Расчет эволюции возмущений свободной поверхности при помощи метода конечных элементов для различных вариантов уравнений мелкой воды
Уравнение мелкой воды как одна из наиболее простейших моделей геофизической гидродинамики. Специфические особенности использования полунеявных схем для аппроксимации производных по времени. Алгоритм определения уравнения в приближении бета-плоскости.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.07.2017 |
| Размер файла | 128,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Одна из простейших моделей геофизической гидродинамики - уравнения мелкой воды, достаточно хорошо описывают атмосферные и океанические течения во вращающихся областях. Всевозможные асимптотические варианты таких уравнений, в частности, приближение бета-плоскости, сравнительно полно исследованы аналитическими и численными методами. При использовании численных методов чаще всего применяются специальные конечно-разностные схемы, предотвращающие влияние сеточной вязкости и других паразитных эффектов.
Целью настоящей работы является демонстрация эффективности применения метода конечных элементов (МКЭ). Показано, что уже простейшие варианты полунеявных временных схем МКЭ позволяют строить решения для локализованных начальных возмущений свободной поверхности во вращающейся жидкости. Привлекательность использования МКЭ, в частности, обусловлено тем, что для построения решения в областях со сложными границами (озера, внутренние моря и т. п.) не требуется конструирования сложных сеточных схем, легко реализуются различные краевые условия, гладкость решения не имеет существенного значения, и без труда учитываются различные физические нелинейности.
Программная реализация МКЭ осуществлялась при помощи пакета FreeFem++, предназначенного для численного решения широкого класса задач математической физики.
Уравнения мелкой воды на произвольной поверхности
Уравнения мелкой воды хорошо известны и в безразмерных переменных имеют вид:
,
,
, .
Здесь - скорость, - возвышение свободной поверхности, , - криволинейные координаты, - ускорение силы тяжести и - коэффициенты Ламе, , - функция Кориолиса.
Приведенные уравнения справедливы для произвольной достаточно гладкой поверхности, что позволяет использовать их при описании сложных рельефов, в частности, учитывать, что поверхность Земли является геоидом.
В простейшем случае плоской поверхности (классический вариант уравнений мелкой воды) имеем (, , = = 1, , ):
, , ,
где функция Кориолиса аппроксимирована либо константой (- плоскость), либо линейной функцией (бета-плоскость); - коэффициент вязкого сопротивления.
Основным объектом исследования в работе являются уравнения в приближении бета-плоскости, которые записываются в форме:
,
,
, .
Здесь использованы безразмерные координаты , , связанные с долготой и широтой : и , где - характерный масштаб движений, - радиус сферы, , .- угловая скорость вращения.
В случае имеем малый параметр и вспомогательные малые функции:
, .
Численная реализация МКЭ.
Приведем схему реализации МКЭ, используя для сокращения выражений уравнения мелкой воды на плоскости. На интервале времени зададим , где - шаг по времени. Введем обозначения , , , . Для аппроксимации производных по времени используем полунеявные схемы:
,
,
.
Тогда полунеявная аппроксимация уравнений имеет вид:
,
,
.
уравнение гидродинамика аппроксимация
Для применения МКЭ используем слабую формулировку задачи, которая получена умножением уравнений на тестовые функции , , с последующим интегрированием по области , применением формулы интегрирования по частям и учетом краевых условия на границе
+ + =0.
Здесь для простоты предполагается, что заданные краевые условия приводят к исчезновению интегралов по границе области .
Вычислительный эксперимент
Основная цель вычислительного эксперимента - сравнение результатов решения задачи для различных моделей мелкой воды. В качестве начальных данных:
, ,
в частности, выбиралось вращательное течение с дрейфом центра вращения и локализованным возмущением свободной поверхности типа «горб» - «яма»:
, ,
, ,
где , , задают интенсивность и дрейф вращения с центром в точке , параметры , , характеризуют возмущение свободной поверхности и степень локализации.
