Кручение стержней

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

кручение стержней

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только внутренний силовой фактор - крутящий момент (вдоль оси бруса будем всегда располагать ось ). Кручение часто встречается на практике в различных элементах машин и сооружений. Кручение прямого бруса происходит при загружении его внешними скручивающими моментами (парами сил), плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси. Наряду с кручением, элементы машин и сооружений иногда испытывают также изгиб и растяжение (сжатие). Такие сложные случаи нагружения будут рассмотрены позднее, а здесь ограничимся рассмотрением только одного кручения. Стержни (брусья), работающие на кручение, часто называют валами.

Если прямой брус находится в состоянии покоя или равномерного вращения, то алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, равна нулю.

При расчете валов, в ряде случаев, величины внешних скручивающих моментов определяются по величине потребляемой (передаваемой) мощности и по скорости вращения вала.

Мощность определяется в «лошадиных силах» (л.с.) или в киловаттах (КВт), а скорость вращения об/мин. В этих случаях крутящий момент определяется в кгм так:

(1)

Здесь учтено, что 1л.с.= 75 кгм/сек, 1 Квт= 102 кгм/сек

Построение эпюр М_z

К валу в разных сечениях может быть приложено несколько внешних моментов и поперечные размеры его могут изменяться. Рассмотрим пример, показанный на рис. 1.

Рис. 1

Дано: 10кНм; 5кНм; 3кНм; 10см; 20см; 6см; 1м

неизвестный опорный момент. Его можно найти из условия равновесия вала:

Отсюда 2кНм.

Внутренние крутящие моменты , возникающие в поперечных сечениях вала, определяются известным методом сечений по формуле

(2)

Здесь внешние моменты относительно оси для правой или левой отсеченных частей, они положительны, если с конца оси видны против хода часовой стрелки. По (2) можно определить на каждом участке вала и построить эпюру . Построим эпюру для вала, показанного на рис. 1.

I участок левая часть

2кНм

II участок левая часть

- 8кНм

III участок правая часть

- 3кНм

По этим данным строим эпюру на рис. 6.1. Следует учитывать, что max внутренний часто не равен max внешнему моменту. Все расчеты вала на прочность ведутся на внутренние .

Напряжения и деформации при кручении круглых валов

Исследования показали, что характер деформаций в вале зависит от формы его поперечного сечения. Здесь рассмотрим кручение валов с круглым или кольцевыми сечениями. Сначала рассмотрим результаты эксперимента: на боковую поверхность круглого вала нанесем сетку из продольных и окружных линий. После закручивания вала обнаружим:

- Продольные линии поворачиваются на угол , а прямоугольники, образованные сеткой, превращаются в ромбы, т.е. подвергаются сдвигу .

- Ось вала останется прямой, контуры поперечных сечений не меняются, остаются плоскими, но поворачиваются друг относительно друга на некоторый угол, называемый углом скручивания .

- Расстояния между сечениями не меняются, т.е. волокна в продольном направлении не деформируются

Перечисленные наблюдения дают основания для принятия следующих гипотез (допущений) при кручении круглых валов:

1. Поперечные сечения не меняют форму и размеры, остаются плоскими (гипотеза Бернулли)

2. Продольные волокна не деформируются: .

Согласно гипотезе 2 и в поперечном сечении возникают только - касательные напряжения, перпендикулярные к радиусам сечения. Для определения этих напряжений получена формула

Рис. 2

(3)

(4)

Формула (6.4) определяет относительный угол закручивания вала.

Из (6.3) видно, что линейно меняется в сечении: при (в центре) и будет при , т.е. в точках сечения у поверхности вала.

(5)

Здесь: полярный момент инерции сечения; полярный момент сопротивления сечения

Для сплошного круглого сечения радиуса

Для кольцевого сечения (труба) с и

Интегрируя (4) получим угол поворота одного сечения вала относительно другого сечения, расположенных на расстоянии друг от друга.

(6)

Здесь модуль сдвига материала вала, называют жесткостью вала при кручении.

Если на участке вала длиной и диаметр вала не меняются, то

(6а)

Если и диаметр меняются на длине (см. рис. 6.1), то определяется как алгебраическая сумма углов закручивания по участкам с постоянными и

(6в)

Расчеты на прочность. Подбор сечений вала

Условие прочности вала с учетом (5) имеет вид

(7)

Это условие должно выполняться для каждого участка вала (при переменных ). Если диаметр вала постоянный, то в (7) берут из эпюры . Допускаемые напряжения для различных материалов приводятся в справочниках.

Из (7) находят необходимый , а по нему определяют размеры сечения вала:

1. Для сплошного круглого сечения радиуса отсюда

2. Для кольцевого сечения (трубы) надо задать отношение , т.к. подставим , , отсюда .

Следует иметь ввиду, что кольцевое сечение более экономично по весу.

В необходимых случаях валы рассчитываются не только на прочность, но и на жесткость.

Условие жесткости вала на кручение с учетом (6а) и (6в) имеет вид

Здесь допускаемый угол закручивания вала, для различных случаев приводятся в справочниках и нормативной литературе. Например, при обычном кручении на один метр длины вала. Если условие жесткости не выполняется, увеличивают размеры сечения вала, т.е. и снова проверяют условие жесткости с учетом (6а) и (6в).

Примечание: по (6)(6в) определяется в радианах.

