Расчетная модель радиального подшипника скольжения на основе нелинейного реологического уравнения Максвела, с учетом существования предельного напряжения сдвига

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчетная модель радиального подшипника скольжения на основе нелинейного реологического уравнения Максвела, с учетом существования предельного напряжения сдвига

К.С. Ахвердиев, Е.О. Лагунова, К.С. Солоп

Ростовский государственный университет путей сообщения

Аннотация: В работе дается метод гидродинамического расчета радиального подшипника скольжения, работающего на смазочном материале, обладающем одновременно вязкоупругопластичными свойствами. При разработке расчетной модели в качестве исходных уравнений используется нелинейная модель Максвелла с учетом существования предельного напряжения сдвига. Асимптотическое решение рассматриваемой задачи найдено по четным степеням параметра, обусловленного наличием предельного напряжения сдвига смазочного материала. Найдено поле скоростей и давлений в смазочном слое, получено аналитическое выражение для несущей способности подшипника. Дана оценка влияния параметров, характеризующих упругие свойства смазочного материала (число Дебора) и безразмерного параметра, характеризующего вязкопластичные свойства смазочного материала (параметр пластичности) на несущую способность радиального подшипника.

Ключевые слова: радиальный подшипник, несущая способность, предельное напряжение сдвига, параметр пластичности, деформация.

Рассмотрим стационарное движение смазочной жидкости с вязкоупругопластичными свойствами в зазоре радиального подшипника бесконечной длины. Подшипник считается неподвижным, а шип вращается с угловой скоростью . В полярной системе координат с полюсом в центре шипа уравнение контура шипа и подшипника (рис. 1) запишется в виде:

(1)

где - радиус шипа; - радиус подшипника; - эксцентриситет.

Реологическое уравнение движения смазочной жидкости в рассматриваемом случае запишется в виде:

(2)

Здесь G - модуль упругости; - динамический коэффициент вязкости; - предельное напряжение сдвига; - время; - компонента вектора скорости в окружном направлении; - характеризует время релаксации жидкости; - касательное напряжение.

В случае установившегося движения жидкости (в рассматриваемом случае) производная в уравнении (2) может быть заменена производной .

Уравнение (2) примет вид:

 (3)

При вышеуказанных допущениях рассматриваемое равновесие элемента жидкости, находящейся между поверхностями ползуна, приводит к следующему уравнению:

(4)

где гидродинамическое давление в смазочном слое.

Интегрируя уравнение (4) будем иметь:

(5)

С учетом (5) уравнение (3) приводится к виду:

(6)

Дифференцируя это уравнение по , получим:

(7)

При анализе рассматриваемой системы за исходное берется уравнение (7) и уравнение неразрывности.

(8)

Система уравнения (7) (8) решается при следующих граничных условиях:

(9)

где соответственно координаты начала и конца свободной поверхности. Кроме граничных условий (9) для гидродинамического давления получаем дополнительные условия в предположении существования определенного состояния жидкости в момент вхождения в подшипник.

В случае, когда смазка находится в ненапряженном состоянии и внезапно подвергается сдвигу с определенной скоростью в момент ее поступления в подшипник будем иметь:

(10)

Для случая, когда смазка поступает в подшипник при полной релаксации упругого компонента деформации, дополнительные условия запишутся в виде:

 (11)

Перейдем к безразмерным переменным по формулам:

(12)

Подставляя (12) в (7), (8), (9) и (10) с точностью до членов будем иметь:

(13)

(14)

Здесь

Граничные условия (10) запишем в виде:

(15)

Полагая и воспользуемся разложением и , то асимптотическое решение системы уравнений (16), удовлетворяющее граничным условиям (15) будем иметь в виде рядов по четным степеням малого параметра :

(16)

Подставляя (16) в (14) и (15) с учетом асимптотического разложения функций и для коэффициентов разложения с точностью до членов включительно, придем к следующей системе уравнений и граничных условий к ним:

(17)

(18)



(19)

(20)

Точное автомодельное решение задачи (17) - (18) будем иметь в виде:

(21)

Подставляя (21) в (17) и (18) придем к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений

(22)

вязкоупругопластичный смазочный радиальный подшипник



(23)

Решение рассматриваемой задачи, связанной с определением поля скоростей, находим непосредственным интегрированием.

(24)

где , в дальнейшем определяется из условия

Функцию представим в виде ряда Тейлора

(25)

где

,

(26)

С учетом (26) для определения функции приходим в принятом нами приближении к следующему уравнению:

(27)

Решение уравнения (27) будем искать в виде:

(28)

где - общее решение этого уравнения без правой части; - частное решение с правой частью.

(29)

где и - постоянные интегрирования.

Функцию будем иметь в виде:

(30)

Подставляя (30) в уравнение (27) для определения приходим к следующей алгебраической системе уравнений.

(31)

Решая систему (31), получим:

(32)

Используем граничные условия:

для будем иметь:

(33)

Константа определяется из условия:

Из этого условия следует, что:

(34)

С учетом (34), (33), (32), и (26) получим . В виду громоздкости явный вид выражение для в статье не приводим.

Для определения функции имеем:

(35)

Здесь известная функция от .

Приведем решение уравнения (35) для случая экстремального значения .

Введем обозначения:

(36)

Обозначим

Решение уравнения (35) с учетом (36) удовлетворяет граничным условиям запишем в виде:

(37)

Перейдем к решению задачи для первого приближения. В системе уравнений (19) нелинейные слагаемые заменим их максимальным значением.

