Оценка погрешностей результатов косвенных измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУВПО

«Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»

Кафедра «Технология машиностроения»

Методические указания

к лабораторной работе № 6

Оценка погрешностей результатов косвенных измерений

по дисциплинам «Метрология, стандартизация и сертификация» «Общая теория измерений»

Рецензент О.И. Медведева

Редактор Е.О. Колесникова

Комсомольск - на - Амуре 2009

УДК 389 (075)

Оценка погрешностей результатов косвенных измерений: Методические указания к лабораторной работе № 6 по дисциплинам «Метрология, стандартизация и сертификация», «Метрология, стандартизация и взаимозаменяемость» и «Общая теория измерений»/ Сост. В.В. Алтухова, - Комсомольск - на - Амуре: Комсомольский - на - Амуре гос. техн. ун-т, 2009 - 11 с.

В методических указаниях приведены теоретические сведения по обработке результатов косвенных измерений, даны примеры вычисления погрешности косвенных измерений.

Предназначены для студентов направлений 150300 «Прикладная механика», 150600 «Материаловедение и технология новых материалов», 200500 «Метрология, стандартизация и сертификация», 240100 «Химическая технология и биотехнология» и специальностей 130603 «Оборудование нефтегазопереработки», 150106 «Обработка металлов давлением», 190701 «Организация перевозок и управление на транспорте (водном)», 230401 «Прикладная математика», 240801 «Машины и аппараты химических производств», 280101 «Безопасность жизнедеятельности в техносфере» очной формы обучения.

Печатается по постановлению редакционно-издательского совета Комсомольского - на - Амуре технического университета.

Согласовано с отделом стандартизации.

Введение

Цель работы: 1) получить навыки обработки результатов косвенных измерений; 2) определить результат косвенного измерения объема втулки.

Оборудование: 1) нутромер; 2) микрометры; 3) втулка; 4) чертеж втулки; 5) стойка.

Косвенные измерения - это измерения, проводимые косвенным методом, при котором искомое значение физической величины определяется на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной.

В лабораторной практике большинство измерений - косвенные и интересующая величина N является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин:

N=f(x, y, z,…). (1)

Например, объем цилиндра находится по формуле

, (2)

где d - диаметр цилиндра;

h - высота цилиндра.

Здесь диаметр и высота цилиндра определяются непосредственно измерениями, а объем цилиндра является функцией этих двух непосредственно измеренных величин:

V=f(d, h).

1. Результат прямых многократных измерений

Прямые измерения - это измерения, проводимые прямым методом, при котором искомое значение величины получают непосредственно. Например, измерение длины штангенциркулем или микрометром, угла - угломером.

Из-за погрешностей измерения отдельный измеренный размер х в общем случае не является истинным значением этой величины. Любое измерение дает значение измеряемой величины лишь приближенно. Для оценки точности измерений и получения значений измеряемой величины с определенной вероятностью необходимо произвести несколько измерений. Результат любых измерений записывается в виде .

Например, многократные измерения некой величины дали результат 323±1, что означает следующее: истинное значение величины лежит между 322 и 324, а погрешность измерений в данном случае равна 1. Диапазон возможных значений погрешности называют доверительным интервалом (в данном примере границы погрешности равны ±1), а за истинное (действительное) значение измеряемой величины принимают среднее арифметическое.

2. Обработка результатов косвенных измерений

Как следует из теории вероятностей, среднее арифметическое значение величины N, являющейся функцией непосредственно измеряемых величин, определяется подстановкой в формулу 1 средних значений данных величин:

. (3)

Погрешность результата измерения величины N, которая не измеряется непосредственно, а вычисляется по измеренным x, y, z,…, находится с применением теории производных и дифференциалов.

Для нахождения случайной погрешности косвенных измерений следует пользоваться формулами:

(4)

и

(5)

где - частные производные функции N=f(x, y, z,…) по аргументу

x, y, z,…, найденные в предположении, что все остальные аргументы, кроме того, по которому находится производная, постоянные;

Дх, Дy, Дz,… - доверительные границы для аргументов x, y, z,….

