследственных напряжений подобны и коаксильны (для прямой формулировки) или девиаторы напряжений и наследственных деформаций подобны и коаксильны (для альтернативной формулировки), откуда следует (16) [5].

- прямая

- альтернативная (16)

Частными случаями (16) при L ? 0 являются уравнения теории малых упругопластических деформаций. Если рассматривать линейную задачу, то из (16) следуют уравнения линейной вязкоупругости [8].

Полная система (17) уравнений теории малых упругопластических деформаций содержит уравнения равновесия, геометрические и физические зависимости, статические и кинематические граничные условия.

(17)

В (17) с учетом того, что = = , матрица физических зависимостей записана как (18).

(18)

Исключив в (17) напряжения и деформации, система уравнений в перемещениях записана как (19).

(19)

Если принять гипотезу о том, что напряжения и модифицированные деформации связаны зависимостями потенциального типа, т.е. что существует U такая, что , то можно построить вариационное уравнение (20), для которого уравнениями Эйлера являются уравнения равновесия и статические граничные условия в (19), если функция модифицированных перемещений удовлетворяет кинематическим граничным условиям, а вектор-функции и у удовлетворяют геометрическим и физическим зависимостям.

(20)

Функционал (20) не является квадратичным, поэтому здесь нельзя использовать традиционные методы решения задач линейной наследственности.

Точка стационарности (20) определяется аналогично обобщенному методу упругих решений [5]. В окрестности значений перемещений функционал (20) разлагается в ряд Тейлора с удержанием только членов не выше второй степени (1.31).

(21)

В (21) использованы обозначения (22).

(22)

Так, например, первый элемент матрицы Н определяется так:

.

Напряжения в окрестности точки uⁿможно вычислить по соответствующему приближению функции U - (23).

(23)

Приближенное вариационное уравнение, порождаемое квадратичной аппроксимацией (21), записано в виде (24).

(24)

Для функционала (24) уравнениями Эйлера являются уравнения равновесия в приращениях .

Решение вариационного уравнения (24) можно проводить методом конечных элементов (далее МКЭ), если провести независимые аппроксимации основных вектор-функций в (24) по пространственным и временным координатам [9, 10].

Пространственная область разбивается на сетку конечных элементов и на каждом из них вектор-функция модифицированных перемещений представляется в виде (25).

(25)

В (25) - вектор узловых модифицированных перемещений, - матрица координатных функций конечного элемента. Тогда модифицированные деформации выразим через модифицированные перемещения узлов конечного элемента (26).

(26)

После подстановки (25), (26) в (24) в силу произвольности д,следует (27)

,

где - наследственная касательная матрица жесткости,

- наследственная

секущая матрица жесткости,

- вектор узловых сил(27)

Если сооружение выполнено из однородно ползучего материала, то в этом случае уравнения (27) можно трактовать как уравнения обобщенного шагового метода, и решение задачи существенно упрощается. Алгоритм задачи однородной ползучести решения приведен в [7, 11]. Рассмотрим более сложный случай использования в системе элементов с разными ядрами ползучести, т.е. задачу неоднородной ползучести. Предполагаем, что сетка конечных элементов построена так, что материал одного конечного элемента является однородно ползучим. Тогда можно представить основное соотношение МКЭ (27) в виде (28).

(28)

Интеграл помощью формулы трапеций приближенно представим в виде (29). При этом временная ось к моменту t разбита на m интервалов - t = mДt.

(29)

С учетом (29) уравнения равновесия (28) аппроксимируются как (30).

(30)

Введем обозначение (31).

(31)

С учетом принятых обозначений уравнения равновесия для ансамбля конечных элементов приведены в виде (32).

(32)

В (32) глобальные матрицы жесткости строятся традиционными способами по матрицам жесткости отдельных конечных элементов уравнения (32) определяют следующий итерационныйалгоритм.

1. Вначале определяются мгновенные компоненты НДС, относящиеся к моменту t=0. Вообще-то говоря, эти компоненты развиваются за конечный временной отрезок, но т.к. рассматриваемое время несоизмеримо больше, то время роста нагрузки условно принимается нулевым.

Считается, что на малом отрезке вязкие свойства системы не проявляются и поэтому решается стационарная задача.

2. На втором шаге определяются компоненты матриц жесткости ,всех конечных элементов системы. Для чего вычисляются модифицированные деформации, напряжения, модули для . Если при интегрировании по пространственной области используются квадратурные формулы, то все указанные величины вычисляются в расчетных узлах. По локальным матрицам формируется общая система уравнений МКЭ и решается задача (32), в результате чего находится вектор приращения модифицированных перемещений . После чего расчет вновь повторяется со второго пункта до тех пор, пока не достигнем верхней границы временного отрезка, в пределах которого исследуется поведение сооружения. Контроль точности временной аппроксимации проводится при сгущении сетки временных конечных элементов (т.е. уменьшением Дt) до стабилизации решения.

В процессе нагружения сооружения, а также в процессе рассмотрения истории ее существования, возможно возникновение зон “разгрузки”. Активный и пассивный процесс деформирования в теории малых упругопластических деформаций различаем по знаку приращения интенсивности модифицированных деформаций: если , то в точке расчетной области происходит процесс активного деформирования. Разгрузка имеет место при . Согласно положению теории неупругонаследственных сред Ю.Н. Работнова полагаем, что при разгрузке зависимость между напряжениями и деформациями является линейной вязкоупругой. Тогда физические зависимости при разгрузке примут вид (33).

(33)

Литература

1. Volterra V. Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differential Equations. Dover Phoenix Editions, 1959. - 304 p.

2. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. - М.: Наука, 1977.- 383 с.

3. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 650 с.

4. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука, 1968. - 752 с.

5. Васильков Г.В., Панасюк Л.Н., Селим Ш.И. Деформационная теория пластичности наследственного типа.- Ростов н/Д.: РИСИ, 1991.- 18 с. //Деп. В ВИНИТИ N 3792-В91

6. Васильков Г.В., Панасюк Л.Н., Рогачкин П.Л. Вариационные постановки задач наследственной теории течения с изотропным упрочнением //Вычислительная механика и моделирование работы конструкций и сооружений. - Ростов н/Д.: РГАС, 1992. -6 с.

7. Васильков Г.В., Панасюк Л.Н., А.А.Аль-Тахиш. Определение предельных нагрузок для неоднородных вязкоупругопластических рам. - Ростов-на-Дону: РИСИ, 1993.- 21 с.- Деп. в ВИНИТИ N 1169-В93.

8. Александров А.Ф., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990.-400 с.

Размещено на Allbest.ru