Пусть

(38)

Точное автомодельное решение этой задачи будем искать в виде



(39)

Подставляя (39) в (19)-(20), придем к следующему дифференциальному уравнению с граничными условиями:

(40)

Решая задачу (41) для будем иметь:

Для определения безразмерного гидродинамического давления будем исходить из уравнения и граничных условий:

(41)

(42)

Интегрируя уравнение (41) с граничными условиями (42) с точностью до членов , получим:

 (43)

Константа интегрирования и не посредственно находятся из граничного условия (42). В виду громоздкости их выражения в статье не приводим.

Найдем безразмерную несущую способность:

(44)

1 - - истинно вязкопластичный смазочный материал; 2 - ; 3 - ; 4 - . 5 - - истинно вязкий смазочный материал; 6 - ; 7 - ; 8 - ;

Рис. 1. - Зависимость безразмерной несущей способности от параметра

Выводы

1. Несущая способность, полученная на основе нелинейного уравнения Максвелла, учитывающее нелинейный фактор (т.е. одновременно случай, когда смазочный материал обладает вязкоупругими и вязкопластичными свойствами) существенно отличается от несущей способности, полученной на основе линейного уравнения Максвелла, соответствующая случаю вязкоупругого смазочного материала.

2. В случае вязкоупругого смазочного материала с увеличением параметра , несущая способность увеличивается и при стремится к случаю, соответствующему истинно вязкому смазочному материалу, оставаясь при этом меньше этого значения. Наиболее резкое увеличение несущей способности наблюдается при малых значениях параметра .

3. В случае, когда смазочный материал является вязкопластичным, несущая способность на 15 % больше случая истинно вязкого смазочного материала.

4. В случае, когда смазочный материал обладает вязкоупругопластичными свойствами, с увеличением параметра несущая способность увеличивается и при стремится к случаю истинно вязкопластичного смазочного материала, при этом оставаясь меньше этого значения.

Литература

1. Ахвердиев К.С., Яковлев М.В., Журба И.А. Гидродинамический расчет подшипников скольжения с учетом сил инерции смазочной жидкости, обладающей вязкоупругими свойствами// Трение и износ. - 2003. - Т. 24, № 2. - С. 121-125.

2. Ахвердиев К.С., Воронцов П.А., Черкасова Т.С. Гидродинамический расчет подшипников скольжения с использованием моделей слоистого течения вязкой и вязкопластичной смазки // Трение и износ. - 1998. - Т. 16, № 6. - С. 698-707.

3. Ахвердиев К.С., Колесников И.В., Мукутадзе М.А., Семенко И.С. Математическая модель микрополярной смазки подшипников скольжения с податливой опорной поверхностью // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2012. - № 6, - С. 22-25.

4. Ахвердиев К.С., Журба И.А. Об устойчивости движения направляющей при неустановившемся течении вязкоупругой смазки в системе «ползун-направляющая» //Вестник РГУПС. - 2005. - № 1. - С. 5-11.

5. Ахвердиев К.С., Мукутадзе М.А., Лагунова Е.О., Солоп К.С. Расчетная модель упорного подшипника скольжения с повышенной несущей способностью, работающего на неньютоновских смазочных материалах с адаптированной опорной поверхностью // Инженерный вестник Дона. - 2013. - № 4. - URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2201

6. Буяновский И.А., Хрущов М.М. Трибологические методы испытаний смазочных материалов // Вестник машиностроения. - 2002. - № 2. - С. 17.

7. Задорожная Е.А., Мухортов И.В., Леванов И.Г. Применение неньютоновских моделей смазочных жидкостей при расчете сложнонагруженных узлов трения поршневых и роторных машин // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2011. - № 7. - С. 22-30.

8. Павлик Б.Б., Фельдмане Э.Г. Об учете вязкоупругопластических свойствах смазки при расчете коэффициента трения линейного УГД контакта.- Рига: Риж. политехн. ин-т, 1988. - С. 5--14.

9. Ахвердиев К.С., Мукутадзе М.А., Лагунова Е.О., Солоп К.С. Расчетная модель радиального подшипника скольжения с повышенной несущей способностью, работающего на микрополярной смазке, с учетом ее вязкостных характеристик от давления // Инженерный вестник Дона. - 2013. - № 4. - URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2200

References

1. Akhverdiyev K.S., Yakovlev M.V., Zhurba I.A. Trenie i iznos. 2003. T. 24, № 2. pp. 121-125.

2. Akhverdiyev K.S., Vorontsov P.A., Cherkasova T.S. Trenie i iznos. 1998. T. 16, № 6. pp. 698-707.

3. Akhverdiyev K.S., Kolesnikov I.V., Mukutadze M.A., Semenko I.S. Trenie i smazka v mashinakh i mekhanizmakh. 2012. № 6. pp. 22-25.

4. Akhverdiyev K.S., Zhurba I.A. Vestnik RGUPS. 2005. № 1. pp. 5-11.

5. Akhverdiyev K.S., Mukutadze M.A., Lagunova E.O., Solop K.S. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, No 4. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2201

6. Buyanovsky I.A., Hrushchov M.M. Vestnik mashinostroeniya. 2002. № 2. pp. 17.

7. Zadorozhny E.A., Mukhortov I.V., Levanov I.G. Trenie i smazka v mashinakh i mekhanizmakh. 2011. № 7. pp. 22-30.

8. Pavlik B.B., Feldman E.G. Rizh. politekhn. in-t, 1988. pp. 5--14.

9. Akhverdiyev K.S., Mukutadze M.A., Lagunova E.O., Solop K.S. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. No. 4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2200

Размещено на Allbest.ru

...