Формулой (4) удобно пользоваться в случае, если функция N=f(x, y, z,..) имеет вид суммы или разности аргументов. Формулой (5) удобно пользоваться в случае, если функция N=f(x, y, z,…) имеет вид произведения или частного аргументов.

Следует иметь в виду, что доверительные границы Дх, Дy, Дz,…должны быть взяты при одинаковой доверительной вероятности Р.

3. Пример расчета погрешности косвенного измерения

Пример 1. Найти погрешность результата косвенного измерения величины х, связанной формулой

(6)

со следующими величинами, измеряемыми прямыми способами:

; ; .

Зная, что с² - р²= (с - р)·(с + р), преобразуем формулу (6):

. (7)

Т.к. формула (7) имеет вид произведения, то воспользуемся формулой (5):

. (8)

Раскроем теперь выражения d(c - p) и d(c + p) :

d(c - p)= dc - dp, d(c + p)= dc + dр.

Тогда выражение (8) примет вид:

.

Затем объединим все члены, содержащие дифференциалы одной и той же переменной:

Используя формулу, получим выражение для вычисления ошибки измерения величины х:

,

где .

Окончательно результат измерения величины х имеет вид: .

Пример 2. Получены результаты измерений:

а = (18±1) см; с = (5±2) см,

при одинаковой доверительной вероятности Р= 0,95.

Вычислить результат измерения величины х = а - с.

Согласно (3), среднее значение х равно

;

(см).

Воспользовавшись выражением (4), имеем:

;

;

;

(см).

Таким образом, результат измерения будет иметь вид:

х= (13,0±2,2) см, Р= 0,95.

4. Индикаторный нутромер: устройство и принцип работы

Индикаторные нутромеры (рисунок 1) предназначены для измерений внутренних размеров относительным методом.



Рисунок 1 - Индикаторный нутромер

1 - теплоизоляционная ручка;

2 - пружина;

3 - трубка;

4 - шток;

5 - рычаг;

6 - подвижный наконечник;

7 - индикатор часового типа;

8 - зажим;

9 - корпус;

10 - жесткий наконечник;

11 - центрирующий мостик

Основанием индикаторного нутромера служит трубка 3, снабженная теплоизоляционной ручкой 1. В верхней части трубка имеет присоединительное отверстие с зажимом 8. В это отверстие вводится и закрепляется гильза корпуса индикатора часового типа 7. В нижней части основания-трубки расположена головка прибора, которая состоит из корпуса 9, центрирующего мостика 11 и воспринимающих измерительных стержней-наконечников - жесткого 10 и подвижного 6. Движение наконечника 6 через рычаг 5 и шток 4 передается измерительному наконечнику и стержню индикатора 7. Центрирующий мостик 11 совмещает ось измерения нутромера, которая является общей осью измерительных стержней-наконечников 6 и 10 с диаметром отверстия измеряемой.

Настройка. Перед измерением нутромеры устанавливают на номинальный размер измеряемой детали по установочному кольцу, блоку концевых мер с боковиками, закрепленному в державке, или микрометру, закрепленному в стойке. При настройке нутромера по микрометру сначала микрометр (рисунок 2,а) устанавливают на номинальный размер проверяемого отверстия и фиксируют положение микровинта 2 стопорным устройством 3. Настройка микрометра будет более точной, если настраивать микрометр по блоку концевых мер 1, размер которых равен номинальному размеру проверяемого отверстия. Затем индикаторный нутромер вводят между измерительными поверхностями микрометра (рисунок 2,б). Вращением стержня 5 устанавливают натяг на индикаторе нутромера не менее 1 мм (т.е. стрелка на маленькой шкале индикатора должна стоять на отметке «1»), при этом большая стрелка индикатора должна совпадать с нулевым штрихом циферблата. Положение регулируемого стержня 5 фиксируют гайкой 4.