Статически неопределимые задачи при кручении

Задачи на кручение являются статически неопределимыми, если внутренние крутящие моменты в поперечных сечениях вала нельзя найти только из уравнений равновесия (2). Рассмотрим пример на рис. 3.

От внешнего момента в заделках появятся неизвестные опорные моменты и .

Для их определения можно составить уравнение равновесия вала:

Рис. 3

(а)

Уравнение одно, неизвестных два. Задача однажды статически неопределима. Дополнительное уравнение можно составить из условия деформации вала. Оба конца защемлены, поэтому очевидно, что , т.е. концы вала не поворачиваются друг относительно друга. Здесь , а найдем по (6в). Здесь два участка:

I участок левая часть

(в)

II участок правая часть

(с)

,

сокращая на , получим

(d)

Решаем уравнения (а) и (d) находим и , далее по (в) и (с) строим эпюру и делаем все необходимые расчеты.

Свободное кручение стержней некруглого сечения

Теория кручения круглых валов основана на гипотезе плоских сечений. Экспериментально установлено, что при кручении некруглых стержней эта гипотеза не подтверждается. В некруглых стержнях при кручении поперечные сечения коробятся (депланируют), т.е. точки сечения выходят из плоскости сечения. Если депланации сечения ничто не мешает, то в сечении и имеем свободное кручение, при котором в сечении возникают только касательные напряжения. Если депланации чем-то ограничены (заделка, скачок на эпюре ), то рядом расположенные сечения коробятся по-разному и поэтому в сечении должны возникнуть и . Это будет стесненное кручение, расчет при этом достаточно сложный и здесь рассматриваться не будет. Мы рассмотрим только свободное кручение.

Рис. 4 Свободное кручение тонкостенных стержней замкнутого контура

Рассмотрим кручение произвольного тонкостенного стержня с замкнутым контуром (эллиптическая, прямоугольная труба). Здесь толщина стенки, величина малая, пунктиром показан срединный контур сечения длиной . Ввиду малости возникающие в стенке полагаем постоянными по толщине и по контуру сечения и определяются они по формуле Бредта

(8)

Относительный угол закручивания определяется так

(9)

Здесь А - площадь, ограниченная срединным контуром сечения.

Рис. 5 Свободное кручение тонкостенных стержней открытого профиля

Открытый (не замкнутый) контур имеют поперечные сечения швеллера, двутавра, уголка и др. Здесь толщина стенки, длина срединной линии (пунктир) сечения. При кручении таких сечений возникают касательные напряжения, линейно меняющиеся по толщине стенки, = 0 в точках срединной линии, будет на внутренней и внешней поверхностях сечения. Поток касательных напряжений в сечении показан на рис. стрелками. В таких сечениях обычно много больше и определяются так

(10)

а относительный угол закручивания

(11)

Пример: Сравнить кручение круглой трубы с радиусом срединной линии = 10см, толщиной стенки = 1см (замкнутый контур) и той же трубы, с продольным разрезом (разомкнутый контур).

1. Замкнутый контур: используем формулы (8) и (9), подставляя в них:

(12)

2. Открытый (разомкнутый контур). Используем формулы (10) и (11), подставляя в них , т.к. толщина разреза примерно 1мм, не влияет на .

 (13)

Поделим формулы из (13) на формулы (12). После сокращения получим

30 раз, 300 раз

Итак: в разомкнутой трубе напряжения в 30 раз больше, чем в замкнутой, а углы закручивания больше в 300раз. Из этого вывода следуют практические рекомендации: если в конструкции какой-то стержень испытывает кручение, то этот стержень нежелательно делать с открытым поперечным сечением, т.е. из швеллера, двутавра, уголка и т.д. Лучше его изготовить из трубы или сварить из швеллеров прямоугольную трубу, как показано на рис. При этом получим замкнутый контур, хорошо работающий на кручение.

Рис. 6

сечение вал контур деформация

Рис. 7 Кручение прямоугольных сечений

Полученные формулы для открытого контура сечения можно применить и для прямоугольного сечения. Если , то формулы (10) и (11) дают точное решение, т.к. они получены при допущении, что .

На рис. показана эпюра в точках сечения у верхней поверхности, аналогична и на нижней поверхности сечения. В углах сечения , а на большей части размера «b» . По толщине «» меняются по линейному закону, в точках срединной линии (пунктир) .

Если , то будут переменны по размеру «b», будет в середине длинной стороны, а в углах . Здесь можно использовать формулы:

(14)

Здесь: геометрический момент сопротивления, геометрический момент инерции.

Коэффициенты и зависят от отношения и приводятся в справочниках. При , т.е. получаются формулы (10) и (11).

Рис. 8 Кручение тонкостенных профилей

Рассмотрим кручение стержня двутаврового поперечного сечения, показанного на рис. Такое сечение можно разбить на прямоугольники с размерами и . Максимальные будут возникать в точках сечения у поверхностей в середине каждой длинной стороны «» прямоугольников и вычисляются по формуле

(15)

При кручении форма поперечного сечения не меняется, т.е. все прямоугольники закручиваются одинаково, относительный угол закручивания всего сечения определяется так

(16)

В формулах (15) и (16) вычисляется суммированием по всем прямоугольникам сечения.

(6.17)

Аналогично рассчитываются сечения типа швеллера, уголка и др. Для стандартных профилей в (17) введен коэффициент коэффициент формы. для двутавров, для швеллеров.

Размещено на Allbest.ru