Вычисления проводились в окрестности точки с координатами с характерным размером области для параметров , , . Для расчетов использовались кусочно-квадратичные конечные элементы и триангуляция области с характерным относительным размером треугольников 0.005. Компьютерный эксперимент показал, что предложенная схема аппроксимации и МКЭ позволяют проводить расчеты на достаточно большом интервале времени порядка с относительной погрешностью . При использовании быстрых алгоритмов решения систем линейных уравнений, требующихся для численной реализации МКЭ, скорость вычислений существенно увеличивается.
Для указанных начальных данных с течением времени происходит разрушение начального возмущения свободной поверхности. В среднем для всех моделей получаются примерно одинаковые сценарии эволюции течения и возмущения свободной поверхности. Регулярная структура возмущения сохраняется на интервале времени и начинает достаточно быстро разрушаться при . Для неподвижного центра вращения (, ) времени сохранения регулярной структуры увеличивается Параметры , , , варьировались в окрестности значений , , , и их изменения (примерно на 100 процентов) слабо влияют на эволюцию структуры возмущения. Выбор для проведения расчетов различных моделей оказывает существенное влияние лишь на этапах эволюции при . Например, разрушение возмущения свободной поверхности в случае использования модели для касательной плоскости или модели для бета-плоскости происходит примерно в два раза медленнее, чем в случае использования модели для сферы, что естественно связано с учетом кривизны поверхности. В заключение приведем рисунок, демонстрирующий распад начального возмущения для модели бета-плоскости.
Рис. 1. Поверхность для моментов , ,
Анализ результатов показывает, что все три модели, описывающие поведение мелкой воды, с начальным распределением, соответствующим вихревому течению и локализованному возмущению свободной поверхности, на сравнительно малых интервалах времени демонстрируют примерно одинаковое поведение. Различие моделей сказывается лишь на эволюцию структуры возмущений для больших времен. МКЭ успешно применим к рассмотренному классу задач и позволяет проводить стабильные вычисления на достаточно большом интервале времени. Метод позволяет эффективно предотвратить паразитные дисперсионные эффекты и эффекты сеточной вязкости.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Расчет мембранного аппарата. Определение количества мембранных элементов, составление балансовых схем по движению воды и компонента, подбор насосного оборудования для обеспечения требуемого рабочего давления при подаче воды в мембранный аппарат.
контрольная работа [245,6 K], добавлен 06.05.2014Определение поверхности теплообмена и конечных температур рабочих жидкостей. Расчетные уравнения теплообмена при стационарном режиме - уравнение теплопередачи и уравнение теплового баланса. Расчёт кожухотрубчатого и пластинчатого теплообменных аппаратов.
курсовая работа [5,2 M], добавлен 03.01.2011Методы обеззараживания воды в технологии водоподготовки. Электролизные установки для обеззараживания воды. Преимущества и технология метода озонирования воды. Обеззараживание воды бактерицидными лучами и конструктивная схема бактерицидной установки.
реферат [1,4 M], добавлен 09.03.2011Принципы построения комбинированной гидродинамической модели аппарата методом декомпозиции функции отклика системы на возмущение идентификацией простейших типовых гидродинамических моделей. Разработка химического реактора с учетом его гидродинамики.
контрольная работа [304,4 K], добавлен 02.12.2015Проблемы воды и общий фон развития мембранных технологий. Химический состав воды и золы ячменя. Технологическая сущность фильтрования воды. Описание работы фильтр-пресса и его расчет. Сравнительный анализ основных видов фильтров для очистки воды.
курсовая работа [3,5 M], добавлен 08.05.2010Задачи обработки воды и типология примесей. Методы, технологические процессы и сооружения для очистки воды, классификация основных технологических схем. Основные критерии для выбора технологической схемы и состава сооружений для подготовки питьевой воды.
реферат [1,2 M], добавлен 09.03.2011Производство высокоочищенной питьевой воды, системы ее очищения и техническое обслуживание. Применение метода двухступенчатого обратного осмоса для современного способа получения воды для инъекций. Основные положения метода, его достоинства и недостатки.