а б

1 - блок КМД; 2 - микровинт; 3 - стопорное устройство; 4 - гайка; 5 - стержень

Рисунок 2 - Настройка нутромера: а - настройка микрометра; б - настройка нутромера по микрометру

5. Последовательность выполнения работы

Объем втулки характеризуется тремя размерами (рисунок 3): диаметром наружной поверхности d₁, диаметром внутренней поверхности d₂, высотой h.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3 - Размеры втулки

1. Произвести измерения наружной цилиндрической поверхности микрометром и внутренней цилиндрической поверхности - нутромером в трех сечениях и в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рисунок 4,a).

2. Измерить высоту втулки микрометром в шести сечениях (а - а^/, b - b^/, c - c^/, d - d^/, e - e^/, f - f^/) (рисунок 4,б).

Рисунок 4 - Схемы измерений: а - наружной цилиндрической поверхности и внутренней цилиндрической поверхности; б - высоты

3. Результаты измерений диаметров d₁, d₂ и высоты h занести в таблицу 1.

Таблица 1 - Результаты измерений

Измеряемая величина	Показания средств измерений, мм
d1
d2
h

4. Обработать результаты прямых измерений d₁ в следующей последовательности:

- вычислить среднее арифметическое результатов наблюдений, принимаемого за результат измерения, по формуле:

,

где d_1i - результат i - го измерения d₁;

n - количество измерений.

- вычислить среднеквадратическую погрешность по формуле:

.

- вычислить доверительные границы погрешности результата измерения при вероятности Р=0,95 по формуле:

,

где t_P - коэффициент Стьюдента, зависящий от значения вероятности Р и количества измерений n (при Р = 0,95 и n = 6: t_P = 2,57)

- представить результат измерения d₁ в форме: , Р = 0,95.

5. По аналогии с обработкой результатов прямых измерений d₁ , произвести обработку результатов прямых измерений d₂ и h, результаты измерений представить в виде: , Р=0,95;

, Р=0,95.

6. Воспользовавшись формулой (2), вывести формулу для вычисления действительного значения объема втулки.

7. Рассчитать действительное значение объема втулки .

8. Вывести формулу для расчета погрешности результата измерения объема втулки (смотри пример 1 раздела 3).

9. Рассчитать погрешность результата косвенного измерения объема втулки.

10. Результат измерения объема втулки представить в виде: , Р=0,95.

6. Содержание отчета

Лабораторная работа оформляется в соответствии с требованиями руководящего нормативного документа РД ГОУВПО «КнАГТУ» 013-2008 «Текстовые студенческие работы. Правила оформления».

Содержание отчета:

1) Цели работы;

2) Оборудование;

3) Эскиз втулки;

4) Таблица 1;

5) Обработка результатов прямых измерений d₁, d₂, h;

6) Обработка результатов косвенных измерений V.

косвенный измерение втулка погрешность

7. Контрольные задания

1) Дайте определение понятиям прямого и косвенного измерений.

2) В каком виде записывают результат измерения?

3) Выведите формулы расчета погрешности косвенных измерений следующих величин:

- ;

- U = I · R;

- q=x+ y - z;

- ;

- ;

- .

Библиографический список

1 Тартаковский, Д.Ф. Метрология, стандартизация и технические средства измерений: Учебник для вузов/ Д.Ф. Тартаковский, А.С. Ястребов. - М.: Высш. шк., 2001. - 205 с.: ил.

2 Радкевич, Я.М. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник для вузов/ Я.М. Радкевич, А.Г. Схиртладзе, Б.И. Лактионов. - М.: Высш. шк., 2004. - 767 с.: ил.

3 Натансон, И.П. Краткий курс высшей математики: Учебник для вузов/ И.П. Натансон. - 4-е изд., стереотипное. - СПб.: Издательство «Лань», 2001. - 736 с.

Размещено на Allbest.ru

...