контрольная работа [260,5 K], добавлен 07.11.2014Определение жесткости и щелочности воды. Расчет эквивалентной концентрации раствора. Химический состав примесей воды. Уравнения гидролиза полученных соединений. Молярные концентрации ионов. Расчет произведений активных концентраций. Образование шлама.
контрольная работа [100,3 K], добавлен 11.05.2014Особенности проектирования подошв обуви, оценка ее долговечности, стойкости к механическим факторам износа, разновидности дефектов. Суть метода определения деформационных и прочностных характеристик низа обуви на основе конечно-элементного анализа.
автореферат [1,4 M], добавлен 24.08.2010Плотность теплового потока в районе мениска в кристаллизаторе и распределение температуры поверхности широкой грани сляба. Влияние материала стенки, скорости воды в каналах охлаждения, шлакообразующих смесей, гидродинамики расплава на тепловые процессы.
контрольная работа [758,0 K], добавлен 23.12.2015Определение количества выпарной воды в двухкорпусной выпарной установке. Расчет расхода греющего пара, поверхности теплообмена одного корпуса. Расход охлаждающей воды на барометрический конденсатор смешения. Производительность вакуумного насоса.
контрольная работа [872,4 K], добавлен 07.04.2014Алгоритм необходимых расчетов для определения эффективности использования регулируемого электропривода в системе водо- и теплоснабжения города с численностью 500; 700; 900 тыс. человек. Расчет среднегодового потребления воды и тепловой энергии населением.
контрольная работа [52,8 K], добавлен 15.11.2010Расчет и корректировка исходного состава воды, коагуляция с известкованием, содированием и магнезиальным обескремниванием. Оборотные системы охлаждения, расчет осветлителя и состава воды после осветлителя, проверка и корректировка состава исходной воды.
курсовая работа [169,1 K], добавлен 25.11.2010Тепловые сети - один из самых ответственных и технически сложных элементов системы трубопроводов. Методика определения расхода сетевой воды для бесперебойного обеспечения теплоснабжения. Специфические особенности построения пьезометрического графика.
дипломная работа [747,1 K], добавлен 10.07.2017Технологический процесс очистки воды, автоматизация определения качества поступившей воды и расчета необходимых химических веществ для ее обеззараживания поэтапно на примере работы предприятия ГУП "ПО Горводоканал". Контроль ввода реагентов в смеситель.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 25.05.2012Раскрытие сущности метода конечных элементов как способа решения вариационных задач при расчете напряженно-деформированного состояния конструкций. Определение напряжения и перемещения в упругой квадратной пластине. Базисная функция вариационных задач.
лекция [461,5 K], добавлен 16.10.2014Определение расчётного расхода воды отдельными категориями потребителей. Расходы воды на коммунальные нужды города, предприятий и хозяйственно-питьевые нужды населения. Трассировка магистральных водопроводных сетей и составление их расчётных схем.
контрольная работа [137,5 K], добавлен 20.12.2010Нормативные документы, регламентирующие производство и контроль качества воды. Типы воды, ее загрязнение и схемы очистки. Системы распределения воды очищенной и воды для инъекций. Контроль систем получения, хранения и распределения, валидация системы.
курсовая работа [2,1 M], добавлен 12.03.2010Составление материального баланса и определение расхода воды. Определение диаметра абсорбера, плотности орошения и активной поверхности насадки, высоты абсорбера по числу единиц переноса. Критерий Прандтля для воды. Скорость воздуха в трубопроводе.
курсовая работа [263,9 K], добавлен 01.04.2013Анализ качества исходной воды. Определение расчетной производительности очистной станции. Описание и расчет оборудования и его элементов для обеззараживания воды. Реагентное хозяйство, расчетные дозы и приготовление реагентов. Зоны санитарной охраны.
контрольная работа [25,4 K], добавлен 10.03.2013
